potencial electrostatico

1FFFsica sica sica Miguel TardMiguel TardMiguel Tardo Lo Lo Lpezpezpez

Es una nueva forma de describir un campo elctrico E asociado a una cierta distribucin de cargas

Es una cantidad escalar (potencial escalar) mas fcil de calcular cuando la simetra del problema es baja y resulta difcil aplicar la ley de Gauss (se calcula el potencial electrosttico y luego se determina E a partir de l)

el potencial electrosttico en un punto tiene el significado de energa potencial electrosttica, y teniendo en cuenta la ley de conservacin de la energa para el campo electrosttico, muchos problemas en los que intervienen fuerzas elctricas se pueden simplificar usando el concepto de energa potencial electrosttica y el potencial electrosttico asociado a ella

POTENCIAL ELECTROSTTICO(potencial escalar)

2FFFsica sica sica Miguel TardMiguel TardMiguel Tardo Lo Lo LpezpezpezCAMPO GRAVITACIONAL

22 8,9; sm

RMGgg

T

==

r(r) g

=== ab

r

rgg rr

GMmdrr

MmGWb

a

112 - dsF

Trabajo realizado por la Fg para mover la masa (m) desde A a B

Wg depende de la eleccin de los puntos A y B pero es independiente del camino

Cerca de la superficie terrestre

cos- === dsmgW BA

gg dsF

- 2

= r(r) grMG

( ) extABB

Ag WyymgmgdyW === ?--

Wg de nuevo es independiente del camino elegido para llevar la masa desde el punto A al B

= rF - 2rMmGg


== 0 dsFW si el trabajo realizado por el campo de fuerza vectorial es independiente de la trayectoria entonces:

El campo fuerza es conservativo

Podremos asociarle a la fuerza conservativa una energa potencial tal que su cambio ser igual al trabajo que realiza un agente externo para mover el objeto entre los puntos A y B.

BAext

B

A

B

AAB WWUUU ==== dsFdsFext

0UrGMmUg += 0)(0 === r

GMmrUctcU

Ug depende del punto de referencia elegido desde el punto de vista fsico, la nica magnitud de inters es Ug.

Cerca de la superficie terrestre (g = cte)Si el objeto sube hasta una altura h su energa potencial cambia en [ Ug=+ mgh] y el trabajo que hace el campo gravitatorio es [Wg = -mgh].


Potencial es una magnitud relacionada con la energa potencial por:

=== BA

B

A

ggg mm

UV dsgds

F

Vg es el trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre la unidad de masa para mover una partcula desde el punto A hasta el B

El campo electrosttico, al igual que el gravitatorio, es un campo de fuerzas centrales y con dependencia inverso cuadrado de r ,

=== BA

B

A

e

qqUV dsEdsF

00

V: representa la cantidad de trabajo realizado por el campo electrosttico sobre unidad de carga para mover la carga puntual q0 desde el punto A al B sin que su energa cintica cambie

VqU = 0

[ ]J106,1CV106,1V 1 1919 =e

C

NV

m

C

J11V


ENERGIA EMPLEADA PARA MOVER UNA CARGA EN E

Definicin: Es el trabajo realizado desde el exterior, mediante una fuente o agente externo, para mover la carga q entre dichos puntos

Dado que E ejerce sobre la carga q una fuerza (q .E), si queremos mover la carga de modo que est en equilibrio en todo instante (v=cte) se debe ejercer desde el exterior una fuerza igual y opuesta a la que ejerce el campo, es decir, Fext = q.E. Por tanto, el trabajo realizado desde el exterior para mover la carga desde un punto A a un punto B del campo ser:

== BA

B

ABA qW dlEdlFext

6FFFsica sica sica Miguel TardMiguel TardMiguel Tardo Lo Lo LpezpezpezDIFERENCIA DE POTENCIAL (VBA)

El trabajo para llevar una carga q de un punto A a un punto B de un campoelctrico se puede escribir como el producto de la carga q por la diferencia de potencial entre dichos puntos:

El trabajo realizado para llevar una carga q de un punto A a un punto B del campo no depende del camino seguido para ir de A a B, lo que constituye una de las propiedades fundamentales del campo electrosttico

(El campo electrosttico es conservativo).

La diferencia de potencial entre dos puntos B y A de un E,VBA, es el trabajo realizado (por una fuente externa) al mover la unidad de carga positiva del punto A al punto B

Definicin:

( )ABBABA VVqVqW ==

== B

A

BABA q

WV dlE


El valor del potencial en un punto es independiente de la trayectoria y slo depende del punto en que se calcula el potencial E es conservativo.

Potencial elctrico en un E uniforme

)(0 jE =E

=== BA

ABBA VVV dlE

000


Campo elctrico entre dos placas paralelas cargas opuestas

dVV

E AB

=

EdVVVB

AABBA === dlE

JU 1619 103.1)800(106,1 ==

V800)20,0(104 3 == BAV

V/m104103,0

12 32 =

=

=d

VVE AB

VqU 0=20 cm

E= 4.103 V/m

proton

V= 1,2 kV

30 cm

0,3 cm

E

9FFFsica sica sica Miguel TardMiguel TardMiguel Tardo Lo Lo LpezpezpezPOTENCIAL EN UN PUNTO [V]

Definicin: Es el trabajo necesario para llevar la unidad de carga positiva desde un punto de referencia hasta dicho punto.

en SI (voltios) [V] = [J/C] el valor del potencial en un punto no est definido de forma absoluta, su valor en un punto r depende del punto de referencia, ref, elegido para definir el potencial (suele elegirse el infinito como referencia si la distribucin de carga no es infinita). El punto de referencia es el punto al que se asigna de forma arbitraria el potencial cero.

la diferencia de potencial VBA segn la definicin es igual al potencial en el punto B menos el potencial en el punto A:

== rref

rref

qW

rV dlE)(

AB

B

ABA VVV == dlE

10

FFFsica sica sica Miguel TardMiguel TardMiguel Tardo Lo Lo LpezpezpezPOTENCIAL DE UNA CARGA PUNTUAL

V 1/r y E 1/r2

el potencial debido a q slo depende de la distancia r del punto a q: es independiente del camino que se ha seguido para llevar a la unidad de carga positiva desde el punto de referencia (el infinito en este caso) al punto r.

==== AB

r

r

B

AABBA rrQdr

rQ

rQVVV B

A

11444 0

20

20

dsr

La diferencia de potencial entre dos puntos del campo creado por q slo depender de los puntos considerados, y no del camino que se haya seguido para ir de uno a otro, ya que:

en el caso ms general r

QrVrr

QrV00 4

)('4

)(

=

=

Cr

rVr

ref

+== 04

1)(

drE

drds =cos

11

FFFsica sica sica Miguel TardMiguel TardMiguel Tardo Lo Lo Lpezpezpez

POTENCIAL DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

el potencial electrosttico, como el campo elctrico, obedece el principio de superposicin: el potencial electrosttico V en un punto debido a un sistema de cargas puntuales es igual a la suma de los potenciales en dicho punto debidos a cada una de las cargas qi del sistema. Adems, el potencial debido a cada carga qi es el mismo que si las dems cargas del sistema no existieran.

el potencial de a un sistema carga puntuales, slo depende del punto r en que se calcula, pero no del camino seguido para ir del punto de referencia (el infinito en este caso) a r.

rrV

r

ref 041)(

== drE

==

==

N

i i

iN

ii r

qrVV1 01 4

)(

12


POTENCIAL DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA

Distribuciones de carga de volumen

Distribuciones superficiales de carga

Distribuciones lineales de carga

Z

Y

X

ds

S

r - r

Z

Y

X

dl

L

r - rZ

Y

X

dv

V

r - r

= L rdlrV 041)(= V rdVV(r) 04

1 = S rdaV(r) 041

4

1 4

1 4

14

)(0001 0 +++=

=

LSV

N

i i

i

rdl

rda

rdV

rqrV

Potencial en el punto r debido a distintos tipos de distribuciones de carga:

13


RELACION CAMPO ELECTRICO - POTENCIAL

El campo E en un punto tiene direccin opuesta a la direccin de mxima variacin del potencial en dicho punto el campo E tiene el sentido de los potenciales decrecientes.

La magnitud del vector campo E en un punto es igual al valor mximo en dicho punto de la variacin por unidad de longitud del potencial.

E puede escribirse como: (ver apndice matemtico)

dl,EdlE == dVV BA

BA

=

=

=

++=++=

++=

kji dl

kjiE

zVE

yVE

xVE

dzEdyEdxEdVdzdydxEEE

zyx

zyxzyx

;;

== VVgradE

14


Puntos importantes a tener en cuenta para el clculo del potencial

Para obtener las expresiones de los potenciales hemos tomado la referencia (origen de potenciales) en el infinito, lo que es posible slo si la distribucin de carga es finita (ocupa una regin finita del espacio). Si no fuera as, estas expresiones no seran vlidas. En ese caso, para obtener el potencial debido a dicha distribucin de carga habra que usar la relacin:

El potencial en un punto slo depende del punto en que se calcula, pero no de la trayectoria elegida para calcular el potencial. Por lo que la diferencia de potencial entre dos puntos slo depende de los puntos considerados, y as el trabajo que hay que realizar para llevar una carga q de un punto a otro del campo, slo dependerde dichos puntos y no del camino seguido para llevar a q de uno a otro punto, WAB= q (VB VA ). Este es un resultado fundamental en relacin al campo electrosttico (Propiedad conservativa).

eligiendo como punto de referencia un punto adecuado distinto del infinito.

15


Puntos importantes a tener en cuenta en esta definicin

El campo E tiene dimensiones de (potencial/longitud). En SI [V/m] En tanto que E se puede obtener a partir del potencial ( ), y, a su vez, V se puede obtener a partir de E ( ), E V son magnitudes equivalentes a la hora de describir el campo debido a una distribucin de cargas

- el campo E en un punto es la fuerza que se ejerce en ese punto sobre la unidad de carga positiva;

- el potencial V en un punto, es la energa potencial electrosttica de la unidad de carga positiva en dicho punto.

Esta definicin de E ofrece una forma ms simple, de obtener el campo E debido a una cierta distribucin de cargas.

-se trata de una cantidad escalar, el potencial V es ms fcil de calcular y manejar que el campo E (salvo en casos de distribuciones de carga simtricas, para los que la ley de Gauss permite obtener E de forma sencilla).

-as es frecuente calcular primero el potencial V y despus obtener E.

= dlEVVE =

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Campo elctrico E constante Campo elctrico E de una carga puntual

Campo elctrico E de un dipolo elctrico

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

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PROPIEDAD CONSERVATIVA DEL CAMPO ELECTROSTATICO

El trabajo que hay que realizar (mediante una fuente externa) para llevar una carga puntual de un punto a otro de un campo electrosttico es independiente del camino seguido para ir de un punto al otro (sta es proporcional a la diferencia de potencial entre dichos puntos)

Distintas formulaciones de la propiedad conservativa del E

1) La integral de lnea del campo E entre dos puntos es independiente de la trayectoria de integracin:

2) La integral de lnea del campo E sobre cualquier trayectoria cerrada es siempre cero:

B

A

dlE =C

0 dlE

3) Forma diferencial de la propiedad conservativa (forma local):

El campo E es irrotacional: el rotacional de E en un punto es siempre cero

V=E0= E EquivaleE deriva de un potencial (escalar)E es irrotacional

Equivale

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Resumiendo:

Forma integral Forma diferencial

La propiedad conservativa, y ley de Gauss, constituyen las dos propiedades fundamentales del campo electrosttico.

- la ley de Gauss es vlida siempre, tanto dentro de la Electrosttica como para situaciones dependientes del tiempo,

-la propiedad conservativa del campo elctrico slo es cierta dentro de la Electrosttica, ( donde E se debe a cargas elctricas en reposo.

- en situaciones variables en el tiempo el campo elctrico deja de ser conservativo.

0

0

=

==

EdlE

EdlE

atrayectoriladeindep.B

A

c

V

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FFFsica sica sica Miguel TardMiguel TardMiguel Tardo Lo Lo LpezpezpezENERGIA POTENCIAL ELECTROSTATICA

La energa potencial electrosttica de una carga en un punto de un campo electrosttico es la energa o capacidad para realizar un trabajo que tiene dicha carga por el hecho de encontrarse en dicho punto del campo.

- Es igual al trabajo que hay que realizar desde el exterior para llevar a dicha carga desde un cierto punto de referencia (al que se asigna arbitrariamente energa potencial cero) hasta el punto considerado.

- Ntese que gracias a que el campo electrosttico es conservativo (el trabajo realizado para llevar a la carga q desde el punto de referencia hasta el punto considerado (igual a la energa potencial) es solamente funcin del punto y no del camino seguido para llevar a la carga hasta dicho punto. En caso contrario, no podra definirse una energa potencial en un punto, ya que su valor dependera no solamente del punto sino tambin de cmo se ha llevado a la carga hasta all.

Definicin:

)()( rdsEr qVqVqWUEr

refrrefp =====

20

FFFsica sica sica Miguel TardMiguel TardMiguel Tardo Lo Lo LpezpezpezPOTENCIAL ELECTROSTATICO

qE

V p)(

)(r

r =

Potencial electrosttico en un punto: Es la energa potencial electrosttica de la unidad de carga positiva en dicho punto

Diferencia de potencial entre dos puntos: Es la diferencia de energa potencial de la unidad de carga positiva entre dichos puntos

qAE

qBE

VV ppAB)()(

=

Principio de conservacin de la energa: La suma de la energa cintica y la energa potencial electrosttica (energa total de la partcula) se conserva para una carga aislada en un campo electrosttico

CqVmvE += 221

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