7/31/2019 Prctica N5_Indexacion del NaCl

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Indexacin del NaCl

Marvyn Inga CaquiFacultad de Ciencias, Universidad Nacional de Ingeniera

E-mail marvyn_16@hotmail.com

ResumenEn la siguiente prctica haremos la indexacin del NaCl, hallaremos los ndices de Miller y a partir de esta identificaremos el tipo deestructura cristalina que posee, hallamos sus distancias interplanares y adems damos Informacin sobre el factor de estructura ysu celda unitaria, mostramos algunas proyecciones de la celda.

I. IntroduccinMucho del entendimiento que tenemos de losarreglos atmicos y moleculares en los slidos hansido resultado de investigaciones mediante rayos-X.En la mayora de los slidos, las grandes fuerzas deatraccin o cohesin que existen entre las partculasque lo componen, hacen que stas se distribuyanregular y simtricamente en el espacio. Estos slidosreciben el nombre de slidos cristalinos.Se aprovecha la difraccin de rayos-X que seproduce cuando ste incide sobre la materia. Elfenmeno consiste en que parte de la radiacin Xincidente se desva de su direccin original porinteraccin con el material irradiado, el anlisisposterior de estas desviaciones nos dar informacinde la estructura de la muestra en estudio.

II. Fundamento Terico A. Formulacin de BraggLos rayos-X son un tipo de radiacinelectromagntica que tiene una alta energa ylongitudes de onda muy cortas, las longitudes deonda son del orden de espacios atmicos de losslidos. Cuando un haz de rayos-X incide sobre unmaterial slido, una porcin de este rayo sedispersar en todas las direcciones por los electronesasociados a cada tomo o in que est dentro delcamino del haz.Consideremos ahora las condiciones necesarias para

la difraccin de rayos-X por un arreglo peridico detomos.Si se tienen dos planos de tomos A- A y B-B , comose muestra en la FIG.N1, que poseen los mismosndices de Miller h, k y l , y estn separados por ladistancia interplanar . Asumiendo que un haz derayos-X de longitud de onda , paralelo,monocromtico y coherente (en fase) incide en estosdos planos con un ngulo , dos rayos de este haz ( 1 y 2), son dispersados por los tomos P y Q. Ocurriruna interferencia constructiva entre los rayosdispersados (1 y 2 ) a un ngulo de los planos, si ladiferencia de la longitud del camino recorrido entre1-P- 1 y 2-Q- 2 (p.ej., SQ +QT ) es igual a un nmeron, de longitudes de onda. Esta es la condicin dedifraccin:

(1)

W. L. Bragg visualiz la difraccin de rayos-X entrmino de reflexiones provenientes de los planos deun cristal, dando como resultado la simple relacin(conocida como la Ley de Bragg ):

(2)Para que una familia de planos cristalogrficosdifracte, la diferencia del camino recorrido por ondasdispersadas sea un mltiplo entero de la longitud deonda:

(3)

Cuando esta condicin no se cumple, se obtieneinterferencia destructiva.

FIG.N1. Reflexin de Bragg.

La difraccin de rayos-X de cristales cbicos estcondicionada de la siguiente manera:

Cbica P : Todos los planos difractan. Cbica F : Los ndiceshkl son todos pares o

impares. Cbica I .- La suma de los ndiceshkl ser un

nmero par.

(4)

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B. Formulacin de Laue.No supone reflexiones especulares en los planos dela red. Suponemos que el cristal est compuesto porun conjunto de objetos microscpicos idnticos(iones o tomos) colocados en los sitios R de la redde Bravais, cada uno puede re-irradiar la radiacinincidente en todas las direcciones. Observaremos

picos agudos de difraccin solo en las direcciones y alas longitudes de onda donde toda la radiacindispersada desde todos los puntos de la redinterfiere constructivamente.

FIG.N2. Arreglo de fuentes de dispersin en los sitios dela red de Bravais.

Para encontrar la condicin de interferenciaconstructiva consideremos dos fuentes de dispersinseparadas por el vector de desplazamiento d .Observaremos un rayo disperso en la direccin n con vector de onda si la diferencia decamino ptico entre los rayos dispersos por las dosfuentes es un nmero entero de longitudes de onda.La diferencia de camino es:

(5)

La condicin de interferencia constructiva es:

(6)

Multiplicando cada lado por :

( ) (7)

FIG.N3. Planos de Bragg.

Consideremos ahora un arreglo de fuentes dedispersin en los sitios de la red de Bravais. Como lossitios estn separados por los vectores de red R, lacondicin para que todos los rayos dispersosinterfieran constructivamente es que la ecuacinsuperior sea vlida simultneamente para todos losvalores de d que son vectores de la red de Bravais, es

decir:( ) (8)

Que es lo mismo que:

( ) (9)

La Condicin de von Laue dice que ocurririnterferencia constructiva si el cambio de vector deonda K =k k es un vector de la red recproca.

C. Planos de Bragg

Como la diferencia es un vector de la redrecproca y dado que tienen la misma magnitud secumple que:La componente del vector de onda incidente en ladireccin del vector de la red recproca K debe tenerla mitad de la magnitud de K .Por lo tanto un vector de onda k satisface lacondicin de difraccin de von Laue si y solo si lapunta del vector cae sobre el plano que es labiseccin perpendicular de una lnea que une elorigen en el espacio k con un punto de la redrecproca K . Estos planos en el espacio k se llaman

planos de Bragg.El plano de Bragg en el espacio k asociado con unpico de difraccin particular en la formulacin de vonLaue es paralelo a la familia de planos de la reddirecta responsables por los picos en la formulacinde Bragg.

FIG.N3. La dispersin vista como una reflexin de Bragg,con un ngulo de Bragg desde una familia de planos.

D. Equivalencia de las formulaciones de Bragg y de von Laue.

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La equivalencia de estos dos criterios para lainterferencia constructiva de rayos X por un cristaltiene una conexin directa con la relacin entre losvectores de la red recproca y las familias de planosde la red directa.Como k y k tienen la misma magnitud entoncesforman el mismo ngulo con el plano perpendicular a

K y por lo tanto la dispersin puede ser vista comouna reflexin de Bragg con un ngulo de Bragg desde una familia de planos de la red directaperpendiculares al vector de la red recproca K .Como K es un vector de la red recproca, entonces sumdulo es igual a:

(9)

(10)

Por lo tanto, un pico de difraccin de Lauecorrespondiente a un cambio en el vector de ondadado por un vector de la red recproca K corresponde a una reflexin de Bragg desde lafamilia de planos de la red directa perpendiculares aK . El orden n de la reflexin de Bragg es el mdulo deK dividido por la longitud del vector de la redrecproca ms corto paralelo a K .

TABLA N1 Valores que se deben cumplir para identificarsi una red es cbica simple, FCC, BCC o diamante, as comotambin los ndices de Miller permitidos.

E. Indices de Miller Para poder identificar unvocamente un sistema deplanos cristalogrficos se les asigna un juego de tresnmeros que reciben el nombre de ndices de Miller.Los ndices de un sistema de planos se indicangenricamente con las letras (h k l). Los ndices deMiller son nmeros enteros, que pueden ser

negativos o positivos, y son primos entre s. El signonegativo de un ndice de Miller es colocado sobredicho nmero. Para obtener los ndices de Miller serealiza lo siguiente:

Hallamos las intersecciones del plano con losejes cristalogrficos. Para poder determinarlasse utiliza como unidad de medida la magnituddel parmetro de red sobre cada eje, luegoobtenemos los recprocos de las intersecciones.

Finalmente calculamos los enteros primos entres que cumplan con las mismas relaciones.

F.

Indexacin de redes cbicas Para la indexacin de redes cbicas se relacionan losvalores de los senos de los ngulos obtenidos en ladifraccin. De la ley de Bragg nosqueda que la relacin de senos est en funcin de lasdistancias interplanares d que a su vez nos dejara larelacin en funcin de los ndices de Millerrespectivos para cada distancia interplanar.

G. Anlisis de Fourier de la base Cuando se cumple la condicin de difraccin laamplitud de la onda difractada est determinada por(N celdas):

Definimos el factor de estructura Como la integralsobre la celda unitaria con en un vrtice.La densidad electrnica dentro de la celda se puedeescribir como:

Donde los son las posiciones de los tomos en la

celda.Entonces resulta:

Donde:

Definimos el factor de forma atmico:

es una propiedad atmica. El factor de estructuraqueda entonces.

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La intensidad de la difraccin es proporcional a

| |y es independiente de la eleccin de la celda

unidad, ejemplo . para dos eleccionesde celdas y bases.

III. Clculos y resultados.De los datos proporcionados en clase, obtenemos lagrfica de la difraccin de rayos X (FIG.N4):

FIG.N4. Difraccin de rayos X para el NaCl.

Ahora obtenemos los ngulos doble de Bragg ( )con la ayuda del programa ORIGIN y los presentamosen la TABLA N2.

FIG.N5. Hallando los ngulos doble de Bragg ( )

Usando la ecuacin (10) y sabiendo que, podemos hallar las distancias reticulares

interplanares (ver TABLA N3):

TABLA N2. ngulo de Bragg

27.38 13.69 0.24 0.24

31.71 15.86 0.28 0.27

45.42 22.71 0.40 0.39

53.91 26.96 0.47 0.45

56.37 28.19 0.49 0.47

66.09 33.05 0.58 0.55

TABLA N3. Distancias interplanares

1 0.24 3.25

2 0.27 5.64

3 0.39 5.98

4 0.45 6.79

5 0.47 8.15

6 0.55 8.47

Ahora hallamos los ndices de Miller (hkl) a partir dela TABLA N3, para eso usamos la ecuacin:

Los resultados se muestran en la TABLA N4.

TABLA N4. Indices de Miller

1.00 3 111

1.15 4 200

1.63 8 220

1.92 11 311

2.00 12 222

2.30 16 400

Con esto ahora podemos indexar la FIG.N4 delpatrn de difraccin del NaCl.

FIG.N6.Indexacin del NaCl

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Hallamos el factor de estructura de la halita, paraesto usamos la TABLA N4 y la ecuacin:

Considerando el factor atmico del Cl y para elNa; se tendr entonces:

De esto se concluye que:

La celda unitaria de la halita (NaCl) se muestra acontinuacin (FIG.N7).

FIG.N7. Celda unitaria de la halita (NaCl)

FIG.N8. Correspondencia numrica de cada tomo de laestructura cristalina.

Para obtener las proyecciones de la estructuracristalina, vamos a hacer una correspondencianumrica de los tomos, lo cual nos permitiridentificarlos (ver FIG.N8).

(100)

(110)

(111)

IV. Bibliografa.[1]. Federico Williams. Determinacin de laestructura cristalina de slidos: Difraccin de rayos X.

2008.[2]. http://webmineral.com/data/Halite.shtml

http://webmineral.com/data/Halite.shtmlhttp://webmineral.com/data/Halite.shtmlhttp://webmineral.com/data/Halite.shtmlhttp://webmineral.com/data/Halite.shtml