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Universidad de Costa Rica Escuela de Matemática MA1210 Cálculo I PRÁCTICA #5

Contenidos:

Problemas sobre recta tangente y normal. Derivada como razón de cambio. Razones de cambio relacionadas.

I. En la figura se muestra la circunferencia de ecuación 1022 yx y las rectas tangentes en los puntos 1,3 y 3,1

1. Verifique que esas rectas son perpendiculares.

2. ¿En qué puntos de

esta curva la recta tangente es horizontal?

II. En la siguiente figura se presenta la curva de ecuación 322 yx y las rectas tangentes a ella en los puntos 1,2 y 1,2 .

3. Determine la ecuación de cada una de las rectas y verifique que se intersecan en el punto 3,0 .

4. ¿En qué puntos de

esta curva la recta tangente es paralela a y =2x?

x

y

x

y

2

III. Resuelva los siguientes ejercicios:

5. Considere la función IRDf f : definida por 2( )3

xf xx

. Determine la

ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto 42,5

.

6. Considere la función : 0,f IR definida por 32 5 1f x x x . Determine el punto donde la recta tangente a f es paralela a la recta 3x y .

7. Considere la función IRDf f : definida por 3( ) 9 1f x x x . Determine los puntos que pertenecen al gráfico de esta función, para los cuales la pendiente de la recta tangente en esos puntos es paralela a la recta 5 15 4y x .

8. Determine el punto de la curva dada por 234

21)( xxxxf donde la recta

tangente es perpendicular a la recta 13 yx . 9. Encuentre el valor de la constante k para que la función f definida por

3)( 23 xkxxf tenga recta tangente 3 xy en 1x .

10. Halle los puntos en que las rectas tangentes a la curva 2012x-4xx3y 234 son paralelas al eje x.

11. Halle el punto donde la recta tangente a la parábola 3x7xy 2 es paralela a la recta 03-y5x .

12. Determine la ecuación de la parábola cbxxy 2 que es tangente a la recta y = x en el punto (1, 1).

13. Determine las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curva 3x4x2xy 23 en el punto (-2, 5).

14. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva 3 1-xy en el punto (1, 0). 15. Verifique que las curvas 8x24xy 2 y 10xxy 3 son tangentes entre sí

en el punto (3, 34). ¿Sucederá lo mismo en el punto (-2, 4)? 16. Encuentre las constantes a, b y c tales que las curvas baxxf(x) 2 y

2xcxg(x) sean tangentes entre sí en el punto (1, 0).

17. Calcule las coordenadas de los puntos de la curva 1022 yxyx , donde la pendiente de la recta tangente es igual a 1.

18. Considere la curva definida implícitamente mediante la ecuación 223

22

yx .

Determine los puntos de la curva donde la recta tangente es paralela a la recta y = x+3.

19. Halle la ecuación de la recta normal a la curva yxyx en el punto (3, 1). 20. Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 2522 yx en el

punto (3,4).

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21. Halle los dos puntos donde la curva 722 yxyx interseca al eje x y verifique que las rectas tangentes a la curva en esos puntos son paralelas.

22. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación 0255 xyyx en (1, 1).

23. Determine los puntos en los que la gráfica de la ecuación 04484 22 yxyx tiene rectas tangentes horizontales.

24. Calcule las coordenadas de los puntos de la curva cuya ecuación es

722 yxyx , donde la pendiente de la recta tangente es igual a 54 .

25. Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación 632 422 yxyx en (1,-1).

26. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 232 3xxy en (1, -2). 27. Determine las ecuaciones de la tangente y la normal a la curva xyxy 64 44 en

el punto (1, 2). 28. Determine las coordenadas de los puntos de la curva de ecuación

2 2 4 2 4 0x y x y , en los cuales la recta tangente es horizontal. IV. Resuelva los siguientes problemas:

29. La función de posición de una partícula en movimiento en una recta horizontal está dada por 18016 2 ttts . (Se supone unidades de medición adecuadas).

a. Calcule la velocidad media de la partícula entre 1t y 2t .

b. Calcule la velocidad instantánea de la partícula en 21

t y 23

t .

c. Determine la posición s cuando la velocidad v es cero. d. ¿Cuál es la aceleración de la partícula en 0t y 2t ?. ¿Varía en algún

instante la aceleración?. ¿Se mantiene constante la velocidad en algún intervalo de tiempo?.

30. Un modelo para la producción de células sanguíneas es la función mxBAxP(x)

donde x es el número de células presentes, A, B y m son constantes positivas.

a. Hallar la tasa de producción de sangre R(x) = P`(x) y determine los valores de x tales que R(x) = 0.

b. Hallar la razón a la cuál cambia R(x) respecto a x.

31. La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, la presión P y el volumen V satisfacen la ecuación PV = c, donde c es una constante. En determinado instante el volumen del gas es 600 cm³, la presión es 150KPa y crece a una razón de 20 KPa/min. ¿Con qué velocidad disminuye el volumen en este momento?.

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32. Un globo esférico diminuto se inserta en una arteria obstruida por un coágulo y se infla a una tasa de 0.002π mm³/min. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando el radio es r = 0.005 mm?.

33. Se introduce una población de 500 bacterias en un cultivo, creciendo en número

de acuerdo con la función

2t50

4t1 500P(t) donde t se mide en horas. Hallar

a qué ritmo está creciendo la población aproximadamente cuando han pasado 120 minutos.

34. La velocidad del fluido sanguíneo V está dada por: 4LkPRV

2

donde R es el radio

del vaso sanguíneo y P, L y k son constantes físicas relacionadas con la presión. Cuando se excava nieve en medio del aire frío, una persona con historial médico de dificultades cardiacas puede desarrollar angina (dolor de pecho) debido a la contracción de los vasos sanguíneos. Para contrarrestarlo, puede tomar una tableta de nitroglicerina, que dilata los vasos sanguíneos. Suponga que después de tomar una tableta de nitroglicerina, el radio de un vaso sanguíneo se dilata a razón de 0.0025 mm/ min en un lugar en el vaso sanguíneo donde el radio es R= 0.02 mm. Encuentre la razón de cambio de la velocidad de la sangre.

35. Cuando la basura orgánica se vacía en un estanque, el proceso de oxidación que

se lleva a cabo reduce el contenido en el estanque; sin embargo, después de cierto tiempo, la naturaleza regresa el contenido de oxígeno a su nivel natural. Supóngase que el porcentaje de contenido de oxígeno t días después de tirar la

basura orgánica en el estanque está dado por

10020tt

10010tt 100P(t)

2

2 con

respecto de su nivel normal. ¿Aproxime qué tan rápido cambia el contenido de oxígeno en el estanque 20 días después de vaciar la basura orgánica?.

36. Un agente antibacteriano agregado a una población de bacterias causa

disminución en el tamaño de ésta. Si la población t minutos después de agregado

el agente es 1t

tQQ(t)0

, donde 0

Q representa la cantidad inicial.

a. Determine la razón de cambio de la población al tiempo t si la población inicial es de 106 bacterias. b. ¿Después de qué periodo de tiempo la población ha disminuido a 98 unidades?

37. El volumen de un tumor canceroso esférico está dado por 3x6πV(x) donde x es

el diámetro del tumor, el cuál varía en el tiempo t medido en días. Un médico estima que el diámetro está creciendo a razón de 0.4 mm por día en el momento en que el diámetro es de 10 mm. ¿A qué velocidad está cambiando el volumen del tumor en ese momento?.

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38. En una comunidad particular, una cierta epidemia se propaga en tal forma que x

meses después de iniciarse, el número de personas infectadas es 22

2

x1

30xP(x)

medido en miles de personas. ¿A qué razón se propaga la epidemia pasadas 2 semanas?.

39. Los ictiosaurios son un grupo de reptiles marinos con forma de pez y comparables

en tamaño a los delfines. Se extinguieron durante el periodo Cretáceo. Basándose en el estudio de 20 esqueletos fósiles, se descubrió que la longitud del cráneo S(x) (en cm) y la longitud de la espina dorsal B(x) (en cm) de los ejemplares estaban relacionadas mediante la igualdad 0,993B(x) 1,162S(x) , donde x es la edad del fósil. Determine una fórmula para el crecimiento del cráneo.

http://www.ecuadorciencia.org/blog.asp?id=6526

40. Un equipo de investigación médica determina que t días después del inicio de una

epidemia, t5t t10N(t) 3 personas estarán infectadas. Aproxime la razón a la que se incrementa la población infectada en el noveno día.

41. La Ley de los gases para un gas ideal a temperatura absoluta T (en Kelvins) y la

presión P (en atmósferas), con un volumen V (en litros) es: PV nRT , donde n es el número de moles del gas y 0,0821R es la constante de los gases.

Suponga que en cierto instante P = 8.0 atm y aumenta a razón de 0,1minatm ,

V = 10 L y disminuye a razón de 0,15min

L . Aproxime la razón de cambio de T

con respecto al tiempo, en ese instante, si 10n mol .

42. Cuando el aire se expande adiabáticamente (sin ganar ni perder calor), su presión P y su volumen V se relacionan mediante la ecuación 1,4PV C , donde C es una constante. En cierto instante el volumen es 400 cm3 y la presión es 80 kPa y

disminuye a 10minkPa ¿Con qué velocidad aumenta aproximadamente el volumen

en ese momento?.

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43. Una población de 500 bacterias crece en número de acuerdo con la expresión:

250

41500t

ttP , donde t se mide en horas.

a. Compare el ritmo (rapidez) con que crece aproximadamente la población

al inicio del proceso, a las 2 horas y a las 4 horas. b. Compare el número de bacterias que hay aproximadamente a las 0 horas, a

las 2 horas y a las 4 horas. c. ¿Por qué no hay el doble de bacterias a las 4 horas que a las 2 horas?

44. Si R representa la reacción del organismo a cierto estímulo de intensidad x , la

sensibilidad S se define como el valor absoluto del cambio de reacción con respecto a x . Un ejemplo es aquel en que cuando aumenta la brillantez x de una fuente luminosa, el ojo reacciona disminuyendo el área R , de la retina (expuesta

a la luz). La fórmula empírica 4,0

4,0

412440x

xR

, describe la dependencia entre R

y x , donde R se expresa en milímetros cuadrados y x en las unidades adecuadas de brillantez.

a. Escriba una fórmula para la sensibilidad. b. Calcule aproximadamente la sensibilidad para los siguientes valores de

brillantez: 0.01, 0.1, 1, 5, 10, 100.

45. Se estima que dentro de t años, la población de cierta comunidad suburbana será

21)(t2010P(t)

miles de personas. Un estudio ambiental revela que el nivel

medio diario de monóxido de carbono en el aire será 139pp 0,8c(p) 2

unidades cuando la población sea de p miles. ¿A qué razón cambiará el nivel de monóxido de carbono con respecto al tiempo dentro de 1 año?.

Sugerencia: dtdp

dpdc

dtdc

V. Resuelva los siguientes problemas:

46. Un avión vuela horizontalmente a una altitud de 1 milla y a una velocidad constante de 500 millas por hora cuando pasa sobre una estación de radar. Encuentre la razón a la que aumente la distancia del avión a la estación cuando aquel está a 2 millas de ésta.

47. Un niño está de pie en un sitio fijo elevando una cometa. La cometa se mantiene a

una altura de 30 pies por encima de las manos del niño, a medida que se desplaza paralelamente al terreno a razón de 10pies/seg. Cuando la cometa se halla a 50 pies de distancia del niño, ¿con qué rapidez suelta éste la cuerda de la cometa?.

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48. Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 metros, éste aumenta a una rapidez de scm50 . ¿A qué rapidez aumenta el área del círculo formado por dicha onda?

49. A un depósito cilíndrico de base circular y 5m de radio, le está entrando agua a

razón de 25 3m por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.

50. Un hombre está parado en un muelle y jala una lancha por medio de una cuerda.

Sus manos están a 3 metros por encima del amarre de la lancha. Cuando la lancha está a 4 metros del muelle el hombre está jalando la cuerda a una velocidad de

scm80 . ¿A qué velocidad se aproxima la lancha al muelle?

51. Una escalera de 5m de longitud descansa contra un muro que es perpendicular al suelo. Si el extremo inferior de la escalera se está resbalando a razón de sm2.1 , ¿a qué velocidad desciende el extremo de la escalera cuando éste está a 3 metros del suelo?

52. Un cubo de hielo se derrite de modo que su arista decrece 2 centímetros cada

hora. ¿Con qué velocidad disminuye su volumen en el instante en que su arista mide 10 milímetros?.

53. Un recipiente tiene la forma de un cono circular recto "invertido" y la longitud de

su altura es el doble de la de su diámetro. Al recipiente le está entrando agua a una rapidez constante, por lo que la profundidad del agua va en aumento. Cuando la profundidad es de 1 metro la superficie sube a razón de min 1cm . ¿A qué rapidez le está entrando agua al recipiente?

54. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba (desde el suelo). Suponiendo que el

sentido de la velocidad es positiva hacia arriba y que la posición instantánea está dada por .520 2ttts

a. Halle la velocidad instantánea de la piedra al término de s1 . b. Halle la velocidad instantánea de la piedra al término de s3 .

55. El radio de la base de un cono circular recto disminuye a razón de min4cm y la

altura aumenta a razón de min6cm . Encuentre la velocidad con la que cambia el

volumen cuando la altura es de 12cm y el radio es de 6cm.

56. El radio de la base de un cilindro circular recto de altura h=10 cm está aumentando a razón de min3cm . Calcule la rapidez a la que está aumentando el volumen del cilindro cuando el radio de su base sea .5cmr

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57. Se tiene un depósito en forma de cilindro circular recto de altura 9m y radio de la base 2m. En 0t comienza a llenarse el depósito con agua a razón de hm310 . Determine la velocidad a la que está subiendo el nivel del líquido en el depósito.

Ejercicios tomados de:

Alfaro, M. (2007). Apuntes de Cálculo Diferencial e Integral. UCR. Mondrus, A. (2003). Ejercicios de Cálculo I: Área de la Salud. UCR. Serie Cabécar. Poblete, V. Matemática en la Salud. Stewart, J. Cálculo en una Variable. Cuarta Edición. Prácticas de años anteriores MA1210. Universidad de Costa Rica.

Respuestas:

1. Son perpendiculares.

Pendientes: -3, 31

2. 10,0 y 10,0 3. 32 xy , 32 xy 4. 1,2 y 1 ,2

5. 25

86

xy

6. (1, - 2) 7. (2, - 9) y (- 2, 11)

8.

3245,

23

9. k = 2 10. (0, 20), (- 2, - 12) y (1, 15) 11. (1, -3) 12. 12 xxy 13. Tangente: y = 5. Normal x = - 2 14. Recta tangente vertical x = 1 15. No

16. a = - 3, b = 2, c = 1

17.

310 ,

310y

310 ,

310

18.

518

32 ,

518y

518

32- ,

518

19. 635-

xy

20. 4

253

xy

21. 2m , ,07 , ,07 22. y = x 23. (1, 0) y (1, - 4) 24. (1, -2) y (-1, 2) 25. y = - 4 x + 3

26. 4

19

xy

27. Tangente: 13

1214x y Normal:

144113x-

y

28. (2, 0) y (2, - 2) 29. a. 32 b. 64 y 32 c. 99 d. 32, no, no.

30. 4m

mm2mm

2m

mm

)x(B)mxxQA(B)xP(B

dxdR b. ,

1mB x,

)x(B)mxxA(BR(x) a.

).x(B2mxQ ),xmA(mxPCon m1m1m21m

9

31. /mincm 80 3 32. 20 mm/min 33. h / bacterias 32

34. /minmm40000LK

3P

35. díaporciento/ 0,37

36. min b.12,25 1)(t

106Q`(t) a.2

37. /díamm 20π 3

38. 11,52 miles de personas / mes

39. dxdB[B(x)] 1,153866

dxdS 0,007

40. día / personas 2435 41. K/min 0,2436

42. 3

35,71mincm

43. a. hbacthbact /55,31,/40 y hbact /61,15 b. 500 bacterias, 574 bacterias y

621 bacterias. c. La cantidad de bacterias aumenta pero cada vez más lento.

44. a. 0,620,4 x4x1

54,4S

b. 323, 32.2, 2.2, 0.28, 0.11, 0.005 (aproximadamente).

45. unid/año 1322

46. hmi 3250

47. 8 pies / seg 48. s

cm 30000π2

49. sm

1

50. sm1

51. sm

58

52. h cm 6

3

53. min625 3cm 54. a. s

m10 b. sm10

55. min 120

3cm

56. min3003cm

57. hm

25