Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaUnidad Zacatenco

Curso

Analisis Numérico

Practica # 5:

Método de Biseccion y método de la regla falsa

Profesor

Miguel Jiménez Guzmán

Alumno: Ramos Perez Jose Emmanuel

México D.F., Octubre de 2013

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1. Objetivo:

Que el alumno comprenda y aplique el método de Biseccion y el método de la regla falsa para la solución de ecuaciones no lineales , usando programación en MatLab Scilab y/o C.

2. Introducción:

Un sistema de ecuaciones lineales de la forma: 

Donde a ij, son los coeficientes constantes, b j son los términs independientes constantes y x j son las incógnitas. Se dice que es un sistema que tiene n ecuaciones con n incógnitas o simplemente que es de orden nxn. 

Método de Eliminación Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación de Gauss. La principal diferencia consiste en que cuando una incógnita se elimina en el método de Gauss-Jordan, ésta es eliminada de todas las otras ecuaciones, no sólo de las subsecuentes. Además, todos los renglones se normalizan al dividirlos entre su elemento pivote. De esta forma, el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una triangular.

Este método utiliza las mismas técnicas de eliminación Gaussiana (incluyendo el pivoteo), pero con el objetivo de finalizar con una matriz de la siguiente forma:

1

 

Donde nI es la matriz identidad de nxn .

Para lograr esto, se usa la técnica del pivoteo con la única diferencia que el pivote se usa para hacer ceros hacia abajo y hacia arriba. 

3.- DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

El método de Gauss-Jordan consiste en:

Eliminación hacia adelante normalizando. Eliminación hacia atrás.

A continuación será explicado en base a un ejercicio la forma de resolver un sistema de ecuaciones visto en clase, utilizando este método.

.15 −.1 −.05−.1 .145 −.025−.05 −.025 .075

= 502

Normalizamos el renglon 1 y modificamos los valores del renglon 2 y 3, en base al metodo de columna y renglon pivote que es la señalizada en verde, los elementos que estan debajo del elemento A11 se haran 0.

.15/ .15 −.1/ .15 −.05/ .150 .07833 − .058330 −.05833 .05833

= 5 / .153 .333333 .66666

2

Los valores que modificamos fueron sacados de la siguiente forma:

Ahora normalizaremos los valores del renglón 2

1 −2/3 −1 /30 .07833/ .07833 − .05833 / .078330 0 .01489

=100/3

3 .33333/ .078336 .14889

La matriz que nos queda después de normalizar el renglón 2 queda asi:

1 −2/3 −1/30 1 −7 .44660 0 .01489

=100 /342.554956 .14889

Ahora el renglón que tenemos que modificar será el 3 con las siquientes operaciones:

Lo que nos queda a continuación es;

del renglón 3 despues de modificarlos por segunda vez es, normalizar sus elementos y poner nuevamente nuestro renglón columna pivote en ese mismo renglón

3

A22´= A23´=

A32´= A33´=

A24´=

A34´=

A33´´=

A34´´=

1 −2/3 −1 /30 1 −7 .744660 0 .01489 / .01489

=100/342 .55495

6 .14889/ .01489

Nos quedaría una matriz de la siguiente manera

1 −2/3 −1/30 1 −7 .744660 0 1

=100 /342.55495412 .95433

#nota: hasta este punto se realizo la eliminación hacia adelante junto con la normalizacion

De la matriz que nos quedo, empezamos a realizar el método de sustitución hacia atras

Nos queda lo siguiente:

1 −2/3 00 1 00 0 1

=170 .98477350 .06552412 .95433

Modificamos el valor de B1´N siguiedo el método de sustitucion hacia

atras

Lo que nos queda:

4

B2´´N=

B1´N=

B1´´N =

1 0 00 1 00 0 1

=404 .36178350 .06552412.95433

De esta manera obtenemos los resultados los cuales son:

#Nota: el valor de B3´´N no se calcula pues ya lo teníamos desde el principio.

MATRIZ INVERSAUna de las aplicaciones del método de Gauss-Jordan, es el cálculo de matrices inversas. Recordamos primero la definición de matriz inversa. 

Definición. Sea A una matriz de nxn . La matriz inversa de A es una matriz B de nxn tal que:

Se escribe 1AB para denotar la matriz inversa. Cuando la matriz

inversa existe, es única, pro no siempre existe la matriz inversa.

Un resultado de algebra lineal prueba que la matriz inversa 1A existe

si y solo si el determinante de A es distinto de cero.El método de Gauss-Jordan procede Como sigue:

Es decir, en una matriz comenzamos por escribir la matriz A, y a su

derecha agregamos la matriz identidad nI del mismo orden que la matriz A; enseguida aplicamos el método de Gauss-Jordan para hacer los

ceros y unos y obtener del lado izquierdo la matriz identidad nI . Del lado derecho lo que obtendremos será la matriz inversa de A.  

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Ejemplo 2.      Usar el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa de:

Solución.    En una matriz, colocamos la matriz A y a su derecha agregamos la matriz identidad:

Por lo tanto, concluímos que la matriz inversa de A es:

1. Ejemplo de Aplicación:

LOOP ANALYSIS

Loop analysis is a method for obtaining loop currents. The technique uses Kirchoff voltage law (KVL) to write a set of independent simultaneous equations. The Kirchoff voltage law states that the algebraic sum of all the voltages around any closed path in a circuit equals zero.

In loop analysis, we want to obtain current from a set of simultaneous equations. The latter equations are easily set up if the circuit can be drawn in planar fashion. This implies that a set of simultaneous equations can be obtained if the circuit can be redrawn without crossovers.

For a planar circuit with n-meshes, the KVL can be used to write equations for each mesh that does not contain a dependent or independent current source. Using KVL and writing equations for each mesh, the resulting equations will have the general form:

6

(4.16)Donde

I1, I2, ... In are the unknown currents for meshes 1 through n.

Z11, Z22, …, Znn are the impedance for each mesh through which individual current flows.

Zij, j # i denote mutual impedance.

Vx is the algebraic sum of the voltage sources in mesh x.

Equation (4.16) can be expressed in matrix form as

(4.17)Donde

y

The solution to Equation (4.17) is

(4.18)

In MATLAB, we can compute [I] by using the command

I = inv(Z) *V (4.19)

Donde

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inv(Z) es la inversa de la matriz Z

The matrix left and right divisions can also be used to obtain the loop currents.Thus, the current I can be obtained by the MATLAB commands

I = V / Z (4.20)o

I = Z \ V (4.21)

As mentioned earlier, Equations (4.19) to (4.21) will give the same results, provided the circuit is not ill-conditioned. The following examples illustrate the use of MATLAB for loop analysis.

Ejemplo 2

Use the mesh analysis to find the current flowing through the resistor RB. In addition, find the power supplied by the 10-volt voltage source.

Figure 4.3a Bridge Circuit

Solution

Using loop analysis and designating the loop currents as I1, I2, I3, we obtain the following figure.

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Figure 4.3b Bridge Circuit with Loop Currents

Note that I = I3 – I2 and power supplied by the source is P = 10 I1

The loop equations are

Loop 1,

10 ( I 1−I2 )+10 ( I 1−I 2 )−10=0

40 I 1−10 I 2−30 I 3=10 (4.22)

Loop 2,

10 ( I 2−I1 )+15 I 2+5 ( I2−I 3 )=0

−10 I 1+30 I 2−5 I3=0 (4.23)

Loop 3,30 ( I 3−I 1)+5 ( I 3−I 2 )+30 I 3=0

−30 I 1−5 I 2+65 I 3=0 (4.24)

In matrix form, Equations (4.22) and (4.23) become(4.25)

a) Realizar el Diagrama de Flujo para el Método de Gauss a partir del siguiente pseudocodigo siguiente:

// Eliminación Hacia AdelanteDO FOR k = 1, n — 1

DO FOR i = k + 1, nfactor = a(i,k) / a(k,k)DO FOR j = k + 1 to n

a(i,j) = a(i,j) — factor · a(k,j)

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END DOb(i) = b(i) — factor · b(k)

END DOEND DO

// Eliminación Hacia AtrasX(n) = b(n) / a(n,n)DO FOR i = n — 1, 1, — 1

sum = b(i)DO FOR j = i + 1, n

sum = sum – a(i,j) · x(j)END DOX(i) = sum / a(i,i)

END DO

b) Codigo para resolución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordan

// GAUSS JORDAN// EMANUEL RAMOS PEREZclear allA=[.15 -.1 -.05 5; -.1 .145 -.025 0; -.05 -.025 .075 2];[r,c]=size(A); // ELIMINACION HACIA ADELANTEfor k=1:r for j=c:-1:1A(k,j)=A(k,j)/A(k,k); endfor i=k+1:r for j=c:-1:kA(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j); end end end

//SUSTITUCION HACIA ATRASfor k=r:-1:2 for i=k-1:-1:1 for j=c:-1:k A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j); end end enddisp(A)

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c) Escribir los resultados del proceso de eliminación hacia adelante y del proceso de sustitución hacia atrás para cada uno de los siguientes ejemplos:

EJERCICIO 1

EJERCICIO 2

EJERCICIO 3

El resultado para los problemas propuestos son los siguientes:

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4.- EJEMPLOS DE APLICACIÓN

APLICACIONES DEL METODO DE GAUSS JORDAN

El método de Gauss Jordan para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales es utilizado en la ingeniería para resolver problemas que se pueden presentar en las multiples ramos de la ingeniería donde sea necesario resolver sistemas de ecuaciones muy grandes, en el caso de la ingeniería eléctrica es usado en el análisis de mallas que es un método para encontrar las corrientes que circulan por dicho circuito, basados en las LVK (leyes de voltaje de Kirchoff), ya se comentaron algunos ejemplos a lo largo de la practica.

5.- CONCLUCIONES

Como se puede apreciar este método tiene cierta familiaridad con el método de gauss simple con normalización, aunque definitivamente en el caso particular del método gauss jordan se emplean 50% más de operaciones al compararlo con gauss simple, aunque teniendo la lijera ventaja de que al terminar ya no es necesario hacer el despeje de cada incognita pues el resultado es inmediato.

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