INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALUNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGÍA

INGENIERÍA EN ALIMENTOS

SIMULACION Y ESCALAMIENTO DE PROCESOS

GRUPO: 7LV1

PRACTICA 4

“Análisis de casos de escalamiento de procesos”

· LUNA ROQUE LAURA PAMELA· REYES RODRIGUEZ ALEJANDRO

PROFESORA:

Olivia Cruz Islas

CIUDAD DE MÉXICO, A 16 DE MAYO DE 2016

1) INTRODUCCIÓN

El escalamiento es el conjunto de métodos específicos para el traslado de información de proceso de una escala a otra. Escalar un proceso es convertirlo de su escala de investigación (laboratorio) a escala industrial completa (producción). Este escalamiento puede darse por un análisis dimensional el cual se basa en la validez general de cualquier formulación matemática de un problema tecnológico (físico o químico) dada por su homogeneidad dimensional.

El análisis dimensional permite escribir leyes de escalamiento y relaciones entre diferentes parámetros de importancia en experimentos.

(Barenblatt GI., 2003)

Existen varios métodos para el análisis dimensional, uno de ellos es aquel propuesto por Buckingham (1914). Este método propone que debe existir una relación funcional de la forma:

f (q1, q2, q3 . . . qn) = 0

Para un número n de parámetros relevantes que describen un fenómeno en particular. Ahora, los n parámetros pueden ser combinados exactamente en (n−r) grupos adimensionales independientes (o grupos Π), donde r es el número de dimensiones independientes. Lo anterior se puede expresar como:

φ (1, 2 . . . n−r) = 0

La importancia de este método yace en la reducción significativa de parámetros cuando n y r son de un digito.

(Santiago López, 2016)

TEOREMA : Si n variables físicas de un proceso están relacionadas en una ecuación para describirlo, la relación entre las variables puede ser reformulada agrupando las n variables en números adimensionales en la forma: n r (1) donde r es el número de dimensiones fundamentales independientes en las n variables implicadas. Una dimensión fundamental es la que sirve de base para expresar otras dimensiones. El principio de similitud puede estar basada en los números adimensionales que caracterizan matemáticamente al proceso según lo expresado en el teorema. Un proceso realizado en dos escalas diferentes produce resultados totalmente equivalentes (similitud completa) si los números adimensionales necesarios para describirlo tienen el mismo valor numérico.

(Zlokarnik, 2002).

2) OBJETIVOS

Conocer el método del análisis dimensional para el escalamiento de procesos. Calcular los grupos adimensionales necesarios en la descripción del proceso. Determinar la función de escala aplicable al escalamiento del proceso con base en

el principio de similitud.

3) DATOS DEL ESCALAMIENTO

En el proceso de cocción de alimentos en horno, el calor se transfiere desde la fuente de calentamiento hasta la superficie del alimento por los mecanismos de radiación y convección. La masa del alimento se cuece por el calor que se difunde en estado transitorio únicamente por conducción desde la superficie. Esta conducción transitoria de calor en el alimento es el paso limitante de velocidad en el proceso de cocción. La conducción de calor depende básicamente de

una propiedad material del alimento, la difusividad térmica: α=kρCp

Donde k es la conductividad térmica del alimento, es su densidad y Cp es su capacidad calorífica específica. La velocidad de transferencia de calor aumenta concomitantemente con la conductividad térmica, y disminuye con el incremento del producto Cp, que representa a la cantidad de calor en unidad de tiempo y de volumen que se debe suministrar al alimento para su cocción. El alimento se considera cocido cuando alcanza una cierta temperatura característica, con el proceso iniciando desde una temperatura ambiente en la superficie de la carne. La variable objetivo es el tiempo necesario para lograr la temperatura de cocción. Se requiere desarrollar una función de escalamiento para cocción de mayores cantidades de carne.

Con las consideraciones anteriores, el análisis dimensional del proceso de cocción de carne requiere de las variables relevantes incluidas en el cuadro I.

NOTA: Para la descripción de este proceso se requieren las dimensiones fundamentales longitud (L), tiempo (T) y temperatura (ɵ).

A partir de las variables y dimensiones fundamentales identificadas es posible obtener una función de escala para la cocción de grandes cantidades de carne en un horno convectivo de calentamiento uniforme.

4) RESULTADOS

De acuerdo al cuadro I notamos que las dimensiones fundamentales en el problema son sólo la temperatura (ɵ), la longitud (L) y el tiempo (T) definiendo r = 3, mientras que las variables relevantes son cinco (n = 5). De acuerdo al teorema, se requieren = 5 – 3 = 2 números adimensionales para agrupar las variables relevantes del proceso.

Para realizar el análisis dimensional en el horno procedemos a definir la matriz dimensional como el arreglo numérico de las n variables descriptivas de un proceso (columnas) y las r dimensiones fundamentales (renglones) necesarias para expresar la homogeneidad dimensional en la formulación matemática del proceso, dicha matriz dimensional está compuesta por una matriz núcleo y una matriz residual.

Quedando de la siguiente forma:

A α T t T0

L 2 0 2 0 0T 0 0 -1 1 0ɵ 0 1 0 0 1

Intercambiamos la columna ɑ y T obteniendo:

A α T t T0

L 2 2 0 0 0T 0 -1 0 1 0ɵ 0 0 1 0 1

Multiplicamos el renglón L * 0.5

A α T t T0

L 1 1 0 0 0T 0 -1 0 1 0ɵ 0 0 1 0 1

Multiplico el renglón T * -1

A α T t T0

L 1 1 0 0 0T 0 1 0 -1 0ɵ 0 0 1 0 1

Resto el renglón L – T

A α T t T0

L 1 0 0 1 0T 0 1 0 -1 0ɵ 0 0 1 0 1

Los números adimensionales del proceso se generan a partir de la matriz residual de la matriz dimensional reducida. Cada columna de esta matriz residual permite la formulación de un grupo adimensional. Así, cada número adimensional se construye dividiendo la variable de la columna entre el producto de las variables (columnas) de la matriz núcleo, elevadas al exponente definido en la columna de esa variable. Por tanto, para las variables en la matriz residual se tendría:

❑1=t

A1α−1T0=tαA

❑2=T 0

A0α0T 1=T 0

T

Recordando la ecuación de la difusividad térmica: α=kρCp

Sustituimos en ❑1 y❑2

❑1=t kA ρC p

❑2=T0

T

Analizando el grupo adimensional de calor t kA ρC p

, notamos que son unidades de conducción de

calor, específicamente la ley de Fourier (F0¿

Por lo cual nuestra función de escalamiento es F0=f (T 0

T)

La ecuación que describe la conducción térmica se conoce como ley de Fourier, la conducción del calor se establece siempre que exista un gradiente o diferencia de temperaturas entre dos puntos de una barra metálica.

Sea J la densidad de corriente de energía (energía por unidad de área y por unidad de tiempo), que se establece en la barra debido a la diferencia de temperaturas entre dos puntos de la misma. La ley de Fourier afirma que hay una proporcionalidad entre el flujo de energía J y el gradiente de temperatura.

J=K ∂T∂ x

Siendo K una constante característica del material denominada conductividad térmica.

(Koshkin, 1975)

Consideremos un elemento de la barra de longitud dx y sección S. La energía que entra en el elemento de volumen en la unidad de tiempo es JS, y la que sale es J’S. La energía del elemento cambia, en la unidad de tiempo, en una cantidad igual a la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente.

JS−J S'=−∂ J∂x

Sdx

Esta energía, se emplea en cambiar la temperatura del elemento. La cantidad de energía absorbida o cedida (en la unidad de tiempo) por el elemento es igual al producto de la masa de dicho elemento por el calor específico y por la variación de temperatura

( ρS ∂x )Cp ∂T∂t

Igualando ambas expresiones, y teniendo en cuenta la ley de Fourier, se obtiene la ecuación diferencial que describe la conducción térmica

∂T∂ t

=α ∂2T∂ x2 ∴α= k

ρCp

(Puig Adam, 1950)

5) ANÁLISIS

6) CONCLUSIONES

7) REFERENCIAS Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Manual de Física Elemental. Editorial Mir 1975. Puig Adam P., Curso teórico-práctico de ecuaciones diferencias aplicado a la Física y

Técnica. Biblioteca Matemática (1950). Zlokarnik M. (2002). Scale-up in Chemical Engineering. Wiley-VCH, Alemania. Barenblatt GI. (2003). Scaling. Cambridge University Press, Reino Unido. Análisis Dimensional y Modelos a Escala Santiago López,2016 tomado de:

http://fluidosudea.weebly.com/uploads/2/3/6/7/23678756/capitulo4.pdf