UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA

PROGRAMA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA

Prctica 1 Diseo de compensador de Adelanto LDR con Matlab

1

OBJETIVOS: Presentar los procedimientos para el diseo y la compensacin de sistemas de control de una

entrada y una salida invariantes con el tiempo utilizando el mtodo del lugar de las races.

1. COMPENSACIN DE SISTEMAS. INTRODUCCIN

Los sistemas de control se disean para realizar tareas especficas. Los requisitos impuestos sobre el sistema de control, se dan como especificaciones de comportamiento (una respuesta transitoria o estacionaria con unas caractersticas determinadas). Un primer paso para conseguir un comportamiento satisfactorio del sistema sera establecer su ganancia. Sin embargo, en muchos casos prcticos, ajustando nicamente la ganancia, no se proporciona una alteracin suficiente para que el sistema pueda cumplir las especificaciones dadas, adems si incrementamos la ganancia en exceso, conseguiremos una mejora en el comportamiento estacionario del sistema pero al mismo tiempo reduciremos su estabilidad. Para que el sistema cumpla con las especificaciones deseadas, se introduce un nuevo elemento denominado compensador, que modifica el comportamiento deficiente del sistema original.

Normalmente los compensadores y controladores utilizados son los compensadores de adelanto, los de retardo, los de retardo-adelanto y los controladores PID. En esta prctica se analiza el mtodo del lugar de las races para disear compensadores de adelanto.

El mtodo del lugar de las races es una tcnica grfica que permite determinar las localizaciones de todos los polos en lazo cerrado a partir de las localizaciones de los polos y ceros en lazo abierto cuando algn parmetro (generalmente la ganancia) vara de cero a infinito. En muchas ocasiones un ajuste de la ganancia es insuficiente para conseguir que nuestro sistema cumpla con unos requisitos determinados, siendo necesario aadir polos y/o ceros (efecto del compensador), sobre el lugar de las races original. La adicin de un polo a una funcin de transferencia en lazo abierto, tiene el efecto de desplazar el lugar de las races hacia le derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y el tiempo de asentamiento de la respuesta. Al aadir un cero a la funcin de transferencia en lazo abierto, se consigue desplazar el lugar de las races hacia la izquierda, consiguiendo de esta forma hacer el sistema ms estable y acelerar el tiempo de asentamiento de la respuesta.

Los compensadores se pueden colocar en serie con la planta (compensacin en serie) o en paralelo (compensacin en paralelo o mediante realimentacin). Nos centraremos en el primer tipo de compensacin, compensacin en serie.

2. COMPENSADORES DE ADELANTO.

Existen muchas formas de obtener compensadores de adelanto, por ejemplo, redes electrnicas que utilizan amplificadores operacionales, redes RC elctricas y sistemas amortiguadores mecnicos.

La funcin de transferencia de un compensador de adelanto sera:

Gc(s) + G(s) -

2

)10( 1

1

11)( > fun_g=tf([4],[1 2 0]); >> fun_h=tf([1],[1]); >> fun_m=feedback(fun_g,fun_h)

Transfer function: 4

------------- s^2 + 2 s + 4

Para saber cuales son los polos en lazo cerrado escribimos: >> roots([1 2 4])

ans =

-1.0000 + 1.7321i -1.0000 - 1.7321i

Paso 2:

Nos piden que: 21 nn j donde = 0.5 y n= 4 rad/seg.

3

Por lo tanto, el polo dominante ha de tener las siguientes coordenadas: 322 js =

Si dibujamos el lugar de las races de nuestro sistema tenemos:

>> fun_g=tf([4],[1 2 0])

Transfer function: 4 --------- s^2 + 2 s

>> rlocus(fun_g) >> v=[-5 2 -3 3]; >> axis(v)

Figura 2. Lugar de las races sin compensacin.

Puede observarse que variando nicamente la ganancia no sera suficiente para obtener el polo en lazo

cerrado deseado ( s = 2 j2 3 ). Paso 3:

En este paso se hallaran los polos y ceros del compensador que modifiquen a la funcin de transferencia G(s) de forma que el polo en lazo cerrado sea el que se ha definido en el Paso 2.

La funcin de transferencia del compensador ser:

)10( 1

1

11)(

4

PD con el eje real negativo proporcionan la localizacin necesaria para el polo y cero de la red de adelanto (ver Fig.3). Por tanto el compensador diseado har de P un punto sobre el lugar de las races del sistema compensado. La ganancia en lazo abierto se determina a partir de la condicin de magnitud.

Figura 3. Determinacin del polo y del cero de una red de adelanto.

De forma analtica, los clculos a realizar seran:

60==x

y

PP

arctg donde Py = 2 3 y Px = 2; = 180 ; donde es el ngulo formado entre PA y PO.

El mdulo de OP ser: 422 =+= yx PPOP Por otro lado, el ngulo con el que debe de contribuir el compensador de adelanto para que la suma total de los ngulos sea de 180(2k+1) se obtiene a partir del argumento de G(s) para el polo deseado:

=+ += 34124

)2(4

322 jarctg

ss js= 30

Por tanto el compensador debe de contribuir con 30, es decir, = 30. El paso siguiente es calcular los siguientes ngulos:

.752/2/180

452/2/180=+===

D

C ; sabiendo que ambos casos la suma de los ngulos que forman

sus respectivos tringulos es de 180.

Para determinar la posicin del polo y el cero, aplicamos el teorema del seno obteniendo:

OC

sen

OPsen C

)22

( +=OD

sen

OPsen D

)22

( =

Resultando el siguiente valor de los segmentos: OC = - 5.4. OD = -2.9 donde OC ser el polo en s y OD el cero en s. Entonces:

185.04.5

1 345.09.2

1 ==== TT

C

ODBC

/2/2

P/2

D

A

5

Por tanto =0.537.

Finalmente, la funcin en lazo abierto del sistema compensado se convierte en:

)4.5)(2()9.2(

)2(4

4.59.2)()( ++

+=+++=

ssssK

ssssKsGsG CC

Para calcular la ganancia K, utilizamos la condicin de magnitud de la siguiente forma:

1)4.5)(2(

)9.2(

322

=+++

+= jsssssK

Resolviendo obtenemos K=18.7. Por lo tanto, Kc=18.7/4=4.68.

Representando el lugar de las races se obtiene:

>> den=conv([1 2 0],[1 5.4]) >> num=conv([18.7],[1 2.9]) >> fs=tf(num,den)

Transfer function: 18.7 s + 54.23 ---------------------- s^3 + 7.4 s^2 + 10.8 s

>> rlocus(fs) >> axis(v)

Figura4. Lugar de las races del sistema compensado.

6

Por otro lado, la constante de error esttico de velocidad sera de:

1

0)(002.5

)4.5)(2()9.2(7.18lim)(lim >> =++

+== segssssssGsGK

sscsv

Dibujar (Graficar con Matlab) las respuestas del sistema (compensado y sin compensar) ante un entrada escaln unitario.

En el informa incluya el codigo de todo el programa en matlab, todas las graficas necesarias y el archivo "m" . tambien incluir las conclusiones que considere adecuado. (Del ejemplo y del ejercicio).

EJERCICIO

En el sistema de la figura, disear un compensador de adelanto para que los polos dominantes en lazo cerrado se localicen en s = 2 j2 3 . Dibujar la respuesta a una entrada escaln del sistema diseado con Matlab. (compensado y sin compensar).

Gc(s) 1)5

s(0.5s +