SOLUCIONARIO DE LA PRÁCTICA 10 PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA UNA Y DOS MEDIAS

Dr. Ricardo Terukina Terukina Profesor Principal

Para el desarrollo de todos los ejercicios, seguir los siguientes pasos:

1. Formulación de la hipótesis nula y alterna.2. Establecimiento del nivel de significación .3. Selección de la prueba estadística.4. Establecimiento de la regla de decisión.5. Cálculo de la prueba.6. Decisión estadística y conclusión.

NOTA: En todos los ejercicios que se presentan a continuación, se supone que las variables de estudio siguen una distribución normal.

Ejercicio 1

La estancia hospitalaria prolongada constituye un factor de riesgo para adquirir infecciones intrahospitalarias; de ahí la importancia de conocer sus características. Un grupo de enfermeras desarrollaron una investigación, seleccionando aleatoriamente a 25 pacientes hospitalizados en un servicio de cirugía. El promedio de días de estancia hospitalaria fue de 5.3 con una desviación estándar de 1.7 días. Las investigadoras desean determinar si es posible afirmar que el promedio de estancia hospitalaria en el servicio de cirugía fue mayor de 6 días, empleando un nivel de significación de 0.05.

Datos:

n = 25 pacientes = 5.3 días

s = 1.7 días = 6 días. = 0.05

Paso 1: Formulación de HipótesisH0: ≤ 6 díasH1: > 6 días

Para plantear las hipótesis correspondientes, hay que analizar qué se quiere demostrar. La hipótesis nula generalmente nos plantea la igualdad de dos variables o que es igual o mayor o igual o menor que otra variable. La hipótesis alternativa se plantea en forma contraria. En nuestro caso, sería mayor de 6 días. Por consiguiente la hipótesis nula sería µ ≤ 6 días y la hipótesis alterna sería µ > 6 días.

Paso 2: Establecimiento del nivel de significación = 0.05

Paso 3: Elección de la prueba estadística:Prueba t (muestra pequeña: menor de 30) unilateral a loa derecha, varianza desconocida.¿Cuándo decimos que una varianza es conocida?Cuando se conoce la varianza poblacional (2); es decir, cuando se trata de la varianza de una población. Cuando se trata de la varianza de una muestra, se trata de la estimación de la varianza poblacional; por consiguiente se trata de una varianza desconocida. Cuando el tamaño de la muestra es grande (n ≥ 30 ) la estimación de la varianza (o desviación estándar) es confiable y se maneja como si fuera una varianza conocida (σ).

Paso 4: Regla de decisión:

Se consulta la tabla de la distribución t para una prueba unilateral a la derecha y encontramos que el valor crítico al nivel de 0.05 es 1.711.

Facultad de Medicina -UNMSMDA Medicina Preventiva y Salud Pública Curso: BioestadísticaEAP: Enfermería, 2012-II

Rechazar H0 si tcalc es mayor que Z tabular (1.711)

Paso 5: Cálculo de la prueba:

t calculado = -2.0588

Paso 6: Toma de decisión y conclusión: Como la tcalc es menor que ttab , no se rechaza la H0

Consultando Excel p = 1

Conclusión: Podemos afirmar con un nivel de significación de 0.05 que la media de la estancia hospitalaria no es mayor de 6 días.

Ejercicio 2

El recuento de los linfocitos CD4 es un marcador importante en el seguimiento en los pacientes infectados por el VIH. En un hospital especializado se seleccionó una muestra de 50 pacientes infectados por el VIH, en quienes se determinó el nivel de CD4, obteniendo como promedio 350 cél/mL y una varianza de 1 600 cel2/mL2. ¿Es posible afirmar que el nivel promedio de linfocitos CD4 es de 400 cel/mL en los pacientes infectados por el VIH de este hospital? Emplee un nivel de significación de 0.05

Datos:

n = 50 pacientes = 350 cel/mL

s2 = 1 600 cel2/mL2

s = √1600 = 40 cel/mL = 400 cel/mL = 0.05

Paso 1: Formulación de HipótesisH0: = 400 cel/mLH1: ≠ 400 cel/mL

Paso 2: Establecimiento del nivel de significación = 0.05

Paso 3: Elección de la prueba estadística:Prueba t bilateral, varianza desconocida.

Paso 4: Regla de decisión:Se consulta la tabla de la distribución t para una prueba bilateral y encontramos que el valor crítico al nivel de 0.05 con 49 grados de libertad se halla entre 2.021 (40 gl) y 2.000 (60 gl). Consultando con Excel, el valor crítico es de 2.0096Rechazar H0 si tcalc es mayor que t tabular (2.0096) o si tcalc es menor que -t tabular (-2.0096)

Paso 5: Cálculo de la prueba:

t calculado = -8.8388

Paso 6: Toma de decisión y conclusión: Como la tcalc (-8.8388) es menor que ttab (-2.0096), se rechaza la H0

Consultando Excel p = 5.13242-12 = 0.00000000000513242

Conclusión: No podemos afirmar con un nivel de significación de 0.05 que el nivel promedio de linfocitos CD4 es de 400 cel/mL en los pacientes infectados por el VIH de este hospital.

Ejercicio 3.

La obesidad en población pediátrica es hoy en día un problema de salud pública. Como parte de los controles de crecimiento y desarrollo, se decidió implementar la medición de indicadores antropométricos adicionales a los de rutina, en los niños de seis años. Dos de estos indicadores, fueron la circunferencia de la cintura y el pliegue tricipital. Se seleccionaron como parte de un estudio piloto a 17 niños y 15 niñas de seis años con sobrepeso. Los resultados de las mediciones se muestran a continuación:

IndicadorNiños Niñas

Media Desviación estándar Media Desviación estándarCircunferencia de cinturaPliegue tricipital

55.8 cm14.6 mm

6.33 cm3.60 mm

55.1 cm14.8 mm

5.9 cm3.5 mm

¿Existe diferencia en los promedios de estos indicadores entre niños y niñas? Emplee un nivel de significación de 0.05.

Como se trata d pruebas de hipótesis para la diferencia de dos medias, previamente debemos señalar los casos que se presentan y cuáles son las pruebas más adecuadas:

A. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales de poblaciones normales con

y conocidas.

Se dice que la varianza es conocida cuando se refiere a la varianza poblacional y se simboliza por

y

Existen dos casos:

1. Cuando el tamaño de la muestra es grande (n ≥ 30 ) se utiliza la Prueba de distribución de Z

2. Cuando el tamaño de la muestra es pequeña (n < 30 ) se recomienda utilizar la Prueba de distribución t o de StudentTambién se puede emplear cuando el tamaño de muestra es grande.

Grados de libertad = n1 + n2 – 2

B. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales de poblaciones normales con

y desconocidas.

Se dice que la varianza es desconocida cuando no se conoce la varianza poblacional y sólo se cuenta con la varianza de la muestra para estimarla.

Cuando el tamaño de la muestra es grande (n ≥ 30 ) la estimación de la varianza (o desviación estándar) es confiable y se maneja como si fuera una varianza conocida (σ). Caso A-1.

Cuando se trata de prueba de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales con varianzas desconocidas se usa la prueba t.

En el desarrollo de la prueba t para grupos independientes existen dos casos:

1. Que las varianzas de las muestras sean desconocidas e iguales.Cuando las varianzas son iguales se utiliza la varianza combinada. (sp

2)

Grados de libertad = n1 + n2 – 2

2. Que las varianzas de las muestras sean desconocidas y desiguales.

2.1. Con tamaño de muestras iguales.Cuando los tamaños de las muestras son iguales, la premisa de que las varianzas sean iguales puede ser violada, ya que en estos casos no influye mucho en el nivel de significación de la prueba; es decir, la prueba t es robusta para varianzas desiguales si los tamaños de las muestras son iguales y se procede como en B – 1

2.2. Con tamaño de muestra desiguales.Cuando los tamaños de las muestras son desiguales, no se pueden combinar las varianzas; en su lugar se usan las varianzas separadas y los grados de libertad para la prueba t se reducen mediante una fórmula conocida como corrección de Satterthwaite cuyo símbolo es y

C. Prueba de hipótesis para la diferencia de medias poblacionales de poblaciones normales con datos apareados.

Grados de libertad = n – 1

Conocido las pruebas más adecuadas para cada caso, pasemos a la solución del ejercicio presentado

3.1. Diferencia en el promedio de la circunferencia de la cintura.

Datos:n1 = 17 niñosn2 = 15 niñas

= 55.8 cm en los niños

= 55.1 cm en las niñas

s1 = 6.33 cm en los niñoss2 = 5.90 cm en las niñas.α = 0.05

Pasos:

Paso 1: Formulación de HipótesisHo: μ1 = μ2 (El promedio de la circunferencia de la cintura es igual en los niños y las niñas)H1: μ1 ≠ μ2 ( El promedio de la circunferencia de la cintura es diferente en los niños y las niñas)

Paso 2: Nivel de significación: = 0.05

Paso 3: Selección de la prueba estadística: Prueba t por tratarse de varianzas desconocidas.

La prueba t para grupos independientes supone que las varianzas de las observaciones sean iguales. Sin embargo, cuando los tamaños de las muestras son iguales, esta premisa puede ser violada, ya que en estos casos no influye mucho en el nivel de significación de la prueba; es decir, la prueba t es robusta para varianzas desiguales si los tamaños de las muestras son iguales. Como en este caso los tamaños de las muestras son desiguales (17 y 15 respectivamente), no podríamos utilizar esta prueba si las varianzas no son iguales; por eso debemos determinar previamente si las varianzas de ambas muestras son iguales, y para ello se utiliza la prueba F. Para aplicar esta prueba se siguen los siguientes pasos:

a. Planteamiento de hipótesis:

H0 : s2A = s2

B (Las varianzas de la circunferencia de la cintura en los niños y en las niñas son iguales)

H1 : s2A ≠ s2

B (Las varianzas de la circunferencia de la cintura en los niños y las niñas son desiguales)

b. Seleccionar la prueba estadística apropiada.Para comparar dos varianzas (suponiendo normalidad) se utiliza la prueba F; es decir la razón de las varianzas mayor y menor. En el numerador va la varianza mayor y en el denominador la

varianza menor. El estadístico F tiene dos conjuntos de grados de libertad: el primero corresponde al tamaño de la muestra de la varianza del numerador menos 1 y el segundo corresponde al tamaño de muestra de la varianza del denominador menos 1. Por tanto, si s 2

1 es la varianza mayor y s2

2 es la varianza menor, la fórmula de la estadística comprobatoria es:

con n1 – 1 y n2 – 1 grados de libertad.

c. Se determina el nivel de significación estadística: 0.05 ó 5%.

d. Determinar el valor crítico,Se determina el valor crítico para los grados de libertad correspondientes, consultando la tabla de distribución F. Los grados de libertad para el numerador corresponde al tamaño de la muestra de la varianza del numerador menos 1 (nB – 1 = 17 - 1 = 16) y el segundo corresponde al tamaño de muestra de la varianza del denominador menos 1 (nA – 1 = 15 – 1 = 14). Para 15/14 grados de libertad, el valor de F que divide la distribución en 95% y 5% es 2.44. Por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula de varianzas iguales, si el valor observado de F es mayor de 2.44

e. Calcular la estadística F:

f. Decisión estadística:

Como el valor de F observado es menor que el valor F tabular, NO se rechaza la hipótesis nula de que ambas varianzas son iguales

Cuando las varianzas son iguales se utiliza la varianza combinada (sp

2).Se elige una prueba de significación estadística para diferencia de medias poblacionales con varianza desconocida e iguales, prueba bilateral, la que está dada por la siguiente fórmula:

Grados de libertad = n1 + n2 – 2

Paso 4: Regla de decisión:Rechazar Ho si t cal es menor de –2.042 ó mayor que +2.042 (30 grados de libertad)

Paso 5: Cálculo de la prueba:

Paso 6: Toma de decisión y conclusión: Como tcal (0.3222) es menor que (2.042) NO se rechaza Ho, por lo tanto con un nivel de significación de 0.05 no hay diferencia significativa entre la media de la circunferencia de la cintura de los niños y las niñas.

Se consulta en Excel para t30 = 0.3222, p = 0.749535792

3.2. Diferencia en el promedio del pliegue tricipital.

Datos:n1 = 17 niñosn2 = 15 niñas

= 14.6 cm en los niños

= 14.8 cm en las niñas

s1 = 3.6 cm en los niñoss2 = 3.5 cm en las niñas.α = 0.05

Pasos:

Paso 1: Formulación de HipótesisHo: μ1 = μ2 (El promedio del pliegue tricipital es igual en los niños y las niñas)H1: μ1 ≠ μ2 ( El promedio del pliegue tricipital es diferente en los niños y las niñas)

Paso 2: Nivel de significación: = 0.05

Paso 3: Selección de la prueba estadística: Prueba t bilateral por tratarse de varianzas desconocidas.

Como en el caso anterior, la prueba t para grupos independientes supone que las varianzas de las observaciones sean iguales. Sin embargo, cuando los tamaños de las muestras son iguales, esta premisa puede ser violada, ya que en estos casos no influye mucho en el nivel de significación de la prueba; es decir, la prueba t es robusta para varianzas desiguales si los tamaños de las muestras son iguales. Como en este caso los tamaños de las muestras son desiguales (17 y 15 respectivamente), no podríamos utilizar esta prueba si las varianzas no son iguales; por eso debemos determinar previamente si las varianzas de ambas muestras son iguales, y para ello se utiliza la prueba F. Para aplicar esta prueba se siguen los siguientes pasos:

a. Planteamiento de hipótesis:

H0 : s2A = s2

B (Las varianzas del pliegue tricipital en los niños y en las niñas son iguales)H1 : s2

A ≠ s2B (Las varianzas del pliegue tricipital en los niños y las niñas son diferentes)

b. Seleccionar la prueba estadística apropiada.Para comparar dos varianzas (suponiendo normalidad) se utiliza la prueba F; es decir la razón de las varianzas mayor y menor. En el numerador va la varianza mayor y en el denominador la varianza menor. El estadístico F tiene dos conjuntos de grados de libertad: el primero corresponde al tamaño de la muestra de la varianza del numerador menos 1 y el segundo corresponde al tamaño de muestra de la varianza del denominador menos 1. Por tanto, si s 2

1 es la varianza mayor y s2

2 es la varianza menor, la fórmula de la estadística comprobatoria es:

con n1 – 1 y n2 – 1 grados de libertad.

c. Se determina el nivel de significación estadística: 0.05 ó 5%.

d. Determinar el valor crítico,Se determina el valor crítico para los grados de libertad correspondientes, consultando la tabla de distribución F. Los grados de libertad para el numerador corresponde al tamaño de la muestra de la varianza del numerador menos 1 (nB – 1 = 17 - 1 = 16) y el segundo corresponde al tamaño de muestra de la varianza del denominador menos 1 (nA – 1 = 15 – 1 = 14). Para 15/14 grados de libertad, el valor de F que divide la distribución en 95% y 5% es 2.44. Por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula de varianzas iguales, si el valor observado de F es mayor de 2.44

e. Calcular la estadística F:

f. Decisión estadística:

Como el valor de F observado es menor que el valor F tabular, NO se rechaza la hipótesis nula de que ambas varianzas son iguales

Cuando las varianzas son iguales se utiliza la varianza combinada (sp

2).Se elige una prueba de significación estadística para diferencia de medias poblacionales con varianza desconocida e iguales, la que está dada por la siguiente fórmula:

Grados de libertad = n1 + n2 – 2

Paso 4: Regla de decisión:Rechazar Ho si t cal es menor de –2.042 ó mayor que +2.042 (30 grados de libertad)

Paso 5: Cálculo de la prueba:

Paso 6: Toma de decisión y conclusión: Como tcal (-0.1589) es mayor que (-1.697) NO se rechaza Ho, por lo tanto con un nivel de significación de 0.05 no hay diferencia significativa entre la media del pliegue tricipital de los niños y las niñas..Se consulta en Excel para t30 = -0.1589 p = 0.874812564

3. El consumo de drogas entre adolescentes es cada vez más frecuente, y las consecuencias individuales, familiares y sociales de las adicciones son difíciles de superar. En una encuesta realizada entre los escolares de educación secundaria de una ciudad de la costa peruana, se determinó que los adolescentes varones que habían iniciado el consumo de marihuana (200 adolescentes) los habían hecho a una edad promedio de 13.2 ± 1.1 años, mientras que entre las adolescentes mujeres que habían iniciado el consumo de esta sustancia (90 adolescentes) el promedio de la edad de inicio fue de 14.7 ± 1.3 años. Se desea determinar si los varones se inician en el consumo de marihuana a una edad menor a la de las mujeres. Emplear un nivel de significación de 0.05

Datos:n1 = 200 varonesn2 = 90 mujeres

= 13.2 años en los varones

= 14.7 años en las mujeress1 = 1.1 años en los varoness2 = 1.3 años en las mujeresα = 0.05

Pasos:

Paso 1: Formulación de HipótesisHo: μ1 ≥ μ2 (El promedio de la edad de inicio en el consumo de marihuana en los varones es igual

o mayor que en las mujeres)H1: μ1 < μ2 (El promedio de la edad de inicio en el consumo de marihuana es menor en los varones

que en las mujeres)

Paso 2: Nivel de significación: = 0.05

Paso 3: Selección de la prueba estadística: Prueba t unilateral a la izquierda por tratarse de varianzas desconocida. Sin embargo, cuando el tamaño de la muestra es grande (n ≥ 30 ) la estimación de la desviación estándar es confiable y se maneja como si fuera una varianza conocida (σ). Caso A-1.

Se elige la prueba de la distribución Z.

Paso 4: Regla de decisión:Rechazar Ho si Zcal es menor que Ztabular (-1.645)

Paso 5: Cálculo de la prueba:

Paso 6: Toma de decisión y conclusión: Como Zcal (-9.5197) es menor que (-1.697) se rechaza la Ho, por lo tanto con un nivel de significación de 0.05 se observa que los varones inician el consumo de marihuana a una edad más temprana que las mujeres.

Se consulta en Excel para Zcal = -9.5197 en una prueba unilateral, p < 0.05 ó p = 8.68399-22

5. Existen propuestas de diferentes intervenciones para poder mejorar los niveles de hemoglobina en niños menores de cinco años. Una experiencia tuvo por objetivo capacitar a las madres de familia de zonas rurales en prácticas de preparación de alimentos con productos locales que tengan un alto contenido de hierro y así poder mejorar los niveles de hemoglobina en los niños. A continuación se muestran los niveles de hemoglobina antes y después de la intervención, en una muestra de 11 niños.

NiñoNivel de hemoglobina antes

de la intervenciónNivel de hemoglobina después

de la intervención1 10.2 11.02 11.0 11.83 10.3 10.84 11.5 11.45 10.5 10.96 11.7 11.87 11,1 10.88 9.5 11.09 10.2 11.410 11.2 11.511 10.3 10.9

¿Se podría afirmar que la intervención fue efectiva? Emplee un nivel de significación de 0.05

Pasos:

Paso 1: Formulación de Hipótesis:¿Qué significa efectiva? En este caso, efectiva significa que va a aumentar el nivel de hemoglobina , o sea que el investigador desea saber en qué medida una alimentación con productos locales con alto contenido de hierro aumenta la hemoglobina de un grupo de niños; entonces las hipótesis planteadas serían:

H0 : μdespués ≤ μantes o μd ≤ 0H1 : μdespués > μantes o μd > 0

Otra alternativa sería:

H0 : μantes ≥ μdespués o μd ≥ 0H1 : μantes < μdespués o μd < 0

En ambos casos los resultados serían iguales pero con signos contrarios: si en el primero sale positivo, el segundo sale negativo y viceversa.Nosotros vamos a utilizar la hipótesis planteada en primer lugar, ya que la pregunta de investigación está referida en este sentido.

Paso 2: Nivel de significación = 0.05

Paso 3: Selección de la prueba estadística: Prueba t para datos pareados, (Caso C).

Paso 4: Regla de decisión

Rechazar H0 para una prueba unilateral para 10 grados de libertad, si tcalc es mayor que t ttab .Grados de libertad (gl) = n – 1 donde n es el tamaño de la muestragl = 11 – 1 = 10Se consulta la tabla de la distribución de t para 10 grados de libertad y encontramos que el valor crítico al nivel de 0.05 para una prueba unilateral de cola superior (a la derecha) es 1.812

Paso 5: Cálculo de la prueba: Se emplea la siguiente fórmula: :

Se debe calcular, con los valores de la tabla, el promedio de las diferencias y la desviación estándar de las diferencias entre los niveles de Hemoglobina después y antes de la intervención. Para ello podemos emplear la siguiente tabla auxiliar:

5.1. Calcular la media de las diferencias entre después y antes. Para ello se suman las diferencias entre después y antes (Columna 4), y esta suma se divide entre el número de casos

5.2. Calcular la desviación estándar de las diferencias. Para ello se obtienen las diferencias entre cada diferencia (d) y su correspondiente media (Columna 5); cada una de estas diferencias se elevan al cuadrado y se suman (Columna 6); esta suma se divide entre n-1 y se obtiene la varianza, y finalmente se obtiene la desviación estándar sacando la raíz cuadrada de la varianza.

5.3. Calcular t:

Paso 6: Toma de decisión y conclusión

Como t calc = 3.2579 es mayor que t tab = 1.812 se rechaza la H0.

Niños(1)

HemoglobinaxD -xA = d

(4) (5)(

(6)

Después(2)

Antes(3)

1 11 10.2 0.8 0.2727 0.074365292 11.8 11.0 0.8 0.2727 0.074365293 10.8 10.3 0.5 -0.0273 0.000745294 11.4 11.5 -0.1 -0.6273 0.393505295 10.9 10.5 0.4 -0.1273 0.016205296 11.8 11.7 0.1 -0.4273 0.182585297 10.8 11.1 -0.3 -0.8273 0.684425298 11.0 09.5 1.5 0.9727 0.946145299 11.4 10.2 1.2 0.6727 0.4525252910 11.5 11.2 0.3 -0.2273 0.0516652911 10.9 10.3 0.6 0.0727 0.00528529

Total 123.3 117.5 5.8 -0.0003 2.88181819

Se consulta en Excel para t10 = 3.2579 en una prueba unilateral, p < 0.05 ó p = 0.00430233

Conclusión: Para un nivel de significación de 0.05 podemos afirmar que la alimentación con productos locales con alto contenido de hierro produce un aumento de los niveles de Hemoglobina en los niños.

R. TerukinaRevisado13-06-2012