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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA ESTATAL DEL CARCHI
ESCUELA DESARROLLO INTEGRAL AGROPECUARIO
Módulo de algebra
PORTAFOLIO
MARIA DEL ROSARIO YANDUN
Primero A
Ing. Oscar Lomas
05/02/2014
MODULO DE ALGEBRA Página 1
CONTENIDOINTRODUCCIÓN.........................................................................................................................3
OBJETIVOS.................................................................................................................................4
OBJETIVO GENERAL...............................................................................................................4
OBJETIVOS ESPECÍFICOS........................................................................................................4
SILABO.......................................................................................................................................5
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES......................................................................................6
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES..................................................................................7
EXPONENTES Y RADICALES........................................................................................................8
EXPONENTES..........................................................................................................................8
RADICALES.............................................................................................................................9
EXPRESIONES ALGEBRAICAS....................................................................................................10
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?...................................................................................................11
PARTES DE UNA ECUACION.................................................................................................12
¡Exponente!........................................................................................................................12
PRODUCTOS NOTABLES...........................................................................................................13
Binomio de resta al cubo.....................................................................................................14
Trinomio al cuadrado...........................................................................................................14
Diferencia de cubos.............................................................................................................14
Producto de dos binomios que tienen un término común..................................................14
FACTORIZACIÓN.......................................................................................................................15
Factorización por factor común...........................................................................................15
Factorización de una diferencia de cuadros.........................................................................15
Factorización de un cuadrado perfecto...............................................................................15
Factorización de una suma o diferencia de cubos...............................................................15
Factorización de cubos perfectos de binomios....................................................................16
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO...................................................................................16
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO.........................................................................17
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.......................................................................................17
TRANSFORMACIONES LINEALES..........................................................................................19
MODULO DE ALGEBRA Página 2
ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO..............................................................21
INECUACIONES........................................................................................................................23
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.....................................................24
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA..................................................26
PROGRAMACIÓN LINEAL.........................................................................................................30
II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:......................................................................35
III. RUTA FORMATIVA DEL PERFIL...........................................................................................38
IV. METODOLOGÍA DE FORMACIÓN DEL PERFIL:.....................................................................41
V. PLANEACIÓN DE LA EVALUACIÓN DEL MÓDULO.................................................................46
VII. Bibliografía........................................................................................................................51
MODULO DE ALGEBRA Página 3
INTRODUCCIÓN
El álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que
emplea números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples
operaciones aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual,
a su vez, proviene de un vocablo árabe que se traduce al español
como “reducción” o “cotejo”.
Hoy entendemos como álgebra al área matemática que se centra en las
relaciones, estructuras y cantidades. La disciplina que se conoce como
álgebra elemental, en este marco, sirve para llevar a cabo operaciones
aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) pero que, a diferencia de la
aritmética, se vale de símbolos (a, x, y) en lugar de utilizar números. Esto
permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos
(incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis
correspondiente a su resolución. El álgebra elemental postula distintas leyes
que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones
aritméticas.
Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa,
tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).
Algunas de estas propiedades son compartidas por distintas operaciones; la
multiplicación, por ejemplo, también es conmutativa y asociativa.
MODULO DE ALGEBRA Página 4
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL Recopilar la información otorgada por el docente referente al
cronograma de estudio en el módulo de algebra, para tener constancia
del trabajo realizado en el transcurso de todo el semestre y que esta
información nos sirva como guía de estudio.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS Construir el portafolio estudiantil.
Comprender la información obtenida para adquirir nuevos
conocimientos referentes a cada uno de los temas.
Recolectar la información de manera grupal para que el trabajo sea
productivo.
MODULO DE ALGEBRA Página 5
SILABO
I. DIRECCIONAMIENTO ESTRATÉGICO
UPEC – MISIÓN MISIÓN – ESCUELA
“Formar profesionales humanistas, emprendedores y competentes, poseedores de conocimientos científicos y tecnológicos; comprometida con la investigación y la solución de problemas del entorno para contribuir con el desarrollo y la integración fronteriza”
La Escuela de Desarrollo Integral Agropecuario contribuye al desarrollo Provincial, Regional y Nacional, entregando profesionales que participan en la producción, transformación, investigación y dinamización del sector agropecuario y agroindustrial, vinculados con la comunidad, todo esto con criterios de eficiencia y calidad
UPEC – VISIÓN VISIÓN – ESCUELA
Ser una Universidad Politécnica acreditada por su calidad y posicionamiento regional
Liderar a nivel regional el proceso de formación y lograr la excelencia académica generando profesionales competentes en Desarrollo Integral Agropecuario, con un sólido apoyo basado en el profesionalismo y actualización de los docentes, en la investigación, criticidad y creatividad de los estudiantes, con una moderna infraestructura que incorpore los últimos adelantos tecnológicos, pedagógicos y que implique un ejercicio profesional caracterizado por la explotación racional de los recursos naturales, producción limpia, principios de equidad, participación, ancestralidad, que den seguridad y consigan la soberanía alimentaria
MODULO DE ALGEBRA Página 6
CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
Ciertos conjuntos de números tienen nombres especiales. Los números 1,2,3
y así sucesivamente , forman el conjunto de los números enteros positivos o
números naturales.
Conjunto de los enteros positivos = (1, 2,3…)
Los enteros positivos junto con el cero, y los enteros negativos-1,-2,-3……
forman el conjunto de los enteros.
Conjunto de enteros = (…,-3,-2,-1, 0, 1, 2,3,…)
El conjunto de los números racionales consiste en números como 12
y 53
, que
pueden escribirse como una razón (cociente) de dos enteros. Esto es, un
numero racional es aquél que puede escribirse como pq
donde p y q son
enteros y q ≠ 0. El entero 2 es racional puesto que 2 =21
. De hecho todo
entero es racional.
Los números que se representan mediante decimales no periódicos que
terminan se conocen como números irracionales. Los números π y√2 son
ejemplos de números irracionales. Junto, los números racionales y los
números irracionales forman el conjunto de los números reales.
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primeros
se selecciona un punto de la recta para representar el cero. Las posiciones a
la derecha del origen se consideran positivas y las de la izquierda negativas
MODULO DE ALGEBRA Página 7
MODULO DE ALGEBRA Página 8
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Propiedad transitiva de igualdad.-Dos números iguales a un tercer número
son iguales entre sí.
Sia=b y b=c ,entonces a=c
Propiedad de cerradura de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número
real.
Para todonúmero realayb , existennumerosreales unicos a+b y ab
Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación.- Dos números
pueden sumarse y multiplicarse en cualquier orden.
a+b=b+a y ab=ba
Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación.- En la suma o en la
multiplicación, los números pueden agruparse en cualquier orden.
a+ (b+c )= (a+b )+c y a (bc )=(ab ) c
Propiedad de la identidad.- existen números reales denotados 0 y 1 tales
que para todo número real a.
0+a=a y1a=a
Propiedad del inverso.- Para cada número real a, existe un único número
real denotado poa –a
a+ (−a )=0
Propiedad distributiva.- establece que multiplicar una suma por un número
da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el número y después
sumar todos los productos.
MODULO DE ALGEBRA Página 9
a (a+c )=ab+ac y (b+c )a=ab=ac
MODULO DE ALGEBRA Página 10
EXPONENTES Y RADICALES
EXPONENTESUn exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va
a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a
la derecha del valor base. Por ejemplo:
b−5b es el valor base y -5 es el exponente
−27-2 es el valor base y 7 es el exponente
Leyes de los exponentes
(xn ) (xm )=xn+m
xn
xm=xn−m
x0=1
x−n= 1
xn
xm
xm=1
(xm )n=xmn
( xy )n
= xn
yn
( xy )−n
=( yx )
MODULO DE ALGEBRA Página 11
RADICALESLa radicación es la operación inversa a la potenciación. Se llama raíz enésima
de un número “x” a otro número “y”, que elevado a la “n” da como resultado
“x”.n√ x= y
n = índice
x = radicando
y = raíz
√❑ =signo radical
Leyes radicales
x1/2=n√ x
x−1 /2= 1
x1/2= 1
n√ x
n√ xm√ y= n√xy
n√ xn√ y
= n√ xym√ n√x=mn√x
x ,/n=n√ xm
(m√ x )m=x
MODULO DE ALGEBRA Página 12
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama a un conjunto de letras y números ligados por los signos de las
operaciones aritméticas.
Monomio: Se llama monomio a la expresión algebraica que tiene un solo
término.
Ejemplos de expresiones algebraicas de un solo término:
Binomio: Se llama binomio a la expresión algebraica que tiene dos términos.
Ejemplos de expresiones algebraicas de dos términos:
Trinomio: Se llama trinomio a la expresión algebraica que tiene tres términos.
Ejemplo:
Las expresiones algebraicas que contienen más de tres términos se
llaman Polinomios.
MODULO DE ALGEBRA Página 13
Suma o adición.- es una operación que tiene por objeto reunir dos o más
expresiones algebraicas en una sola expresión algebraica.
Resta o sustracción.- se escribe el minuendo con sus propios signos y a
continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los
términos semejantes.
Multiplicación.- se multiplica el monomio por cada uno de los términos del
polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos , y se
separan los productos parciales con sus propios signos.
División.- se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio
separando los cocientes parciales con sus propios signos.
¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?
Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:
X + 2 = 6
Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)
Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"
MODULO DE ALGEBRA Página 14
PARTES DE UNA ECUACION
Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!) Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:
Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y.
Un número solo se llama una constante.
Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente)
Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).
Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos.
Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -)
MODULO DE ALGEBRA Página 15
Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"
¡Exponente!Elexponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación.
Ejemplos:
82 = 8 × 8 = 64
y3 = y × y × y
y2z = y × y × z
PRODUCTOS NOTABLES
Binomio de suma al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(X + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
Binomio de resta al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
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(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x2 − 25
Binomio al cubo
Binomio de suma al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27
Binomio de resta al cuboUn binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 33 =
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27
Trinomio al cuadradoUn trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
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Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)
Diferencia de cubosa3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)
Producto de dos binomios que tienen un término común(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6
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FACTORIZACIÓNCon frecuencia se necesita expresar o transformar a un polinomio dado en el
producto de dos o más polinomios de menor grado .este proceso se llama
factorización y nos permite transformar polinomios complejos en el producto
de polinomios simples.
Factorización por factor común.Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor,
se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e
inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes
que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor
común.
a2+2a=a (a+2 )
10b+30ab=10b (1+3a)
Factorización de una diferencia de cuadros.Se sabe que:a2−b2= (a+b ) (a−b ); por lo tanto una diferencia de cuadrados, es
igual al producto de dos binomios conjugados.
9 x2−4 y2=(3 x+2 y )(3 x−2 y )
Factorización de un cuadrado perfectoPara factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido
identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raíz
cuadrada al primero y tercer término del trinomio separándose estas raíces
por medio del signo del segundo término y elevando este binomio al
cuadrado:
9 x2−12 xy+4 y2= (3x−2 y )(3 x−2 y )
Factorización de una suma o diferencia de cubosSe sabe que: a3+b3=(a+b ) (a2−ab+b2 ) y a3−b3=(a−b ) (a2+ab+b2 )
MODULO DE ALGEBRA Página 19
Factorización de cubos perfectos de binomios.(a+b )3=a3+3a2b+3ab2+b3 yque : (a−b )3=a3−3a2b+3ab2−b3
FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO.
Algunas veces en un polinomio os términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar
Comenzamos con la siguiente situación:Cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.
x2+ax+bx+ab=x ( x+a )+b ( x+a )=( x+a ) ( x+b )
FACTORIZACIÓN DE UN TRIN0MIO DE LA FORMA a x2+bx+c
9 x2+6 x−3= (3 x−1 ) (3 x+3 )
4 x2−24 x+11= (3 x−1 ) (3 x+3 )
MODULO DE ALGEBRA Página 20
MODULO DE ALGEBRA Página 21
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
El objetivo de esta unidad es repasar las ecuaciones lineales o de primer grado y resuelve ecuaciones lineales por medio de propiedades. También resolveremos problemas donde se plantean ecuaciones lineales con una incógnita. Para ello veremos ejemplos de ecuaciones, cómo resolverlas y cómo traducirlas al lenguaje simbólico.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional así:
Un sistema así expresado tiene "m" ecuaciones y "n" incógnitas, donde aij son números reales, llamados coeficientes del sistema, los valores bm son números reales, llamados términos independientes del sistema, las incógnitas xj son las variables del sistema, y la solución del sistema es un conjunto ordenado de números reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incógnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema.
Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notación matricial tiene esta forma:
MODULO DE ALGEBRA Página 22
Llamamos matriz del sistema a la matriz de dimensión m×n formada por los coeficientes del sistema, y la designamos por A.
Designamos por X a la matriz columna formada por las incógnitas. Denotamos por B a la matriz columna formada por los términos
independientes.
y llamamos matriz ampliada de dimensión m×(n+1) a la matriz que se obtiene al añadir a la matriz del sistema (= matriz de coeficientes) la columna de los términos independientes, y la denotamos por A*, es decir
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Ax = b,
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema anteriormente mencionado de eliminación de Gauss-Jordán se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.
Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de las tres siguientes situaciones:
el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobre determinado o que es incompatible)
el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)
el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).
La ecuación 2x - 3 = 0 se llama ecuación lineal de una variable. Obviamente sólo tiene una solución.
La ecuación -3x + 2y = 7 se llama ecuación lineal de dos variables. Sus soluciones son pares ordenados de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a la otra.
MODULO DE ALGEBRA Página 23
La ecuación x - 2y + 5z = 1 se llama ecuación lineal de tres variables. Sus soluciones son ternas ordenadas de números. Tiene infinitas soluciones que se obtienen despejando una variable y dando valores cualesquiera a las otras dos.
En general, una ecuación lineal de "n" variables es del tipo :
Las soluciones son las secuencias de números s1, s2, s3, ..., sn que hacen verdadera la igualdad [1]
Si los coeficientes valen 0 y el término independiente no, la ecuación se llama incompatible. No tiene solución y también se denomina ecuación imposible, proposición falsa o igualdad absurda.
Si los coeficientes y el término independiente son nulos, se dice que la ecuación es una identidad.
TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente.
Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
MODULO DE ALGEBRA Página 24
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K, se satisface que:
Los sistemas de ecuaciones lineales son ecuaciones que tienen n incógnitas, las cuales podemos representar en una notación matricial, se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.
A partir de una ecuación lineal podemos hacerle las transformaciones lineales para tener como resultado escalares.
MODULO DE ALGEBRA Página 25
ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADOUna ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación cuadrática
Las ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2). Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1.
Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:
MODULO DE ALGEBRA Página 26
3x2 - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de segundo grado para resolverlas.
En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy conveniente.
EJEMPLOS:
1.
2.
3.
Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).
MODULO DE ALGEBRA Página 27
INECUACIONES
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos
miembros se relacionan por uno de estos signos:
< menor que2x − 1 <
7
≤menor o igual
que
2x − 1 ≤
7
> mayor que2x − 1 >
7
≥mayor o igual
que
2x − 1 ≥
7
La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable
que la verifica.
La solución de la inecuación se expresa mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.
MODULO DE ALGEBRA Página 28
2x − 1 < 7
2x < 8 x < 4
(-∞, 4)
INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Para resolverlas se siguen los mismos pasos que en las ecuaciones de primer grado con una incógnita:
Quitar paréntesis. Quitar denominadores. Agrupar términos semejantes a ambos lados de la desigualdad. Despejar la incógnita.
En este último paso hay que tener en cuenta una propiedad de las desigualdades: “Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número negativo cambia el sentido de la misma”.
La solución de una inecuación de este tipo puede ser:
Un conjunto de números reales que se suele expresar en forma de intervalo.
Cualquier número real. Ningún número real. Entonces se dice que no tiene solución.
MODULO DE ALGEBRA Página 29
La solución es uno de los semiplanos que resulta de representar la ecuación resultante, que se obtiene al transformar la desigualdad en una igualdad.
2x + y ≤ 3
1º Transformamos la desigualdad en igualdad.
2x + y = 3
2º Damos a una de las dos variables dos valores, con lo que obtenemos dos puntos.
x = 0; 2 · 0 + y = 3; y = 3; (0, 3)
x = 1; 2 · 1 + y = 3; y = 1; (1, 1)
3º Al representar y unir estos puntos obtenemos una recta.
4º Tomamos un punto, por ejemplo el (0, 0), los sustituimos en la desigualdad. Si se cumple, la solución es el semiplano donde se encuentra el punto, si no la solución será el otro semiplano.
2x + y ≤ 3
2 · 0 + 0 ≤ 3 0 ≤ 3 Sí
MODULO DE ALGEBRA Página 30
2x + y > 3
2 · 0 + 0 > 3 0 > 3 No
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Una inecuación de segundo grado se expresa de forma general de una de las siguientes formas:
ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c ≥ 0
ax 2 + bx + c < 0
ax 2 + bx + c ≤ 0
Una inecuación de segundo grado es una inecuación en donde encontramos
números, una variable (que llamaremos x) que esta vez la podemos encontrar
multiplicándose a ella misma, y un símbolo de desigualdad..
Un ejemplo de inecuación de segundo grado podría ser:
MODULO DE ALGEBRA Página 31
2x2−x<2x−1
Donde podemos observar que el término 2x2 es el término cuadrático,
característico de las inecuaciones de segundo grado, ya que si éste no
estuviera, tendríamos una inecuación de primer grado.
Para resolver una inecuación de segundo grado usaremos un método
compuesto por una serie de pasos a seguir.
Una de las cosas que se nos hará falta para este método es la fórmula de
resolución de ecuaciones de segundo grado que recordamos a continuación:
Dada la ecuación de segundo grado: ax2+bx+c=0, las soluciones vienen
dadas por la fórmula:x+=−b+b2−4ª √2ax−=−b−b2−4ac √2a
Puede ser que tengamos dos, una o ninguna solución en función del valor
de b2−4ac √ (para más información consultar el tema de ecuaciones de
segundo grado).
Método a seguir para la resolución:
Dada la inecuación, hacerle los cambios adecuados hasta dejar un cero en
uno de los lados de la inecuación, consiguiendo una expresión del
tipo: ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0 donde los valores b y c son números reales
que pueden ser positivos o negativos y incluso cero y a es un valor positivo.
En caso de encontrar un valor de a negativo, multiplicaremos por (−1) toda la
inecuación, cambiando así el signo de a (y en consecuencia, el signo de los
demás términos y el orden de la desigualdad).
Buscaremos las soluciones de la ecuación ax2+bx+c=0, inducida por la
inecuación ax2+bx+c<0 o ax2+bx+c>0.
Puede ser que tengamos tres opciones:
Si no tenemos soluciones de la ecuación, debemos separar dos casos:
Si ax2+bx+c>0: La solución es cualquier valor real: todos los números
cumplen la inecuación.
Si ax2+bx+c<0: Ningún valor de x cumple la inecuación, por lo tanto, la
inecuación no tiene solución.
MODULO DE ALGEBRA Página 32
Si nos dibujamos la gráfica de y=ax2+bx+c observaremos que no corta el eje
X, ya que la ecuación no tiene soluciones. Al ser además el valor
de a positivo, toda la gráfica se encuentra por encima del eje X, con
valores y positivos, por lo tanto, si la inecuación tiene signo mayor que (o
mayor o igual que), cualquier punto es solución de la inecuación, y si tiene
signo menor que (o menor o igual que), ningún punto será solución.
Si teníamos la inecuación ax2+bx+c>0, y realizamos el procedimiento:
ax2+bx+c>0⇒(x−x1)2>0⇒(x−x1)(x−x1)>0
⇒{(x−x1)<0⇒x<x1(x−x1)>0⇒x>x1
Hemos de considerar los dos últimos casos válidos ya que un producto de dos
números es positivo si éstos dos son a la vez positivos o negativos.
Así que la solución de la inecuación serán los x que
Cumplan x<x1 y x>x1 donde x1 es la solución de la ecuación ax2+bx+c=0.
En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩾0, aparte de las
mismas soluciones que considerábamos antes, añadiríamos la solución x1 y
el resultado sería tener como región solución toda la recta real.
Si teníamos la inecuación ax2+bx+c<0, haremos:
ax2+bx+c<0⇒(x−x1)2<0⇒ No tenemos solución
Ya que un número elevado al cuadrado siempre será positivo, y estamos
exigiendo que sea negativo.
En caso que tuviéramos una desigualdad del tipo ax2+bx+c⩽0, sí tendríamos
una solución: justamente la solución de la ecuación x1.
Si tenemos dos soluciones, x1 y x2, considerando además que x1<x2,
haremos el siguiente procedimiento:
(Recordemos que el valor de a siempre es positivo)
Si ax2+bx+c>0:
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ax2+bx+c>0⇒(x−x1)(x−x2)>0⇒⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)>0b) (x−x1)<0 y (x−x2)<0
⇒{a) x>x1 y x>x2b) x<x1 y x<x2
Y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las
desigualdades x<x2 y x<x1.
Si ax2+bx+c<0:
ax2+bx+c<0⇒(x−x1)(x−x2)<0⇒⇒{a) (x−x1)>0 y (x−x2)<0b) (x−x1)<0 y (x−x2)>0
⇒{a) x>x1 y x<x2b) x<x1 y x>x2
y como hemos supuesto que x1<x2, nos quedamos con las
desigualdades x<x2 y x<x1.
Una vez hayamos encontrado la región donde se cumple la inecuación, ya
hemos terminado.
Recordad que en el algoritmo de resolución solo hemos empleado
desigualdades estrictas (menor que, mayor que), pero el mismo razonamiento
sirve para desigualdades del tipo mayor o igual que y menor o igual que.
EJEMPLOS
x2+x+2>−1−x
Resolución:
x2+x+2>−1−x⇒x2+2x+1>0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:
x=−2±4−4 √2=−1
Hay una única solución.
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Siguiendo el esquema que hemos dado, la solución es x<−1 y x>−1, es decir,
todos los puntos menos −1.
x2+2<−1−2x
Resolución:
x2+2<−1−2x⇒x2+2x+1<0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2+2x+1=0:
x=−2±4−4 √2=−1
Hay una única solución.
Siguiendo el esquema que hemos dado, no tenemos soluciones posibles.
−x(x−1)−x<−1
Resolución:
−x(x−1)−x<−1⇒−x2+x−x+1<0⇒−x2+1<0⇒x2−1>0
Encontramos las soluciones de la ecuación x2−1=0: x=±1
Como tenemos dos soluciones, la solución del problema (siguiendo las
indicaciones) es x<−1 y x>1.
MODULO DE ALGEBRA Página 35
PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de
resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en
las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de
variables.
El nombre de programación lineal no procede de la creación de programas de
ordenador, sino de un término militar, programar, que significa 'realizar planes
o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de
las unidades de combate'.
Aunque parece ser que la programación lineal fue utilizada por G. Monge en
1776, se considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores. La presentó en
su libro Métodos matemáticos para la organización y la producción (1939) y la
desarrolló en su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich
recibió el premio Nobel de economía en 1975 por sus aportaciones al
problema de la asignación óptima de recursos humanos.
La investigación de operaciones en general y la programación lineal en
particular recibieron un gran impulso gracias a los ordenadores. Uno de
momentos más importantes fue la aparición del método del simplex. Este
método, desarrollado por G. B. Dantzig en 1947, consiste en la utilización de
un algoritmo para optimizar el valor de la función objetivo teniendo en cuenta
las restricciones planteadas. Partiendo de uno de los vértices de la región
factible, por ejemplo el vértice A, y aplicando la propiedad: si la función
objetivo no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista
que parte del vértice A y a lo largo de la cual la función objetivo aumenta. se
llega a otro vértice.
El procedimiento es iterativo, pues mejora los resultados de la función objetivo
en cada etapa hasta alcanzar la solución buscada. Ésta se encuentra en un
vértice del que no parta ninguna arista a lo largo de la cual la función objetivo
aumente.
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Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente
usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en
ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y
organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.
La programación lineal estudia las situaciones en las que se exige maximizar
o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones,
que llamaremos restricciones.
Función objetivo
La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o
minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:
f(x,y) = ax + by.
Restricciones
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas
por inecuaciones lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤c2
... ... ...
anx + bny ≤cn
Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.
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Solución factible
El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las
restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre
de región de validez o zona de soluciones factibles.
Solución óptima
El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones
factibles básicas y el vértice donde se presenta lasolución óptima se
llama solución máxima (o mínima según el caso).
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Valor del programa lineal
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se
llama valor del programa lineal.
Pasos para resolver un problema de programación lineal
1. Elegir las incógnitas.
2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente
las restricciones.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles
(si son pocos).
6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver
en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el
problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si
el recinto no está acotado).
Ejemplo de programación lineal
Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas
deportivas.
El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000
m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de
poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de
poliéster.
El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €.
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3 .Restricciones
Para escribir las restricciones vamos a ayudarnos de una tabla:
pantalones chaquetas disponible
algodón 1 1,5 750
poliéster 2 1 1000
x + 1.5y ≤ 750 2x+3y≤1500
2x + y ≤ 1000
Como el número de pantalones y chaquetas son números naturales,
tendremos dos restricciones más:
x ≥ 0
y ≥ 0
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II. DATOS BÁSICOS DEL MÓDULO “ALGEBRA”:
CÓDIGO NIVEL PRIMERO
DOCENTE: Oscar René Lomas Reyes Ing.
TELEFONO: 0986054587 062-932310 e-mail: [email protected]
CRÉDITOS T 1 CRÉDITOS P 2 TOTAL CRÉDITOS 3
HORAS T 16 HORAS P 32 TOTAL HORAS48
PRE-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que DEBEN estar aprobados antes de éste módulo)CÓDIGOS
1. Nivelación Aprobada
CO-REQUISITOS:(Módulos obligatorios que TIENEN que aprobar en paralelo a éste módulo)CÓDIGOS
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1. Física Aplicada 1
EJE DE FORMACIÓN:(En la malla ubicado en un eje con un nombre) PROFESIONAL
ÁREA DE FORMACIÓN:(En la malla agrupado con un color y un nombre) Agrícola
LIBRO(S)BASE DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio )
Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía, Décima segunda edición: México
LIBRO(S)REFERENCIAL/COMPLEMENTARIO DEL MÓDULO:(Referencie con norma APA el libro, físico o digital, disponible en la UPEC para estudio)
Snut S. y otros (2012). Matemáticas para el análisis económico. Segunda edición: Madrid España.
Escudero R. y otros. (2011). Matemáticas Básicas. Segunda edición: Colombia
Soler F. y otros. (2009). Fundamentos de Matemáticas. Tercera edición: Colombia.
Pullas G. (2011). Matemática básica. Primera edición: Ecuador.
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SánchezA. (2012). Desarrollo del Pensamiento. Editorial Imprenta Mariscal, Edición Primera, Ecuador. http://www.sectormatematica.cl /libros.htm.Recuperado: Septiembre 2012.
Sectormatematica.cl, Programas Gratis.
http://www.sectormatematica.cl/software.htm.Recuperado : Septiembre 2012
Manual_Razonamiento_Matemático.pdf
DESCRIPCIÓN DEL MÓDULO:(Describe el aporte del módulo a la formación del perfil profesional, a la MISIÓN y VISIÓN de la ESCUELA y, a los logros de aprendizaje de éste módulo). 100 palabras / 7 líneas
El módulo de Algebra, permite al estudiante identificar las posibilidades de resolución de problemáticas del entorno a través del conocimiento
matemático, haciendo énfasis en estudio de casos, datos estadísticos, análisis de datos, las matemáticas relacionadas a los finanzas, la economía,
al campo empresarial de manera preferencial al campo agropecuario; donde se genere proyectos productivos y así fortalecer el aprendizaje
académico pedagógico de los educandos.
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III. RUTA FORMATIVA DEL PERFILNodo Problematizado: (Elija uno de la propuesta GENÉRICA de la UPEC o GLOBAL de la ESCUELA).
Escaso razonamiento lógico matemático
Competencia GENÉRICA - UPEC:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO)
Desarrollar el pensamiento lógico
Competencia GLOBAL - ESCUELA:(Elija una que guarde coherencia con el NODO PROBLEMATIZADO y las COMPETENCIAS GENÉRICA)
Planificar, implementar, coordinar, supervisar y evaluar proyectos y servicios del sector rural
Competencia ESPECÍFICA - MÓDULO:(Escriba una que guarde coherencia con el NODO PROBLÉMICO y las COMPETENCIAS GENÉRICA y GLOBAL)
Desarrollar el pensamiento lógico adecuadamente a través del lenguaje y las estructuras matemáticas para plantear y resolver problemas del entorno.
NIVELES DE LOGRO PROCESO
COG NITIVO
LOGROS DE APRENDIZAJE
(Acciones sistémicas, ELEMENTOS DE COMPETENCIA, SUB -COMPETENCIAS)
Seleccione de los sugeridos por la Escuela para perfil de Ingenierías
El estudiante es capaz de:
DIMENSIÓN
(Elija el grado de complejidad que UD. EXIGIRÁ para alcanzar el logro)
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1. TEÓRICO BÁSICO RECORDARMLP
Identificar los términos básicos utilizados durante el desarrollo del pensamiento lógico matemático.
FACTUAL.-Si el estudiante va a TRATAR el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER para estar al tanto de una disciplina o resolver problemas en ella.
2. TEÓRICO AVANZADO ENTENDER
Diferenciar los conceptos básicos utilizados para el desarrollo de pensamiento lógico matemático.
CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
3. PRÁCTICO BÁSICO APLICAR
Demostrar la utilidad de las matemáticas para el desarrollo del razonamiento lógico matemático.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
4. PRÁCTICO AVANZADO ANALIZAR
Plantear alternativas mediante la aplicación de la matemática que permitan dar solución a los problemas planteados
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
5. TEÓRICO PRÁCTICO BÁSICO EVALUAR
Argumentar el planteamiento que dará solución a los problemas planteados.
CONCEPTUAL.-Si el estudiante va a INTERRELACIONAR entre el VOCABULARIO o ELEMENTOS BÁSICOS de lo QUE DEBE SABER dentro de una ESTRUCTURA más grande que les permitan FUNCIONAR JUNTOS los vocablos.
PROCESAL.-Si el estudiante SABE CÓMO HACER, métodos de investigación, y los criterios para el uso de habilidades, algoritmos, técnicas y métodos.
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trabajos
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DEBERES EN CASA
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Deber programación lineal
1.- Producción para utilidad máxima: Un fabricante de juguetes prepara un programa de producción para dos nuevos artículos, camiones y perinolas, con base en la información concerniente a sus tiempos de ensamblado dados en la tabla que sigue:
Por ejemplo: cada camión requiere de 2 horas en la máquina A. Las horas que los empleados tienen disponibles por semana son: para operación de la maquina A, 80 horas, para la B, 50 horas, para acabado, 70 horas, si las utilidades de cada camión y cada perinola son de $7 y $2, respectivamente ¿Cuántos juguetes de cada uno deben producirse por semana con el fin de maximizar de utilidad? ¿Cuál es esta utilidad máxima?
Máquina A Máquina B Horas
Camión 2 1 ≤ 80 40
Perinola 3 1 ≤ 50 50
Acabado 5 1 ≤ 70 70
Costo 7 2
Variables 10 20
Z MAX= 110
2.- Producción para utilidad máxima: Un fabricante produce dos tipos de reproductores de DVD Vista y Xtreme. Para su producción requieren del uso de dos máquinas A y B. El número de horas necesarias para ambas está indicada en la tabla siguiente:
Si cada máquina puede utilizarse 24 horas por día y las utilidades en los modelos Vista y Xtreme son de $50 y $80, respectivamente ¿Cuántos reproductores de cada tipo deben producirse por día para obtener una utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?
Vista Xtreme Horas
Máquina A 1 3 ≤ 24 24
Máquina B 2 2 ≤ 24 24
Costo 50 80
Variable 6 6
ZMAX= 780
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Se necesita producir 6 DVD vista, y 6 DVD Xtreme, para tener una utilidad de $780.
3.- Formulación de una dieta: Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas; el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el alimento B $ 0.80 por unidad ¿Cuántas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?
Alimento A Alimento B
Carbohidratos 2 2 ≥ 16 16
Proteínas 4 1 ≥ 20 20
Costo 1,2 0,8
Variable 3 8 ZMIN= 10
Del alimento a 3 y del alimento b 8 para el costo minimo
4.- Nutrientes en fertilizantes. Un agricultor comprará fertilizantes que contienen tres nutrientes A, B y C. Los requerimientos mínimos semanales son 80 unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas de fertilizantes de gran aceptación en el mercado. La mezcla I cuesta $8 por bolsa, y contiene 2 unidades de A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $10 por bolsa, con dos unidades de A, 2 de B y 12 de C. ¿Cuántos bolsas de cada tipo debe comprar el agricultor para minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutrientes?
Mezcla I Mezcla II Requerimientos Semanales
Nutriente A 2 2 ≥ 80 80
Nutriente B 6 2 ≥ 120 200
Nutriente C 4 12 ≥ 240 240
Costo 8 10 ZMIN= 340
Variables 30 10
De la mezcla 1 compra 30 y del 10 de la mezcla 2 para tener más nutriente
5.- Extracción de Minerales: Una compañía extrae minerales de una mina. En la tabla siguiente se indica el número de libras de los
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minerales A y B que pueden obtenerse de cada tonelada de la mina I y II junto con los costos por tonelada.
Si la compañía debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 lb de B, ¿Cuántas toneladas de cada mina deben procesarse con el objeto de minimizar el costo? ¿Cuál es el costo mínimo?
Mina I Mina II Total
Mineral A 100 200 ≥ 3000 3000
Mineral B 200 50 ≥ 2500 2500
Costo por tonelada 50 60
Variables 10 10
ZMIN= 1100
6.- Programación de Producción: Una compañía petrolera que tiene dos refinerías necesita al menos 8000, 14000 y 5000 barriles de petróleo de grados bajo, medio y alto respectivamente. Cada día, la refinería 1 produce 2000 barriles de grado bajo, 3000 barriles de grado medio y 1000 barriles de grado alto en tanto que la refinería 2 produce 1000 barriles de cada uno de los grados alto y bajo y 3000 barriles de petróleo de grado medio. Si operar la refinería 1 cuesta $25000 por día, y operar la refinería 2 $20000 diarios. ¿Cuántos días debe operar cada refinería para satisfacer los requerimientos de producción a un costo mínimo? Suponga que existe un costo mínimo ¿Cuál es?
Refinería I Refinería II Total
Grado Bajo 2000 1000 ≥ 8000 8000
Grado Medio 3000 3000 ≥ 14000 15000
Grado Alto 1000 1000 ≥ 5000 5000
Costo 25000 20000
Variable 3 2
ZMIN= 115000
7.- Costo de construcción: Una compañía química diseña una planta para producir dos tipos de polímeros P1 y P2. La planta debe tener
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una capacidad de producción de al menos 100 unidades de P1, y 420 unidades de P2 cada día. Existen dos posibles diseños para las principales cámaras de reacción que se incluirán en la planta. Cada cámara de tipo A cuesta $600000 y es capaz de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2 por día; el tipo B es un diseño más económico cuesta $300000 y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de P2 por día. Debido a los costos de operación, es necesario tener al menos cuatro cámaras de cada tipo en la planta. ¿Cuántas de cada tipo deben incluirse para minimizar el costo de construcción y aún así satisfacer el programa de producción requerido? Suponga que existe un costo mínimo.
Tipo A Tipo B Total
Polímero 1 10 4 ≥ 100 100
Polímero 2 20 30 ≥ 420 420
Costo 600000 300000
Variable 6 10
ZMIN= 6600000
8.- Control de la contaminación: Debido a las nuevas reglamentaciones federales sobre la contaminación, una compañía química ha introducido en sus plantas un nuevo y más caro proceso que complementa o remplaza al proceso anterior de fabricación de un producto químico en particular. El proceso anterior descarga 25 gramos de CO2 y 50 gramos de partículas a la atmósfera por cada litro de producto químico producido. El nuevo procesa 15 gramos de CO2 y 40 gramos de partículas a la atmosfera por cada litro producido. La compañía obtiene una utilidad de 40 y 15 centavos por litro en los procesos anterior y nuevo respectivamente. Si el gobierno no permite descargar más de 12525 gramos de CO2 si más de 20000 gramos de partículas a la atmosfera por día ¿Cuántos litros de producto químico deben producirse diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad diaria? ¿Cuál es la utilidad diaria?
Proceso anterior Proceso nuevo Total permitido
Gramos de CO2 25 15 ≤ 12525 10000Gramos de partículas 50 40 ≤ 20000 20000
Utilidades 40 15
Variables 400 0 ZMAX= 16000
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TRABAJOS EN Clases
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