PRÁCTICA 8 ANÁLISIS DE LEVAS POR ORDENADOR · TEORÍA DE MECANISMOS Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Carlos III de Madrid PRÁCTICA 8 Hoja: 1/21 PRÁCTICA 8 ANÁLISIS

TEORÍA DE MECANISMOS Departamento de Ingeniería Mecánica

Universidad Carlos III de Madrid

PRÁCTICA 8

Hoja: 1/21

PRÁCTICA 8

ANÁLISIS DE LEVAS POR ORDENADOR 1. Objetivo de la práctica En esta práctica se pretende que el alumno se familiarice con los perfiles más comúnmente empleados para las levas planas de rotación con seguidor de rodillo de traslación, para lo cual se empleará el software SCLevas, desarrollado en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Universidad Carlos III de Madrid. 2. Definición de leva Una leva es un elemento mecánico que sirve para impulsar por contacto directo a otro elemento, llamado seguidor, para que desarrolle un movimiento especificado. 3. Tipos de levas Las levas pueden clasificarse atendiendo a muchos y diferentes criterios. A continuación se exponen los más comunes: • Según la forma del seguidor. Éste puede ser de rodillo (disco o circular),

de hongo (o cara esférica), de cara plana y de punta de cuchillo (o de cuña).

• Según el tipo de cierre. Para mantener unidos dos elementos que se

encuentran en movimiento es necesario asegurar en todo momento el contacto entre ambos. De lo contrario, podría ocurrir que se perdiese el control sobre el seguidor, con lo cual éste ya no realizaría el movimiento pretendido. Tal situación puede evitarse de dos formas:

- Cierre de fuerza: se emplea un resorte que asegura el contacto del

seguidor con la leva.

- Cierre de forma: en este caso el seguidor está en contacto con más de una superficie a la vez, es decir, se encuentra inmerso dentro de la propia leva en una ranura o canal por donde se mueve. El contacto está asegurado porque se dispone de una doble superficie de leva y el seguidor se encuentra aprisionado entre ambas.



PRÁCTICA 8

Hoja: 2/21

Figura 1. Diversos tipos de levas planas de rotación caracterizadas por

la forma del seguidor y su movimiento (I).

Figura 2. Diversos tipos de levas planas de rotación caracterizadas por

la forma del seguidor y su movimiento (II). • Según el movimiento propio del seguidor. En este caso, puede hablarse

de seguidor traslacional (también denominado traslatorio, reciprocante, alternativo o lineal) si éste describe una trayectoria recta, u oscilatorio si lo que hace es oscilar alrededor de un pivote o centro de giro, describiendo por tanto, un arco de circunferencia.

• Según el movimiento del seguidor en relación con el de la leva. Se habla

entonces de leva radial o axial: en el primero de los casos, el seguidor se mueve de forma perpendicular al eje de rotación de la leva; si ambas direcciones fuesen paralelas se estaría frente a una leva de tipo axial.



PRÁCTICA 8

Hoja: 3/21

- Las levas radiales de uso más común tienen cierre de fuerza y se conocen como levas planas de rotación (también levas de placa o levas de disco). Sobre este tipo trata la presente práctica.

- Las levas axiales pueden a su vez dividirse en dos grupos

atendiendo al tipo de cierre que empleen: si éste es de forma se conocen como levas de cara y si es de fuerza se puede hablar de levas cilíndricas.

Figura 3. Levas axiales (movimiento del seguidor paralelo al eje de

rotación de la leva). • Según qué elemento imprima el movimiento en el otro. En este caso

puede hablarse de levas directas o inversas. En el primer caso (el más común) es la leva la que ejerce el movimiento sobre el seguidor. Si se invierte la situación se habla de levas inversas.

4. Nomenclatura de leva de rotación con seguidor traslacional de rodillo En la siguiente figura se observan los siguientes conceptos: • Punto de trazo: viene dado por el centro del rodillo que hace de

seguidor. • Rf: radio del rodillo del seguidor. • Círculo base: es el más pequeño que puede trazarse tangente a la

superficie de la leva. • Rb: radio del círculo base.



PRÁCTICA 8

Hoja: 4/21

• Curva de paso: es la curva o trayectoria que describe el punto de trazo

del seguidor al moverse siguiendo el perfil de la leva. • Círculo primario: es el más pequeño que puede trazarse tangente a la

curva de paso. • Rp: radio del círculo primario. Se puede observar que Rp=Rf+Rb.

Figura 4. Leva plana de rotación con seguidor traslacional de rodillo.

5. Función desplazamiento El primer paso en el cálculo de una leva es especificar el movimiento de salida que debe regir al seguidor. A este movimiento se le denomina ley de desplazamiento o función de desplazamiento. Lo que se tiene es una función cuya variable dependiente es una magnitud que mide el desplazamiento que realiza el seguidor, y cuya variable independiente es el ángulo girado por la leva (valor éste que a veces se sustituye por el tiempo). La unidad de medida de los desplazamientos dependerá del tipo de seguidor que se esté considerando. Así, en un seguidor traslacional esta magnitud será longitud. Por el contrario, para un seguidor oscilante lo habitual es utilizar un ángulo (aunque no es frecuente, puede utilizarse también una longitud, tomando como salida la distancia de un punto del seguidor al centro de giro de la leva). El movimiento de salida se construye por la unión de diferentes tipos de tramos comúnmente empleados en el cálculo de levas. La longitud de cada uno de ellos vendrá dada por el ángulo parcial de rotación ocupado dentro de una vuelta completa. A este ángulo se le denominará β. Como es lógico, la suma de los ángulos parciales de rotación debe ser exactamente 360º. Una ley de desplazamiento se supone construida cuando se han determinado



PRÁCTICA 8

Hoja: 5/21

todos los tramos necesarios para componer un giro completo. La información que debe contener cada uno de dichos tramos es la siguiente: • El tipo de movimiento para el tramo: armónico simple, cicloidal,

velocidad constante, etc. • El ángulo parcial de rotación β sobre el que se construye el tramo. • La magnitud del movimiento lineal (seguidores traslacionales) o angular

(seguidores oscilantes) y su sentido. A este valor se le llamará L (elevación).

Figura 5. Ley de desplazamiento formada por tres tramos de 120º.

En la figura anterior puede verse una función de desplazamiento para un seguidor traslacional formada por tres tramos de 120º: el primero es un ascenso del seguidor de 50 mm, le sigue un detenimiento durante 120º y, finalmente, en el tercer tramo se retorna a la posición inicial.

Figura 6. Ley de desplazamiento de tres tramos (90º, 90º y 180º).

En la figura anterior puede verse una función de desplazamiento para un seguidor oscilante formada por tres tramos: el primero es un desplazamiento angular de 20º que se lleva a cabo en un giro de leva de 90º, le sigue un descenso en el sentido contrario también durante 90º que lo hace volver a la posición inicial, y permanece allí durante el resto del giro de la leva (tercer tramo de 180º). 6. Derivadas de la función desplazamiento Dada la siguiente función desplazamiento:

( )y y ϑ= ,



PRÁCTICA 8

Hoja: 6/21

las sucesivas derivadas cinemáticas serán las obtenidas al derivar repetidamente la expresión anterior respecto al ángulo girado por la leva:

2

2

3

3

dyydd yydd yyd

ϑ

ϑ

ϑ

′ =

′′ =

′′′ =

(1)

Las derivadas respecto al tiempo serán:

2

22

33

3 3

dy dy dy ydt d dtd yy y ydtd yy y y ydt

ϑ ωϑ

ω α

ω ωα α

′= = =

′′ ′= = +

′′′ ′′ ′= = + +

&

&&

&&& &

(2)

En el caso de que la velocidad de giro de la leva sea constante (lo cual suele ser lo más habitual), las expresiones quedan:

2

3

y yy yy y

ω

ω

ω

′=

′′=

′′′=

&

&&

&&&

(3)

7. Criterios de elección de la leva Para que una leva sea aceptable, debe cumplir las siguientes dos condiciones: • Ley fundamental de la continuidad

El desplazamiento, velocidad y aceleración deben ser funciones continuas. Se admiten discontinuidades en la tercera derivada (sobreaceleración), si bien se debe tener en cuenta que ello ocasionará vibraciones que se verán agravadas al aumentar la velocidad de giro de la leva. En la figura 7 puede verse la ley de desplazamiento, velocidad, aceleración y sobreaceleración para una leva. Se observa que las funciones de desplazamiento y velocidad son continuas, pero no lo son



PRÁCTICA 8

Hoja: 7/21

la aceleración ni la sobreaceleración (la primera de ellas, al estar incumpliéndose la ley de continuidad, hace que se trate a todas luces de una combinación de curvas inaceptable).

En la figura 8, en cambio, se aprecia la continuidad en la ley de desplazamiento, velocidad y aceleración y, a pesar de no ser continua en la sobreaceleración, esto es admisible si la leva no va a operar a velocidades angulares elevadas.

• Valores pico de velocidad y aceleración

En ocasiones, la elección del tipo de movimiento para un tramo pasa por la incertidumbre de seleccionar entre diferentes posibilidades aparentemente válidas. En ese caso es necesario desechar aquellas que produzcan magnitudes pico de velocidad y aceleración superiores a las demás. La razón es clara: mayores velocidades implican una más elevada energía cinética y consumos superiores de potencia, mientras que aceleraciones mayores producen cargas dinámicas que afectan a todo el sistema y que se deben tratar de minimizar para alargar el ciclo de vida de la leva y su seguidor.

Figura 7. Desplazamiento, velocidad, aceleración y sobreaceleración.



PRÁCTICA 8

Hoja: 8/21

Figura 8. Desplazamiento, velocidad, aceleración y sobreaceleración.

8. Funciones más comúnmente empleadas En este apartado se presentan los tipos estándar de funciones de desplazamiento comúnmente usados para el diseño de levas. El perfil de la leva es creado a partir de la yuxtaposición de varios diagramas de desplazamiento, cada uno de los cuales es válido durante una rotación determinada de la leva. Lo que se hace es tratar cada intervalo de manera independiente definiendo una variable adimensional que es cociente de dos ángulos: el numerador (θ) se corresponde con el ángulo parcial recorrido dentro de su intervalo y el denominador (β) es el ángulo total de rotación: así, θ/β varía de 0 a 1, siendo 0 el punto inicial y 1 el punto final del tramo. Los diagramas de desplazamientos presentan bastante similitud en casi todos los movimientos. Sin embargo, hay notables diferencias en sus derivadas. Las curvas comúnmente empleadas en el cálculo cinemático de levas son las siguientes.



PRÁCTICA 8

Hoja: 9/21

8.1. Armónico simple

Figura 9. Movimiento armónico simple de ascenso: L=50 mm, Li=0 mm,

β=100º, ω=1 rad/s.

Figura 10. Movimiento armónico simple de descenso: L=50 mm, Li=50

mm, β=100º, ω=1 rad/s.



PRÁCTICA 8

Hoja: 10/21

8.2. Cicloidal

Figura 11. Movimiento cicloidal de ascenso: L=50 mm, Li=0 mm, β=100º,

ω=1 rad/s.

Figura 12. Movimiento cicloidal de descenso: L=50 mm, Li=50 mm,

β=100º, ω=1 rad/s.



PRÁCTICA 8

Hoja: 11/21

8.3. Polinómico de 5º grado (caso particular: 3-4-5)

Figura 13. Movimiento polinómico 3-4-5 de ascenso: L=50 mm, Li=0 mm,

β=100º, ω=1 rad/s. 8.4. Polinómico de 7º grado (caso particular: 4-5-6-7)

Figura 14. Movimiento polinómico 4-5-6-7 de ascenso: L=50 mm, Li=0

mm, β=100º, ω=1 rad/s.



PRÁCTICA 8

Hoja: 12/21

8.5. Velocidad constante Un tramo de velocidad constante es un desplazamiento lineal. Evidentemente, esta función no es combinable con un detenimiento ya que se estaría incumpliendo la ley de continuidad. Suele emplearse junto con movimientos de medio período. 8.6. Movimientos de medio período • Semiarmónico de velocidad final nula.

Figura 15. Movimiento semiarmónico de ascenso: Vf=0 mm/s, L=50 mm,

Li=0 mm, β=100º, ω=1 rad/s.

Figura 16. Movimiento semiarmónico de descenso: Vf=0 mm/s, L=50

mm, Li=50 mm, β=100º, ω=1 rad/s.



PRÁCTICA 8

Hoja: 13/21

• Semiarmónico de velocidad inicial nula.

Figura 17. Movimiento semiarmónico de ascenso: Vi=0 mm/s, L=50 mm,


Figura 18. Movimiento semiarmónico de descenso: Vi=0 mm/s, L=50

mm, Li=50 mm, β=100º, ω=1 rad/s.



PRÁCTICA 8

Hoja: 14/21

• Semicicloidal de velocidad final nula.

Figura 19. Movimiento semicicloidal de ascenso: Vf=0 mm/s, L=50 mm,


Figura 20. Movimiento semicicloidal de descenso: Vf=0 mm/s, L=50 mm,

Li=50 mm, β=100º, ω=1 rad/s.



PRÁCTICA 8

Hoja: 15/21

• Semicicloidal de velocidad inicial nula.

Figura 21. Movimiento semicicloidal de ascenso: Vi=0 mm/s, L=50 mm,


Figura 22. Movimiento semicicloidal de descenso: Vi=0 mm/s, L=50 mm,

Li=50 mm, β=100º, ω=1 rad/s.



PRÁCTICA 8

Hoja: 16/21

8.7. Armónico doble

Figura 23. Movimiento armónico doble de ascenso y descenso: L=50

mm, Li=0 mm, β=180º, ω=1 rad/s. 8.8. Movimientos compuestos • Aceleración de onda senoidal modificada.

Figura 24. Movimiento de aceleración de onda senoidal modificada de

ascenso: L=50 mm, Li=0 mm, β=100º, ω=1 rad/s.



PRÁCTICA 8

Hoja: 17/21

• Aceleración de onda trapecial modificada.

Figura 25. Movimiento de aceleración de onda trapecial modificada de

ascenso: L=50 mm, Li=0 mm, β=100º, ω=1 rad/s. 9. Ángulo de presión El ángulo de presión es el que forma la dirección de aplicación de la fuerza entre la leva y el seguidor con la dirección del movimiento de este, es decir, es el ángulo formado por la normal común a ambas superficies y el movimiento del seguidor. En los seguidores de rodillo el punto que se toma para determinar la dirección de su movimiento es su centro. En ellos, el ángulo de presión ofrece una idea de la facilidad con la que la leva transmite el movimiento al seguidor: si es muy elevado el seguidor puede atascarse o moverse con dificultad. El ángulo de presión puede tomar signo positivo o negativo. Para una leva plana de rotación con seguidor de traslación, lo que importa es que su valor absoluto no exceda de los 30º para evitar el fenómeno de autorretención de la leva (presentado en la práctica nº 5). Cuando esto ocurre, se deben realizar modificaciones en la leva para disminuirlo:



PRÁCTICA 8

Hoja: 18/21

• Al aumentar el radio base se disminuye el ángulo de presión. El

inconveniente de esta solución es el espacio adicional ocupado por la leva, que puede hacer que esta opción no sea factible.

• Aumentando el radio del rodillo del seguidor se disminuye igualmente el valor absoluto del ángulo de presión. El inconveniente es el mismo que en el caso anterior.

• Modificando la excentricidad se altera también el ángulo de presión, desplazando la curva hacia arriba al aumentar la excentricidad, y hacia abajo al disminuirla.

10. Radio de curvatura El radio de curvatura representa numéricamente la mayor o menor concavidad/convexidad que muestra la representación gráfica de una función. Así, por ejemplo, una recta tiene un radio de curvatura infinito, y una circunferencia un radio de curvatura constante e igual a su radio. No se debe confundir esta magnitud con su inversa conocida como curvatura (la curvatura de una recta es 0). Así pues, resulta ser una propiedad intrínseca de toda función. El radio de curvatura de una leva nos da idea de la presencia de rebajes y cúspides, fenómenos ambos que hay que evitar a toda costa.

Figura 26. Rebaje en el perfil de leva plana de rotación con seguidor de

rodillo traslacional.



PRÁCTICA 8

Hoja: 19/21

Figura 27. Cúspide en el perfil de leva plana de rotación con seguidor de

rodillo traslacional.



PRÁCTICA 8

Hoja: 20/21

REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA Se va a considerar una leva plana de rotación con seguidor de rodillo traslacional sin excentricidad. El diagrama de desplazamientos se dividirá en tres tramos:

• Un primer tramo de ascenso durante 90º, con una elevación total de 10 mm.

• Tras esto, un detenimiento a lo largo de otros 90º de rotación de la leva.

• Por último, un descenso durante el ángulo restante de rotación. Para ello, se deberán seguir los siguientes pasos: 1. Arrancar la aplicación SCLevas: Inicio – Programas – SCLevas. 2. Elegir seguidor traslacional de rodillo (opción por defecto). 3. El radio base será de 50 mm, el del seguidor, 5 mm, y la velocidad

angular de rotación será de 100 rad/s. 4. Probar para el primer y tercer tramos de la leva los siguientes perfiles

(considerar que ambos tramos presentan el mismo tipo de perfil): armónico simple, cicloidal, polinómico 3-4-5, polinómico 4-5-6-7, aceleración de onda senoidal modificada y aceleración de onda trapecial modificada, para lo cual se debe elegir el perfil adecuado y pulsar el botón “Añadir”. Para borrar los perfiles introducidos y probar otra configuración es preciso hacer uso del botón “Borrar”. Indicar cuáles de esos 6 perfiles cumplen la ley fundamental de continuidad.

5. Elegir el perfil cicloidal para los tramos primero y tercero y modificar los

datos de la leva hasta para que la elevación total sea de 30 mm en lugar de 10 mm y el radio base pase de 50 mm a 30 mm. Hacer uso, para ello, del menú “Modificar”.

6. Calcular la nueva leva (botón “Calcular”) y comprobar que el ángulo de

presión es demasiado elevado. 7. Haciendo uso de la expresión enunciada en la práctica anterior para

calcular el ángulo límite para que no exista el fenómeno de autorretención en una leva, comprobar que esta situación se produce para la leva que se está considerando, sabiendo que a = 5 mm, 2b = 4 mm, xmín = 20 mm y µ = 0.2.

8. Indicar de cuántas maneras se podría disminuir el ángulo de presión

hasta reducirlo a niveles por debajo de los 30º. 9. Elegir una de ellas y reducir el ángulo de presión hasta un máximo de

20º.



PRÁCTICA 8

Hoja: 21/21

CUESTIONARIO DE LA PRÁCTICA 1. ¿Cuáles de los perfiles considerados en el apartado 4 cumplen la ley

fundamental de continuidad? 2. ¿Cuál es el valor máximo del ángulo de presión tras realizar el paso nº 6? 3. ¿Cuál es el ángulo máximo de presión permitido considerando el apartado nº 7? 4. ¿De cuántas maneras se puede reducir el ángulo de presión en el apartado 8? 5. Indicar los datos que habría que variar en la leva para que el ángulo de presión

se redujese a 20º (apartado 9). 6. Con la ayuda del programa SCLevas, construir el sistema leva-palpador del

ejemplo de la práctica 7 (páginas 22 y 23), y especificar cuales son los perfiles de las curvas de acuerdo más adecuados para un correcto funcionamiento, a una velocidad angular de rotación de la leva de 25 rad/s.

Documents

PRÁCTICA 8 ANÁLISIS DE LEVAS POR ORDENADOR · TEORÍA DE MECANISMOS Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Carlos III de Madrid PRÁCTICA 8 Hoja: 1/21 PRÁCTICA 8 ANÁLISIS