Práctica

Tubos Sonoros A) Repaso teórico Tubos sonoros

Si en un instante dado se comprime una masa de gas en el interior de un recipiente cerrado y se abandona (no se ejerce más perturbación), se observaría que, en ausencia de amortiguamiento, las partículas de la masa de gas entrarían en vibración (movimiento periódico). Las frecuencias asociadas al movimiento vibratorio resultante dependen de las características mecánicas del sistema (gas – recipiente). A estas frecuencias se les denomina propias (o características).

En esta práctica se estudian las características de la vibración sonora armónica (senoidal) de una cantidad de gas en un tubo producido por una excitación externa. La vibración la produce un altavoz que ocupa la totalidad de la sección interior del tubo acoplado a un generador de ondas senoidales y se registran mediante un micrófono acoplado a un osciloscopio.

De acuerdo a la teoría de Bernouilli, en el tubo de longitud infinita se propagarán ondas planas en el sentido longitudinal del mismo.

La ecuación de ondas para el caso unidimensional (eje X) para una perturbación Y de una onda con velocidad de propagación V es

2

22

2

2

x

YV

t

Y

Cuya solución general es

)xKtn(2cosa)xKtn(2cosaY 21

Cuyas constantes a1 y a2 se determinan con las condiciones de contorno del caso particular. En un tubo de longitud finita, L, pueden darse las siguientes condiciones de contorno: a) Abierto por ambos extremos Así para x=0 y x=L la sobrepresión en la sección es nula

0x

YQ

0

x

Y

Donde Q es coeficiente de compresibilidad del gas. Derivando en la solución general

)xKtn(2senak2)xKtn(2senak2x

Y21

Y la condición de contorno para x=0 queda

0tn2senak2tn2senak2 21

0tn2sen)aa(k2 21 aaa 21

Teniendo en cuenta el anterior resultado en la condición de contorno para x=L queda

0)LKtn(2senak2)LKtn(2senak2

0)LKtn(2sen)LKtn(2sen

Que teniendo en cuenta las expresiones del seno de la suma

LK2sentn2cosLK2costn2sen)LKtn(2sen

LK2sentn2cosLK2costn2sen)LKtn(2sen

Queda

0LK2sentn2cos2

Que como tiene que cumplirse para todo t

0kL2sen 2

p2Lk2

Donde p=1,2,3, … Teniendo en cuenta que

1k

p

L2

k

1

Vn

L2

VpVn

Para cada uno de los valores de p se obtienen las frecuencias propias (características) del tubo. Para p=1 se obtiene la frecuencia fundamental y para p= 2, 3, … la de los armónicos. De las expresiones anteriores, en los tubos abiertos, la frecuencia fundamental es proporcional a V en inversamente proporcional a la longitud del tubo, siendo su longitud de onda 2L.

La ecuación de los armónicos será

)xktn(2cosa)xktn(2cosaY pppp

Que es un conjunto de ondas estacionarias con los vientres de elongación y los nodos de sobrepresión en los extremos.

b) Abierto en un extremo y cerrado en el otro Si para x=0 es abierto, se obtiene análogamente a lo expuesto en a) que a sobrepresión en la sección es nula.

0x

YQ

0

x

Y

Y resulta que aaa 21

En el extremo cerrado, la elongación en la sección es nula (rigidez del extremo), Y=0. Se tiene pues que

0)xKtn(2cosa)xKtn(2cosa

0)xKtn(2cos)xKtn(2cos

Que teniendo en cuenta las expresiones del seno de la suma

LK2sentn2senLK2costn2cos)LKtn(2cos

LK2sentn2senLK2costn2cos)LKtn(2cos

Se tiene que

0LK2costn2cos2

Que como tiene que cumplirse para todo t

0LK2cos 2

1p2Lk2

Donde p=0,1,2,3, … Teniendo en cuenta que

1k

1p2

L4

k

1

Vn

L4

V1p2Vn

Para cada uno de los valores de p se obtienen las frecuencias propias (características). Para p=0 se obtiene la frecuencia fundamental y para p= 1, 2, 3, … la de los armónicos. Los armónicos en este caso corresponden a un conjunto de ondas estacionarias con los vientres de sobrepresión en el lado cerrado (nodo de elongación) y los nodos de sobrepresión en el abierto (vientre de elongación).

c) Cerrado por ambos extremos Si para x=0 la elongación en la sección es nula, Y=0,

0)tn(2cosa)tn(2cosa 21

0)tn(2cosaa 21

Que como tiene que cumplirse para todo t

21 aaa

Teniendo en cuenta la anterior y la segunda condición, para x=L Y=0 se tiene

0)LKtn(2cosa)LKtn(2cosa

0)LKtn(2cos)LKtn(2cos

Que teniendo en cuenta las anteriores expresiones vistas para el coseno de la suma (que se repiten aquí)

LK2sentn2senLK2costn2cos)LKtn(2cos

LK2sentn2senLK2costn2cos)LKtn(2cos

Se tiene que

0LK2sentn2cos2

Que como tiene que cumplirse para todo t

0kL2sen 2

p2Lk2

Donde p=1,2,3, … Teniendo en cuenta que

1k

p

L2

k

1

Vn

L2

VpVn

Para cada uno de los valores de p se obtienen las frecuencias propias (características). Para p=1 se obtiene la frecuencia fundamental y para p= 2, 3, … la de los armónicos. De las expresiones anteriores, en los tubos cerrados, la frecuencia fundamental es proporcional a V en inversamente proporcional a la longitud del tubo, siendo su longitud de onda 2L.

Los armónicos en este caso corresponden a un conjunto de ondas estacionarias con los vientres de sobrepresión en ambos lados cerrados (nodos de elongación).

Resonancia

Si la masa de gas en el tubo se excita con un movimiento vibratorio externo (vibración forzada) de frecuencia ne que, en general no corresponderá con una frecuencia característica, que en este apartado llamaremos nc , la amplitud del movimiento oscilatorio para la masa de gas, A , dependerá,

además de la amplitud del movimiento excitador Ae , del cociente ce n/n .

El valor de ne que hace máxima la amplitud de la vibración (en este caso

en el gas) se denomina frecuencia de resonancia y al modo de vibración, de resonancia. Si el amortiguamiento es pequeño, pueden darse amplitudes de oscilación muy grandes y se verifica que la frecuencia de resonancia es un

valor próximo a la frecuencia característica del sistema, cr nn .

En el estudio de vibraciones resulta útil el coeficiente

eA

Ar

En la figura se muestra un gráfico típico de r frente ce n/n para distintas

amplitudes de excitación

Velocidad del sonido La velocidad de propagación de la perturbación (en este caso del sonido) en el gas será función de la temperatura del mismo y puede obtenerse com

0

oT

TVV

Donde T es la temperatura en grados Kelvin T0=273,15 K y V0= 330 m/s.

B) Objeto de la práctica Para el caso de tubos cerrados por ambos extremos a) Fijando una frecuencia de excitación

Obtener la longitud de resonancia (Que será próxima a la propia del tubo).

Longitud de onda de la onda en el tubo. Tanto teórica como experimental para su comparación. b) Fijando una longitud de tubo

Longitud de onda de la onda en el tubo. Frecuencias de resonancia.

Tanto teórica como experimental para su comparación. En el apartado a), con una frecuencia n fija ( entre 500 y 600 Hz) y el micrófono en un extremo, se va modificando la longitud del tubo moviendo el extremo del altavoz. Cuando se vea un máximo en el osciloscopio (ya que mide sobrepresiones), se tendrá la longitud de resonancia para esa frecuencia. Se hace para varias frecuencias. Será útil la siguiente tabla

En el apartado b), con una longitud fija (pruebe 1,2 m), sin modificar el altavoz y el micrófono en el otro extremo, se va modificando la frecuencia n en el generador de funciones. Cuando se vea un máximo en el osciloscopio (ya que mide sobrepresiones), se tendrá la frecuencia de resonancia para esa

Al haber ajustado el orden de armónicos a un número entero, con este valor de longitud de onda eliminamos errores de la medida de d

longitud. Se buscan varias frecuencias, y el orden de armónico de cada una de ellas.. Será útil la siguiente tabla

Recordar que, registrando sobrepresión en tubos cerrados por ambos extremos, número de nodos en el tubo coincide con el orden de armónico. c) Memoria Carátula identificadora del grupo normalizada Cálculos varios necesarios Tablas