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CURSOS O
CURSOS O
Departamento de Matemáticas FundamentalesFacultad de Ciencias
M. Teresa Ulecia GarcíaRoberto Canogar McKenzie
Módulo IV:Continuidad y derivabilidad
MATEMÁTICAS ESPECIALES (CAD)
Teresa Ulecia y Roberto Canogar Curso 0 de Matemáticas Especiales
2
1. Introducción
A finales del siglo XVI los problemas de movimiento eran el tema principal de la Física. La gran cantidad de observaciones acumuladas impulsa a la ciencia hacia la investigación cuantitativa de las formas de movimiento y las funciones, como imágenes abstractas de los procesos de movimiento y éstos y su dependencia comienzan a ser objeto de cálculo. Los viejos problemas de determinación de tangentes, áreas y volúmenes contribuyeron en gran medida a impulsar los procedimientos de cálculo. Con Newton y Leibnitz (siglo XVII) aparecen los conceptos de límite y derivada. Sin embargo, hasta la segunda mitad del siglo XIX no se comprendió bien el significado de la continuidad pues se pensaba que toda función continua debía de ser derivable en casi todos los puntos y ni siquiera había acuerdo entre los matemáticos de entonces sobre el concepto de función. Cauchy dio las primeras definiciones correctas de límite, de función continua y de derivada y Bolzano hizo el primer estudio riguroso de las funciones continuas.
Objetivos • Interpretar el significado de la continuidad de una función en un punto y en un intervalo,
y determinarla analíticamente y gráficamente.
• Comprender y utilizar la variación en un intervalo, variación media e instantánea para
interpretar situaciones de la vida cotidiana.
• Interpretar y usar las relaciones existentes entre los conceptos de continuidad y
derivabilidad.
• Determinar la derivada de una función utilizando las operaciones con derivadas y la
regla de la cadena.
• Resolver situaciones que impliquen la utilización de rectas tangentes y normales a una
curva y adquirir técnicas algebraicas y gráficas para su resolución.
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3
2. Esquema
Continuidad de una función en un punto
Continuidad de una función en un
intervalo
Variación media
Variación instantánea
Derivada de una función en un punto
Interpretación
geométrica
Interpretación física
Derivadas laterales
Función derivada
Derivadas y
operaciones
Derivadas de funciones
notables
Reglas de derivación
Recta tangente y recta normal
Como indica el esquema del módulo, el módulo comienza con el concepto de
continuidad en un punto y en un intervalo.
Más tarde, se estudia la variación media e instantánea de una función para llegar al
concepto de la derivada de una función en un punto y su interpretación geométrica.
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4
El estudio de las derivadas laterales se justifica con el fin de analizar la derivabilidad
de una función en un punto y la relación entre la derivabilidad y la continuidad de una
función.
Se introduce, a continuación, el concepto de función derivada, distinguiéndolo del
concepto de derivada de una función en un punto y reconociendo su relación con la pendiente
de la recta tangente en dicho punto (interpretación geométrica de la derivada).
Para poder calcular derivadas se introduce la regla de los cuatro pasos y con ella se
calculan las derivadas de la suma, diferencia, producto, cociente y composición de dos
funciones (regla de la cadena).
Por último, las reglas de derivación y el cálculo de la recta tangente y normal a una
curva en un punto constituyen la parte final del módulo.
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5
3. Prueba de autoevaluación inicial
1.- Dada la función:
a) Es continua en 2−=x .
b) Es discontinua en 0=x ..
c) Es continua en 2=x .
d) Es continua en R.
2.- La función anterior:
a) Es derivable en 2−=x .
b) Es derivable en 0=x .
c) Es derivable en 2=x .
d) Es derivable en R.
3.- Existe recta tangente a la función de la pregunta primera en:
a) 2−=x .
b) 0=x .
c) 2=x .
d) Todos los puntos.
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6
4.- La ecuación de la recta tangente a la función:
21)(
xxxf−
=
En el punto de abscisa 3=x es:
a) 3+= xy
b) 03 =−+ yx
c) 2
33−= xy
d) xy 3=
5.- La función:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥+
<+= 3,4
31
3,2)( 2 xx
xaxxf
Es continua en todos los puntos si:
a) 1=a
b) 3=a
c) 0=a
d) 1−=a
6.- La función:
⎩⎨⎧
≥<
=1,41,
)(2
xxxx
xf
a) Es continua en R.
b) Es derivable en R
c) Es derivable en }{1−R .
d) Es continua en 1=x
7.- Para que la función:
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7
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
≤<−
−≤−+
=− 12
112
112)(
1
23
xsibe
xsix
axsiaxx
xfx
Sea continua en 1−=x y 1=x , a y b deben valer:
a) 2=a y 1−=b .
b) 0=a y 0=b
c) 2=a y 0=b
d) 1=a y 2=b
8.- Si las tangentes a la curva de ecuación:
186)( 23 −−+= mxxmxxf
En los puntos A(1,f(1)) y B(-2,f(-2)) son paralelas, m es igual a:
a) m = 0.
b) m = 4.
c) m = -1.
d) m = -2.
9.- Para que la derivada de la función
mxmxxf
++
=2
1)(2
En 21
=x valga 1, m debe valer.
a) 2.
b) -2.
c) -1.
d) 3.
10.- La derivada de la función:
11log)1()( 22cos
+−
−−−+=xxxxexf x
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8
Es:
a)
11
11
1212)(
2
22cos
+
−−−
+−−⋅−=′
x
xx
xxesenxxf x
b) 1
11
11212)(
2
22
++
−−
−+−−=′ −
xxxxxexf senx
c) 1
11
1
1
212)(2
22cos
++
−−
−+−−⋅−=′
xxx
xxesenxxf x
d) 1
11
1)1
1)(1(2)(2
2cos
++
−−
−+−−+⋅−=′
xxx
xxxesenxxf x
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9
Soluciones a la prueba de Autoevaluación inicial 1 → c
2 → b
3 → b
4 → c
5 → a
6 → c
7 → c
8 → b
9 →b
10 →d
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4. Contenidos conceptuales
Continuidad de una función en un punto Consideremos la gráfica de la función f(x) = 2x2
En el punto de abscisa x = 2 se cumplen las siguientes condiciones:
1. Existe f(2) = 8.
2. Existe 2
)(lim→x
xf, pues existen los dos límites laterales y son
iguales:
−→=
28)(lim
xxf
y +→=
28)(lim
xxf
luego 2
8)(lim→
=x
xf.
3. El valor del límite y el valor de la función en x= 2 coinciden, es 8.
Se dice entonces que la función es continua en x = 2. Generalizando,
Una función es continua en el punto x = a si cumple:
1. Existe f(a).
2. Existe ax
xf→
)(lim.
3. Se cumple ax
afxf→
= )()(lim.
Cuando alguna de estas condiciones no se cumpla, diremos que la función presenta una
discontinuidad en a.
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La idea intuitiva de la continuidad es que las funciones continuas se pueden dibujar sin
levantar el lápiz del papel. También cuando a pequeñas variaciones de la variable x
corresponden pequeñas variaciones de la variable y.
En cambio, en el caso de la función:
⎩⎨⎧
>+≤−
=2,12,34
)(xxxx
xf
La función está definida en x = 2 y en ese punto vale 5, es decir, f(2) = 5, pero no tiene
límite en x = 2, pues los límites laterales no son iguales:
+→=
23)(lim
xxf
y −→=
25)(lim
xxf
.
Por tanto es discontinua en dicho punto. Su representación gráfica nos lo confirma:
Continuidad de una función en un intervalo Una función f es continua en un cierto intervalo (a,b) si lo es en todos los puntos del
intervalo. En el ejemplo anterior la función f es continua en el intervalo )2,(−∞ y en el
intervalo ),2( +∞ .
Variación media Dada una función y = f(x), llamamos variación media de la función entre x1 y x2,
siendo 1x < x2, al valor )()( 12 xfxf − .
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Por ejemplo, si el espacio recorrido por un móvil viene dado por la expresión
53)( 2 +−= ttte , donde t es el tiempo en segundos, la representación gráfica es la parábola:
El espacio recorrido entre los segundos 4 y 8 es la variación del espacio en el intervalo
[ ]8,4 :
36945)4()8( =−=− ee .
Es decir, entre t = 4 y t = 8 el móvil ha recorrido 36 metros.
Para determinar la tasa de variación media de la función en un intervalo dividimos la
variación de la función por la longitud del intervalo considerado. En nuestro caso:
948
)4()8(=
−−
=eeVmedia
En el intervalo [ ]8,4 el espacio ha variado a razón de 9 metros por segundo.
Tasa de variación media o variación media de una función y = f(x) en un intervalo
[ ]ba, es el cociente ab
afbf−− )()( . Su valor coincide con el de la pendiente de la recta que pasa
por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).
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Variación instantánea En la gráfica del ejemplo anterior se puede observar cómo varía el espacio en función
del tiempo, pero no se puede tener una información precisa de cómo está variando el espacio
en un instante determinado, por ejemplo t = 4. Para obtener esta información estudiaremos
cómo varía el espacio en intervalos que empiezan en t = 4 y tienen amplitudes que se hacen
más pequeñas, es decir, cuando su amplitud tiende a cero.
La tasa de variación media del intervalo [ ]6,4 es:
72
92346
)4()6(=
−=
−−
=eeVmedia
Que coincide con el valor de la pendiente de la recta secante a la curva que une los
puntos A(4,9) y B(6,23). En este intervalo el espacio ha tenido una variación media de 7
metros por segundo.
En el intervalo [ ]5,4 , la variación media es:
61
91545
)4()5(=
−=
−−
=eeVmedia .
En el intervalo [ ]5,4 , el espacio ha variado 6 metros por segundo. La recta secante que
une los puntos A(4,9) y C(5,15) tiene por pendiente 6, menor que las anteriores.
Para conocer la variación instantánea en t = 4 tenemos que calcular la variación media
correspondiente a un intervalo [ ]5,4 , siendo h infinitamente pequeño.
Las distintas tasas de variación media obtenidas corresponden a las pendientes de las
rectas secantes a la curva en los puntos determinados por los extremos de los distintos
b-a
f(b)-f(a)
X
Y
O
f(b)
b
f(a)
a
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intervalos. Cuando la amplitud del intervalo tiende a 0, los puntos de corte de las secantes con
la curva se van aproximando y las rectas secantes se convierten en la recta tangente.
Así, la variación instantánea de una función f(x) en un punto a es el límite de la tasa
de variación media correspondiente al intervalo [ ]haa +, cuando h se hace infinitamente
pequeño. Su valor coincide con la pendiente de la recta tangente.
Derivada de una función en un punto Dada una función y = f(x) y un punto a, se define la derivada de la función f(x) en el
punto x = a, y se designa )(af ′ , como el límite:
0
)()(lim)(→
−+=′
hh
afhafaf
Como vemos, la derivada es el límite de la tasa de variación media de la función en
intervalos [ ]haa +, cuando h tiende a cero, es decir, la variación instantánea de f(x) en el
punto a.
e
t
A(4,9
B(6,23
C(5,15
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Interpretación geométrica y física de la derivada de una función en un punto
Como el cociente h
afhaf )()( −+ coincide con la pendiente de la recta secante a la
curva que pasa por (a, f(a)) y conforme va disminuyendo la amplitud del intervalo
considerado, los puntos de corte determinados por las distintas secantes se hacen cada vez más
cercanos, llegando en el límite a coincidir por lo que la secante se convierte en tangente:
f’(a) = tg a
X
Y
O a+h
a
a
f’(a) = tg a
X
Y
O
Recta tangente
a
a
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Geométricamente, la derivada de una función f(x) en un punto x = a coincide con la
pendiente de la recta tangente en dicho punto. Coincide con la tangente del ángulo α que
forma la recta tangente con el semieje positivo OX.
Supongamos ahora que una partícula se mueve en línea recta y que el espacio recorrido
por ella al cabo de un tiempo x es e(x). La velocidad media de dicha partícula en un intervalo
de tiempo es, por definición, el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo dividido por el
tiempo invertido. Así, la velocidad media entre los instantes a y a+h viene dada por el
cociente
haehae )()( −+
Es decir, )(ae′ (derivada del espacio respecto al tiempo en el instante a).
Derivadas laterales de una función en un punto Si el espacio, en metros, recorrido por un móvil en función del tiempo, en segundos,
viene determinado por la función tttf 38)( 2 += , ¿Cuánto vale la velocidad inicial?
Para obtener la velocidad inicial, hemos de calcular la derivada de f(t) en t = 0:
0
)0()0(lim)0(→
−+=′
hh
fhff
Límite que no podemos calcular, porque la función no está definida a la izquierda del
cero (no tiene sentido considerar tiempo menor de cero). En cambio, sí podemos obtener el
límite lateral por la derecha en t = 0:
30
38lim
0
38lim
0
)0()(lim2
=→
+=
→
+=
→
−
+++ h
h
hh
hh
hh
fhf.
La velocidad inicial del móvil es de 3m/s.
Se llama derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a, y se representa
por )( +′ af , al límite:
+
+
→−−
=′ax
axafxf
af)()(lim)(
La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = a, y se representa por
)( −′ af , al límite:
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−
−
→−−
=′ax
axafxf
af)()(lim)( .
¿Existe la derivada de la función 4)( −= xxf en x = 4?
La función se define de la siguiente manera:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
≥−=−=
44
444)(
xsix
xsixxxf
Y su representación gráfica es la siguiente:
Como no existe recta tangente en dicho punto, no existe la derivada, es decir, la
función no es derivable en x = 4.
Calculamos sus derivadas laterales en x = 4:
14
404lim
44
)4()(lim)4( −=→
−−−
=→
−−
=′−−
−
xx
x
xx
fxff
14
404lim
44
)4()(lim)4( =→
−−−
=→
−−
=′−+
+
xx
x
xx
fxff
Como )4()4( −+ ′≠′ ff no existe )4(f ′ .
La función f(x) es derivable en x = a cuando existen sus derivadas laterales en dicho
punto y son iguales.
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Derivabilidad y continuidad La gráfica de una función es la siguiente:
Se observa que en el punto x = 2 presenta un salto, no es continua. Tampoco es
derivable al no existir la tangente en dicho punto.
En x = 4 es continua y no es derivable; no existe la tangente en dicho punto.
En x = 7, la función es continua y es derivable; existe la tangente en dicho punto.
axafxf
→= )()(lim
, o bien ax
afxf→
=− 0)()(lim
Como:
ax
axax
afxf
axafxf
→
=−−−
→=− )()()(lim)()(lim
axafax
axafax
axax
afxf
→=⋅′=−
→⋅′=−
→−− 00)()(lim)()(lim)()(lim
Se deduce que la derivabilidad implica continuidad.
Si una función f(x) es derivable en x = a, entonces la función es continua en dicho
punto.
En cambio, la continuidad no implica derivabilidad como lo muestra el ejemplo
anterior, la función valor absoluto.
Si una función f(x) es continua en x = a, la función no tiene por qué ser derivable en
dicho punto.
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Función derivada Cuando una función es derivable en todos los puntos de un cierto dominio D, podemos
definir una nueva función )(xf ′ , llamada función derivada, que asocia a cada valor del
dominio D la derivada en dicho punto.
Por ejemplo, sea la función 123
)(3
++= xxxf . Aplicando la definición de derivada,
calculamos la derivada en el punto x = 1:
00
11
31012
3lim1
1)1()(lim)1(
3
→
=−
−++
→
=−−
=′
xx
xx
xx
fxff
Resulta un límite indeterminado que resolvemos factorizando el numerador de la
fracción. Utilizando la regla de Ruffini para la raíz x = 1:
1/3 0 2 -7/3
1 1/3 1/3 7/3
1/3 1/3 7/3 0
1
3)37
31
31(lim
11
)37
31
31)(1(
lim)1(2
2
→
=++
→
=−
++−=′
x
xx
xx
xxxf
En general, para un valor x = a, resulta:
00)12
3()12
3(
lim)()(lim)(
33
axax
aaxx
axax
afxfaf
→
=−
++−++
→
=−−
=′
De nuevo aplicando la regla de Ruffini, resulta:
1/3 0 2 -a3/3-2a
a a/3 a2/3 a3/3+2a
1/3 a/3 a2/3+2 0
2233)2
3331(lim)2
3331)((
lim)( 22
22
22
+=→
+=+++
→
=−
+++−=′ a
ax
aaxax
axax
axaxaxaf
Dándole valores a a y calculando los valores correspondientes de )(af ′ se obtiene la tabla de
valores:
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20
a 0 1 -1 2 -2 )(af ′ 2 3 3 6 6
Al representar estos puntos resulta una nueva función 2)( 2 +=′ xxf
Regla de los cuatro pasos Anteriormente, para calcular la derivada de f(x) en el punto x = a hemos utilizado la expresión:
0
)()(lim)(→
−+=′
hh
xfhxfxf
Vamos a obtener una regla que permita calcular la derivada de una función, utilizando
4 pasos:
1. Función incrementada: f(x+h)
2. Incremento de la función: f(x+h)-f(x)
3. Cociente incremental: h
xfhxf )()( −+
4. Límite del cociente incremental, cuando h tiende a cero:
0
)()(lim
→
−+
hh
xfhxf
Este proceso se llama la regla de los cuatro pasos.
Así, para la fundición 2)( xxf = :
1. 2)()( hxhxf +=+
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21
2. 22)()()( xhxxfhxf −+=−+
3. h
xhxh
xfhxf 22)()()( −+=
−+
4. 0
)()(lim
0
)()(lim)(22
→
−+=
→
−+=′
hh
xhx
hh
xfhxfxf
Para calcular este límite se utiliza la fórmula del cuadrado de una suma: 2
2)( 22 hxhxhx ++=+
Entonces:
022lim
0
2lim
0
2lim)(222 2
→=+
→
=+
=→
−++=′
hxhx
hh
hxh
hh
xhxhxxf
Análogamente, se obtiene que si 3)( xxf = entonces su derivada es 23)( xxf =′ , si 4)( xxf =
su derivada es 34)( xxf =′ , …, y la derivada de la función nxxf =)( es 1)( −=′ nnxxf . Un
caso particular de esta fórmula es la derivada de la función: 1)( =xf , como 0)( xxf = , resulta
00)( 1 =⋅=′ −xxf .
Derivadas de operaciones con funciones Utilizando de nuevo la regla de los cuatro pasos se demuestran (recomendamos al alumno que
lo haga como ejercicio) las siguientes derivadas:
1. Derivada de la suma (diferencia): La derivada de la suma (diferencia) de dos
funciones derivables es igual a la suma (diferencia) de sus derivadas:
)()()( xvxuxf ±= ⇒ )()()( xvxuxf ′±′=′
Por ejemplo, si 42)( xxxf += , entonces 342)( xxxf +=′ .
Esto se puede generalizar para la suma o resta de un número finito de funciones:
)()()()( xwxvxuxf +−= ⇒ )()()()( xwxvxuxf ′+′−′=′ .
Así, si 4)( =xf ⇒ 1111)( +++=xf ⇒ 00000)( =+++=′ xf . Generalizando, para
kxf =)( , con Rk ∈ , 0)( =′ xf .
2. Derivada del producto: La derivada del producto de dos funciones derivables es igual
a la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar más la primera
función sin derivar por la derivada de la segunda:
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22
)()()( xvxuxf ⋅= ⇒ )()()()()( xvxuxvxuxf ′⋅+⋅′=′ .
Así, si )1)(()( 245 +−+= xxxxxf , entonces
)12)(()1)(45()( 45234 −+++−+=′ xxxxxxxxf .
Si xxf 7)( = , entonces
7170)( =⋅+⋅=′ xxf .
3. Derivada de un cociente: La derivada del cociente )()(
xvxu de dos funciones derivables,
siendo 0)( ≠xv , es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar
menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividido todo por el
denominador al cuadrado:
)()()(
xvxuxf = ⇒
)()()()()()( 2 xv
xvxuxvxuxf′−′
=′
Si 14
)(25
+−
=x
xxxf ⇒ 2
254
)14()4)(()14)(25()(
+−−+−
=′x
xxxxxxf , operando resulta:
181624516)( 2
245
++−−+
=′xx
xxxxxf .
Regla de la cadena La regla de la cadena nos permite calcular la derivada de la composición de dos funciones. Es
una regla muy importante que continuamente se utiliza en el cálculo de derivadas pero que no
vamos a demostrar pues entendemos que excede el nivel de este curso de nivelación.
Si una función )(ufy = es derivable respecto de u, y u es derivable respecto de x, entonces la
derivada de la función compuesta [ ])(xufy = respecto de x es igual al producto de la
derivada de f respecto de u por la derivada de u respecto de x:
[ ])(xufy = ⇒ )()( xuufy ′⋅′=′
Por ejemplo, para calcular la derivada de la función compuesta 62 )3( xxy −= , hacemos
xxxu 3)( 2 −= , 6)( uuf = entonces:
32)( −=′ xxu y 56)( uuf =′ .
Aplicando la regla de la cadena y sustituyendo:
[ ] )32()3(6)( 52 −−=′ xxxxuf .
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23
Tabla de derivadas Aplicando las propiedades anteriores y otras que no demostraremos, se calculan las derivadas
de las siguientes funciones:
Función simple Derivada Función
Compuesta
Derivada
ky = 0=′y
xy = 1=′y
)()( xvxuy += )()( xvxuy ′+′=′
)(xuky ⋅= )(xuky ′⋅=′
)()( xvxuy ⋅= )()()()( xvxuxvxuy ′⋅+⋅′=′
)()(
xvxuy =
)()()()()(
2 xvxvxuxvxuy
′⋅−⋅′=′
nxy = 1−=′ nnxy )(xuy n= )()(1 xuxuny n ′⋅⋅=′ −
xy log= x
y 1=′
)(log xuy = )()(
xuxuy
′=′
xy alog= ex
y alog1⋅=′ )(log xuy a= )(log
)(1 xuexu
y a ′⋅⋅=′
xey = xey =′ )( xuey = )()( xuey xu ′⋅=′
xay = aay x log⋅=′ )( xuay = )(log)( xuaay xu ′⋅⋅=′
senxy = xy cos=′ ))(( xuseny = )())(cos( xuxuy ′⋅=′
xy cos= senxy −=′ ))(cos( xuy = )())(( xuxuseny ′⋅−=′
tgxy = x
xtgy 22
cos11 =+=′
))(( xutgy = ))((cos
)(2 xu
xuy′
=′
gxy cot= xsen
xgy 22 1)cot1( −
=+−=′ ))((cot xugy =
))(()(
2 xusenxuy
′−=′
arcsenxy = 21
1x
y−
=′ ))(( xuarcseny =
)(1)(
2 xuxuy
−
′=′
xy arccos= 21
1x
y−
−=′
))(arccos( xuy =
)(1)(
2 xuxuy
−
′−=′
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24
arctgxy = 21
1x
y+
=′ ))(( xuarctgy =
)(1)(
2 xuxuy
+′
=′
Recta tangente y normal La ecuación de la recta que pasa por el punto ),( 11 yxA y tiene de pendiente m es:
)( 11 xxmyy −=−
Y la de la recta normal en dicho punto es:
)(111 xx
myy −−=− .
Como para el caso de la recta tangente la pendiente es )( 1xfm ′= , resulta:
))(( 111 xxxfyy −′=− ; )()(
11
11 xx
xfyy −
′−=− .
Por tanto, dada una función f(x), las ecuaciones de la recta tangente y normal en x = a son,
respectivamente:
))(()( axafafy −′=− ; )()(
1)( axaf
afy −′
−=− .
Dada la función 32)( 23 −+−= xxxxf la ecuación de la recta tangente en x = 2 es:
)2)(2()2( −′=− xffy ⇒ )2(51 −=+ xy .
Análogamente, la ecuación de la recta normal es:
)(511 axy −−=+ .
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25
5. Resumen teórico
Continuidad de una
función en un punto • .
axafxf
→= )()(lim
Continuidad de una
función en un intervalo
• Una función f es continua en un cierto intervalo
(a,b) si lo es en todos los puntos del intervalo.
Variación media • Variación media de la función f(x) entre x1 y x2,
siendo 1x < x2, es el valor )()( 12 xfxf − .
• Tasa de variación media de una función y = f(x) en
un intervalo [ ]ba, es el cociente ab
afbf−− )()( .
Variación instantánea • La variación instantánea de una función f(x) en un
punto a es el límite de la tasa de variación media
correspondiente al intervalo [ ]haa +, cuando h se
hace infinitamente pequeño. Su valor coincide con
la pendiente de la recta tangente.
Derivada de una función
en un punto • 0
)()(lim)(→
−+=′
hh
afhafaf
Interpretación geométrica
de la derivada
• La derivada de una función f(x) en un punto x = a
coincide con la pendiente de la recta tangente en
dicho punto. Coincide con la tangente del ángulo
α que forma la recta tangente con el semieje
positivo OX.
Interpretación física de la
derivada
• La velocidad instantánea es la derivada del espacio
respecto al tiempo.
Derivadas laterales • Derivada por la derecha:
+
+
→−−
=′ax
axafxf
af)()(lim)(
• Derivada por la izquierda:
−
−
→−−
=′ax
axafxf
af)()(lim)(
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26
Derivabilidad • La función f(x) es derivable en x = a cuando
existen sus derivadas laterales en dicho punto y
son iguales.
Derivabilidad y
continuidad
• Si una función f(x) es derivable en x = a, entonces
la función es continua en dicho punto.
• Si una función f(x) es continua en x = a, la función
no tiene por qué ser derivable en dicho punto.
Función derivada • Cuando una función es derivable en todos los
puntos de un cierto dominio D, la función derivada
asocia a cada valor del dominio D la derivada en
dicho punto.
Regla de los cuatro pasos
• Para calcular la derivada de una función, se
utilizan 4 pasos:
1. Función incrementada: f(x+h)
2. Incremento de la función: f(x+h)-f(x)
3. Cociente incremental: h
xfhxf )()( −+
4. Límite del cociente incremental, cuando h
tiende a cero:
0
)()(lim
→
−+
hh
afhaf
Derivadas de operaciones
con funciones
• )()()( xvxuxf ±= ⇒ )()()( xvxuxf ′±′=′
• )()()( xvxuxf ⋅= ⇒
)()()()()( xvxuxvxuxf ′⋅+⋅′=′
• )()()(
xvxuxf = ⇒
)()()()()()( 2 xv
xvxuxvxuxf′−′
=′
Regla de la cadena • [ ])(xufy = ⇒ )()( xuufy ′⋅′=′
Rectas tangente y normal • Tangente: ))(()( 111 xxxfxfy −′=− ;
• Normal: )()(
1)( 11
1 xxxf
xfy −′
−=−
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27
6. Actividades resueltas
1.1 Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
≤+=
012
02)(
2
xsix
xsixxf en el punto x = 0.
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
−>−
−≤+=
21
25)(
xsix
xsixxf en el punto x = -2.
Solución
a) La función está definida en x = 0, 220)0( 2 =+=f . Para comprobar si tiene límite
en x = 0, hay que estudiar si existen los límites laterales y son iguales a 2:
+→=+⋅=
01102)(lim
xxf
−→
=+=0
220)(lim 2
xxf
Como los límites laterales son distintos, la función no tiene límite en x = 2 y, por tanto,
es discontinua en dicho punto.
b) 352)2( =+−=−f ; −−→=+−=
2352)(lim
xxf
; +−→=+=
2321)(lim
xxf
Como los tres valores coinciden la función es continua en x = -2.
1.2 Calcula los siguientes límites:
a) 3
)15(lim 3
→+−
xxx
b) 1
11lim 23
4
→−+−
−
xxxx
x
c) 0
9)3(lim2
→
−+
xx
x
Solución
a) 3
131353)15(lim 33
→=+⋅−=+−
xxx
.
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28
b) 1
00
11lim 23
4
→
=−+−
−
xxxx
x. Para deshacer esta indeterminada debemos factorizar
los dos términos de la fracción y simplificar. Para ello aplicamos la regla de Ruffini
para x = 1:
Numerador:
1 0 0 0 -1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 0
Denominador:
1 -1 1 -1
1 1 0 1
1 0 1 0
1
224
11lim
1)1)(1(
)1)(1(lim
11
1lim 2
23
2
23
23
4
→
==+
+++
→
=+−
+++−
→
=−+−
−
xx
xxx
xxx
xxxx
xxxx
x
c) 0
009)3(lim
2
→
=−+
xx
x . Para deshacer esta indeterminada operamos y
simplificamos:
06)6(lim
0
)6(lim
0
969lim
0
9)3(lim22
→=+
→
=+
→
=−++
→
=−+
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
1.3 Estudia la continuidad de la función:
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
≤−=
342
31)(
2 xsix
xsixxf
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+<<
≤+=
212205
02)(
xsixxsi
xsixxf
Solución:
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29
a) Esta función viene definida por dos intervalos. Como en ambos la expresión es un
polinomio, la función es continua en el interior de ellos; entonces, el único punto a
estudiar es el extremo de dichos intervalos, es decir, el punto x = 3.
213)3( =−=f ; −→=−=
3213)(lim
xxf
;+→
=+⋅=3
22432)(lim 2
xxf
Como no coinciden los tres valores, la función no es continua en x = 3. Por tanto, esta
función es continua en }{3−R .
b) En este caso nos encontramos con tres intervalos en los cuales la función viene
definida por un polinomio, con lo que es continua en el interior de los tres. Veamos
los extremos:
x = 0: 220)0( =+=f ; −→=+=
0220)(lim
xxf
; +→=
05)(lim
xxf
⇒No es
continua en x = 0.
x = 2: 5122)2( =+⋅=f ; −→=
25)(lim
xxf
; +→=+⋅=
25122)(lim
xxf
⇒Es
continua en x = 2.
La función es continua en }{0−R .
1.4 Estudia la continuidad de la función:
5432
)( 2
2
−−
−−=
xxxx
xf
¿Cómo evitar que sea discontinua en x = -1?
Solución:
Se trata de una función racional, luego es continua salvo en los puntos en que se anule
el denominador:
054 2 =−− xx ⇒ x = -1 y 45
=x
La función es continua en ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫−−
45,1R .
Para evitar que sea discontinua en x = -1 basta con definir la función en este punto
igual al límite que toma en él:
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30
100
5432lim
1)(lim
2
2
−→
=−−−−
−→=
xxxxx
xxf
⇒Hay que factorizar y, como los dos
miembros de la fracción son polinomios de grado dos, utilizamos la fórmula de la
ecuación de segundo grado para hallar sus raíces:
Numerador: 1−=x y 23
=x .
Denominador: x = -1 y 45
=x
1
95
)45(4
)23(2
lim
1
)45)(1(4
)23)(1(2
lim
15432lim
1)(lim
2
2
−→
=−
−
−→
=−+
−+
−→
=−−−−
−→=
x
x
x
x
xx
xx
xxxxx
xxf
La función:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
−≠−−−−
=
195
15432
)(2
2
xsi
xsixxxx
xf .
2.5 Se considera la función f(x) definida por:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥<≤+
<−=
2203
0)(
2 xsiaxxsibx
xsixxf
Calcula los valores de a y b para que f(x) sea continua en todos sus puntos.
Solución:
Continuidad en x = 0:
bbf =+⋅= 03)0( ; −→=
00)(lim
xxf
; +→=+⋅=
003)(lim
xbbxf
⇒ 0=b
Continuidad en x = 2:
aaf 44)2( =⋅= ; −→=+=+⋅=
26623)(lim
xbbxf
;+→
=⋅=2
42)(lim 2
xaaxf
⇒ 64 =a ⇒23
46==a .
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31
2.6 ¿Para qué valores de x es discontinua la siguiente f(x)?
253462)( 2
2
−−+−
=xxxxxf
Solución:
Se trata de una función racional, luego es continua salvo en los puntos en que se anule
el denominador:
0253 2 =−− xx ⇒ x = 2 y 31
−=x
La función es continua en ⎩⎨⎧
⎭⎬⎫−−
31,2R .
2.7 Estudia la continuidad de la función: 53
4)(2
2
+−
−=
xxxf .
Solución:
De nuevo nos encontramos con un cociente de polinomios, hay que estudiar los ceros
del denominador.
053 2 =+− x ⇒ 952 =+x ⇒ 42 =x ⇒ 2±=x
La función es continua en }{ 2±−R .
2.8 Dada la función 35)( += xxf , halla la variación media en los intervalos:
a) [ ]4,1
b) [ ]0,5−
c) ¿Con qué valor coincide siempre esa tasa?
Solución:
a) 53
82314
)1()4()()(=
−=
−−
=−−
=ff
abafbfVm
b) 550
223)()(=
++
=−−
=ab
afbfVm
c) Al ser una función lineal, es constante y coincide con la pendiente de la recta.
3.9 Halla la tasa de variación media de la función 1)( 2 += xxf en:
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32
a) [ ]2,3−
b) [ ]4,0
c) ¿Es siempre constante? Solución:
a) 51105
23)3()2()()(
=−−
=+−
−−=
−−
=ff
abafbfVm
b) 44
11704
)0()4()()(=
−=
−−
=−−
=ff
abafbfVm
c) Como es una función cuadrática no es constante.
3.10 Una mancha circular de petróleo tiene un radio de 20 m. Calcula:
a) La variación que sufre su área si el radio aumenta en 6 m.
b) La tasa de variación media al pasar el radio de 20 a 25 metros.
c) La tasa de variación media al pasar el radio de 20 a 22 metros.
d) La tasa de variación instantánea.
Solución:
a) El área actual es ππ 40020220 =⋅=A 2m . Cuando el radio aumenta en 6m, el área
es ππ 67626226 =⋅=A 2m , por tanto la variación es πππ 276400676 =−=V 2m .
b) ππππ 32,555
2765
4006252025
)20()25(==
−=
−−
=VVVm .
c) ππππ 422
842
4004842022
)20()22(==
−=
−−
=VVVm .
d) Hallamos la tasa de variación media cuando el radio aumenta en 0,1m:
ππππ 1,401,0
01,41,0
40001,404201,20
)20()1,20(==
−=
−−
=VVVm
Para un aumento de 0,01, resulta:
ππππ 01,4001,0
4001,001,0
4004001,4002001,20
)20()01,20(==
−=
−−
=VVVm .
Para un aumento de 0,001, resulta:
ππππ 001,40001,0
040001,0001,0
400040001,40020001,20
)20()001,20(==
−=
−−
=VVVm .
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33
Por tanto, la tasa de variación instantánea es π40 .
4.11 Dada la función 14 2 += xy , calcula la tasa de variación media correspondiente
a los intervalos:
a) [ ]5,2
b) [ ]52,2 ′
c) [ ]022,2 ′
d) [ ]0022,2 ′
e) ¿Hacia qué valor tiende la sucesión de valores obtenidos?
f) ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en 2=x ?
Solución:
a) 283
1710125
)2()5()()(=
−=
−−
=−−
=ff
abafbfVm
b) 18501726
252)2()52()()(
=′−
=−′−′
=−−
=ff
abafbfVm
c) 0861020
173216712022
)2()5,022()()( ′=′
−′=
−′−′
=−−
=ff
abafbfVm
d) 008610020
170320167120022
)2()0022()()( ′=′
−′=
−′−′
=−−
=ff
abafbfVm
e) Tiende a 16.
f) La tasa de variación instantánea en 2=x es, entonces, 16.
5.12 Una empresa ha comprobado que la demanda de artículos de un producto, en
función del precio, viene dada por la expresión 23700)( xxd −= . Calcula:
a) La variación de la demanda si el precio pasa de 5 a 10 euros por unidad. ¿La
variación es positiva o negativa?
b) La variación media correspondiente a los intervalos [ ]10,5 , [ ]7,5 , [ ]15,5 ′ y [ ]015,5 ′ .
c) La variación instantánea en x = 5.
Solución:
a) 225)5.3700()10.3700()5()10( 22 −=−−−=− dd . Es una variación negativa.
b) Para el intervalo [ ]10,5 :
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34
455
75300510
)5()10(−=
+−=
−− dd
Para el intervalo [ ]7,5 :
362
7514757
)5()7(−=
+−=
−− dd
Para el intervalo [ ]15,5 ′ :
30310
750387515
)5()15( ′−=′+′−
=−′−′ dd
Para el intervalo [ ]01,5,5 :
0303010
753003575015
)5()015( ′−=′
+′−=
−′−′ dd
c) Observando la sucesión de valores obtenidos, se deduce que la variación
instantánea en 5=x es -30. Lo comprobamos con la definición de derivada:
0
)75700())5(3700(lim
0
)5()5(lim)5(2
→
=−−+−
→
=−+
=′h
hh
hh
dhdd
030)330(lim
0
3307575lim2
→−=−−
→
=−−−
=h
h
hh
hh
5.13 Dada la función 42)( 2 += xxf y el punto 1=x
a) Calcula el valor del cociente incremental h
fhf )1()1( −+ para 1=h , 5,0=h ,
2,0=h y 01,0=h .
b) ¿Cuál es el valor de )1(f ′ .
Solución:
a) 66121
)1()2(1
)1()11()1()1(=−=
−=
−+=
−+ ffffh
fhf
55,0
65,85,0
)1()5,1(5,0
)1()5,01()1()1(=
−=
−=
−+=
−+ ffffh
fhf
4,42,0
688,62,0
)1()2,1(2,0
)1()2,01()1()1(=
−=
−=
−+=
−+ ffffh
fhf
02,401,0
60402,601,0
)1()01,1(01,0
)1()01,01()1()1(=
−=
−=
−+=
−+ ffffh
fhf
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35
b) El valor de )1(f ′ es 4.
5.14 Dada la función 3)( 2 −−= xxxf :
a) Calcula )2(f ′ mediante límites.
b) Dibuja la recta tangente a esta parábola en el punto 2=x y otra recta cuya
pendiente sea )2(f ′ , ¿Cómo son ambas rectas?
Solución:
a) 0
)1()3)2()2((lim
0
)2()2(lim)2(2
→
=−−−+−+
→
=−+
=′h
hhh
hh
fhff
03)3(lim
0
3lim
0
13244lim22
→=+
→
=+
→
=+−−−++
=h
h
hh
hh
hh
hhh.
b) Ambas rectas son paralelas.
6.15 Dada la función 23)( 2 −= xxf y el punto 1=x :
a) Completa el siguiente cuadro:
x 2 1,5 1,1 1,01
1)1()(
−−
xfxf
b) ¿Cuál es la pendiente de la tangente a la curva en 1=x ?
Solución:
a) x 2 1,5 1,1 1,01
1)1()(
−−
xfxf
912
)1()2(=
−− ff
5,715,1
)1()5,1(=
−− ff
3,611,1
)1()1,1(=
−− ff
03,6101,1
)1()01,1(=
−− ff
b) La pendiente de la recta tangente a la curva en 1=x es la derivada, )1(f ′ , es decir
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36
61
1)1()(lim)1(
→
=−−
=′x
xfxf
f .
6.16 Dada la función polinómica de segundo grado cbxaxy ++= 2 , halla a, b y c si
se sabe que la gráfica de esta función pasa por los puntos (1,2) y (2,6) y que la tangente
a la curva en (2,6) es la recta de ecuación: 87 −= xy .
Solución:
Como pasa por (1,2): cba ++=2 .
Como pasa por (2,6): cba ++= 246 .
Como la pendiente de la recta tangente es 7=m (coeficiente de x en la ecuación
explícita) debe ser 7)2( =′y :
0
)24()2()2(lim
0
)2()2(lim)2(2
→
=−+−++++
→
=−+
=′h
hcbacbhah
hh
yhyy
0
)24()2()44(lim2
→
=++−+++++
=h
hcbacbhahh
0
4lim
0
24)2()44(lim22
→
=++
→
=−−−+++++
=h
hbhahah
hh
cbachbbhaaha
babaahh
+=++→
= 4)4(0
lim.
Por tanto: 74 =+ ba
Se obtiene el siguiente sistema:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=++=++
7464
2
bacba
cba
Las soluciones son:
34
=a , 35
=b y 1−=c .
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37
7.17 Halla la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de la función
⎩⎨⎧
≥+−<
=1,31,
)(xxxx
xf , en 1=x .
Solución:
10
lim
0
2)31(lim
0
)1()1(lim −=→
−=
→
−+−−=
→
−+
+++ hhh
hh
h
hh
fhf.
−−−− →
+∞=−=→
−=
→
−+=
→
−+
0
11lim
0
1lim
0
2)1(lim
0
)1()1(lim
hh
hh
h
hhh
hh
fhf
7.18 ¿Es la función 2)( −= xxf derivable en 2=x ?
Solución:
Obtenemos la derivada por la derecha y por la izquierda en este punto.
⎩⎨⎧
<−−≥−
=−=2),2(2,2
2)(xxxx
xxf
10
lim
0
0)22(lim
0
)2()2(lim)2( =→
=→
−−+=
→
−+=′
+++
+
hhh
hh
h
hh
fhff .
10
lim
0
0)22(lim
0
)2()2(lim)2( −=→
−=→
−−+−=
→
−+=′
−−−
+
hhh
hh
h
hh
fhff .
No es derivable pues las derivadas laterales no coinciden.
8.19 Estudia la continuidad y derivabilidad de ⎩⎨⎧
>≤+−
=11,73
)(xxxx
xf en el punto
1=x .
Solución:
Estudiamos primero la continuidad. Esta función en el único punto en el que puede ser
discontinua es el punto 1, en el que la función cambia su expresión analítica.
Veámoslo:
++ →=
→=
11)(lim
1)(lim
xx
xxf
; −− →=+−
→=
14)73(lim
1)(lim
xx
xxf
.
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38
Como los límites laterales no coinciden, la función no es continua en 1=x y, al no ser
continua, no es derivable en este punto.
Estudiamos, entonces, la derivabilidad en el resto de los puntos.
Sea x < 1, 73)( +−= xxf . Por tanto:
30
3lim
0
)73()733(lim
0
)()(lim)( −=→
−=
→
+−−+−−=
→
−+=′
+++
+
hh
h
hh
xhx
hh
xfhxfxf
30
3lim
0
)73()733(lim
0
)()(lim)( −=→
−=
→
+−−+−−=
→
−+=′
++−
−
hh
h
hh
xhx
hh
xfhxfxf
La función es derivable.
Sea x > 1, xxf =)( . Entonces:
10
lim
0
)()(lim
0
)()(lim)( =→
=→
−+=
→
−+=′
+++
+
hhh
hh
xhx
hh
xfhxfxf .
10
lim
0
)()(lim
0
)()(lim)( =→
=→
−+=
→
−+=′
−−−
−
hhh
hh
xhx
hh
xfhxfxf .
La función es derivable.
La función es derivable en }{1−R y su función derivada es:
⎩⎨⎧
><−
=′1,11,3
)(xx
xf .
8.20 Estudia la continuidad y derivabilidad de 2)( 2 += xxf .
Solución:
La función 22)( 22 +=+= xxxf , como es un polinomio, es continua y derivable en
todo R.
8.21 Estudia la derivabilidad de ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥<≤+
<−=
2203
0)(
2 xsiaxxsibx
xsixxf en los puntos 0=x y
2=x .
Solución:
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39
Para que sea derivable debe ser continua en 0=x y 2=x .
En 0=x :
++ →=+
→=
0)3(lim
0)(lim
xbbx
xxf
; −− →=−
→=
00)(lim
0)(lim
xx
xxf
, luego:
0=b .
En 2=x :
++ →=
→=
24)(lim
2)(lim 2
xaax
xxf
; −− →=+=+
→=
266)3(lim
2)(lim
xbbx
xxf
,
luego: 64 =a y 23
46==a .
Por tanto esta función para ser continua en 0=x y 2=x debería estar definida de la
siguiente forma:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
<≤<−
=
223
2030
)(2 xsix
xsixxsix
xf .
Estudiamos a continuación la derivabilidad en estos puntos.
En 0=x :
30
3lim
0
0)3(lim
0
)0()0(lim)0( =→
=→
−=
→
−+=′
+++
+
hhh
hh
h
hh
fhff .
10
lim
0
0)(lim
0
)0()0(lim)0( −=→
−=
→
−−=
→
−+=′
−−−
−
hhh
hh
h
hh
fhff .
No es derivable en 0=x .
En 2=x :
−∞=→
−=
→
−+=
→
−+=′
++
+
+
003lim
0
6))2(23(
lim0
)2()2(lim)2(2
hhh
h
hh
fhff .
La función tampoco es derivable en 2=x .
9.22 Dada la función 23)( xxf = , halla las funciones )(xf ′ , )(xf ′′ y )(xf ′′′ .
Solución:
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40
=→
−++=
→
−+=
→
−+=′
0
3363lim
0
3)(3lim
0
)()(lim)(22222
hh
xhxhx
hh
xhx
hh
xfhxfxf
xh
hhxh
60
36lim2
=→
+= .
60
666lim
0
6)(6lim
0
)()(lim)( =→
−+=
→
−+=
→
′−+′=′′
hh
xhx
hh
xhx
hh
xfhxfxf
00
0lim
0
66lim
0
)()(lim)( =→
=→
−=
→
′′−+′′=′′′
hhh
hh
xfhxfxf .
9.23 Dada la función 34)( 2 +−= xxxf , resuelve la ecuación 0)( =′ xf .
Solución:
=→
+−−++−+=
→
−+=′
0
)34(3)(4)(lim
0
)()(lim)(22
hh
xxhxhx
hh
xfhxfxf
=→
−+=
→
−+−+−−++=
0
42lim
0
)343442(lim2222
hh
hxhh
hh
xxhxxhhx
420
)42(lim−=
→−+
= xh
xh.
Por tanto, 420)( −==′ xxf ⇒ 2=x .
9.24 Deduce, utilizando la definición de derivada, la función derivada de:
a) xxf =)( .
b) 2)( 2 +−= xxxf
Solución:
a) Empleamos la regla de los cuatro pasos:
1. hxhxf +=+ )(
2. xhxxfhxf −+=−+ )()(
3. h
xhxh
xfhxf −+=
−+ )()(
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41
4. 0
lim)(→
−+=′
hh
xhxxf
Para calcular este límite in determinado, como aparecen radicales, multiplicamos
el numerador y el denominador por el conjugado del numerador
0)(
))((lim
0
lim)(→
=++
++−+
→
=−+
=′
hxhxh
xhxxhx
hh
xhxxf
0)(
lim
0)()()(lim
22
→
=++
→
=++−+
=h
xhxhh
hxhxhxhx
02
1)(
1lim
→
=++=
hxxhx .
b) Empleamos, de nuevo, la regla de los cuatro pasos:
1. 2)()()( 2 ++−+=+ hxhxhxf
2. hxhhxxhxhxxfhxf −+=+−−++−+=−+ 2)2(2)()()()( 222
3. h
hxhhh
xfhxf −+=
−+ 2)()( 2
4. 0
002lim)(
2
→
=−+
=′h
hhxhh
xf
Para calcular este límite indeterminado operamos sacando factor común h:
012)12(lim
0
)12(lim
0
2lim)(2
→−=−+
→
=−+
→
=−+
=′h
xxh
hh
xhh
hh
hxhhxf
11.25 Calcula, utilizando las reglas de derivación, la derivada de las siguientes
funciones:
a) 211)( −−=xx
xf
b) 262)( xx
xf +=
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42
c) xxxxf 322)( 43 −−=
d) 4
21)( 34
πsenxx
xf −+−=
e) senxxxxf −+= −3cos)(
Solución:
a) 2211)( 211 −−=−−=
−− xxxx
xf ⇒xxx
xxxf2
11)21(1)( 2
232 +−=−−−=′ −− .
b) 2212 6262)( xxx
xxf +=+=
−⇒ x
xxxxxf 12112)
21(2)( 2
3+−=+−==′ − .
c) 21
4143
143 322322)( xxxxxxxf −−=−−= ⇒
xx
xx
xx
xxxxxxxf 3
42
33
42
31
2132
412
31)(
43
4 3
4
3 22
14
3432
−−=−−=−−=′−−− .
d) 4
24
21)( 3434
ππ senxxsenxx
xf −+−=−+−= − ⇒
25
25 646)4()( xx
xxxf +=+−−=′ − .
e) senxxxxf −+= −3cos)( ⇒ xx
senxxxsenxxf cos3cos)3()( 44 −−−=−−+−=′ − .
11.26 Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) )57)(2()( 2 xxxxf −+−=
b) 332)(
xxxf⋅−
=
c) xxxxf ⋅⋅= 43)(
Solución:
a) Se aplica la derivada de un producto de funciones:
=−+−+−−=′−+−+−′+−=′ )5)(2()57)(12()57)(2()57()2()( 222 xxxxxxxxxxxf172415105571910 222 −+−=−+−−+−= xxxxxx .
b) Utilizando la fórmula de la derivada de un cociente:
46
23
6
23
23
33
362
9186
9)2(93
)3()3)(2()3()2()(
xx
xxx
xxxx
xxxxxxf +−
=+−
=−−
=⋅
′−−′−=′ .
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43
c) Al aplicar la fórmula de la derivada de un producto resulta:
=′⋅⋅+⋅′⋅+⋅⋅′=′ )()()()( 434343 xxxxxxxxxxf
xxx
xxx
xxxxxxxxxxxx
24321
41
31 43
4 3
3
3 2
4432
134343
2 ⋅+
⋅+
⋅=+⋅+⋅⋅= −−− .
11.27 Utilizando las reglas de derivación, calcula la derivada de las siguientes
funciones:
a) xxxf 6)(log)( 3 +=
b) xxxxf −= )log()( 2
Solución:
a) xxxf 6)(log)( 3 += ⇒ 6log6log
)( 3 ⋅+=′ x
xe
xf .
b) Antes de derivar, simplificamos, utilizando las propiedades de los logaritmos:
xxxxxxxf −=−= )log(2)log()( 2 ⇒ 3)log(2112)log(2)( −=−⋅−=′ xx
xxxf .
11.28 ¿Pueden existir dos funciones distintas f(x) y g(x) que tengan la misma
derivada?
Solución:
Sí, si se diferencien únicamente en una constante.
Por ejemplo: 22)( xxf = y 12)( 2 += xxg , en ambos casos, al ser la derivada de una
constante nula, se obtiene como derivada la función xxh 4)( = .
11.29 Utilizando las reglas de derivación, calcula la derivada de las siguientes
funciones:
a) 1
)( 2 +=
xxxf
b) 2cos2)( xxsenxf ⋅=
c) xtgxtgxf 24
41)( −=
Solución:
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44
a) 1
)( 2 +=
xxxf ⇒ 22
2
22
2
22
22
)1(1
)1()2(1
)1()1()1()()(
++−
=+−+
=+
′+−+′=′
xx
xxxx
xxxxxxf .
b) 2cos2)( xxsenxf ⋅= ⇒ =′⋅+⋅′=′ )(cos)2(cos)2()( 22 xxsenxxsenxf
xsenxsenxxxsenxxxsenxx 22cos2cos2)()2()2(cos2cos2 2222 −⋅=−⋅⋅+⋅= .
c) xtgxtgxf 24
41)( −= ⇒
)2)(1()1(2)1(441)( 32223 tgxxtgxtgxtgtgxxtgxtgxf −+=+−+=′ .
12.30 Calcula la derivada de y respecto de x, en las siguientes funciones:
a) 754 2 +−= uuy , 372 +−= xxu
b) 32
73 −+
=uu
y , 35 −= xu
Solución:
a) Aplicando la regla de la cadena:
uuuy ′−′=′ 58 , como xxu 72 −=′ , sustituyendo resulta:
=+−−+−+−=−−−+−=′ 3510168392564811216)72(5)72)(37(8 2232 xxxxxxxxxxxy3526216816 23 ++−= xxx
b) Análogamente:
133 )32(7
327 −−+=
−+= uu
uuy ⇒ )23()32)(1(7 223 uuuuuy ′+′−+−=′ − .
35 −= xu ⇒ 5=′u .
Sustituyendo en y′ :
=⋅+⋅−−−+−−=′+′−+−=′ −− 525)35(3()3)35(2)35((7)23()32)(1(7 223223 xxxuuuuuy
23
2223
)3)35(2)35((70)35(105)525)35(3()3)35(2)35((7−−+−
−−−=⋅+⋅−−−+−−= −
xxxxxx .
12.31 Calcula la derivada de la función 32 )5( −= xy .
a) Utilizando la regla de la cadena.
b) Sin utilizar la regla de la cadena
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45
Solución:
a) Sea 3uy = , 52 −= xu . Aplicando la regla de la cadena.
xxxxxxxxuuy 150606)2)(2510(3)5()5(33 35242222 +−=+−=′−−=′=′ .
b) 1257515)5( 24632 −+−=−= xxxxy ⇒ xxxy 150606 35 +−= .
12.32 Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) )5log()( 2 xxxf −=
b) xxxxf −= )log()( 2
c) )2(log)( −= xxxf
Solución:
a) )5log()( 2 xxxf −= ⇒ xx
xxf5
52)( 2 −−
=′ .
b) xxxxxxxf −=−= )log(2)log()( 2 ⇒ 1)log(212)log(2)( +=−+=′ xxxf .
c) ))2log((log21)2(log)( −+=−= xxxxxf ⇒
)2
11(21))2log((log
21)(
−+=′−+=′
xxxxxf .
12.33 Calcula el valor de la derivada de la función )
2cos()
2( ππ
+++=
xxseneey en el punto
23π
=x .
Solución:
Con la regla de la cadena, se calcula la función derivada:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−++=′
++)
2()
2cos(
)2
cos()2
( ππ ππ
xsenexeyxxsen
de donde:
[ ] 101)2()2cos()2
3( 10)2cos()2( =⋅+⋅=−+=′ eeseneey sen πππ ππ .
12.34 Derivada y simplifica la función xxy
cos1cos1log
−+
= .
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46
Solución:
Utilizando las propiedades de los logaritmos:
[ ])cos1log()cos1log(21 xxy −−+=
Derivando:
=−
−−+−=
−−
+−
=′)cos1(2
coscos)cos1cos1
(21
2 xxsenxsenxxsenxsenx
xsenx
xsenxy
senxxsenx 1)
cos12(
21
2
−=
−−
= .
12.35 Calcula las funciones derivadas de las funciones, simplificando su expresión
cuando se pueda:
a) 3
31)(x
xxf −= para 0≠x .
b) )4log(31)( xxg = para 0>x .
c) senxxxh ⋅= cos)( para Rx∈ .
Solución:
a) 46
23 363)31()3()(xx
xxxxxf −
=−−−
=′
b) xx
xg31
44
31)( =⋅=′
c) xxsenxxxsenxsenxxh 2coscoscoscos)( 22 =−=⋅+⋅−=′
12.36 Deriva xex
senxy 2)cos
log( +=
Solución:
xx etgxex
senxy 22 )log()cos
log( +=+=
Aplicando las reglas de derivación:
xx exsenx
extgx
y 222 2
cos12
cos11
+=+⋅=′
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47
13.37 Dada la función 36)( 2 −−= xxxf , calcula las ecuaciones de la recta tangente
y normal en los puntos de abscisas 0=x y 1−=x
Solución:
Primero se calcula la función derivada de 36)( 2 −−= xxxf :
62)( −=′ xxf
Para 0=x : 6)0( −=′y
Por otro lado, la ordenada es 3)0( −=y ; por tanto, la ecuación de la tangente es:
xy 63 −=+ .
La de la recta normal es:
xy613 =+
13.38 Halla la ecuación de la recta tangente a 211x
y+
= en 1=x .
Solución:
Calculamos la función derivada de 211x
y+
= :
22 )1(2xxy
+−=′
Para 1=x : 21
42)1( −=−=′y
Por otro lado, la ordenada es 21)1( =y , luego la ecuación de la tangente es:
)1(21
21
−−=− xy .
13.39 Halla las tangentes a la curva xxy 23 −= , paralelas a la recta xy = .
Solución:
Como la recta xy = tiene de pendiente 1=m , hay que calcular los puntos de la curva
cuya derivada valga 1.
Calculamos la función derivada y la igualamos a 1:
123 2 =−=′ xy implica 1±=x
Para 11 =x : 1)1( −=f , )1,1(1 −P
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48
Para 12 −=x : 1)1( =−f , )1,1(2 −P
Las ecuaciones de las tangentes son:
)1(11 −=+ xy , es decir, 2−= xy
)1(11 +=− xy , es decir, 2+= xy
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49
7. Actividades propuestas
1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
−≤−=
12
1)(
2
xsix
xsixxf en el punto x = 1.
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
≤=
321
37)(
xsix
xsixf en el punto x = 3.
2. Calcula los siguientes límites:
a) 1
)13(lim 4
→+−
xxx
b) 2
48lim 2
3
−→−+
xxx
c) 1
1lim 2
2
→−−
xx
xx
3. Estudia la continuidad de la función:
a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+<<−−
−≤+=
322332
31)(
2 xsixxsi
xsixxf
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+<<−−−≤
=21
212512
)(2 xsix
xsixxsi
xf
4. Estudia la continuidad de la función 9
27)( 2
3
−−
=x
xxf en 3=x .
5. Se considera la función f(x) definida por:
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50
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−≠+
−==
11
1
1)(
xsix
xsikxf
Calcula k para que f(x) sea continua en todos sus puntos.
6. ¿Para qué valores de x es discontinua la siguiente f(x)?
xxxxxxf
254)( 23
2
−−+−
= .
7. Estudia la continuidad de la función: 63
9)(2
+−
−=
xxxf .
8. Dada la función 22 2 += xy , calcula la tasa de variación media correspondiente a
los intervalos:
a) [ ]5,1
b) [ ]52,1 ′
c) [ ]021,1 ′
d) ¿Hacia qué valor tiende la sucesión de valores obtenidos?
e) ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en 1=x ?.
9. Dada la función 134)( 2 +−= xxxf . Calcula:
a) La variación que sufre en el intervalo [ ]10,1 .
b) La tasa de variación media en el intervalo [ ]1,1 .
c) La tasa de variación media en el intervalo [ ]011,1 ′ .
d) La tasa de variación instantánea en 1=x .
10. Dada la función 82 +−= xy , calcula la tasa de variación media correspondiente a
los intervalos:
a) [ ]5,2
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51
b) [ ]52,2 ′
c) [ ]022,2 ′
d) ¿Hacia qué valor tiende la sucesión de valores obtenidos?
e) ¿Cuál es la tasa de variación instantánea en 2=x ?
11. Una empresa ha comprobado que la venta de artículos de un producto, en función
del precio, viene dada por la expresión 21000)( xxv −= . Calcula:
a) La variación de la demanda si el precio pasa de 5 a 10 euros por unidad. ¿La
variación es positiva o negativa?
b) La variación media correspondiente a los intervalos [ ]10,5 , [ ]7,5 , [ ]15,5 ′ y [ ]015,5 ′ .
c) La variación instantánea en x = 5.
12. Dada la función 24)( 2 += xxf y el punto 0:
a) Calcula el valor del cociente incremental h
fhf )0()0( −+ para 1=h , 5,0=h ,
2,0=h y 01,0=h .
b) ¿Cuál es el valor de )0(f ′ .
13. Dada la función 13)( 2 −+= xxxf :
a) Calcula )1(f ′ mediante límites.
b) ¿Qué significado tiene )1(f ′ ?
c) Dibuja la recta tangente a esta parábola en el punto 1=x y otra recta cuya
pendiente sea )1(f ′ , ¿Cómo son ambas rectas?.
14. Dada la función 23)( xxf −= y el punto 1=x :
a) Completa el siguiente cuadro:
x 1 0,5 0,1 0,01
1)1()(
−−
xfxf
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52
b) ¿Cuál es la pendiente de la tangente a la curva en 1=x ?
15. Dada la función polinómica de segundo grado cbxaxy ++= 2 , halla a, b y c si se
sabe que la gráfica de esta función pasa por los puntos (1,1) y (0,-2) y que la tangente a
la curva en (2,6) es la recta de ecuación: 4+= xy .
16. Halla la derivada por la derecha y la derivada por la izquierda de la función
⎩⎨⎧
≥+−<+
=0,20,73
)(xxxx
xf , en 0=x .
17. ¿Es la función 4)( −= xxf derivable en 4=x ?
18. Estudia la continuidad y derivabilidad de ⎩⎨⎧
>≤+−
=11,73
)(xxxx
xf en el punto
1=x .
19. Estudia la continuidad y derivabilidad de 4)( 2 −= xxf .
20. Estudia la derivabilidad de ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥<≤+−
<=
110
0)(
2
2
xsiaxxsibx
xsixxf en los puntos 0=x y
1=x .
21. Dada la función 18)( 2 −+= xxxf , halla las funciones )(xf ′ , )(xf ′′ y )(xf ′′′ .
22. Dada la función 853)( 2 +−= xxxf , resuelve la ecuación 0)( =′ xf .
23. Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) )32(4)( 2 xxxxf +−−=
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53
b) 132)(+−
=x
xxf
c) xex
xf +=22)(
d) xxsenxxf
4cos4)(
++
−=
24. Calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) 2)(xexf
x
=
b) xexf =)(
c) xexxf )2()( 2 +=
25. Utilizando las reglas de derivación, calcula la derivada de las siguientes funciones:
a) xx exexf += )log()(
b) x
xxxf 1)log()( 42 −=
c) 2
)( 2 +=
xexf
senx
d) 2cos2)( xarxtgxf ⋅=
e) xsenexf arctgx 2)( +=
26. Calcula la derivada de y respecto de x, en las siguientes funciones:
a) uy = , 832 +−= xxu
b) 3
2−
=u
uy , 4
1+
=x
u
27. Calcula la derivada de la función 4)12( += xy .
a) Utilizando la regla de la cadena
b) Sin utilizar la regla de la cadena
28. Derivada y simplifica las siguientes funciones:
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54
a) senxsenxxf
−+
=11log)(
b) )1()(x
xtgxf +=
c) axarcsenxaxf +−= 22)(
d) xexf =)(
29. Halla la ecuación de la recta tangente a 1
12
2
−++
=x
xxy en 2=x .
30. Halla la ecuación de las rectas tangentes a senxy = en 0=x y π=x .
31. Halla las tangentes a la curva 23
2
2
+−= xxy , paralelas a la recta 12 −= xy .
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55
8. Bibliografía
“Matemáticas. Álgebra-Cálculo-Geometría-Probabilidad” Serie Schaum. ED.
McGrauw-Hill.
“Matemáticas. 3º ESO. Ed. Edelvives.
“Matemáticas. 4º ESO. Opción B. Ed. MCGraw-Hill.
“Matemáticas. 4º ESO. Opción A. Ed. SM.
“Problemas de Matemáticas Especiales”(1989) Cuadernos de la UNED, nº 80.
“Problemas de Matemáticas Especiales”(1995). Mª E. Ballvé y otros. Ed. Sanz y
Torres. Madrid www.maristasleon.com/MATEMATICAS/4eso/mat4eso.htm
www.juntadeandalucia.es/averroes/iesbajoguadalquivir/mat/cuartob/mates4esob.htm
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9. Prueba de autoevaluación final
1.- Dada la función:
a) Es discontinua en x=0.
b) Es discontinua en x=5.
c) Es discontinua en x=2.
d) Es continua en R.
2.- La función anterior:
a) Es derivable en x=2.
b) No es derivable en x=5.
c) No es derivable en x=0.
d) Es derivable en R.
3.- Existe recta tangente a la función de la pregunta primera en:
a) x=4.
b) x=5.
c) x=3.
d) Todos los puntos.
4.- La ecuación de la recta tangente a la función:
13)( 2 ++
=xxxxf
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En el punto de abscisa 1=x es:
a) xy =
b) 02 =−+ yx
c) 23
−= xy
d) 1=y
5.- La función:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<=
3,33,
)(2
xx
xaxxf
Es continua en todos los puntos si:
a) 9/1=a
b) 3=a
c) 3/1=a
d) 0=a
6.- La función:
⎩⎨⎧
−≥−<
=1,1,
)(3
xxxx
xf
a) Es continua en R.
b) Es derivable en R
c) Es derivable en }{1−R .
d) Es discontinua en 1−=x
7.- Para que la función:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
≤<−
−≤−
=
1
112
11)( 2
2
xsibx
xsixa
xsiaxxf
Sea continua en 1−=x y 1=x , a y b deben valer:
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a) 1=a y 1−=b .
b) 0=a y 1−=b
c) 2=a y 0=b
d) 1=a y 2/1−=b
8.- Si las tangentes a la curva de ecuación: 18)1()( 23 −+−+= xmmxmxxf
En los puntos A(1,f(1)) y B(2,f(2)) son paralelas, m es igual a:
a) m = 1.
b) m = 4.
c) m = -1.
d) m = 0.
9.- Para que la derivada de la función
22)(mxx
mxxf++
=
En 0=x valga 1, m debe valer.
a) 2.
b) -1.
c) 1.
d) 3.
10.- La derivada de la función:
11logcos)(
2
+−
−+=xxxexf xsen
Es:
a) xx
xsenexxf xsen
−+−⋅=′
11
cos2cos)(
b) xx
xsenexxf xsen 2cos
cos)( +−⋅=′
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c) xx
xxsenexf x
−+
+−=′11
cos2)(
2cos
d) xx
xsenexf xsen
−+−=′
11
cos2)(
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Soluciones a la Prueba de Autoevaluación final 1 → c
2 → b
3 → c
4 → d
5 → a
6 → a
7 → c
8 → d
9 → c
10 →a