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TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
P á g i n a | 1
PRÁCTICA 1: ESTUDIO DE LA MOVILIDAD Y EL ÁNGULO DE TRANSMISIÓN.
RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE POSICIÓN EN UN MECANISMO PLANO.
ÍNDICE
1. Ley de Grashof
2. Planteamiento y resolución del problema de posición de un mecanismo plano
3. Ángulo de transmisión
4. Descripción del equipo de prácticas
5. Realización de la práctica
a. Selección de longitudes
b. Selección de velocidad de giro
c. Fijación de la posición inicial
d. Uso de la aplicación
e. Estudio experimental
f. Estudio analítico
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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LEY DE GRASHOF
Dado que la conducción de un mecanismo se efectúa, por lo general, desde un motor
con movimiento circular, las condiciones para que una barra de vueltas completas son
interesantes de conocer. Grashof dedujo en 1.883 las condiciones de rotabilidad para el
cuadrilátero articulado. Sean a, b, c, d las longitudes de las cuatro barras, ordenadas
de menor a mayor: 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑
En un cuadrilátero articulado son posibles tres formas de conexión entre las barras, tal
como se muestra en la figura siguiente.
Figura 1
Para la configuración a1, la barra de longitud 𝑎 dará
vueltas completas alrededor de la barra de longitud 𝑑,
si logra ocupar las posiciones en las que producen los
triángulos de lado más largo y más corto (Figura 2). Por
tanto, deben cumplirse las relaciones:
(1)a d b c
(2)a d c b
(3)d a b c
(4)d a c b
El cumplimiento de las tres últimas condiciones es automático, quedando sólo el
cumplimiento de la primera para que la barra de longitud 𝑎 dé vueltas completas
alrededor de la de longitud 𝑑 en la disposición a1.
Repitiendo exactamente el razonamiento anterior, para las disposiciones a2 y b1, se
llega al mismo resultado dado por la expresión (1). Este conjunto de resultados permite,
por tanto, enunciar la primera ley de Grashof:
Figura 2
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“La barra más corta de un mecanismo de cuatro barras da vueltas completas
respecto de todas las demás, si se verifica que la suma de las longitudes de la
barra más larga y más corta es menor que la suma de las otras dos”.
Si no se verifica la condición de esta ley, la barra más corta no da vueltas completas
alrededor de todas las demás y, con mayor motivo, las restantes barras tampoco dan
vueltas completas, es decir, todas oscilan entre sí.
Si se verifica la condición de Grashof, sólo la barra más corta da vueltas completas,
mientras que el resto sólo pueden oscilar entre sí. Así, en la figura a1, para conseguir
que la barra de longitud 𝑐 de vueltas completas alrededor de la barra de longitud d, debe
poder situarse alineada con ella, para lo cual sería necesario que se cumpliera entre
otras: abdc
lo que es imposible. Luego la barra “c” no puede dar vueltas completas alrededor de
“d”.
En forma similar, para que “b” pueda dar vueltas alrededor de “c”, debe cumplirse entre
otras la condición:
adbc
que tampoco es posible. Por tanto, si “b” no puede dar vueltas completas sobre “c” y
esta última no puede darlas respecto de “d”, la barra “b” no dará vueltas sobre “d”.
Para las otras configuraciones, se llega a conclusiones similares si se realizan
razonamientos como los que se han hecho para la primera configuración. Por tanto si se
verifica la condición de Grashof las barras “b”, “c” y “d” pueden sólo oscilar unas respecto
a otras.
Para un mecanismo que cumpla la ley de Grashof, se obtendrán los siguientes
mecanismos en función de la inversión elegida:
a) Si la barra fija es contigua a la más corta, el mecanismo será de manivela-
balancín.
b) Si se fija la barra más corta, el mecanismo es de doble manivela.
c) Si el eslabón más corto es el seguidor, se obtiene un balancín-manivela
d) Fijando la barra opuesta a la más corta, el mecanismo será de doble balancín.
En este mecanismo es posible la rotación total del acoplador.
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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Figura 3
En caso de no cumplirse la condición impuesta por la ecuación (1), todas las inversiones
del mecanismo serán de triple balancín, ya que ninguna barra podrá dar vueltas
alrededor de las demás. En este caso no es posible el movimiento relativo continuo.
El caso límite en el que la desigualdad de la ecuación (1), se convierta en una igualdad:
cbda , se conoce como caso especial de Grashof y todas las inversiones serán
doble-manivela o manivela-balancín, pero tendrán “puntos muertos” dos veces por
revolución de la manivela de entrada cuando todos los eslabones se vuelven colineales.
En estos puntos, el movimiento de salida se vuelve impredecible ya que puede asumir
cualquiera de dos configuraciones; estos puntos muertos se vencen con dispositivos
adecuados: volantes, diadas, multi-paralelogramos, etc. Un caso especial del anterior
es cuando a = b y c = d. En este caso se pueden obtener los mecanismos de la figura
que se muestra debajo. El eslabonamiento de paralelogramo es muy útil, ya que duplica
exactamente el movimiento rotatorio de la manivela impulsora en la manivela impulsada.
Un empleo común es el acoplamiento de los balancines frotadores de un
limpiaparabrisas de un automóvil. El acoplador del eslabonamiento de paralelogramo
tiene traslación curvilínea y permanece con el mismo ángulo, en tanto que todos sus
puntos describen trayectorias circulares idénticas. Este movimiento paralelogramo se
utiliza con frecuencia en los elevadores traseros de carga de camiones y en robots
industriales. La disposición en cometa, es una doble manivela en la que la manivela más
corta realiza dos revoluciones por cada una de las realizadas por la manivela larga.
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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Figura 4
(Nota: para más detalles sobre la ley de Grashof se puede consultar el libro “Síntesis de
mecanismos”, de Justo Nieto).
PROBLEMA DE POSICIÓN EN UN MECANISMO PLANO
Las ecuaciones necesarias para la solución del problema de posición de un mecanismo
plano se obtienen planteando las ecuaciones vectoriales que representan los diferentes
lazos formados por las barras del mecanismo. En el caso de un mecanismo de cuatro
barras articuladas se tiene un solo lazo en el que cada barra se asocia a un vector: 𝒓𝟐, 𝒓𝟑,
𝒓𝟒, 𝒅.
Figura 5
La ecuación vectorial de cierre del lazo será:
𝒓𝟐 + 𝒓𝟑 = 𝒅 + 𝒓𝟒
Denominando a, b, c y d a los módulos de los vectores
𝒓𝟐, 𝒓𝟑, 𝒓𝟒 y 𝒅, respectivamente, la ecuación vectorial da lugar a dos ecuaciones
escalares:
𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃2 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝜃3 = 𝑑 + 𝑐𝑐𝑜𝑠𝜃4
𝑎𝑠𝑒𝑛𝜃2 + 𝑏𝑠𝑒𝑛𝜃3 = 𝑐𝑠𝑒𝑛𝜃4
Se trata de un sistema no lineal, pero resoluble, ya que, conocidas las longitudes de las
barras y el ángulo formado por la barra de entrada con la horizontal,𝜃2, tiene sólo dos
incógnitas escalares: 𝜃3 y 𝜃4.
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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La resolución de un sistema de ecuaciones no lineales puede abordarse extendiendo
los métodos de aproximaciones sucesivas, tales como Newton-Raphson y sus variantes,
desarrollados para el caso de una única ecuación, al caso de sistemas de n ecuaciones
no lineales con n incógnitas.
Si lo que se desea es obtener la posición de la barra de salida para cada posición de la
barra de entrada, otra opción es aplicar relaciones trigonométricas tales como el
Teorema del Coseno, según el cual:
Figura 6
Haciendo uso de una diagonal intermedia de longitud desconocida m se pueden
establecer las siguientes relaciones:
Figura 7
𝑎2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃2 = 𝑚2
𝑚2 + 𝑑2 − 2𝑚𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃4𝑖 = 𝑎2 𝜃4𝑖 = cos−1(𝑚2+𝑑2−𝑎2
2𝑚𝑑)
𝑚2 + 𝑐2 − 2𝑚𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃4𝑠 = 𝑏2𝜃4𝑠 = cos−1(
𝑚2+𝑐2−𝑏2
2𝑚𝑐)
𝜃4 = 𝜃4𝑖 + 𝜃4𝑠
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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ÁNGULO DE TRANSMISIÓN
El ángulo de transmisión () es el menor ángulo entre la dirección de la velocidad
absoluta de la barra de salida con la dirección de la velocidad relativa de la barra
transmisora, respecto a la barra de entrada, en el punto de transmisión. Este ángulo
coincide bien con el ángulo formado por la barra transmisora y la barra de salida bien
con su suplementario, el que sea menor de los dos.
Figura 8
A raíz de la definición anterior se deduce que:
• El ángulo de transmisión depende de cuáles sean las barras de entrada y salida
• El ángulo de transmisión depende de la posición
Si se desea obtener el ángulo de transmisión en un mecanismo de 4 barras de
longitudes conocidas y para una posición de la barra de entrada, definida por θ2, se
puede aplicar el teorema del coseno a dos triángulos, usando la diagonal auxiliar m,
como se muestra a continuación:
2
2
22 cos2 madda
222 cos2 mbccb
Combinando las dos ecuaciones se
obtiene:
cos2cos2 22
2
22 bccbadda
Para determinar el ángulo de transmisión más grande y más pequeño en todo el
recorrido se puede alinear la barra de entrada con la barra de tierra en alargue y
solape, como se muestra en las dos figuras siguientes, y volver a aplicar el teorema
del coseno.
Figura 9
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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Figura 10
El mejor ángulo de transmisión a lo largo de todo el recorrido de la barra de entrada
será el de 90º, si se da, o el más cercano a él. Y el peor ángulo de transmisión en
todo el recorrido será el más alejado de 90º, ya sea agudo u obtuso.
Si no se puede alinear la barra de entrada con la de tierra será porque se ha
producido un punto muerto y por tanto el ángulo de transmisión habrá alcanzado un
valor de 0º o 180º. En las siguientes figuras se muestra como ejemplo un mecanismo
doble balancín en el que se está conduciendo desde la barra 2.
Figura 11
Un punto muerto es una posición singular en la que no hay transmisión de movimiento
desde la barra conductora a la barra de salida. Esta situación se corresponde con
valores del ángulo de transmisión de 0 o 180.
En un mecanismo biela-manivela-corredera, en el que la barra de entrada sea la
corredera (inversión denominada comúnmente motor) se identifican las siguientes
posiciones singulares:
μ= 180º μ= 0º
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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Figura 12
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DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO DE PRÁCTICAS
Se dispone de un mecanismo que será accionado mediante un motor de corriente continua. Las
dimensiones de las barras móviles pueden variarse. El motor gira con velocidad angular
aproximadamente constante a lo largo de un ciclo o vuelta completa de la barra de entrada. Esta
velocidad puede seleccionarse en un rango aproximado entre 15 y 20 r.p.m. (entre 1.5 y 2 rad/s).
En cada práctica se deberán fijar unas dimensiones de las barras que permitan dar vueltas
completas a la barra de entrada y se establecerá una velocidad de giro aproximadamente
constante para, como resultado, medir la evolución de la velocidad de giro de la barra de salida
y del par suministrado por el motor.
Accionamiento del equipo
1) Con el sistema parado y el motor desconectado se seleccionan las longitudes efectivas de
las barras, para que la barra de entrada pueda dar vueltas completas.
2) Se aflojan los tornillos y se desplazan las correderas para establecer las longitudes
correspondientes
3) Se aprietan los tornillos
4) Se comprueba de forma manual que la barra de entrada puede dar vueltas completas,
haciendo girar lentamente y con precaución dicha barra
5) Se conecta el encoder a la alimentación
6) Se conecta el motor a la alimentación
7) Se ejecuta la aplicación Simulación mecanismos
8) Se fija la velocidad de giro del motor
9) Se acciona el funcionamiento del mecanismo
REALIZACIÓN DE LA PRÁCTICA
La práctica está diseñada por su realización por un grupo de 10 alumnos. Cada grupo de prácticas deberá
mantener los parámetros seleccionados en esta primera práctica (longitudes de las barras y velocidad de
giro del motor) durante el resto de las prácticas, ya que el estudio cinemático y el dinámico deben partir
de tales valores. Así, los grupos creados para la primera práctica deben mantenerse durante todo el curso.
Selección de las longitudes de las barras
Las dimensiones de las barras pueden variarse en los siguientes rangos:
Longitud de la barra fija: 𝐿1 = (80 ± 𝑛 ∙ 10)𝑚𝑚; siendo 𝑛 un nº entero comprendido entre 1 y
6
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Longitud de la barra de entrada: 𝐿2 ∈ [20, 145]𝑚𝑚
Longitud de la barra acopladora: 𝐿3 ∈ [40, 330]𝑚𝑚
Longitud de la barra de salida: 𝐿4 ∈ [190, 330]𝑚𝑚
El primer paso será seleccionar longitudes para cada una de las barras dentro de los rangos anteriores. Se
debe asegurar que se cumple la ley de Grashof puesto que el sistema se acciona mediante un motor y por
lo tanto la barra de entrada debe dar vueltas completas.
Si, por ejemplo, las longitudes establecidas son tales que: 𝐿2 < 𝐿4 < 𝐿3 < 𝐿1, se debe cumplir:
𝐿1 + 𝐿2 ≤ 𝐿3 + 𝐿4
Cada grupo de prácticas deberá mantener las longitudes de las barras que se seleccionen durante el
resto de las prácticas.
Las longitudes de las barras se seleccionarán de forma arbitraria por el profesor de prácticas y será fijada
al inicio de la misma
Una vez fijada las longitudes de las barras se debe hacer girar lentamente la barra de entrada para
comprobar que puede dar vueltas completas.
Selección de la velocidad de giro
Para cada grupo se selecciona una velocidad de giro, comprendida entre 1.5 y 2 rad/s
Uso de la aplicación
Tal como se muestra en la figura 3 la aplicación Simulación mecanismos consta de distintos
botones para accionar o parar el funcionamiento del mecanismo. El uso de la aplicación será el
siguiente:
En primer lugar se deberá seleccionar en que puerto del ordenador se ha conectado el
dispositivo en la ventana Puerto Serie Arduino. Además habrá que seleccionar cuál es el montaje
del experimento con el botón Montaje tal como aparece indicado en aplicación.
Después, se pulsará el botón INICIAR para comenzar el experimento. La aplicación solicitará al
usuario seleccionar en que directorio desea registrar los datos de la simulación y que nombre
desea dar al archivo, teniendo la posibilidad de sobrescribir algún archivo existente.
A continuación, se deberá seleccionar la velocidad deseada de giro de motor, para ello se
utilizarán las fechas que se encuentran junto a la ventana de selección de velocidad. Una vez se
haya elegido la velocidad, se pulsa el botón Velocidad Seleccionada para accionar el mecanismo.
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Durante la simulación se podrá modificar la velocidad de giro del motor mediante las flechas
que se encuentran junto a la ventana de selección de velocidad.
El usuario podrá comenzar a grabar los datos en el archivo seleccionado anteriormente
mediante el botón GRABAR, este botón puede ser pulsado y despulsado en cualquier momento
dando al usuario la posibilidad de grabar los datos que sean interesantes para su experimento.
Cuando desee finalizar la ejecución, simplemente se pulsará el botón PARAR.
Figura 13: Pantalla de la aplicación Simulación mecanismos
Fijar la posición inicial
Se debe colocar el mecanismo en una posición tal que la barra de salida se encuentre en una de sus
posiciones extremas y tomar nota de los ángulos formado por las barras 2 y 4 la posición considerada,
pues será el valor de referencia para el inicio de las medidas experimentales.
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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Estudio experimental del mecanismo
1. Al poner en marcha el mecanismo se debe observar el comportamiento del mismo, prestando
atención a:
» Evolución de la velocidad de la barra de entrada. Se observará que una vez alcanzado el régimen
permanente esta velocidad permanece aproximadamente constante. En estas condiciones, la
barra de entrada da vueltas completas a velocidad constante, por lo que el ángulo girado por la
barra es creciente con el tiempo siendo su evolución lineal. Al ser la velocidad de giro constante,
la aceleración angular de la barra de entrada es nula.
» Evolución del ángulo de la barra de salida. Se observará que en cada vuelta de la barra de entrada
la barra de salida va oscilando entre dos posiciones extremas. La frecuencia de la oscilación
dependerá de la velocidad de giro del motor.
» Evolución de la velocidad de la barra de salida. Se observará que la velocidad de la barra de salida
va oscilando de forma sinusoidal, es decir, la aceleración de la barra de salida es distinta de cero.
2. Análisis de los datos de posición adquiridos durante la realización de la práctica.
Durante la realización de la práctica se crea un archivo de datos que contiene 6 columnas, con los
siguientes encabezados:
» Tiempo: es el tiempo transcurrido desde que se puso en marcha el mecanismo. Si, como es
frecuente, se empieza a adquirir una vez alcanzado el régimen permanente el primer instante
de tiempo registrado no se corresponderá con 𝑡 = 0.
» Ángulo barra: es el ángulo, en grados, girado por la barra de salida desde la posición inicial.
Tal como se ha indicado esta posición inicial debe ser una de las posiciones extremas.
» Posición: es un parámetro que no aporta información en la configuración de mecanismo de 4
barras articuladas.
» Velocidad motor: es la velocidad real de la barra de entrada, en rad/s.
» Velocidad salida: es la velocidad real de la barra de entrada, en rad/s.
» Par motor: es el par (𝑁 ∙ 𝑚𝑚) suministrado por el motor en cada instante, no es necesario
su análisis en las primeras prácticas.
Figura 14
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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Si se representa el ángulo girado por la barra de salida (columna 2) frente al tiempo (columna 1) tal como
aparecen en el fichero de datos grabados se obtendrá una gráfica del tipo:
En dicha gráfica se puede observar como, tal como se ha mencionado, el primer instante de tiempo no se
corresponde con el instante en que se inicia la grabación y que la evolución mostrada es la del ángulo
girado por la barra, no la posición de la misma.
Si se desea obtener la evolución de la posición de la barra de salida frente al tiempo, desde el instante en
que se inició la grabación se deben manipular los datos adquiridos en la forma necesaria, conociendo el
ángulo formado por la barra de salida en la posición inicial de la que se partió, con lo que se podrá obtener:
La aplicación utilizada adquiere datos a una frecuencia de 1 dato cada 0.3 s, por lo que la distribución de
datos es:
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70
Ángulo girado por la barra de salida ()
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25 30
Posición de la barra de salida ()
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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Del ejemplo mostrado en la gráfica anterior se puede deducir que la velocidad de giro es
aproximadamente 2 rad/s, puesto que la barra de entrada ha girado 2𝜋 rad en 3 s, es decir en el tiempo
en que la barra de salida realiza una oscilación.
Para obtener la evolución de la posición de la barra de entrada se debe partir de la posición de dicha barra
en el instante inicial, y calcular su posición a partir de la velocidad de giro en cada instante.
5,1; 35,88 8,1; 35,88
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25 30
Ángulo barra de salida
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 5 10 15 20 25 30
Velocidad motor (rad/s)
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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Estudio analítico del mecanismo
1. Para realizar el estudio analítico del mecanismo se debe resolver el problema de posición en varias
posiciones:
» Posición del mecanismo cuando la barra de entrada y el acoplador están alineados. Se debe
calcular el ángulo formado por las barras 2 y 4 con la horizontal.
» Posición del mecanismo cuando las barras de entrada y la acopladora están superpuestas. Se
debe calcular el ángulo formado por las barras 2 y 4 con la horizontal.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Ángulo barra entrada ()
Posición inicial del ciclo (P1)
Posición final del ciclo (P10)
Figura 15
Figura 16
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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» Establecer 6 posiciones obtenidas incrementando sucesivamente 60 la barra de entrada desde
la posición inicial. En cada una de ellas se debe obtener la posición de la barra de salida.
» Fijar las posiciones en las que la barra de entrada forma 0 y 180 con la horizontal. Se debe
calcular el ángulo formado por las barras 3 y 4 con la horizontal, en cada caso.
NOTA: Se pretende que cada alumno del grupo resuelva un problema de posición.
2. Elaborar una tabla en la que aparezca ángulo de la barra de entrada y ángulo de la barra de salida,
ordenada en orden creciente de la barra de entrada.
Posición (P2)
Posición (P3)
Posición (PD)
Posición (PI)
Figura 17
Figura 18
Figura 19
Figura 20
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
P á g i n a | 18
3. Haciendo uso de la velocidad de giro de la barra de entrada que se haya utilizado, representar la
posición de la barra de salida frente al tiempo
4. Superponer las gráficas analítica y experimental.
Para realizar la representación gráfica de los valores analíticos frente al tiempo se debe tener en cuenta
que con la velocidad de giro establecida un incremento de 60 (𝜋
3𝑟𝑎𝑑) en la barra de entrada se produce
cada intervalo de 𝜋
3𝜔21 s.
5. Calcular el ángulo de transmisión en cada una de las posiciones consideradas.
Hacer una tabla del ángulo de transmisión en cada posición de la barra de entrada y realizar su
representación gráfica
TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS. PRÁCTICA 1.
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Se debe comprobar que el mayor y el menor ángulo de transmisión obtenidos corresponden
efectivamente a valore de 180 y 0 respectivamente.
0
20
40
60
80
100
120
140
0 5 10 15 20 25 30 35
Ángulo de transmisión ()
0
20
40
60
80
100
120
140
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Ángulo de transmisión / ángulo barra entrada