D.M. y V. PRACTICO 3 - Curso 2012

1. Encuentre los coeficientes de flexibilidad y de influencia del sistema torsional mostrado en la

figura. También escriba las ecuaciones de movimiento del sistema.

2. Un ala de avión es modelada como un sistema de masas concentradas de tres grados de

libertad. Derivar la matriz de flexibilidad y las ecuaciones de movimiento del ala.

3. Hallar las matrices de rigidez y flexibilidad del

sistema masa-resorte de la figura, asumiendo

que todas las superficies de contacto son sin

fricción.

4. Encontrar las ecuaciones de movimiento del sistema de la figura

5. Para la edificación de cuatro pisos mostrada, no hay rotación de las secciones horizontales a

nivel de los pisos. Asumiendo que dichos pisos son rígidos y la masa total está concentrada en

los mismos, derive las ecuaciones de movimiento del edificio utilizando: a) Segunda ley de

movimiento de Newton, b) Ecuaciones de Lagrange.

6. Cuando un aeroplano está sujeto a vibraciones simétricas, su fuselaje puede ser idealizado

como una masa central Mo concentrada y sus alas pueden modelarse como barras rígidas que

cargan masas M en sus extremos como se muestra en la figura. La flexibilidad entre las alas y el

fuselaje puede ser representado mediante dos resortes torsionales de rigideces k. (i) derive las

ecuaciones de movimiento del aeroplano, utilizando las ecuaciones de Lagrange con x y como

coordenadas generalizadas. (ii) Encontrar las frecuencias naturales y los modos normales del

aeroplano. (iii) Encontrar la constante torsional de resorte de manera de que las frecuencias

naturales torsionales de vibración, sean mayores a

2 Hz cuando Mo=1000Kg, M=500Kg y l=6m.

7. Encontrar las frecuencias naturales y los modos normales del sistema mostrado

Cuando k1=k, k2=2k, k3=3k, m1=m y m2=2m y m3=3m. Graficar los modos normales

8. a) Encontrar las frecuencias naturales del sistema mostrado con mi=m y li=l/4.

b) Encontrar las frecuencias naturales de la viga cuando m=10Kg, l=0.5m, la sección es

circular con diámetro 2.5cm, y el material es acero.

c) Considerar utilizar sección circular hueca, rectangular sólida, o rectangular hueca de

forma de alcanzar las mismas frecuencias naturales de b) identificando aquella sección

que corresponda a la viga de menor peso.

9. La matriz de masas [m] y la de rigidez [k] de una barra uniforme son

Donde es la densidad, A el área transversal de sección, E el módulo de Young y l la longitud de la barra.

Encontrar las frecuencias naturales del sistema encontrando las raíces de la ecuación característica.

También encontrar los modos principales.

10. Encontrar la matriz modal para el sistema semi-definido dela figura para Ji=Jo, kr1=k y kr2=2k

11. Determinar las amplitudes de movimiento de las tres masas mostradas

cuando una fuerza armónica F(t)=Fo sin(wt) se aplica sobre la masa inferior

izquierda con m=1Kg, k=1000N/m, Fo=5N y w=10rad/seg utilizando el

método de superposición de los modos.

12. Un ala de aeroplano es modelada como un sistema de 12 grados delibertad con masas

concentradas como se muestra. Los primeros tres frecuencias naturales y modos se obtuvieron

experimentalmente y se tabularon.

1=225 rad/seg, 2=660 rad/seg y 3=1100 rad/seg. Si el fuselaje del avión está sujeto a un

movimiento vertical conocido xo(t), derivar las ecuaciones desacopladas para determinar la respuesta

dinámica del ala aproximando la misma como una CL de los primeros tres modos normales.

Sugerencia: la ecuación de movimiento del ala puede ser escrita como

donde u1 es un vector unitario.

13. Determine la matriz modal P y la matriz modal reducida P´ y diagonalice la matriz de rigidez,

desacoplando así las ecuaciones

14. Usando la matriz adjunta, halle los modos normales de los sistemas mostrados

15. Determine la matriz de flexibilidad para la viga en voladizo de la figura y calcule la matriz de

rigidez a partir de su inversa.

16. Determine los coeficientes de influencia para el péndulo triple

de la figura.

17. Usando 2 modos normales, deduzca las ecuaciones de

movimiento para el edificio de 5 pisos cuya rigidez de fundación en

traslación y rotación son kr y Kt=