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TEORA DE ERRORES

a) Definiciones Incertidumbre en las medidas. Cuando repetimos una medida experimental varias veces, normalmente obtenemos valores diferentes por lo que no somos capaces de determinar el verdadero valor de la medida. La incertidumbre, inherente a una medida experimental se representa a travs del error.

Error o incertidumbre, Diferencia entre el valor observado o calculado y el valor verdadero, (x) =x =x0-x. El problema en esta definicin es que no se conoce el valor verdadero. A continuacin mostramos cmo se define el error, en la prctica.

Error absoluto, Indica el valor de la incertidumbre en un resultado experimental, x. Tiene sus mismas unidades y se escribe, junto con la medida, del siguiente modo: (x x) unidad

Error relativo, r(x): es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto de la magnitud: r(x) = x /x0. Es adimensional y, por tanto, sin unidades. Se suele expresar en tanto por ciento.

Media aritmtica de un conjunto de n datos. Para obtener mayor precisin en las medidas experimentales es recomendable repetir varias veces las medidas (3 como mnimo). A partir de estos valores se calcula el valor medio:

= que es considerado como la mejor estimacin del valor de una medida experimental.

b) Medidas directas 1. Cada vez que realizamos un experimento medimos cada magnitud al menos 3

veces. Llamamos xi a los diferentes valores obtenidos. 2. El error absoluto correspondiente a cada una de las medidas es la precisin del

aparato, p, que coincide con la sensibilidad del aparato empleado. Tambin con el valor del patrn ms pequeo utilizado en la medida (pesa ms pequea de una caja, 1 mm en una regla graduada en milmetros, 0.1 s en un cronmetro que aprecia hasta dcimas de segundo, ...). Por tanto, tendremos:

(xi p) unidad 3. Se calcula la Dispersin:

D = ((Xmax.-Xmin.) / Xmedio ) 100 Si el valor es menor del 2% Con las tres medidas es suficiente. Si el valor esta entre el 2% y el 8% Hay que hacer un total de 6 medidas. Si el valor esta entre el 8% y el 12% Realizar 15 medidas. Si el valor es superior al 12% Realizar 50 medidas.

4. Para tener en cuenta los errores aleatorios definimos el error estadstico como la desviacin tpica de las medidas.

= ( ) donde N es el nmero de medidas

5. A partir de los datos experimentales calculamos el valor medio, al que consideramos como el resultado de la media. Su error absoluto se define como el mximo entre el error del aparato y el error estadstico:

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x=max(p,) ( x) unidad

6. Todos los resultados que proceden de una medida experimental deben escribirse acompaados por el error absoluto y la correspondiente unidad. El nmero de cifras significativas en el resultado depende del error absoluto. En el apartado c) Notacin, cifras significativas se explican las reglas a seguir para escribir correctamente los resultados experimentales.

b) Medidas indirectas: propagacin de errores

A menudo queremos determinar una magnitud x que es funcin de una o ms variables determinadas experimentalmente. A x le llamaremos una medida indirecta. La propagacin de errores nos permite conocer la incertidumbre en la variable dependiente como funcin de los errores de las medidas experimentales. Supongamos que queremos determinar una magnitud x que es funcin de varias variables medidas, u, v = (, , ) El valor medio de x se obtiene a partir de los valores medios de las medidas experimentales. Por tanto, mientras que para las medidas directas tendremos siempre tres valores, a partir de los cuales calcularemos la media, en el caso de las medidas indirectas tenemos un nico valor calculado a partir de los valores medios. = (, , ) La diferencial de una funcin est relacionada con las derivadas por:

= + + Asimilando los errores de las magnitudes con los correspondientes diferenciales:

= + + donde los valores absolutos se deben a que los errores son cantidades acumulativas.

Ejemplos:

Si aplicamos esta ltima ecuacin a algunos casos particulares tenemos:

I.- Sumas y diferencias: x =u+vw x = u + v + w

II.- Multiplicacin y divisin = = + +

III.- Potencias = = 2 + 3

c) Notacin, cifras significativas:

Todos los resultados que proceden de una medida experimental deben escribirse acompaados por el error absoluto y la correspondiente unidad:

( x) unidad El nmero de cifras significativas en el resultado depende del error absoluto: 1. En primer lugar se ha de escribir correctamente el error. El error se expresa con una

cifra significativa, excepto cuando esa cifra sea un 1, en cuyo caso se debe expresar con dos cifras significativas.

3

2. En segundo lugar se ha de escribir correctamente el valor de la medida. La ltima cifra significativa de la medida y de la ltima cifra significativa del error deben coincidir.

Incorrectos Correctos 2,317 0,76 V 2,3 0,8 V 4,132 0,163 mA 4,13 0,16 mA 34521,78 37,2 kg 34520 40 kg 46288 1553 m 46300 1600 m = (46,31,6) 103 m 0,01683 0,0058 mm 0.017 0,006 mm = 17 6 m

Adems, hay que tener en cuenta que los resultados siempre se redondean (nunca se truncan).

d) Discrepancia: Si una magnitud fsica se mide con dos o ms mtodos, o por distintos observadores, es probable que los resultados no coincidan. En este caso decimos que existe una discrepancia en los resultados. En nuestro caso, cuando en el laboratorio medimos una determinada magnitud fsica, que por otro lado conocemos con precisin, normalmente el resultado obtenido no coincide con el valor conocido de dicha magnitud. En este caso decimos tambin que existe una discrepancia entre nuestro resultado, y el valor terico esperado. Por ejemplo, supongamos que diseamos un experimento para medir la velocidad de la luz, c, obteniendo un valor de 2,723108 m/s. Por otro lado, es bien conocido que el valor de c es igual a 2,998108 m/s. A la vista de estos resultados, decimos que existe una discrepancia entre el valor obtenido en el laboratorio, y el valor real de dicha magnitud. Dicha discrepancia la podemos cuantificar de la siguiente manera:

"#$%&'()%#) = %+,--. %/,01 %/,01 100 = 9,2% Y decimos que el valor obtenido en el laboratorio tiene una discrepancia del 9,2 % respecto del valor terico esperado.

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Gimnez, SPUPV-97.148. Data reduction and error analysis for the physical science. PR Bevington, DK

Robinson, Mc Graw Hill. J. Higbie, American Journal of Physics, n 59, pag. 184, 1991.