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Precalculo
2017
Tema
Numeros reales y sus propiedades
Desigualdades e intervalos
Resolucion de desigualdades
Numeros naturales N
Numero 999,999 escrito con jeroglıficos egipcios.
Numeros naturales
Se utilizo en un inicio para contar objetos. El conjunto de
numeros naturales es:
N = {1, 2, 3, 4, ...}
Numeros enteros Z
Numero 3661 escrito en base 60. Aun hay influenciade la base 60 ennuestros dıas.
Numeros enteros
En este conjunto se suman el cero y los numeros negativos al
conjunto N.
Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}
Numeros racionales Q
Problemas cotidianos en elantiguo Egipto implicabanusar fracciones.
El ojo de Horus se usabapara expresar fracciones.
Numeros racionales
Son los numeros que pueden escribirse en forma de fraccion.
Q ={ a
b
∣∣∣ a, b ∈ Z y b 6= 0}
Numeros irracionales R−Q
Pitagoras descubrio que√2 no se podıa expresar como fraccion.
Numeros irracionales
Son los numeros que no pueden escribirse en forma de
fraccion. √2,√
3, π, e, φ
Numeros reales R
Numeros reales
Son los numeros que pueden escribirse en forma decimal. Se
representan con sımbolos como:
−8 0 1.75 3 2.33... 0.3685
√3 3
√16 e π φ
Recta real
Recta real
Recta en la que cada punto corresponde a un numero real.
La recta de los numeros reales.
Variable
La temperatura t varıadurante el ano.
La cantidad de habitantes en el mundoh varıa a lo largo del tiempo.
Variable
Es un caracterıstica o propiedad que puede variar de un objeto
o situacion. En algebra se utiliza una letra o sımbolo para
representar una variable (por ejemplo, x , y , z , θ).
Constante
1 metro es equivalente ac = 100 centımetros.
Al nivel del mar, el punto de ebulliciondel agua es p = 100 gradoscentıgrados.
Constante
Es un caracterıstica o propiedad que se mantiene constante
de un objeto o situacion. En algebra se utiliza una le-
tra o sımbolo para representar una constante (por ejemplo,
10,−2,√
3, π, a).
Identificacion de variables y constantes
Ejemplo 1
Identifica y explica el significado de las variables y con-stantes en el objeto o situacion.
El cuerpo de un ser humano
Variables:
I e = edad
I m = masa
I a = estatura
Constantes:
I s = sexo
Expresion
El area de un cırculose obtiene mediante
la expresion πr 2
El IMC de una persona se obtiene
usando la expresionma2
Expresion algebraica
Es una combinacion de variables y constantes que incluyen
suma, resta, multiplicacion, division, potencias y raıces.
Construccion de una expresion
Ejemplo 2
Escribe la expresion algebraica necesaria para calcular el valor dela magnitud.
Duracion en horas de un curso de este semestre
Variables y constantes:
I m = duracion en horas de un modulo del curso(5060
)I s = modulos del curso a la semana
I z = semanas que tiene el semestre (15)
Expresion:
m ∗ s ∗ z =50
60∗ s ∗ 15 =
50
4∗ s
Opuesto y recıproco
La resta y la division se definen en terminos de la suma y lamultiplicacion.
I La resta es una suma: a − b = a + (−b)
I La division es multiplicacion:ab = a
(1b
)Ejemplo 3
Determinar el opuesto y el recıproco del numero.
Un numero Su inverso Su recıproco
3 −313
b −b 1b
− 23
23 − 3
2
Distributividad
Multiplicacion sobre la suma:
u(v + w) = uv + uwfactorizada desarrollada
Ejemplo 4
a) Escriba la forma desarrollada de (a + 2)x .
b) Escriba la forma factorizada de 3y − by
a) (a + 2)x = ax + 2x
b) 3y − by = y(3− b)
Tema
Numeros reales y sus propiedades
Desigualdades e intervalos
Resolucion de desigualdades
Orden de los reales
Propiedad de tricotomıa
Sean a y b cualesquiera dos numeros reales. Solo una delas siguientes expresiones es verdadera:
a < b a = b a > b
donde
I a < b indica que a es menor que b.
I a ≤ b indica que a es menor o igual que b.
Interpretacion de desigualdades
Las desigualdades pueden utilizarse para describir intervalos denumeros reales.
Ejemplo 5
Describa y grafique el intervalo de numeros reales para ladesigualdad.
x < 3
Descripcion: Todos los numeros reales menores que 3.
Grafica:
Escritura de desigualdades
Ejemplo 6
Escriba un intervalo de numeros reales mediante una de-sigualdad y dibuje su grafica.
Los numeros reales entre −1 y 4, excluyendo a −1 eincluyendo a 4.
Desigualdad: −1 < x ≤ 4
Grafica:
Intervalos
Las desigualdades definen intervalos en la recta numerica.
Intervalos acotados
Sean a y b numeros reales con a < b.
Desigualdad Intervalo Grafica Tipo
a < x < b (a, b) abierto
a ≤ x ≤ b [a, b] cerrado
Los numeros a y b son los extremos de cada intervalo.
Intervalos
Intervalos no acotados
Sean a y b numeros reales.
Desigualdad Intervalo Grafica Tipo
a < x <∞ (a,∞) abierto
∞ < x ≤ b (∞, b] cerrado
Cada intervalo tiene exactamente un extremo, a o b.
Tema
Numeros reales y sus propiedades
Desigualdades e intervalos
Resolucion de desigualdades
Desigualdades lineales en una variable
Desigualdad lineal
Es aquella que puede escribirse en la forma
ax + b < 0
Resolver una desigualdad en x significa determinar todoslos valores de x para los que la desigualdad es verdadera.
El conjunto de soluciones de una desigualdad lineal enuna variable forma un intervalo de numeros reales.
Resolucion de una desigualdad lineal
Ejemplo 7
Resuelva 3(x − 1) + 2 ≤ 5x + 6.
3(x − 1) + 2 ≤ 5x + 6 Copiar
3x − 3 + 2 ≤ 5x + 6 Desarrollar
3x − 1 ≤ 5x + 6 Simplificar
3x ≤ 5x + 7 Sumar 1
−2x ≤ 7 Sumar -5x
x ≥ − 7
2Multiplicar − 1
2
Conjunto solucion: los reales mayores o iguales que −72.
Itervalo:[−7
2,∞)
Grafica:
Resolucion de una desigualdad doble
Ejemplo 8
Resuelva −3 < 2x+53≤ 5.
−3 <2x + 5
3≤5 Copiar
−9 < 2x + 5 ≤15 Multiplicar 3
−14 < 2x ≤10 Restar 5
−7 < x ≤5 Dividir 2
Conjunto solucion: los numeros reales mayores que −7 ymenores o iguales a 5.
Itervalo: (−7, 5] Grafica: