PRÁCTICA 4 Cálculo integral y aplicaciones

1. Integración con Mathematica1.1 Integrales indefinidas, integrales definidas

Mathematica nos permite calcular integrales mediante la instrucciones:

Integrate[expresión, variable] Calcula la integral indefinida de la expresión dada con respecto a la variable indicada

Integrate[expresión,{variable,a,b}] Calcula la integral definida de la expresión dada con respecto a la variable indicada en el intervalo [a,b].

También pueden indicarse mediante los símbolos que figuran en la paleta BasicInput

Ÿ Ñ „ Ñ (integral indefinida) ŸÑ

ÑÑ „ Ñ (integral definida)

ü Ejemplo 1.1

‡ Ix3 − x2 + 7M x

x4

4-

x3

3+ 7 x

‡0

πê2Sin@xD x

1

1.2 Integración de expresiones simbólicas

Mathematica también nos permite calcular la integral de determinadas expresiones simbólicas. Lo que hace el programa es, en defini-tiva, mostrarnos la fórmula de integración de determinadas expresiones.

Clear@fD

‡ f ' @xD x

f HxL

‡ f@xDn f'@xD x

f HxLn+1

n + 1

‡f '@xD1 + f@xD2

x

tan-1H f HxLL

‡f '@xDf@xD

x

logH f HxLL

Clear@fD

Y, por supuesto, Mathematica reconoce el Teorema Fundamental del Cálculo Integral

F@x_D := ‡a

x

f@tD t

F'@xD

f HxL

y la regla de Leibniz

F@x_D := ‡u@xD

v@xDf@tD t

F'@xD

f HvHxLL v£HxL - f HuHxLL u£HxL

1.3 Integrales impropias

Para calcular integrales impropias aplicamos la definición correspondiente según se trate de integrales impropias de 1ª, 2ª o 3ª especie.

ü Ejemplo 1.3 Calcular las siguientes integrales

aL ‡0

¶

‰-x „ x

Aplicando la definición de integral impropia de 1 ª especie : ‡0

∞−x x =

def limt→∞

‡0

t−x x

‡0

t−x x

1 - ‰-t

Limit@%, t → ∞D

1

Por tanto la integral es convergente.

También, podemos obtener el resultado directamente con el programa Mathematica

2 practica4.nb

‡0

∞−x x

1

bL‡0

1 1

1 - x2 „ x

Aplicando la definición de integral impropia de 2 ª especie : ‡0

1 1

1 − x2 x =

def limt→1− ‡

0

t 1

1 − x2 x

FullSimplifyB‡0

t 1

1 − x2 x, 0 < t < 1F

sin-1HtL

Limit@%, t → 1, Direction → 1Dp

2

Por tanto la integral es convergente.

También, podemos obtener el resultado directamente con el programa Mathematica

‡0

1 1

1 − x2 x

p

2

cL‡0

2 1

x - 2 „ x

Aplicando la definición de integral impropia de 2 ª especie : ‡0

2 1

x − 2 x =

def limt→2− ‡

0

t 1

x − 2 x

FullSimplifyB‡0

t 1

x − 2 x, 0 < t < 2F

log 1 -t

2

Limit@%, t → 2, Direction → 1D

-¶

La integral es divergente.

Mathematica calcula directamente las integrales impropias que son convergentes y, como vemos a continuación, nos da unmensaje en las que no son convergentes, dando como salida la misma expresión.

‡0

∞−x x

1

practica4.nb 3

‡0

1 1

1 − x2 x

p

2

‡0

2 1

x − 2 x

Integrate::idiv : Integral of1

x - 2does not converge on 80, 2<. More…

‡0

2 1

x - 2 „ x

1.4 Valor aproximado de una integral

Mathematica tiene sus limitaciones a la hora de calcular ciertas integrales. De hecho, no siempre es capaz de darnos el valorexacto de una integral y en ocasiones dicho resultado viene expresado en términos de ciertas funciones especiales que el programa tienedefinidas. Sin embargo, en ambas situaciones podemos pedirle que nos dé un valor aproximado de la integral.Para que nos dé el valor aproximado de una integral podemos utilizar el comando N o la instrucción específica NIntegratepero es importante saber que la forma de operar no es la misma. Veamos unos ejemplos: Si intentamos hallar la siguienteintegral

‡−1

1−x2 x

p erf H1L

El resultado exacto que nos devuelve Mathematica viene expresado en términos de la función especial Erf (función error) yestá definida en la forma Erf(z)= 2

p Ÿ0

z‰-z2

„ z

Para obtener un valor aproximado usamos las dos instrucciones anteriores:

NB‡−1

1−x2 xF

1.49365

NIntegrateA −x2, 8x, −1, 1<E

1.49365

Aunque el resultado mostrado por las instrucciones anteriores es el mismo, hemos de indicar que la forma de operar es biendistinta.

N[Ÿ-11

‰-x2 „ x] Fuerza al programa a calcular el valor exacto de la integral y a continuación nos muestra un valor aproximado.

NIntegrate[‰-x2 , 8x, -1, 1<E Aplica fórmulas de integración numérica para calcular directamente un valor aproximado de laintegral.

Observación: Las fórmulas de integración numérica que utiliza Mathematica al aplicar la instrucción NIntegrate funcionanbastante bien cuando se trata de calcular valores apro-ximados de integrales definidas en intervalos acotados. Por el contrario, no ocurrelo mismo si aplicamos la instrucción NIntegrate para calcular valores aproximados de integrales impropias definidas en intervalosno acotados.

Si hacemos lo mismo para la integral Ÿ1¶ Sin@xD

x „ x

4 practica4.nb

‡1

∞ Sin@xDx

x

1

2Hp - 2 SiH1LL

El programa nos devuelve el valor exacto en términos de la función especial Si(z); si utilizamos las instrucciones de antes,

NB‡1

∞ Sin@xDx

xF

0.624713

NIntegrateBSin@xD

x, 8x, 1, ∞<F

NIntegrate::ncvb : NIntegrate failed to converge to

prescribed accuracy after 7 recursive bisections in x near x = 1.99399μ 1019. More…

1.39383

Mathematica nos avisa que en este último caso el resultado no es muy fiable, de hecho es muy distinto del valor real.

2.- Aplicaciones de la integral

2.1 Cálculo de áreas de recintos planos

Mathematica permite visualizar al área limitada por dos curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b], mediante la instrucciónFilledPlot, cuya sintaxis es la siguiente:

FilledPlot[{f[x],g[x]},{x,a,b}]Visualiza el área limitada por las curvas y = f (x) e y = g(x) en el intervalo [a,b].

FilledPlot[f[x],{x,a,b}]Visualiza el área limitada por las curva y = f (x) y el eje OX en el intervalo [a,b].

Para utilizar al instrucción FilledPlot hay que cargar el paquete Graphics`FilledPlot`

<< Graphics`FilledPlot`

ü Ejemplo 2.1

a) Calcular el área limitada por la parábola y = x2 - 3 x y el eje OX en el intervalo @-1, 1D

Definimos la función y cargamos el paquete Graphics`FilledPlot`

f@x_D := x2 − 3 x

<< Graphics`FilledPlot`

Visualizamos el área que queremos calcular

practica4.nb 5

FilledPlot@f@xD, 8x, −1, 4<D;

-1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

-1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

FilledPlot@Abs@f@xDD, 8x, −1, 4<D;

-1 1 2 3 4

1

2

3

4

-1 1 2 3 4

1

2

3

4

Calculamos los puntos de corte con el eje OX

Solve@f@xD 0D

88x Ø 0<, 8x Ø 3<<

Calculamos el área

AbsB‡−1

0

f@xD xF + AbsB‡0

3

f@xD xF + AbsB‡3

4

f@xD xF

49

6

Mathematica puede calcular directamente la integral anterior en la forma

‡−1

4

Abs@f@xDD x

49

6

b) Determinar el área limitada por las curvas y = x2 - 2 x, y = - x2 + 2 x en el intervalo @-1, 3D

Definimos las funciones

f@x_D := x2 − 2 x

g@x_D := −x2 + 2 x

6 practica4.nb

Visualizamos el área que queremos calcular cargando previamente el paquete Graphics`FilledPlot`

<< Graphics`FilledPlot`

FilledPlot@8f@xD, g@xD<, 8x, −1, 3<, PlotRange → All, AspectRatio → AutomaticD;

-1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

-1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

Calculamos los puntos de corte de ambas gráficas

Solve@f@xD g@xDD

88x Ø 0<, 8x Ø 2<<

Calculamos el área

s = AbsB‡−1

0

Hf@xD − g@xDL xF + AbsB‡0

2

Hf@xD − g@xDL xF + AbsB‡2

3

Hf@xD − g@xDL xF

8

También en este caso podríamos haber calculado el área directamente en la forma

‡−1

3

Abs@f@xD − g@xDD x

8

c) Determinar el área limitada por la cicloide x = t-sen t, y = 1 - cos t entre t = 0 y t = 2p

Si entre los puntos de abscisa a = x(t1) y b = x(t2) las ecuaciones paramétricas x = x (t), y = y(t) para t e [t1, t2] definen una función

integrable y = f (x), entonces el área encerrada por la curva y el eje de abscisas viene dada por

A = Ÿab » f HxL » „ x = Ÿt1

t2 » yHtL x ' HtL » „ t

Definimos las ecuaciones paramétricas

x@t_D := t − Sin@tD

y@t_D := 1 − Cos@tD

practica4.nb 7

Dibujamos la gráfica de la cicloide en el intervalo [0,2ð]

ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 2 π<, AspectRatio → AutomaticD;

1 2 3 4 5 6

0.5

1

1.5

2

Calculamos el área

‡0

2 π

Abs@y@tD x ' @tDD t

3 p

2.2 Longitud de un arco de curva

Si f es una función de clase 1 en el intervalo [a,b], entonces la longitud del arco de curva y = f(x) en dicho intervalo viene

dada por L = Ÿab 1 + H f ' HxLL2 „ x

y si la curva viene dada por sus ecuaciones paramétricas x = x(t) e y = y(t), tœ[t1, t2D, entonces L =

Ÿt1

t2 Hx ' HtLL2 + Hy ' HtLL2 „ t

ü Ejemplo 2.2

a) Calcular la longitud del arco de curva y = sen x en el intervalo @0, 2 pD

f@x_D := Sin@xD

Plot@Sin@xD, 8x, 0, 2 π<D;

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

‡0

2 π

1 + Hf '@xDL2 x

4 2 E1

2

Mathematica nos devuelve el valor exacto en términos de la función especial EllipticE. Para obtener un valor aproximado podemosutilizamos el comando N

8 practica4.nb

N@%D

7.6404

b) Calcular la longitud del arco de astroide x = cos3 t , y = sen3 t para t Π[0, 2p]

x@t_D := Cos@tD3

y@t_D := Sin@tD3

ParametricPlot@8x@tD, y@tD<, 8t, 0, 2 π<, AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

‡0

2 π

Hx'@tDL2 + Hy'@tDL2 t

6

2.3 Superficies de revolución

Podemos imaginar una superficie en R3 como la deformación de una malla rectangular. A cada punto (u,v) sobre la malla rectangu-

lar le corresponde un punto P(x,y,z) sobre la superficie, siendo x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), con u œ [u1, u2], v œ [v1, v2].Las ecuaciones anteriores se denominan ecuaciones paramétricas de la superficie.Mathematica dispone de la instrucción ParametricPlot3D para dibujar la gráfica de una superficie dada en forma paramétrica, cuyasintaxis es la siguiente:

ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2}]

Las ecuaciones paramétricas de una esfera de centro (0,0,0) y de radio r vienen dadas por x = r cos u cos v, y = r cos u sen v, z = rsen u, con u œ [0, 2 p], v œ [0, p].

practica4.nb 9

ParametricPlot3D@8Cos @uD Cos @vD, Cos @uD Sin @vD, Sin @uD<, 8u, 0, 2 π<, 8v, 0, π<D;

-1-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

0

0.5

-1

-0.5

0

0.5

Las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OX en elintervalo [a,b] vienen dadas por: x = u, y = f(u) cos v, z = f(u) sen v para u œ [a, b], v œ [0, 2 p].

Las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OY en elintervalo [a,b] vienen dadas por: x = u cos v, y = u sen v, z = f(u) para u œ [a, b], v œ [0, 2 p].

Los siguientes comandos nos van a permitir dibujar la superficie de revolución generada por una curva al girar alrededor deleje OX y del eje OY:

RevolucionOX@a_, b_D := ParametricPlot3D@8u, f@uD Cos @vD, f@uD Sin @vD<, 8u, a, b<, 8v, 0, 2 p<D

RevolucionOY@a_, b_D := ParametricPlot3D@8uCos @vD, u Sin @vD, f@uD<, 8u, a, b<, 8v, 0, 2 p<D

General::spell1 :

Possible spelling error: new symbol name "RevolucionOY" is similar to existing symbol "RevolucionOX". More…

Área de una superficie de revoluciónEl área de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OX en el intervalo [a,b] viene dadapor

AOX = 2 p Ÿab f HxL 1 + @ f ' HxLD2 „ x

El área de la superficie de revolución generada al girar la curva y = f (x) alrededor del eje OY en el intervalo [a,b] viene dadapor

AOY = 2 p Ÿabx 1 + @ f ' HxLD2 „ x

ü Ejemplo 2.3. Calcular el área de la superficie de revolución generada la girar la curva y = x3 en el intervalo @0, 1D, alrededor del eje OY

f@x_D := x3

Representamos la curva en el intervalo [0,1]

10 practica4.nb

Plot@f@xD, 8x, 0, 1<, AspectRatio → Automatic, PlotRange → AllD;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Representamos la superficie de revolución alrededor del eje OY

RevolucionOY@0 _, 1 _D = ParametricPlot3D@8uCos @vD, u Sin @vD, f@uD<, 8u, 0, 1<, 8v, 0, 2 p<D;

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.25

0.5

0.75

1

-1

-0.5

0

0.5

Calculamos el área de la superficie de revolución

2 π ‡0

1

x 1 + Hf'@xDL2 x

1

6p K3 10 + sinh-1H3LO

b) Calcular el área de la superficie de revolución generada la girar la curva y = sen x en el intervalo @0, pD, alrededor del eje OX

Definimos la función

f@x_D := Sin@xD

practica4.nb 11

Representamos la curva en el intervalo [0,p]

Plot@f@xD, 8x, 0, π<, AspectRatio → AutomaticD;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Representamos la superficie de revolución alrededor de OX

ParametricPlot3D@8u, f@uD Cos @vD, f@uD Sin @vD<, 8u, 0, p<, 8v, 0, 2 p<D;

0

1

2

3 -1

-0.500.51-1

-0.5

0

0.5

1

0

1

2

3

Calculamos el área de la superficie de revolución

2 π ‡0

π

f@xD 1 + Hf'@xDL2 x

2 p K 2 + sinh-1H1LO

2.4 Volúmenes de cuerpos de revolución

ü Ejemplo 2.4 a) Calcular volumen del elipsoide de revolución obtenido al girar alrededor del eje OX la elipse de ecuación

x2

a2 +y2

b2 =1,

con a = 4 y b = 3.

Clear@fD

Definimos la función (despejamos la variable y en la ecuación anterior)

SolveBx2

162+y2

92== 1, yF

::y Ø -9

16256 - x2 >, :y Ø

9 256 - x2

16>>

Nos quedamos con la parte positiva

f@x_D :=3

4 16 − x2

12 practica4.nb

Representamos la curva en el intervalo [-4,4]

Plot@f@xD, 8x, −4, 4<, AspectRatio → AutomaticD;

-4 -2 2 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Representamos la superficie de revolución alrededor del eje OX

ParametricPlot3D@8u, f@uD Cos @vD, f@uD Sin @vD<, 8u, -4, 4<, 8v, 0, 2 p<D;

-4

-2

0

2

4

-2

0

2

-2

0

2

-4

-2

0

2

-2

0

2

Calculamos el volumen del cuerpo de revolución aplicando el método de los discos

π ‡−4

4

f@xD2 x

48 p

b) Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenido al girar, alrededor de OX y de OY, la región

limitada por las curvas y = x2 e y = x

f@x_D := x2

g@x_D := x

Solve@f@xD g@xDD

88x Ø 0<, 8x Ø 1<<

practica4.nb 13

FilledPlot@8f@xD, g@xD<, 8x, 0, 1<, AspectRatio → AutomaticD;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Calculamos el volumen del cuerpo de revolución alrededor del eje OX aplicando el método de las arandelas (observemos queg(x) = f (x) en el intervalo [0,1])

VOX = π ‡0

1

Ig@xD2 − f@xD2M x

3 p

10

Calculamos el volumen del cuerpo de revolución alrededor del eje OY aplicando el método de las envolventes (observemos que laaltura de la envolvente en cada punto x viene dada por g(x) - f (x))

VOY = 2 π ‡0

1

x Hg@xD − f@xDL x

3 p

10

3. EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Calcular: Ÿ sen 2 x „ x; Ÿ sen x1+sen x „ x; Ÿ1

2ln x „ x.

2. Estudiar el carácter de las integrales: Ÿ0¶ 1

x ln x „ x;

Ÿ01 x2

1-x2 „ x.

3. Calcular la derivada de la siguiente función

14 practica4.nb

F HxL = Ÿxx2 t

1+t2 t.

4. Calcular el volumen del cuerpo de revolución obtenido algirar la región limitada por la curva y = ln x y el eje OX en elintervalo [0,e] alrededor del eje OX y alrededor del eje OY.

practica4.nb 15