HT

Reporte De Practicas De Hidráulica I

Altura Metacéntrica

J. Avecillas, M. Ortega, J. Pozo, J. Ulloa

1. Introducción.

La fuerza resultante sobre un cuerpo por un fluido estático que se encuentra sumergido o flotando se conoce como fuerza de empuje. Ésta siempre actúa verticalmente hacia arriba y no tiene componente horizontal debido a que la proyección del cuerpo sumergido o la porción sumergida de un cuerpo flotante sobre un plano vertical siempre es cero. (Streeter & Wyle, 1988)

E=V∗γ

La fuerza de empuje es el producto entre volumen del líquido desplazado y el peso específico del fluido. La fuerza de empuje actúa a través del centroide del volumen del fluido desplazado; este centroide se conoce como centro de empuje (B).

Un cuerpo tiene una estabilidad lineal cuando un pequeño desplazamiento lineal en cualquier dirección genera fuerzas de restablecimiento que tienden a retornarlo a su posición original. Un cuerpo tiene estabilidad rotacional cuando genera un par restaurador por cualquier pequeño desplazamiento angular.

Un cuerpo puede flotar en equilibrio estable, inestable o neutro. Cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio inestable, cualquier pequeño desplazamiento angular genera un par que tiende a incrementar dicho desplazamiento. Si el cuerpo se encuentra en equilibrio neutro, cualquier pequeño desplazamiento angular no genera ningún par.

Un cuerpo flotante con su centro de gravedad por debajo de su centro de empuje flota en equilibrio estable. Sin embargo, ciertos cuerpos flotantes se encuentran en equilibrio cuando su centro de gravedad está por encima del centro de empuje.

La fuerza de empuje actúa hacia arriba en el centroide del volumen desplazado (B’) y el peso actúa hacia abajo a través del centro de gravedad (G). La intersección de la vertical que pasa por B’ y la línea central original se conoce como metacento (N).

Cuando N se encuentra por encima de G, el cuerpo es estable; cuando se encuentra por debajo de G, es inestable y cuando se encuentra en G, está en equilibrio neutral.

La distancia GN se conoce como altura metacéntrica y es una medida directa de la estabilidad del cuerpo.

Al rotar el cuerpo, genera un cambio en la forma del volumen desplazado, por lo que el centro de empuje se moverá a la nueva posición B’. La fuerza de empuje y la fuerza de gravedad formaran un par restaurador (C), el cual es igual a:

C=m∗g∗GN∗sin θ

2. Materiales y Métodos.

2.1 Materiales. Balanza Electrónica. Flexómetro. Flotador.

Figura 1

Figura 2

2.2 Métodos.A) Localización del centro de gravedad del flotador

Halle la masa del flotador Soporte la base del pontón en dos puntos como se ve en la figura 3 (la línea a través de los

puntos debe ser paralela a la base del flotador).

Figura 3

Mida la distancia de la línea de soporte desde la base. (a) Soporte el mástil, en su punto sobre el plato de la balanza, y mida la distancia de este punto a la

base del pontón. El mástil debe estar horizontal durante la prueba. Mida la reacción existente en la balanza para varias distancias “y” de la masa deslizante del

mástil desde la posición mas baja.

Tomando momentos determine la distancia y del centro de gravedad del pontón, desde la base

para cada posición de la masa deslizante.

∑ M o=0R2∗( L−a )=R∗ y1

y1=R2∗(L−a)

R

y=R2∗(L−a)

R+a

B) Localización del metacentro por medio de la cupla. Pese la masa deslizante transversal. Realice el siguiente proceso para varias distancias “y” de la masa deslizante vertical, desde su

posición mas baja.Flote el pontón y mueva la masa transversal. Anote la correspondiente distancia “x” en la

escala lineal (preferible cada centímetro). Cuando el pontón este quieto, lea el ángulo del

hilo θ en la escala de grados. Mueva la masa transversal cada centímetro y tome lecturas de

“x” y θ, cada vez.

El par restaurador formado por el peso del flotador es:

C=m∗g∗GN∗sin θ

Como θ es pequeño, sin θ ≈ θ por lo tanto:

C=m∗g∗GN∗θ

El par formado por la masa transversal es:

C=mt∗g∗x

Igualando los pares restauradores y colocando el ángulo en radianes tenemos:

x=m∗GN∗πmt∗180

∗θ

Donde:

pendiente=m∗GN∗πmt∗180

C) Localización del metacentro por medida. Mida las dimensiones externas del flotador: Largo y ancho. (h y l)

Se tiene que el radio metacéntrico es igual a:

BN= IV

Donde:

I es el momento de inercia del plano de agua con respecto a un eje paralelo al eje de la cupla.

V es el volumen desplazado igual al volumen total.

El centro de flotación, está en el centroide del volumen de fluido desplazado (Streeter & Wyle, 1988). Llamemos yb a la altura del centro de flotación medida desde la base del equipo. Entonces la altura metacéntrica es:

HT= yb+IV

3. Resultados y Discusión

A) Localización del centro de gravedad del flotador

De los datos obtenidos en laboratorio obtenemos y para las distintas posiciones de la masa vertical.

Posición 1 2 3 4 5y[cm] 0 2 4 6 8R2[gr] 76 83 97 106 118ȳ 6.66 6.87 7.29 7.56 7.91

0 1 2 3 4 5 6 7 8 96.00

6.50

7.00

7.50

8.00

8.50

Series2

y[cm]ȳ[

cm]

B) Altura Metacéntrica por medio de la cupla.

Grafico obtenido para cada posición de la masa deslizante vertical.

0.750000000000001 2.25 3.75 5.25 6.751

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Posicion 1

Posicion 2

Posicion 3

Posicion 4

Posicion 5

θ[°]

x[cm

]

Del gráfico obtenemos:

pendiente=0.667

Despejamos GN:

GN=mt∗180∗pendiente

m∗π

GN=304.1∗180∗0.6671414∗π

=8.215 cm

GN=8.22 cm

C) Altura metacéntrica por medidas.

Datos del equipo

R[gr] L[cm] l[cm]

B[cm] h[cm]

a[cm] mt[gr] mv[gr]

1414 46.5 35 7.5 20 4.4 304.1 265.32

I= l∗h3

12=35∗203

12=23333 cm4

Dado que el equipo esta en equilibrio entonces

P=E

m∗g=ρ∗g∗V

V=mρ=

1414 [gr ]1[gr /c m3]

=1414 c m3

V=h∗l∗h∑ ¿=1414 ¿

h∑ ¿=2.02cm ¿

∴ yb=h∑¿

2=1.01 cm¿

HT= yb+IV

=1.01+ 233331414

HT=17.51 cm

4. Conclusiones:

Existe un error de apreciación al leer los ángulos, esto se puede observar en las gráficas de x contra θ. Sin embargo la mayoría de los puntos se ajustan a una línea recta y de ésta se obtuvo el valor de la pendiente para el cálculo de la altura metacéntrica.

La posición del metacentro no depende de la posición del centro de gravedad ya que para distintas posiciones (1,2,3,4,5) la pendiente del gráfico de x contra θ, la masa transversal y la masa del flotador son las mismas.

La altura metacéntrica no varía con el ángulo de inclinación, ya que éste varía linealmente con el brazo de palanca de la masa transversal, es decir, con x; por lo que la pendiente se mantiene constante, por ende la altura metacéntrica también.

5. Referencias

Streeter, V. L. & Wyle, E. B., 1988. Mecanica de los Fluidos. s.l.:McGRAW-HILL.

Wikipedia, C. d., 2012. Wikipedia, Metacentro Transversal. [En línea] Available at: http://es.wikipedia.org/wiki/Metacentro_transversal[Último acceso: Octubre 2012].