Potencial Elctrico

Prof: Carmen Gloria Ros B.

Energa Potencial.-

La fuerza de atraccin entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede demostrar que la fuerza de interaccin entre cargas es conservativa.

El trabajo de una fuerza conservativa, es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor final de una funcin que solamente depende de las coordenadas

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria:

dW = Fdl = Fdlcos = Fdr.donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la partcula cargada q en la direccin radial.

Para calcular el trabajo total, se integra entre la posicin inicial A, distante rA del centro de fuerzas y la posicin final B, distante rB del centro fijo de fuerzas: W = - DU

El trabajo W no depende del camino seguido por la partcula para ir desde la posicin A a la posicin B. La fuerza de atraccin F, que ejerce la carga fija Q sobre la carga q es conservativa.

El nivel cero de energa potencial se define en el infinito:

para r = , Ep = 0

Como la fuerza es conservativa, implica que la energa total (cintica ms potencial) de la partcula es constante, en cualquier punto de la trayectoria.

Energa Potencial Elctrica entre dos puntos donde existe un Campo Elctrico Uniforme.-

Si q0 se mueve desde A hasta B, el cambio de energa potencial del sistema es:

Si q0 se mueve desde A hasta B, el cambio de energa potencial del sistema es:

Si se tiene un grupo de cargas la energa potencial elctrica ser:

La energa potencial decrece como 1/r

Concepto de Potencial Elctrico.-

Al igual que el campo elctrico, el potencial es una propiedad de un punto (P) del espacio que rodea la carga q. Se define potencial V como la energa potencial de la unidad de carga positiva imaginariamente situada en P:

V = Ep/q.

Tambin es el trabajo que debe realizar una fuerza elctrica para mover una carga unitaria "q" desde un punto hasta el infinito, donde el potencial es cero. Matemticamente se expresa por:

El potencial es una magnitud escalar.

Diferencia de Potencial Elctrico.-

La diferencia de potencialVa - Vb es el valor negativo del trabajo realizado por el campo elctrico sobre una carga testigo positiva cuando sta se desplaza del punto "a" al punto "b".

La unidad del potencial y diferencia de potencial (voltaje) en el SI son el Joule partido por coulomb: 1 V = 1J / C

Las dimensiones del potencial son tambin las unidades del campo elctrico por la distancia: 1 N / C = 1 V / m

Si se sita una carga de prueba positivaq0 en un campo elctrico E y se deja en libertad, se acelerar en la direccin del campo hacia una zona de menor potencial, la cual es sealada por las lneas de campo.

Por lo tanto, las lneas de campo elctrico sealan en la direccin en la que disminuye el potencial elctrico.

Superficies Equipotenciales.-

El lugar geomtrico de los puntos de igual potencial elctrico se denomina superficie equipotencial.

Para dar una descripcin general del campo elctrico en una cierta regin del espacio, se puede utilizar un conjunto de superficies equipotenciales, correspondiendo cada superficie a un valor diferente de potencial.

No se requiere trabajo para mover una carga de prueba entre dos puntos de una misma superficie equipotencial, ya que:

Para mover la carga, se debe contrarrestar esta fuerza aplicando una fuerza externa F de la misma magnitud pero dirigida hacia arriba. El trabajo realizado por el agente que proporciona esta fuerza es:

Teniendo en cuenta que:

Reemplazando se tiene:

El punto B tiene un potencial ms elevado que el A. Un agente exterior tendra que hacer trabajo positivo para mover la carga de prueba de A hacia B

El trabajo necesario para mover una carga siguiendo una trayectoria en la superficie V1 es cero porque comienza y termina en la misma superficie equipotencial.

El trabajo que se necesita para mover una carga entre dos superficies no es cero

Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las lneas de fuerza y, por consiguiente, a E.

Las lneas negras muestran cuatro trayectorias a lo largo de las cuales se desplaza una carga de prueba entre superficies equipotenciales.

Potencial e Intensidad de Campo.-

1.- Campo elctrico uniforme:Sean A y B dos puntos situados en un campo elctrico uniforme, estando A a una distancia d de B en la direccin del campo

Una carga de prueba q se mueve de A hacia B en un campo elctrico uniforme E mediante un agente exterior que ejerce sobre ella una fuerza F.

La carga de prueba positiva (q) se mueve sin aceleracin, por efecto de algn agente externo, siguiendo la recta que une A con B.

La fuerza elctrica sobre la carga ser:

F = qE

y apunta hacia abajo.

2.- Campo elctrico no uniforme:

Este campo ejerce una fuerza qE sobre la carga de prueba

Para evitar que la carga acelere, debe aplicarse una fuerza F que sea exactamente igual a -qE para todas las posiciones del cuerpo de prueba.

Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva siguiendo un corrimiento dl a lo largo de la trayectoria de A a B, el elemento de trabajo desarrollado por el agente externo es: w = Fdl

Para obtener el trabajo total WAB hecho por el agente externo al mover la carga de A a B, se suman las contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha dividido la trayectoria.

Obtenindose:

Adems como:

Sustituyendo resulta:

Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el potencial VA en el infinito toma el valor de cero, esta ecuacin da el potencial en el punto B, o bien, eliminando el subndice B:

Definicin Matemtica.-

El potencial elctrico suele definirse a travs del campo elctrico a partir del teorema del trabajo:

donde: E es el campo elctrico vectorial generado por una distribucin de carga elctrica.

El potencial elctrico no est definido sino tan slo sus variaciones entre puntos del espacio. Por lo tanto, en condiciones de campo elctrico nulo el potencial asociado es constante.

Se considera sin que el potencial elctrico en un punto infinitamente alejado de las cargas elctricas es cero por lo que la ecuacin anterior puede escribirse:

La diferencia de potencial es el rea bajo la curva entre las posiciones A y B. Cuando el campo es constante:

VA VB = Ed

que es el rea del rectngulo sombreado.

En trminos de energa potencial el potencial en un punto r es igual a la energa potencial entre la carga Q:

Potencial debido a una carga puntual.- Una carga de prueba q, se mueve, mediante un agente exterior de A hasta B en el campo producido por una carga q0

El campo elctrico E apunta a la derecha y F, que siempre est en la direccin del movimiento, apunta a la izquierda:

Al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la direccin de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. As:

Con lo cual:

Combinando esta expresin con la de E para una carga puntual se obtiene:

Si A est en el infinito, esto es, rA , considerando que VA = 0 en ese sitio y eliminando el subndice B, se obtiene:

Esta ecuacin muestra que las superficies equipotenciales para una carga puntual aislada son esferas concntricas a la carga puntual.

Qu grfico que representa mejor el potencial de una carga puntual negativa en funcin de la distancia a la carga?

a.b.c.d.abcd

Resumiendo:

El potencial V es un campo escalar porque queda definido por un valor en cada punto del espacio.

El valor del potencial en un punto depende de la carga que crea el campo y de la distancia del punto a la carga

El potencial elctrico creado por una carga puntual toma el mismo valor en todos los puntos que equidistan de la carga q

Potencial debido a dos cargas puntuales.-

El potencial en un punto P debido a dos cargas es la suma de los potenciales debido a cada carga individual en dicho punto:

Donde:r1 y r2 son las distancias entre las cargas q1 y q2 y el punto P respectivamente.

Ejemplo: Calcular el potencial en el punto P para la configuracin de 2 cargas q1 = 4 nC y q2 = 6nC

Usando V = kq/r se tiene:

V1 = (9 x 109)(4 x 10-9)/12 = 4 V V2 = (9 x 109)(6 x 10-9)/27 = 2 V VP = 6 V

Potencial de un Dipolo Elctrico.-

POTENCIAL ELCTRICO DEUN DIPOLO ELCTRICO

Potencial Elctrico generado por una Distribucin Discreta de Cargas.-

El potencial en un punto cualquier debido a un grupo de cargas punto se obtiene calculando el potencial Vn debido a cada carga, como si las otras cargas no existieran, y sumando las cantidades as obtenidas:

donde: qn es el valor de la ensima carga y rn la distancia de la misma al punto en cuestin.

La suma que se efecta es una suma algebraica y no una suma vectorial.

Potencial Elctrico generado por una Distribucin Continua de Carga.-

Si la distribucin de carga es continua y no una coleccin de puntos, la suma debe reemplazarse por una integral: o

donde:dq es un elemento diferencial de la distribucin de carga, r su distancia al punto en el cual se calcula V y dV el potencial que dq produce en ese punto.

Pudiendo ser dq : l dl en distribuciones lineales s ds en distribuciones esfricas r dv en distribuciones volumtricas

Ejemplo 1.- Potencial sobre el eje de un anillo Se tiene un anillo uniformemente cargado de radio a y carga Q

Sea dq un elemento de carga del anillo. La distancia desde este elemento de carga al punto del campo P sobre el eje del anillo es: r =

Como la distancia es la misma para todos los elementos de carga sobre el anillo, r puede sacarse de la integral. El potencial es:

En esta expresin V slo vara con x.

Ejemplo 2.- Potencial sobre el eje de un disco uniformemente cargado

El disco tiene un radio R y es portador de una carga total Q. La densidad de carga superficial es:

Se toma como eje x el eje del disco y se considera el disco como una serie concntrica de cargas anulares. El rea de unos de estos anillos es 2pada y su carga es dq =sdA =s 2p ada . El potencial debido a este elemento anular:

El potencial sobre el eje del disco se calcula integrando desde a = 0 hasta a = R:

Esta integral es de la forma du con u = x2 +a2 y n = - . Integrando resulta:

Ejemplo 3.- Potencial elctrico generado por un plano infinito

Un plano infinito con densidad de carga de superficie crea un potencial elctrico saliente en la direccin perpendicular al plano de valor constante:

Si x es la direccin perpendicular al plano y ste se encuentra en x = 0 el potencial elctrico en todo punto x es igual a:

Donde se ha considerado como condicin de contorno: V(x) = 0 en x = 0

Ejemplo 3.- Potencial en las proximidades de un plano infinito de carga Que ocurre si R se hace muy grande?

La figura geomtrica se aproxima a un plano infinito. Por lo tanto, la funcin potencial se hace infinita. La ecuacin:

No puede aplicarse a las distribuciones de carga que se extienden hasta el infinito, como son las lneas o planos de carga infinita, ya que el potencial no puede elegirse igual a cero en el infinito.

1 Para estos casos, se determina en primer lugar el campo elctrico (por integracin o Gauss) y luego se calcula el potencial usando su definicin.

2 Si se trata de un plano infinito de carga de densidad situado en el plano xy, el campo elctrico para valores positivos de x viene dado por (el signo es positivo porque el campo se dirige o apunta hacia la direccin positiva del eje x):

Si el potencial en el plano yz donde x = 0 esV0,el potencial en cualquier valor arbitrario positivo de x es:

O sea:

Para valores positivos de x, el potencial tiene su valor mximo V0en x = 0 y disminuye linealmente con la distancia desde el plano. Como el potencial no tiende a un valor lmite cuando x tiende a infinito, no podemos elegir el potencial 0 para x =

Se puede escoger V de modo que sea cero en x = 0 o en cualquier otro punto.

Para x < 0

El potencial es:

Como x es negativo en esta ecuacin, el potencial tiene su valor mximoV0 en x = 0, y de nuevo decrece linealmente con la distancia desde el plano.

Ejemplo 4.- Potencial en el interior y en el exterior de una corteza esfrica de carga 1 Usando la ley de Gauss se calcula el campo elctrico, utilizando la ecuacin:

Fuera de la corteza, el campo elctrico es radial y es el mismo que si toda la carga estuviera en el origen:

El cambio de potencial correspondiente a un desplazamiento d l= dr ,conr fuera de la corteza es:

Integrando se obtiene:

En dondeV0 es el potencial para r = . Eligiendo el potencial nulo para r = resulta: V = kQ /r , r >R

Dentro de la corteza esfrica, el campo es cero. La variacin de potencial en cualquier desplazamiento dentro de la corteza es cero.

El potencial ser constante en todos los puntos dentro de la corteza.

Cuando r (distancia desde el centro de la corteza esfrica al punto) se aproxima a R (radio de la corteza esfrica )desde el exterior de la corteza, el potencial se aproxima a kQ/R. El valor constante de V en el interior debe ser kQ/R para que V vare de modo continuo.

V = kQ/R r R

V = kQ/r r R

Un error es pensar que el potencial debe ser cero en el interior de una corteza esfrica porque el campo elctrico es cero.

El campo elctrico nulo implica simplemente que el potencial no vare, es constante.

Dentro de la corteza no hay campo elctrico y por lo tanto no es necesario realizar ningn trabajo para mover la carga de prueba en el interior de la corteza.

Dentro de la corteza esfrica, el campo elctrico es cero. La variacin de potencial en cualquier desplazamiento dentro de la corteza es, por tanto, cero El potencial ser constante en todos los puntos dentro de la corteza

Resumiendo:

1.- Diferencia de potencial generada por una carga puntual.

Si asumimos que el punto "b" sea el infinito y el potencial all Vb, sea igual a cero, tendramos:

2.- Para un grupo de cargas puntuales, el potencial electrosttico, ser,

y extendiendo estas conclusiones a una distribucin continua de cargas, tendremos que el diferencial de potencial electrosttico producido por un diferencial de carga, ser:

3.- Potencial electroesttico con una densidad volumtrica de carga :

de manera que el potencial producido por una densidad volumtrica de carga, que se encuentre en el volumen t0, ser,

4.- Potencial electrosttico producido por un diferencial de carga superficial,:

y el potencial total producido por una densidad superficial de carga r, distribuida en una superficie S0 ser:

5.- Potencial electrosttico producido por un diferencial de carga lineal:

el potencial total producido por una densidad lineal de carga , que se encuentre en una lnea L0 ser: