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nestor-choque
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Objetivos
Profundizarenlacomprensindelconceptodeintegracin. Aplicarlaintegralalclculodereasyvolmenes
ComandosdeMatlabint Calculademanerasimblicalaintegralindefinidadeunafuncin. Ejemplo:
syms x int(x^2/(x^6-8))
rsums AproximalaintegraldefmediantesumasdeRiemannyrealizaunarepresentacin grficadelosrectngulos. Ejemplo:
syms x rsums exp(-x^2)
1reaentredoscurvas:ConsiderarlareginAcomprendidaentrelaparbola 23x y ylarecta 1y x .a)Calcular
a.1)unaaproximacindelreadeAmediantereasderectngulosverticalesa.2)elvalordelreadelareginAintegrandorespectodex
b)Calcularb.1)unaaproximacindelreadeAmediantereasderectngulos
Prcticas Matlab
PRCTICA APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Prctica 12
PGINA 2 MATLAB: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
horizontalesb.2)elvalordelreadelareginAintegrandorespectodey
CdigoMatlab
a) Considerandorectngulosverticaleseintegrandorespectodexsyms x a1=areaAproximada('x-1','-sqrt(3-x)',-1,2,16); hold on a2=areaAproximada('sqrt(3-x)','-sqrt(3-x)',2,3,7); aprox=a1+a2 %El punto de corte entre las dos curvas es x=-1, x=2 area_A=int((x-1)+sqrt(3-x),-1,2)+int(sqrt(3-x)+sqrt(3-x),2,3) dondesehautilizadolafuncinsiguienteenlaquesesupone,porsimplificarelcdigo,quef estporencimade g enelintervalo ,a b function area=areaAproximada(f,g,a,b,n) dx=(b-a)/n; area=0; hold on for i=1:n c=a+(i-1)*dx; h1=subs(f,c); h2=subs(g,c); h=h1-h2; area=area+dx*h; %Crea un rectngulo con un vrtice en el punto (c,0) de %ancho dx y de alto h if h>0 rectangle('position',[c h2 dx h],'FaceColor',[1 0.9 0.8]) end end xx=a:0.01:b; y1=subs(f,xx); y2=subs(g,xx); plot(xx,y1,'r','LineWidth',3) plot(xx,y2,'b','LineWidth',3) end
b) Considerandorectnguloshorizontaleseintegrandorespectodelavariable y syms y a1=areaAproximadaV('3-y^2','y+1',-2,1,16) %El punto de corte entre las dos curvas es y=-2, y=1 area_A=int((3-y^2)-(y+1),-2,1) dondesehautilizadolafuncinsiguienteenlaquesesupone,porsimplificarelcdigo,quef estporencimade g enelintervalo ,a b function area=areaAproximadaV(f,g,a,b,n)
PGINA 3 MATLAB: PRCTICA 12
dx=(b-a)/n; area=0; hold on for i=1:n c=a+(i-1)*dx; h1=subs(f,c); h2=subs(g,c); h=h1-h2; area=area+dx*h; %Crea un rectngulo con un vrtice en el punto (c,0) de %ancho dx y de alto h if h>0 rectangle('position',[h2 c h dx],'FaceColor',[1 0.9 0.8]) end end yy=a:0.01:b; x1=subs(f,yy); x2=subs(g,yy); plot(x1,yy,'r','LineWidth',3) plot(x2,yy,'b','LineWidth',3) end
2
readeunareginplanalimitadaporunacurvadefinidaporecuacionesparamtricas:
,x x t y y t ,t a b a)DibujarlalemniscatadeBernouillideecuaciones
2
2
cossen 1
sen cossen 1
a tx t
t
a t ty t
t
ycalcularelreaencerradapordichacurva.Nota:Laecuacincartesianadelalemniscataes
22 2 2 2 2x y a x y Estacurvasedefinecomoellugargeomtricodelospuntosdelplanocuyoproductodedistanciasadospuntosfijosesconstanteeigualalcuadradodelasemidistanciaentredichospuntos.b)Repetirelapartadoa)considerandolacicloidedeecuacionesparamtricas:
sen
1 cos
x R t t
y R t t
Nota:Estacurvaeslaquedescribeunachinchetaclavadaenunaruedaderadio R queavanzagirandosindeslizar.
PGINA 4 MATLAB: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
c)Repetirelapartadoa)considerandolacardioidedeecuacionesparamtricas:
cos 1 cos
sen 1 cos 0, 2
x a t t
y a t t t
Nota:Laecuacincartesianadelacardioidees 22 2 2 2 2x ax y x y a siendoaunparmetro.Estacurvaeslaquedescribeunpuntofijodelbordedeuncrculoqueruedasindeslizarsobreotrodelmismoradio.
Unacurvadadaenparamtricaseselconjuntodepuntos ,x y delaforma
,
x x t
y y t t a b
Silasfunciones x e y tienederivadacontinuaentonces elrealimitadaporCyelejeOXes
'ba
y t x t dt elrealimitadaporCyelejeOYes
'ba
x t y t dt Accedealapgina
http://www.giematic.com/integralDef/laboratorios/parametricas.htmlparaverlarepresentacindelascurvasquesedefinenenesteejercicio.Observaque:
serecorretodalalemniscatacuando 0, 2t serecorreunciclodelacicloidecuando 0, 2t R serecorrelacardioidecuando 0, 2t
CdigoMatlab
syms a t %Lemniscata de Bernouilli x=a*cos(t)/(sin(t)^2+1); y=a*sin(t)*cos(t)/(sin(t)^2+1); lemniscata=4*int(abs(y*diff(x,t)),t,0,pi/2) %Cicloide syms R
PGINA 5 MATLAB: PRCTICA 12
x=R*(t-sin(t)); y=R*(1-cos(t)); cicloide=simplify(int(abs(y*diff(x,t)),t,0,2*pi)) %Cardioide x=a*cos(t)*(1+cos(t)); y=a*sin(t)*(1+cos(t)); cardioide=2*int(abs(y*diff(x,t)),t,0,pi)
ElsiguientecdigopermiterepresentarlacicloideconMatlab
function cicloide(a,k,m) % cicloide(a,k,m) dibuja 1 ciclo de la cicloide dada por (a(t-sen(t),a(1-cos(t)) % as como la circunferencia generatriz % cicloide(a,k) dibuja k ciclos de la misma cicloide t=0:.01:2*pi; if nargin==3 x=a*(t-sin(t)); y=a*(1-cos(t)); plot(x,y,'--r') axis equal hold on for i=0:2*pi/m:2*pi xc=a*cos(t)+i*a; yc=a*sin(t)+a; plot(xc,yc) px=a*(i-sin(i));py=a*(1-cos(i)); plot(px,py,'or') plot(i*a,a,'o') plot([i*a, px],[a,py]) pause(2) end else for n=0:k-1 x=a*(t-sin(t))+2*pi*n*a; y=a*(1-cos(t)); plot(x,y) axis equal hold on end end hold off
3reasplanasencoordenadaspolaresa) Calcularelreaencerradaporlacardioidedeecuacinpolar
1 cosa siendo a unnmeroreal.b) Calcularelreadelareginencerradaalavezenlacardioideyenla
circunferencia sena considerando 0a .Nota:Esteejercicioestresueltoanalticamentepasoapasoenlapginahttp://www.giematic.com/integralDef/ejercicios/Eareapol3.html
Accedealapgina
http://www.giematic.com/integralDef/laboratorios/polares.html
PGINA 6 MATLAB: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
paraverlarepresentacindelasdoscurvasycomo serecorrenlacardioidecuando 0, 2 serecorrelacircunferenciacuando 0,
a) Paracalcularelreadelsectorlimitadoporlacurva ,continuaenelintervalo
1 2, ,ylosdosradiosvectoressecalculacomo: 21
212
A d
.
Enelcasodelacardioideser:
22 2 20
31 cos2 2a d a
CdigoMatlab:syms a phi rho=a*(1+cos(phi)); int(1/2*rho^2,phi,0,2*pi)
Puedesutilizarlafuncincardioide.mpararepresentarenMatlabestacurva.
b) Calculamoslospuntosdecortequesonpara2 y
Elreapedidaser:
/22 2 22 20 /2
sen 1 cos 12 2 2a ad d a
CdigoMatlab:syms a phi rho=a*(1+cos(phi)); rho1=a*sin(phi); puntos=solve(rho-rho1,phi) area2=int(1/2*rho1^2,phi,0,puntos(2))+ int(1/2*rho^2,phi,puntos(2),puntos(1)); pretty(simplify(area2))
PararepresentarlacardioideylacircunferenenciaconMatlabpuedesutilizarelsiguientecdigo:
function curvasp(a) % Representacin de la cardioide t=0:.01:2*pi; r=a*(1+cos(t)); polar(t,r) hold on % Bastara considerar t entre 0 y pi % para recorrer la circunferencia r=a*sin(t); polar(t,r,'r')
PGINA 7 MATLAB: PRCTICA 12
legend('r=a(1+cos(t)','r=a sin(t)') hold off
Ejerciciospropuestos
1 Lasuperficiedeunapartedeunamquinaeslareginentrelasgrficasde 1y x y 22 0.08y x k a) Encontrarksilaparbolaestangentealagrficade 1y b) Encontrarelreadelasuperficiedelapartedelamquina.
2
Demostrar,conayudadeMatlab,que:a) Elreadeunacircunferenciadecentro ,a b yradiores 2r .
Utilizandocoordenadascartesianas:Utilizandoecuacionesparamtricas
cos
sen 0, 2
x t a r t
y t b r t t
b) Elreadeunaelipsedecentro , ydesemiejesa yb es ab Utilizandocoordenadascartesianas:Utilizandoecuacionesparamtricas
cos
sen 0, 2
x t a t
y t b t t
3reasplanasencoordenadaspolaresa) Calcularelreadeunarosade 2n ptalosdeecuacin cos n
para 2n ypara 4n .b) Calcularelreadelasdosprimerasvueltasdelaespiralde
Arqumedesdeecuacin a con 0a c) Calcularelreadelareginrodeadaporunlazodelalemniscata
2 cos 2