POTENCIACIN Y RADICACINPOTENCIACINPotenciasUna potencia es una
forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores
iguales. 5 5 5 5 = 54Los elementos que constituyen una potencia
son:La basede la potencia es el nmero que multiplicamos por s
mismo, en este caso el5.El exponentede una potencia indica el nmero
de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es
el4.Propiedades de las potencias de nmeros naturales1. Un nmero
elevado a 0 es igual a Ejemplo:50= 12. Un nmero elevado a 1 es
igual a s mismo.Ejemplo:51= 53. Producto de potencias con la misma
base.-Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la
suma de los exponentes.Ejemplo:25 22= 25+2= 274. Divisin de
potencias con la misma base.- Es otra potencia con la misma base y
cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.Ejemplo:25: 22=
25 2= 235. Potencia de una potencia.- Es otra potencia con la misma
base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
Ejemplo:
(25)3= 215 6. Producto de potencias con el mismo exponente.- Es
otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de
las bases.Ejemplo:23 43=(2 4)3=837 .Cociente de potencias con el
mismo exponenteEs otra potencia con el mismo exponente y cuya base
es el cociente de las bases.Ejemplo:63: 33= (6:3)3= 23POTENCIA
PERFECTA DE GRADO nPara que un entero positivo sea una potencia
perfecta de grado n es condicin necesaria y suficiente que los
exponentes de los factores primos en su descomposicin cannica sean
mltiplos de n.Sea k= ax.by.cz Descomposicin cannica:k= anx.bny.cnz
Ejemplos: N = 36 x 53 x 79 como 6, 3 y 9 son mltiplos de 3 entonces
N es una potencia perfecta de grado 3.82 es una potencia perfecta
de grado 2M = 8 x 8 = 64 43 es una potencia perfecta de grado
3CASOS PARTICULARESCaracteres de exclusin de nmeros cuadrados
perfectos.- Es el conjunto de reglas que permite, analizando las
cifras de un nmero, ver la posibilidad que el nmero sea cuadrado
perfecto o no.a) El Cuadrado de un nmero termina en el cuadrado de
la cifra de sus unidades.(1)2 = 1(6)2 = 6(2)2 = 4(7)2 = 9(3)2 =
9(8)2 = 4
(4)2 = 6(9)2 = 1(5)2 = 5(0)2 = 0
b) Todo nmero que termina en 1, 4, 6, 9 puedes ser cuadrado
perfecto. Se deduce que si un nmero termina en 2, 3,7 u 8 no es
cuadrado perfecto.Ejemplo: Son cuadrados perfectos: 36, 121, 169,
No son cuadrados perfectos: 42, 93, 107,
c) Si un nmero termina en 5, puede ser cuadrado perfecto siempre
y cuando la cifra de sus decenas sea 2 y el total de sus centenas
sea el producto de 2 nmeros consecutivos.
Si abcd5 = K2Entonces: d= 2 y abc = n(n+1)Ejemplo: 4225 es
cuadrado perfecto (65)Tambin: 4 2 2 5
d) Todo nmero que termina en una cantidad par de ceros puede ser
cuadrado perfecto siempre y cuando las cifras que lo acompaen
formen un nmero cuadrado perfecto.Si abcd0000 = K2
2n cifrasEntonces abcd es cuadrado perfectoEjemplo: 1 440 000 es
cuadrado perfecto.
e) Todo cuadrado perfecto es m.4 m.4 + 1.Ejemplo:144 es cuadrado
perfecto y es m.481 es cuadrado perfecto y es m.4+1
f) Un numero cuadrado perfecto ser siempre m.9, m.9+4, m.9+7,
m.9+1. Ejemplo:100 es C.P. y adems 9+1625 es C.P. y adems
9+4CUADRADOS PERFECTOS INTERESANTES 92 = 81 992 = 9801 9992 =
998001 99992 = 99980001 9992 = 999800..01 n cfs (n-1)cfs (n-1)cfs
112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1232321 11112 = Cumple hasta cuando
el numero este formado por 9 cifras uno.
CUBO PERFECTO
Es el nmero resultante de multiplicar 3 factores iguales.
TEOREMA: La condicin suficiente y necesaria para que un nmero
sea cubo perfecto es que al descomponerlo en sus factores primos
los exponentes de estos factores deben ser mltiplos de 3.
Si : N = ax . by . cz
y adems:x, y, z son m.3Entonces N = K3Ejemplo: 1728 = 26 x
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Caracteres de exclusin de nmeros cubos perfectos 1. Un cubo
perfecto puede terminar en cualquier cifra.(1)3 = 1(6)3 = 216(2)3 =
8 (7)3 = 343(3)3 = 27 (8)3 = 512(4)3 = 64 (9)3 = 729(5)3 = 125(10)3
= 10002. Un nmero que termina en ceros para que sea cubo perfecto
tiene que tener una cantidad de ceros mltiplos de tres y que el
nmero que acompae debe ser cubo perfecto.Ejemplo:343 000 0003. Si
un nmero es cubo perfecto y termina en 5, entonces la cifra de sus
decenas debe ser 2 7.
Si abc5 = K3Entonces: c es 2 7
4. Todo cubo perfecto ser siempre: m.9 ; (9+1) (9 1).Ejemplo: 63
= 216 (m.9) 133 = 2 197 (m.9 +1) 203 = 8 000 (m.9 1)
EJERCICIOS
1. Hallar un nmero sabiendo que su cuadrado ms el doble de si da
como resultado: 168.
2. En un colegio 1225 alumnos forman, de tal modo que construyen
un cuadrado perfecto. Si se retiran los alumnos que forman el
permetro exterior de manera que se conserve el cuadrado, diga Ud.
Cuntos alumnos quedaran?
3. Hallar el menor nmero por el cual hay que multiplicar a 5 880
para que sea cuadrado perfecto.
4. Hallar el menor mltiplo de 15 tal que la suma de su tercera y
sptima parte es un cuadrado perfecto.
5. Sea N = ababab y M sea menor nmero entero tal que, al dividir
N entre M de por resultado un cuadrado perfecto. La suma de las
cifras de M es:
6. Cuntos cuadrados perfectos que terminan en 6 hay entre 3 600
y 10 000?
