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8/17/2019 Potenciación y Función Exponencial
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Repaso
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otencia de exponente cero !"#
Cualquier número elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1
otencia de exponente 1
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.
Ejemplo: *+ *
$ultiplicaci%n de potencias de igual base
El producto de dos o más potencias de igual a base a! es igual a
la base elevada a la sumade los correspondientes exponentes "la
misma base # se suman los exponentes$:
Ejemplos:
-. -/ -.0/ -
&ivisi%n de potencias de igual base
%a divisi&n de dos potencias de igual base a es igual a
la base a # elevada a la resta de los
exponentes respectivos.
Ejemplo:
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otencia de un producto
%a potencia de un producto es igual a cada uno de los 'actores
del producto elevados al
exponente de dic(a potencia. Es decir, una potencia de base
"a.b$ # de exponente )n), es igual al
'actor )a) elevado a )n) por el 'actor )b) elevado a )n*
otencia de una potencia
%a potencia de una potencia de base a es igual a la
potencia de base a elevada a la
multiplicaci&n de ambos exponentes "la misma base # se
multiplican los exponentes$:
ropiedad distributiva
%a potenciaci&n es distributiva con respecto a la
multiplicaci&n # a la divisi&n:
+ero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.
'a le( que dice que
+ara entenderlo, s&lo recuerda de las 'racciones que nm - n
"1m$:
ejemplo:
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)l extra*o caso de ""
/a# dos argumentos di'erentes sobre el valor correcto. 0
0 podra ser 1, o quiás 0, as
que alguna gente dice que es )indeterminado):
12
+ as !ue3 2+
+2x 2 as !ue3 22 2
4uando dudes3 22 “indeterminado o indefnido” El caso
especial 00 se considera inde'inido # dependiendo del
contexto pueden ser
asignados distintos valores dependiendo de las propiedades
espec'icas que se quieran
mantener.
otencia de base 1"
En las potencias con base 10, el resultado será la unidad
desplaada tantas posiciones
(acia la iquierda o (acia la derec(a como indica el exponente.
Con un exponente
positivo se desplaa (acia la iquierda # con un exponente
negativo se desplaa (acia la
derec(a.Ejemplos:
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2o es distributiva con respecto a la adici&n #
sustracci&n:
2o cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos
casos en que base #exponente tienen el mismo valor o son
equivalentes.
En general:
Tampoco se cumple la propiedad asociativa:
Propiedades que no cum plela potenciación
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Función
Exponencial
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Introducción
5uc6as situaciones del mundo real se pueden cuanti7car por medio
de#unciones El estudio de las gra7cas de estas #unciones es
#undamentalpara poder interpretar los #en8menos !ue o situaciones
!ue describen9or lo anterior las #unciones se clasi7can de acuerdo
a suscaractersticas comunes, las ms elementales son las
exponenciales,
las logartmicas y las trigonométricas
Encontramos #unciones exponenciales y logartmicas en la
reducci8n demúltiples bacterias en la desintegraci8n de sustancias
radioactivas, loscrecimientos demogr7cos, la in;aci8n, los
problemas de interéscompuesto, etc
Las gra7cas de todas estas #unciones nos permiten interpretar
me
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Definición
$e llaman as a todas a!uellas #unciones de la #orma#(x) bx, en
donde la base b, es una constante y elexponente la variable
independiente Estas #uncionestienen gran aplicaci8n en campos muy
diversos comola biologa, administraci8n, economa, !umica, #sica
e ingenieraLa de7nici8n de #unci8n exponencial exige !ue labase
sea siempre positiva y di#erente de uno (b>2 yb?+) La condici8n
!ue b sea di#erente de uno seimpone, debido a !ue al reempla@ar a b
por +, la
#unci8n bx se trans#orma en la #unci8n constante #(x) +
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La base no puede ser negativa por!ue #unciones de la #orma
#(x)(A/)x no tendran sentido en los números reales
El dominio de la #unci8n exponencial est #ormado por el con
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Notación de im ágenes
Toda #unci8n asocia a cada elemento x de
su dominio un únicoelemento del codominio $i es el
nombre de la #unci8n,podemos denotar el elemento asociado a
x con (x) estesmbolo se lee: e#e de e!uisG
el ob
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Graficas
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1. La función exponencial de base dos y= f(x)= 2x
La tabla siguiente muestra algunos valores para la #unci8n de
base dos
9ara gra7car esta #unci8n se locali@a estos puntos en un plano
cartesiano,uniéndolos con una curva suave, tal como se modela en la
siguiente escena5ueve el punto 9 y observa el comportamiento de la
#unci8n a medida !ue:• x crece ilimitadamente• x
decrece ilimitadamente
1 x
A. +DC
A/
A+ F
2 ++ /
/ *
. C
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2. La función exponencial de base 1/2 y= f(x)=
(1!"x
=nalicemos a6ora el comportamiento de la #unci8n exponencial
debase +D/ 5ueve el punto 9 y observa el comportamiento de
la#unci8n cuando x tiende a 0I y cuando x tiene a AI
1 (+D/)x
A. C
A/ *
A+ /
2 +
+ +D// +D*
. +DC
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Las escenas anteriores perm iten deducirque:
La #unci8n exponencial existe siempre para cual!uiervalor de la
variable independiente x
Toma valores positivos para cual!uier valor de x
El dominio de la #unci8n exponencial es todo el con+ son
crecientes Los valores de la#unci8n crecen cuando x aumenta
Las gr7cas de las #unciones exponenciales de la #orma#(x)bx, con
2JbJ+ son decrecientes Los valores de la#unci8n decrecen cuando x
aumenta
El e+ y 6aca la derec6a si bJ+
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La de7nici8n exige !ue la base sea positiva ydi#erente de
uno
$i b2 la #unci8n se trans#orma en la #unci8nconstante
$ea un número real positivo La #unci8n !ue acada número
real x le 6ace corresponder la
potencia ax se llama unci%n exponencial debase a (
exponente x .
4omo para todo K, la#unci8n exponencial es una #unci8n de K en
K0
Todas las gra7cas son continuas sin 6uecos
osaltos
Es inyectiva a ? +(ninguna imagen tiene msde un original)
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Propiedades
Todas las gra7cas son continuas sin 6uecos o saltos
La #unci8n exponencial (y exponenciales en basedistinta a e)
satis#acen las siguientes propiedadesgenerales
$on las únicas #unciones !ue son igual a su
derivada(multiplicada por una constante ,en el caso de !uetengan
una base distinta a e)
su lmite en A M es 2, y en 0 M es 0 M
