UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES

CURSO: Matemática Aplicada

TEMA: Integral Indefinida

PRÁCTICA DIRIGIDA No 1

1.- Encuentre las siguientes integrales indefinidas

a¿∫10dx b¿∫ x11 dxc ¿∫ 3x−7dx

d ¿∫ 7

x4dx e¿∫ 5

2 x9 /4dx f ¿∫(3 x2−4 x−5)dx

g¿∫(1+x+x2+ x3)dxh¿∫( 2 x2

7−8 x4

3 )dx i¿∫( x3

3− 3x3 )dx

j ¿∫ (3 x2−√5x+2 )dx k ¿∫ (3√x−2x−3 )dx l¿∫( ex

2+x √x )dx

¿¿∫√ x( x2−1)dx m¿∫ (ex+1 )2dx n¿∫ x (2 x+1)2dx

ñ¿∫( x2+2 x+1x2 )dx o¿∫( x¿¿3−2 x2)( 1

x−5)dx p¿∫ x (2x+1)2dx

q¿∫ 1x(x+1)2dx r ¿∫ ln (e−x2

)dx s ¿∫ x2+3x−2√ x

dx

2.- Encuentre las siguientes integrales indefinidas

a¿∫√4 x−1dxb¿∫e1−x dx c¿∫ xe x2

dx

d ¿∫ x (x2+1)5dxe ¿∫ x2(x3+1)3 /4dx f ¿∫ x5 e1−x6

dx

g¿∫ 2x4

x5+1dx h¿∫ x2

(x3+5)2 dx i ¿∫ 13 x+5

dx

j ¿∫ ln 5xx

dxk ¿∫ 1x (lnx)2 dx l ¿∫ ln x2

xdx

m ¿∫ ex+e−x

ex−e−x dx n¿∫ e√x

√xdxñ¿∫ e−x (1+e2x)dx

o¿∫ 1√ x(√x+1)

dx p¿∫ x3√4−3 x

dx q¿∫ 1x2 ( 1

x−1)

2/3

dx

3.- Resuelva el problema con valor inicial dado para y=f(x)

a¿ dydx

= x+1

√ xdonde y=5cuando x=4

b¿ dydx

= 1x+1

donde y=1cuando x=0

c ¿ dydx

= ln √ xx

donde y=2cuando x=−1

d ¿ dydx

= x+2

x2+4 x+5donde y=3 cuando x=−1

e ¿ dydx

=3 x+4 donde y (−1)=132

f ¿ d2 yd x2 =−x2−2x donde y ' (1 )=0 y (1)=1

g¿ d2 yd x2 =x+1donde y ' (0 )=0 y (0)=5

h¿ d2 yd x2 =x2−6donde y ' (0 )=2 y (1 )=−1

4.- Se indica la pendiente f’(x) en cada punto (x, y) de una curva dada y = f(x), junto con un

punto en particular (a, b) sobre la curva. Use esta información para hallar f(x)

a¿ f ' ( x )=(1−2 x)3 /2 ; (0 ,0 )b¿ f ' ( x )=xe4−x2

;(−2 ,1)

c ¿ f ' ( x )=x√ x2+5 ; (2 ,10 )d ¿ f ' ( x )= 2 x

1+3 x2;(0 ,5)

5.- Sea la función de ingreso marginal, encuentre la función de demanda

a ) dr

dq=0 .7

b ) dr

dq=15− 1

15q c ) dr

dq=275−q−0 . 3q3

6.- Sea la función marginal y los costos fijos (CF). Encuentre la función del costo total

a ) dc

dq=1.35 ; CF=200

b ) dc

dq=2q+75 ; CF=2000

c ) dc

dq=0 .09q2−1 .2q+4 . 5 ; CF=7700 ; q=10

7.- Para un grupo urbano particular, algunos sociólogos estudiaron el ingreso anual

promedio actual y (en dólares) que una persona con x años de educación puede esperar

recibir al buscar un empleo ordinario. Ellos estimaron que la razón a la que el ingreso

cambia con respecto a la educación es:

dydx

=100 x32 ; 4≤x≤16 ; donde y=28720 cuando x=9

¿Hallar y?

8.- Un fabricante determinó que la función de costo marginal es:

dcdq

=0 .003q2−0. 4 q+40;

donde q es el número de unidades producidas. Si el costo marginal es de $27.50 cuando

q=50 y los costos fijos son de 5000. ¿Cuál es el costo promedio de producir 100 unidades?

9.- La razón a la cual una compañía obtiene ingresos netos de una de sus operaciones

mineras está dada por: dRdt

=20 t−t 2 millones de dólares al año, donde t es el tiempo en

años medido a partir de cuándo la mina empezó a operar. Encuentre R(t), el total de

ingresos obtenidos durante los primeros t años de operación. ¿Cuándo alcanza R(t) un

máximo? ¿Cuál es el máximo valor de R(t)?

10.- Si la tasa de cambio de la esperanza de vida l al nacer, de personas que nacen en

Estados Unidos puede modelarse `por:

dldt

= 122 t+50

En donde t es el número de años a partir de 1940 y la esperanza de vida fue de 63 años en

1940, encuentre la esperanza de vida para personas que nacieron en 1998.

11.- La función de costo marginal para el producto de un fabricante está dada por:

dcdq

=10− 100q+10

Donde c es el costo total en dólares cuando se producen q unidades. Cuando se producen

100 unidades, el costo promedio es de $50 por unidad. Determine el costo fijo del

fabricante

12.- Suponga que la función de costo marginal para el producto de un fabricante es:

dcdq

=100q2−4998q+50q2−50q+1

Donde c es el costo total en dólares cuando se producen q unidades:

a) Determine el costo marginal cuando se producen 50 unidades.

b) Si los costos fijos son de $10000, encuentre el costo total de producir 50 unidades.

13.- La función de costo marginal para el producto de un fabricante está dada por:

dcdq

=9√q√0.04q3/4+410

Donde c es el costo total en dólares cuando se producen q unidades. Los costos fijos son de

$360

a) Determine el costo marginal cuando se producen 25 unidades

b) Encuentre el costo total de producir 25 unidades

14.- Se ha estimado que dentro de t meses la población de una cierta ciudad cambiara a

razón de 4+5 t 2/3 personas por mes. Si la población actual es de 10000. ¿Cuál será la

población dentro de 8 meses?

15.- Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades de cierto bien es

c ' (q )=3q2−24 q+48dolares porunidad

Si el costo de producción de 10 unidades es de 5000, ¿Cuál es el costo de producción de 30

unidades?

16.- La utilidad marginal de un cierto bien es P' (q )=100−2q cuando se producen q

unidades. Cuando se producen 10 unidades, la utilidad es de $700.

a) Determine la función de utilidad P(q)

b) ¿Qué nivel de producción q da como resultado la utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad

máxima?

17.- Suponga que la función de consumo para cierto país es C(I) donde I es el ingreso

nacional disponible. Entonces la propensión marginal al consumo es C’(I). Suponga que I y

C ambas se miden en millones de dólares y:

C ' ( I )=0.9+0.3 √ISi cuando I= 0, el consumo es de 10 mil millones de dólares, determine C(I)

18.- Sea f(x) el número total de aspectos que un sujeto a memorizado x minutos después de

ver una larga lista de aspectos que debe recordar. Los sicólogos se refieren a la grafica de

y=f(x) como curva de aprendizaje y a f’(x) como tasa de aprendizaje. El tiempo de

eficiencia pico es el tiempo cuando se maximiza la tasa de aprendizaje. Suponga que la tasa

de aprendizaje es:

f ' ( x )=0.1 (10+12 x−0.6 x2 ) para 0≤ x≤25

a) ¿Cuándo ocurre la eficiencia pico? ¿Cuál es la tasa de aprendizaje a una eficiencia

pico?

b) ¿Qué representa f(x)?

c) ¿Cuál es el mayor número de aspectos memorizado por el sujeto?

19.- Un fabricante estima que el ingreso marginal es de 200q−1/2dolares porunidad cuando

el nivel de producción es q unidades. Se ha determinado que el costo marginal

correspondiente es de 0.4q dólares por unidad. Si la utilidad del fabricante es de $2000

cuando el nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad cuando el nivel de

producción es de 36 unidades?

20.- Bob toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el tiempo que le toma

memorizar aspectos de una lista dada. Sea M(t) el numero de aspectos que puede

memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se determina como:

M ' ( t )=0.4 t−0.005 t2

a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Bob durante los primeros 10 minutos?

b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10 minutos?

(del tiempo t = 10 al t = 20)

21.- En cierta fábrica, el costo marginal es 3(q−4)2dolares por unidad cuando el nivel de

producción es q unidades.

a) Exprese el costo total de producción en función de los gastos indirectos (el costo de

producir cero unidades) y el número de unidades producidas

b) ¿Cual es el costo de producir 14 unidades si el gasto indirecto es de $436?

22.- El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artículo se estima que será

R' (x )=50+3.5 xe−0.01 x2

dolares por unidad

Donde R(x) es el ingreso en dólares.

a) Determine R(x), suponiendo que R(0)=0

b) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?