Portafolio Vectorial Unidad2

INSTITUTO TECNOLÓGICO

De nogales

Portafolio de evidencias unidad 2

EN CUMPLIMIENTO PARCIAL DE LA MATERIA Calculo Vectorial

PRESENTA

Alfredo Antonio Zepeda López

MAESTRO

Israel Tarazón Acuña

H. NOGALES, SONORA, MÉXICO. 14 OCTUBRE DE 2013.

Cálculo Vectorial Página 1

ContenidoIntroducción................................................................................................................................................3

Rectas y planos............................................................................................................................................4

Forma paramétrica..................................................................................................................................4

Ejemplo 1.............................................................................................................................................4

Ejemplo 2.............................................................................................................................................5

Ecuación de un plano...............................................................................................................................7

Ejemplo 3.............................................................................................................................................7

Ejemplo 4.............................................................................................................................................7

Ejemplo 5.............................................................................................................................................7

Ejemplo 6.............................................................................................................................................8

Ecuaciones simétricas..............................................................................................................................8

Ejemplo 7.............................................................................................................................................8

Ejemplo 8.............................................................................................................................................9

Ejemplo 9.............................................................................................................................................9

Distancia de un punto a una recta.........................................................................................................10

Ejemplo 10.........................................................................................................................................10

Ejemplo 11.........................................................................................................................................10

Conclusión.................................................................................................................................................11


Introducción En la unidad número dos se vieron los temas de ecuaciones paramétricas, ecuaciones de plano, forma simétrica y la distancia entre un plano y un punto. Por lo consiguiente en el siguiente documento se encontraran ejemplos resueltos de diferentes circunstancias de los temas anteriormente mencionados.


Rectas y planos En esta sección se describen rectas y planos mediante conceptos vectoriales “paralelismo” y “ortogonalidad”. Se toman estos conceptos suponiendo que la recta y los planos están en un sistema de coordenadas rectangulares en tres dimensiones.

Si tenemos un vector diferente de cero con componentes A=¿a1 , a2 , a3>¿ y un punto P(x,y,z) algún punto arbitrario. Entonces podemos definir una recta E que pasa por el punto P y es paralela al vector A.

Forma paramétrica

Las ecuaciones paramétricas son mayormente utilizadas para encontrar las intersecciones con cada uno de los planos (x,y) , (y,z) , (x,z).

Ejemplo 1a) Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta L que pasa por el punto P (5,-2,4) y es paralelo

al vector


a1a2a3

A

PX = t a1+ x1

y = t a2+ y1

Z = t a3+z1

A ¿12,2 ,−2

3>¿

6A = ¿6( 12 ),2 (6 ) ,6(−23 )>¿

P = (5,-2,4)

x y zEcuaciones paramétricas:

x=3 t+5

y=12 t−2

z=−4 t+4

Cuando t es igual a 5

x=3 (5 )+5=15+5=20

y=12 (5 )−2=60−2=58

z=−4 (5 )+4=−20+4=−16

b) En qué punto la recta L corta al plano (x,y)

Si la recta L corta en el plano (x,y) entonces obtenemos que el valor de Z es igual a cero, por lo tanto igualamos nuestra ecuación paramétrica Z y despejamos t de nuestra ecuación paramétrica para así sustituir el valor de t en las ecuaciones paramétricas x y.

Ejemplo 2 a) Encuentre la ecuación paramétrica que pasa por P (-4, 2, 8) y son paralelos al vector

b) En qué punto intersecta la recta al plano (x,y)


A¿ 12,13,−14

>¿

z=−4 t+4 = 0 ∴ t = −4−4 = 1 Sustituyendo 1 en las ecuaciones x y obtenemos: x=3 (1 )+5=8

y=12 (1 )−2=10

Por lo tanto obtenemos que la recta corta al plano en

12A = ¿12( 12 ) ,12(13 ) ,12(−14 )>¿

12A = <6, 4, -3 >

Ecuaciones paramétricas:

x=6 t−4

y=4 t+2

z=−3 t+8

Despejando t de la ecuación paramétrica Z

Z = -3t + 8 = 0

t=−8−3

=2.66

Sustituyendo el valor de t en ecuaciones x, y.

x=6 (2.66 )−4=12

y=4 (2.66 )+2=12.66

Como resultado obtenemos que el punto intersecta a la recta en (12, 12.66, 0)

c) En qué punto intersecta la recta al plano (y, z)

d) En qué punto intersecta la recta al plano (x, z)


Despejando t de la ecuación paramétrica x

x = 6t - 4 = 0

t=46=0.66

Sustituyendo el valor de t en ecuaciones y, Z.

y=4 (0.66 )+2=4.66

z=−3 (0.66 )+8=6

Como resultado obtenemos que el punto intersecta a la recta en (0, 4.66, 6)

Despejando t de la ecuación paramétrica y

y = 4t + 2 = 0

t=−24

=−0.5

Sustituyendo el valor de t en ecuaciones X, Z.

x=6 (−0.5 )−4=−9

z=−3 (−0.5 )+8=9.5

Como resultado obtenemos que el punto intersecta a la recta en (-9, 0, 9.5)

Ecuación de un plano Requisitos:

Conocer un punto sobre el plano P (x,y,z) Un vector ortogonal = perpendicular = normal (A= ¿a1 , a2 , a3>¿)

Ecuación del plano:

a1 (x−x1 )+a2 ( y− y1 )+a3 ( z−z1 )=0

Ejemplo 3 Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto (5,-2,4) y tiene un vector perpendicular a=<1,2,3>

1 ( x−5 )+2 ( y−(−2 ))+3 ( z−4 )=0

x−5+2 y+4+3 z−12=0

x+2 y+3 z−13=0

Ejemplo 4 Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto (-2, 5, 4) y tiene un vector perpendicular

3 ( x+2 )+3 ( y−5 )−2 ( z−4 )=0

3 x+6+3 y−15−2 z+8=0

3 x+3 y−2 z−1=0

Ejemplo 5 Pasa por P (-2, 0, 5) y tiene un vector normal <-2, 3, 8>

−2 ( x+2 )+3 ( y−0 )+8 ( z−5 )=0

−2 x−4+3 y+8 z−40=0

−2 x+3 y+8 z−44=0


a=<3, 3, -2>

Ejemplo 6 Encuentra la ecuación del plano determinado por los puntos P (4, -3, 1), Q (6, -4, 7) y r (1, 2, 2)

Ecuaciones simétricas

Ejemplo 7Paso por P (2, -3, 5) y es paralelo al vector a = ¿3 ,10 ,1>¿


PQ = (6-4, -4+3, 7-1) = <2, -1, 6>

PR = (1-6, 2+4, 2-7) = <-5, 6, -5>

PQ x PR = i j k2 −1 6

−5 6 −5=i [−1 6

6 −5]− j [ 2 6−5 −5]+k [ 2 −1

−5 6 ]¿ i (5−36 )− j (−10+30 )+k (−10+5)

¿−31i−20 j+7k

Sustituyendo en la ecuación del plano obtenemos que:

−31 ( x−6 )+−20 ( y+4 )+7 ( z−7 )=0

−31 x+186−20 y−80+7 z−49=0

−31 x−20 y+7 z+57=0


x=3 t+2

y=10 t−3

z=t+5

Despejando t de cada ecuación paramétrica

t= x−23

t= y+310

t=z−5

Como resultado obtenemos la siguiente ecuación simétrica:

x−23

= y+310

=z−5

Ejemplo 8 Encuentra la forma simétrica de la recta que pasa por el punto P (4, 6, -7) y es paralelo al que pasa por P1 (-3, 0, 2) y el punto P2 (5,- 7, -4).

Las rectas pueden describirse como intersecciones de planos, si una recta está dada paramétricamente podemos encontrar puntos en esa recta si se satisface las ecuaciones conocidas como forma simétrica.

La aplicación física de la forma simétrica es encontrar puntos de contacto o puntos sobre una recta formada por la intersección de planos.

Ejemplo 9 Comprueba que los gráficos de la ecuación 2x-3y-z-5=0 y -6x + 9y + 3z -2 = 0 son planos paralelos.

Escriba aquí la ecuación.


P1−2=(5+3 ,7−0 ,−4−2 )

= (8, 7, -6)


x=8 t+4

y=−7 t+6

z=−6 t−7

Despejando t de cada ecuación paramétrica

t= x−48

t= y−67

t= z+7−6

Como resultado obtenemos la siguiente ecuación simétrica:

x−88

= y−67

= z+7−6

2 x−3 y−z−5=0→<2 ,−3 ,−1>¿

−6 x+9 y+3 z−2=0→←6 ,9 ,3>¿

a1a2

= 2−6

=−39

=−13

Como podemos ver las fracciones son

equivalentes lo cual muestra que los planos son paralelos.

Distancia de un punto a una recta

Ejemplo 10 Calcula la distancia del punto P (-6, 2, 3) al plano 4x -5y + 8z -7 = 0

Ejemplo 11Calcula la distancia del plano 2x – 3y + 8 = 0 al punto P (1, 1, 2).


Distancia de un punto a una recta:

P (x1 , y1 , z1 )

Ax+by+c z+E=0

d=¿ A ( x1 )+B ( y1 )+C ( z1 )+E∨ ¿√A2+B2+C2

¿

Ax+by+c z+E=0

P (x1 , y1 , z1 )

Punto arbitrario

Recta

y

d=¿4 (−6 )−5 (2 )+8 (3 )−7∨ ¿√42+52+82

= 17

√151=1.66¿

d=¿2 (1 )−3 (1 )+0 (2 )+8∨ ¿√22+02+32

= 7

√13=1.94¿

x

Conclusión Podemos concluir del documento anterior que existen varios requisitos que se deben de cumplir para poder obtener ya sea las ecuaciones paramétricas o la ecuación del plano. Para el tema de ecuaciones paramétricas sabemos que los requisitos a cumplir son que debemos de tener un punto P(x,y,z) y un vector paralelo A ¿<a1 , a2 ,a3>¿, en caso de que nos encontráramos con un punto P y dos puntos por los cuales pasa nuestra recta debemos efectuar una resta entre estos dos puntos para así llegar al vector paralelo a nuestro punto. Por otro lado para encontrar la ecuación de un plano debemos de contar con un punto P y un vector perpendicular A, en debido caso que contáramos solamente con el punto P y dos puntos adicionales podemos hacer una multiplicación cruz de estos dos puntos para así llegar a un vector perpendicular al punto dado. Para la forma simétrica partimos desde la ecuación paramétrica aquí despejando para t y después igualando los tres resultados de los despejes de las ecuaciones x, y, z. Por ultimo tenemos la distancia de un punto a una recta, para poder determinar la distancia debemos

de contar con un plano con una forma Ax+by+c z+E=0 y un punto P (x1 , y1 , z1 ) los cuales los

introducimos en la formula d=¿A ( x1 )+B ( y1 )+C ( z1 )+E∨ ¿√A2+B2+C2

¿ y así obtenemos la

distancia.


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