UNIDAD I

PRÁCTICA # 1: NOTACIÓN SUMATORIA

1.- Escribe las siguientes sumas con notación sumatoria:

a) (X1+X2+X3+. . . +Xn) = ∑i=1

n

xi

b) (X1+X2+X3+. . . +Xn) =∑1=1

n

xi

c) (X1+X2+X3+X4+X5+X6+X 7 )= ∑1=1

7

xi

d)X 1+Y 12

+X 2+Y 22

+ X 3+Y 32

+. . . + X n+Y n2

= X i+Y I2

= ∑i=1

7

❑ xi+xi2

2.- calcula cada una de las siguientes sumatorias sirviéndose de los datos proporcionados:Y= 10, 15, 5, 9, 14, 20, 6, 17

a) ∑y =96b) (∑ y )2 = 9216c) ∑(Y-12) / (n-1) = 28.52d) ∑ y2= 1352

PRÁCTICA # 2: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DISPERSIÓN

Obtenga la media de la muestra y la desviación estándar de los siguientes datos

1) 1.75 = 0.0004

2) 1.70 = 0.0009

3) 1.76 = 0.0009 X= ∑i=1n

xi

n

= 22.58

4) 1.77 = 0.0016

5) 1.71= 0.0004 media de la muestra

6) 1.70=0.0009

7) 1.79=0.0036

8) 1.72=0.0001 desviación estándar

9) 1.74=0.0001

10) 1.76=0.0009 5 = √∑(X−X )2

n= √ 0.011112

=

√0.000925

11) 1.75=0.0004

12) 1.73= = 0.0304

13) 1.70=0.0009

PRÁCTICA # 3: CREACIÓN DE HISTOGRAMA.

1.- Obtener K numero de rangos (aproximada 5 K 15) K= n donde n son el numero de datos.

2.-amplitud de clase ~ valor max .– valor min .

k

3.- generalmente las clases o rangos

4.- Contabilizar la frecuencia en cada clase

5.- Crear el histograma.

1.- K= ~ √50 ~ 7.071 ~ 7

2.- Amp. =96−707

= 3.71 ~ 4

3.- Clases o rangos 4.- Frecuencias

1.- 70 – 73 12 2.- 74 – 77 8 3.- 78 – 81 3 4.- 82 – 85 8 5.- 86 – 89 3 6.- 90 – 93 9 7.- 94 – 97 7

UNIDAD II

PRÁCTICA # 4: TÉCNICAS DE CONTEO.

1. Se quieren sentar 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen sitios pares:

¿De cuantas formas pueden sentarse?

5H 5p5 * 4p4 =120*24 = 2880 formas de sentarse las 9 personas

4M 5p5 =5*4*3*2*1 =120 4p4 =4*3*2*1 = 24

2. ¿Cuántos no. de 4 cifras pueden formarse con los 10 dígitos de 0 a 9? Si a) las no. Pueden repetirse b) el último número debe ser cero y los no. No pueden repetirse

A) 9x10x10x10 = 9000 posibles números

B) 9x8x7x1 =504 posibles no.

3. De cuantas formas puede elegirse una comisión de 5 personas de entre 9 personas9 = 9! = 9*8*7*6*5! = 9*8*7*6 = 126 5 5!(9-5)! 5! (4!) 4*3*2*1

Hay 126 formas para crear una comisión

4. De un total de 5 matemáticos y 7 físicos, se forma un comité de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas formas pueden construirse si?

a) Puede pertenecer a cualquier matemático y cualquier físico b) Un físico determinado no puede estar en el comité.c) 2 matemáticos determinados no pueden estar en el comité.

M M M M M F F F F F F F

a) 5C2*7c3 =10*35 =350 Formas de construir el comité.

b) 5C2*6C3= 10*20= 200

c) 3C2*7C3= 3*35= 105

5. Con siete consonantes y 5 vocales diferentes ¿Cuántas palabras pueden formarse que consten de 4 consonantes y vocales? No es necesario que las palabras tengan significado.

C C C C C C C V V V V V

7C4*5C3 =35*10 =350 formas de crear palabras.

PRÁCTICA # 5: PROBABILIDAD Y CONJUNTOS.

Una clase de física se compone de 10 estudiantes de 1er año, 3 de último y 10 de graduados. Las calificaciones finales muestran que 3 estudiantes de 1er año 10 de ultimo año y 5 de los graduados obtuvieron A en el curso Si se elige a un estudiante al azar de de esta clase y se encuentran que es uno de los que obtuvieron A ¿Cuál es la probabilidad de que sea de ultimo año?

A B 3 5 107 5

B {estudiantes del último año}A {estudiantes que obtuvieron A}

P (B/A) = P (AnB)

P (A) P (A/B)=P(AnB) =

8301830

=1018

P(A) P(B)

8301030

30 =0.55= 55%

La probabilidad de que un alumno sea del ultimo año es de 55 % dado que obtuvo A de calificación.

Una caja contiene 8 bolsas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 bolsas aleatoriamente sin reemplazo determinar la probabilidad de que:

a) Las bolsas sean rojas

P(E)= 8 x 7 x 6 20 19 18

b) Las 3 bolsas sean blancas

P(E) = 3 x 2 x 1 20 19 8

Hallar la probabilidad de:

M N 1 8 3 4 5 6 2 9

7 11 10 12

a) P(MnN) = 3 = .25 12

b) P(MuN´)= 19 =.75

12 c) P(M´nN) =.33333 = 33%d) P(M´uN´) = =75 %

P(MuN´) =1- P(MuN)=1-(8 )=12= 8 = 4 = 1 (12) 12 12 12 3

P(M´uN´) =P(MnN)´ =1P (MnN) = 1-.25 =.75= 75 %

Una muestra aleatoria de 200 adultos clasifico por sexo y su nivel de educación.

Educación hombres mujeresPrimaria 38 45Secundaria 28 50Facultad 22 17

Si se escoge a una persona al azar de este grupo encuentre la probabilidad de que:

a) La persona sea hombre dado que la persona tenga educación primaria.b) La persona no tiene un grado universitario dado que la persona es mujer.

H: hombres P(H/5)

S: secundaria

U´: no universitario ó F: No facultad

M: mujeres

P(F´/M)

PRÁCTICA # 6: PROBABILIDAD INDEPENDIENTE.

PRÁCTICA de probabilidad

Se lanzan 2 dados equilibrados y se requiere hallar las siguientes posibilidades:a) Que la suma de los dados sea 7.b) Que la suma de los dados sea 8 ó 9.c) Que no sea 2 ni 12 la suma de los dados.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

a) ¿ 636

= 16.6 %

b) ¿ 936

= 25 %

c) ¿ 63436

= 94.4 %

PRÁCTICA: determinar la probabilidad de obtener 3 veces en 5 lanzamientos de un dado equilibrado.

P(1) = 5C3 (1)(6)

(1)(6)

(1)(6)

(5)(6)

(5)(6)

Prob. De acertar 16

P(3)=5C3 ¿(1 )3(6)

(5 )2(6)

Prob. De no acertar 52

P(3)=10(1 )3(6)

(5 )2(6)

No. Combinaciones 5C3

P(7)

6 30

P(8) P(9)

4 5

Una maquina produce 12000 tornillos diarios de lso cuales en promedio 3% son defectuosos.Hallar la probabilidad que de 600 tornillos seleccionados aleatoriamente 12 sean defectuosos:

1.- espacio muestral. 12000

2.- Formas de acertar 12000(0.03)= 360 360C12

3.- No acertar 11634C588

P (120) =360C 12.11640C588

12000C600

La probabilidad de que un esposo y una esposa estén vivos dentro de 20 años están dados por .8 y .9 respectivamente.

Hallar la probabilidad de que en 20 años:a) Ambos estén vivos.b) Ninguno viva.c) Al menos uno de los dos viva.

a) P (AnB) = 0.8*0.9 = 0.72 = 72 %b) P (Ep´nEs´) =0.2*0.1= 0.02 =2%c) P (Ep´nEs´) =0.2*0.9 = 0.18 = 18%

P (Ep´nEs´) =0.8*0.1 = 0.8 = 8%

P (EpnEs) =0.8*0.9 = .72.98

= 98%

PRÁCTICA # 7: PROBABILIDAD CONDICIONAL.

PRÁCTICA # 8: EJERCICIOS VARIOS.

UNIDAD IIIPRÁCTICA # 9: DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA.

Una población consiste de 10 artículos 4 de los cuales son defectuosos y los 6 restantes no lo son ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de tamaño 3 contenga 2 artículos defectuosos?

F(x) = ( 42)( 10−43−2

)

(103

)

F(x) = ( 42)( 61)

(103

) = 6.6120

= 0.3 = 30 %

Como subgerente de una empresa de materias primas usted debe contratar 10 personas entre 30 candidatos 22 de los cuales tienen títulos universitarios ¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los que usted contrate tengan un titulo?

F(x) = ( 225

)( 30−2210−5

)

(305

)

F(x) = ( 225

)( 85)

(305

) = (26334 )(56)

30415015 = 0.49 = 49 %

N=30r=22n=10x=5

De los 15 altos ejecutivos de un negocio de importaciones y exportaciones se seleccionan 12 para ser enviados a Japón a estudiar un nuevo proceso de producción 8 de los ejecutivos ya tienen algo de entrenamiento en el proceso.¿Cuál es la probabilidad de que 5 de los enviados tengan algo de conocimiento sobre el proceso antes de partir al lejano oriente?

F(x) = ( 125

)( 15−128−5

)

(158

) =

( 123

)( 33)

(158

) = (792 )(1)

6435 =0.1230 =12.30 %

N=40

r=27n=10x=3

40 trabajadores han recibido en su oficina nuevos computadores. 27 tienen la tecnología MNX si se seleccionan 10 aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad?

F(x) = ( 273

)( 40−2710−3

)

(4010

) =

( 273

)( 137

)

(158

) = (2925 )(1716)8476605028

=0.5921=59.21 %

PRÁCTICA # 10: DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA.

¿Cuál es la probabilidad de hallar un 6 en 3 tiros secuenciales de un dado equilibrado?

P= 16

G (3) = 0.16 (1−0.16)3−1= 0.16 (.84)2 = 0.1128 = 11.28%

PRÁCTICA # 11: DISTRIBUCIÓN DE POISSON.

UNIDAD IVPRÁCTICA # 12: DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL.

F(x) = e−x10

10Hallar al probabilidad para:

a) P(x>30) U= −x10

du =110

dx = dx10

= dx

−10

b) P(10<x<20) -10 du = dxc) P(x<10)

∫0

30e

− x10

10dx = ∫

0

30eu

10(−du) ∫

0

30−10eu

10du = -10 ∫

0

30eu

10 = −10(e

u)10

=

= eu = -e−(3010

)- e(10)= e−3+ e0 = -0.04978+1 = 0.95022 =95.022%

a) P(10<x<20)

-e−(1010

)+e−(2010

)= -e−1 + e−2 = -0.367879+0.135335 =0.2325 = 23.25%

b) P( x<10) = -e−1010 +e0 = -e1 +1 = -0.367879+1= 0.63 = 63%