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PREMIOS DEFENSA 2013 TRABAJOS SELECCIONADOS

TRABAJOS DE ESTUDIO E

INVESTIGACIÓN

COMPENSACIÓN DE UNA RED GEODÉSICA LIBRE

FRANCISCO CUADRA CASAS

PREMIOS DEFENSA 2013 TRABAJOS SELECCIONADOS

TRABAJOS DE ESTUDIO E

INVESTIGACIÓN

COMPENSACIÓN DE UNA RED GEODÉSICA LIBRE

FRANCISCO CUADRA CASAS

TesinaCompensacion de una red geodesica libre

Modalidad de investigacionCategorıa: Trabajo de investigacion

Premios Defensa 2013

Indice general

1. Introduccion 11.1. Marco teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3. Planteamiento general del trabajo . . . . . . . . . . 2

2. Antecedentes 52.1. Definicion de red geodesica libre . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Rango de la matriz de diseno de una red geodesica libre . . 92.4. Unicidad de la matriz seudoinversa . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1. Demostracion de la unicidad de la seudoinversa . . . 102.4.2. La matriz inversa cumple las condiciones de Moore-

Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.3. La matriz seudoinversa en sistemas de ecuaciones li-

neales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5. Diferentes formas de calcular la matriz seudoinversa . . . . 172.5.1. Calculo basado en la matriz de constrenimientos . . 182.5.2. Descomposicion LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.3. Descomposicion de Cholesky . . . . . . . . . . . . . 292.5.4. Descomposicion en valores singulares (DVS) . . . . . 32

2.6. Determinacion de la matriz de costrenimientos . . . . . . . 372.6.1. Redes tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.6.2. Redes planimetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.6.3. Redes altimetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6.4. Metodo algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7. Parametros de error de una red geodesica libre . . . . . . . 512.7.1. Error medio cuadratico de una observacion aislada . 512.7.2. Matriz de varianzas-covarianzas . . . . . . . . . . . . 54

III

IV INDICE GENERAL

2.7.3. Figuras de Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.8. Defecto de rango en redes libres . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3. Material y metodologıa 633.1. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1. Material Topografico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.2. Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.1. Proyecto de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.2. Observacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.2.3. Calculos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.4. Planteamiento estocastico: Pesos . . . . . . . . . . . 743.2.5. Planteamiento de ecuaciones de observacion . . . . . 77

4. Resultados 794.1. Resolucion por 4 diferentes metodos . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1. Resolucion empleando matriz de constrenimientos . 794.1.2. Resolucion por descomposicion LU de la matriz de

criterio N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.1.3. Resolucion por descomposicion de Cholesky de la ma-

triz de criterio N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.4. Resolucion por descomposicion en valores singulares

(DVS) de la matriz de criterio N . . . . . . . . . . . . 894.2. Analisis estocastico inicial a posteriori . . . . . . . . . . . . 924.3. Error de los parametros ajustados a posteriori . . . . . . . . 934.4. Elipses absolutas de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.5. Comparacion con las coordenadas originales . . . . . . . . . 984.6. Transformacion entre sistemas de coordenadas . . . . . . . 99

5. Conclusiones 1055.1. Objetivos cumplidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.1.1. Objetivo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.1.2. Objetivos especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Apendices 111

A. Modelo matematico de ecuaciones de observacion 111A.1. Nomenclatura del modelo de Ecuaciones de Observacion . . 112A.2. Modelo funcional de ecuaciones de observacion . . . . . . . 113A.3. El modelo estocastico de ecuaciones de observacion . . . . . 114

INDICE GENERAL V

A.3.1. La hipotesis de Gauss-Markov . . . . . . . . . . . . . 114A.3.2. El espacio vectorial de observaciones . . . . . . . . . 114A.3.3. La metrica en el espacio de observaciones . . . . . . 114A.3.4. Consecuencias de la hipotesis de Gauss-Markov . . . 116A.3.5. Matriz de varianzas-covarianzas de t . . . . . . . . . 116

A.4. La condicion de mınimo en ecuaciones de observacion . . . 117A.4.1. Valores estimados: sistema de ecuaciones normales . 117

B. Ley de propagacion de las varianzas-covarianzas 119

C. Mejor estimacion en sistemas compatibles indeterminados 121

D. Algunas propiedades de la traza y la esperanza matematica 123

E. Formula de la transmision de errores 125

Bibliografıa 127

Indice de figuras

2.1. Ejemplo de red de 4 vertices. . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2. Defecto de rango desde el punto de vista geometrico. . . . 60

3.1. Croquis inicial con las visuales materializadas entre cadapunto de la red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.1. Croquis de las elipses absolutas de error. . . . . . . . . . . 97

VII

Indice de cuadros

3.1. Observaciones de campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2. Coordenadas previas (ETRS89). . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3. Datos geodesicos de los puntos donde se midio distancia

(Elipsoide GRS80). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4. DUTM a partir de los datos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.5. emc, s en las distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.6. Vector de observaciones l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

IX

Apartado 1

Introduccion

1.1. Marco teorico

En este trabajo se trata de establecer una teorıa completa para la re-solucion de redes geodesicas libres. Este tipo de redes son aquellas en lasque, por diversos motivos que se detallaran a lo largo del texto, aparecenciertos grados de libertad que impiden su resolucion por los metodos or-dinarios. Los fundamentos teoricos estan recopilados esencialmente de lasreferencias [Sevilla, 2005] y [Chueca et al 1996].

La base de este estudio esta en el ajuste, analisis, control y compensa-cion empırica de redes. En la compensacion de redes geodesicas aplicandoel metodo de mınimos cuadrados (en adelante se hara referencia el co-mo MMCC) ocurre a menudo que la matriz que define geometricamentela red no es invertible por ser singular, por tanto, la red no es resolublepor metodos ordinarios y el problema se debe resolver mediante metodosalgebraicos que se veran a lo largo del presente trabajo.

Los estudios teoricos deben complementarse con el manejo de instru-mentacion y la extraccion de datos en campo, que proporcionan la basenecesaria para el calculo y el analisis posterior de los resultados. Es por elloque, en este trabajo, no solo se ha planteado un estudio teorico completosino tambien la aplicacion practica a un caso concreto de red geodesica condatos tomados en campo.

1

2 Introduccion

1.2. Objetivos

1.2.1. Objetivo general

Profundizar en el procedimiento de resolucion de redes geodesicas libresmediante el empleo de la denominada matriz seudoinversa.

1.2.2. Objetivos especıficos

1. Exponer los casos en los que se presentan redes geodesicas libres.

2. Diferenciar los tipos de redes geodesicas libres en funcion de los gradosde libertad del sistema.

3. Definir las aplicaciones de las redes geodesicas libres.

4. Resolver de un ejemplo practico de red geodesica libre.

5. Desarrollar y fundamentar matematicamente 4 metodos de resolucionde redes geodesicas libres.

6. Plantear la resolucion de una red geodesica libre mediante esos 4 meto-dos.

7. Constatar que la solucion del ajuste de la red es la misma independien-temente del metodo elegido.

8. Verificar si en alguno de los puntos de la red hay algun error grosero yen su caso, proponer unas coordenadas mejoradas.

9. Comprobar la exactitud de las coordenadas de la red geodesica ejemplo.

1.2.3. Planteamiento general del trabajo

El trabajo que se desarrollara a continuacion se basa en el analisis deuna red geodesica local. Las coordenadas de sus vertices geodesicos fueroncalculadas por metodos de topografıa clasica y con instrumentacion cuyaprecision se desconoce. En el presente estudio se tratara de averiguar si esascoordenadas son correctas, es decir, si estan dentro del orden de precisionque proporciona la instrumentacion empleada actualmente. Para ello, elestudio se realizara mediante la compensacion de la red de forma libre, porlo tanto, suponiendo desconocidas las coordenadas de todos los vertices.

Objetivos 3

Finalmente, si los errores teoricos en las coordenadas estan dentro delorden de precision que proporciona la instrumentacion, se concluira quela red esta correctamente calculada y que no son necesarios ajustes en suscoordenadas. Para revisarla con mayor exactitud se necesitarıa, consecuen-temente, instrumentacion de mayor precision.

Secuencia de acciones realizadas

La comunicacion del objetivo principal del trabajo se realizo en fechasprevias a la Navidad de 2011. En ese momento se tenıa un conocimientobasico de la materia correspondiente a la resolucion de redes geodesicasmediante metodos clasicos pero se desconocıa el procedimiento que atanea este estudio, es decir, la resolucion mediante la matriz seudoinversa.

Posteriormente se procedio a la recopilacion de toda la informacionposible que tratase sobre el tema entre la que destacan los documentos[Sevilla, 2005], [Miguel Castro, 2004] entre otros. Finalmente se proce-dio a un estudio mas detallado del libro [Chueca et al 1996] de donde seha extraıdo una parte importante del desarrollo teorico.

Una vez adquirido el conocimiento teorico necesario para tratar el pro-blema se procedio a recopilar un estudio sobre la red geodesica anterior-mente citada, que en su momento fue resuelto como red ligada. Precisa-mente sera en ese estudio con sus correspondientes datos de campo enel que se basara este trabajo para resolver la red aunque, esta vez, comored libre con las implicaciones que ya han sido descritas al inicio de esteapartado.

A continuacion se procedera a exponer todo el desarrollo matematiconecesario para la resolucion de una Red Libre para posteriormente aplicarlos resultados obtenidos a un ejemplo practico. En dicho ejemplo se reali-zaran los calculos necesarios y el analisis de los mismos.

Apartado 2

Antecedentes

Este tipo de trabajo ha sido tratado en el XXVI Curso de Geodesiapor el Cte. Artillerıa GM. Oscar Luis Miguel Castro dentro de su tra-bajo academico dirigido denominado: Compensacion de redes libres.Solucion con matriz seudoinversa [Miguel Castro, 2004].

Diferentes estudios y publicaciones.

Es un tema muy desarrollado en la actualidad, siendo el metodo porexcelencia empleado para la resolucion de todo tipo de redes.

2.1. Definicion de red geodesica libre

Como se ha dicho en la introduccion, en la compensacion de redesgeodesicas aplicando el metodo de MMCC es frecuente encontrarse conmodelos matematicos que no pueden ser tratados de forma regular. Estosucede por la imposibilidad de resolver el sistema de ecuaciones normalesal ser su matriz singular, es decir, de determinante nulo. Estos casos, necesa-riamente, tienen que ser modelados mediante una red libre [Sevilla, 2005].

Para entender el significado matematico de lo que es una red libre hayque empezar por comprender el modelo matematico de ecuaciones de ob-servacion desarrollado en el apendice A extraido de [De la Puente, 2011].En adelante, la notacion y las consecuencias que se deducen de dichoapendice seran las que se empleen en el resto del texto.

La resolucion de una red ligada se determina de forma determinista,donde se conoce un datum1, y el modelo de Gauss-Markov determina una

1Coordenadas de un punto de la red denominado Punto Fundamental, una distanciaconocida y la orientacion de la red en el sistema de coordenadas empleado.

5

6 Antecedentes

unica solucion. En este caso la matriz de diseno N es de rango completo yse conoce la inversa en sentido clasico. Cuando esto ocurre, se cumple:

(ATPA)−1 = N−1

Es decir, existe esta inversa y la solucion que hace mınima la suma delos cuadrados de los residuos (ver apendice A) es:

x = (ATPA)−1ATPt

Pero en ciertas redes no es posible especificar el sistema de referencia,o no interesa admitir que existan puntos fijos, lo que obliga a plantearmodelos con defecto de rango.

El modelo linealizado sigue siendo igual, pero cuando se plantea obte-ner la inversa de la matriz de criterio N = ATPA, es decir; (ATPA)−1 =N−1, NO EXISTE esta inversa en su sentido clasico.

Existen en este caso otras inversas, las inversas generalizadas y hay infi-nitas soluciones porque el sistema de ecuaciones normales resulta ser com-patible indeterminado. De todas las inversas generalizadas hay una deno-minada SEUDOINVERSA que cumple la condicion de mınimo exigida vistaen el apartado A.4 del apendice A, que minimiza ‖v‖ = vTPv y por ende‖L− l‖ y es insesgada, es decir que el sesgo β = E[x] − x es teoricamentenulo.

Si la matriz N no tiene inversa clasica, por ser deficiente de rango (loque se deriva de la no determinacion de la figura geometrica en cuanto a lafijacion del origen de coordenadas, escala y direccion conocida), el sistemaha de resolverse mediante una inversa generalizada:

x = N−d

La inversa generalizada N−, por definicion, es aquella matriz que veri-fica:

NN−N = N

Dada una matriz N deficiente de rango, existen infinitas inversas gene-ralizadas N− y normalmente se preferira aquella que de una solucion x demınima norma, es decir:

‖x‖mınimo =(xTx

)mınimo

Definicion de red geodesica libre 7

Esta matriz es unica, como se demostrara en el apartado 2.4. Se tratade la llamada seudoinversa, o inversa generalizada de Moore-Penrose. Esaquella matriz N+ que verifica las cuatro condiciones de Moore-Penrose2:

1. NN+N = N (Condicion de inversa generalizada)

2. N+NN+ = N+ (Condicion de inversa generalizada recıproca)

3. NN+ = (NN+)T

4. N+N = (N+N)T

El tratamiento es completamente analogo al caso de una red ligada,con la salvedad de que en vez de utilizar N−1 se usa N+. En el apartado2.4 tambien se demostrara que N−1 es precisamente la seudoinversa ensistemas de ecuaciones normales regulares.

La unicidad de esta matriz y el hecho de que proporcione la unica solu-cion que hace mınimo ‖x‖ se demostrara, asimismo, en el apartado 2.4.

Otra alternativa al tratamiento puramente matematico para la obten-cion de la matriz seudoinversa se da con la matriz de constrenimientos.

La utilizacion de la matriz de constrenimientos supone, de alguna ma-nera, la adicion de rango al sistema mediante una matriz que define losconstrenimientos que le faltan. Dichos constrenientos pueden ser todos oalguno de los siguientes datos:

Origen.

Escala.

Orientacion.3

La solucion es la misma que cuando esta matriz se halla por procedi-mientos puramente matematicos puesto que tambien se determina de for-ma que cumpla ‖x‖mınimo o lo que es lo mismo, que cumpla las condicionesde Moore-Penrose.

2Tambien conocidas como Teorema de Moore-Penrose. [Penrose, 1955]3Por orientacion se entiende la de la propia red en el sistema de coordenadas que se

esta empleando. No debe confundirse con la orientacion en una determinada proyeccion;concepto empleado en cartografıa.

8 Antecedentes

2.2. Aplicaciones

Mejorar las coordenadas de puntos geodesicos de una red.

Actualmente la tecnica de observacion para aplicaciones geodesicas(Basada principalmente en GNSS4) ha evolucionado tanto que en oca-siones la precision conseguida es superior a la de los vertices de la redque se esta observando. El metodo de resolucion de redes libres inde-pendiza los errores cometidos en las observaciones de los errores enlas coordenadas de los vertices. Consecuentemente, se podra determi-nar los errores en las coordenadas de los vertices de una determinadared geodesica y mejorar sus coordenadas.

Analizar la influencia de errores exclusivamente en las observa-ciones.

Como se ha dejado entrever en el epıgrafe anterior, el metodo de reso-lucion de redes libres trata de forma independiente las observacionesy las coordenadas de los vertices. Por lo tanto, en el planteamientodel problema, como ningun vertice de la red tiene porque considerar-se de coordenadas conocidas, se podra hacer un estudio de erroresbasado exclusivamente en las observaciones.

Definir los sistemas de referencia.

Una manera de definir los parametros de un sistema de referencia esa partir de observaciones sobre los puntos que integran dicho sistema(Marco de Referencia). En estos casos se parte de unas coordenadasen un determinado sistema de referencia y se suponen aproximadas.Pues bien, a partir de esos paramatros aproximados, el ajuste de todoslos puntos mediante el procedimiento de red libre, proporciona unnuevo sistema de referencia optimo a partir de los observables.

Otras aplicaciones en el campo de la Geodesia.

Aunque no sera objeto de este estudio, las redes libres se emplean deforma profusa en otros campos de la Geodesia tales como Fotogra-metrıa o GPS por ejemplo.

4Acronimo GNSS: “Global Navigation Satellite System”, traducido al espanol: SistemasSatelite de Navegacion Global. Entre estos sistemas destacan GPS, GLONASS, COMPASSy GALILEO.

Rango de la matriz de diseno de una red geodesica libre 9

2.3. Rango de la matriz de diseno de una redgeodesica libre

Se dice que una red geodesica es libre cuando la matriz de diseno quela define es deficiente de rango. Es decir, el rango de la matriz de diseno Aes menor que el numero de incognitas n. Consecuentemente, la matriz decriterio N tambien sera deficiente de rango:

Ax− t = v

En el sistema de ecuaciones normales:

(ATPA)x = ATPt

la matriz

N = ATPA

es deficiente de rango cuando:

R(N) < n < m

Asimismo, se define defecto de rango como:

n−R(A) = n−R(N)

En este caso el sistema de ecuaciones normales es compatible indeter-minado y de las infinitas soluciones que presenta se trata de obtener laque minimice la norma de x: ‖x‖mınimo. Para que esto se cumpla habra queimponer condiciones adicionales al sistema.

Como se demostrara en el apartado 2.4, la solucion que minimiza ‖x‖es unica y la matriz que hace posible esta solucion es precisamente la seu-doinversa de N que se denota como N+. Es decir, aquella que cumple lascondiciones de Moore-Penrose (apartado 2.1).

Consecuentemente, la mejor estimacion insesgada o solucion del ajustesera:

x = N+ATPt = N+d (2.1)

Pero, ¿por que y cuando resulta ser deficiente de rango la matriz N?Precisamente la respuesta a esto es la finalidad ultima de este trabajo y loque se tratara de demostrar.

10 Antecedentes

Una solucion determinista queda definida geometricamente de dos for-mas. Son los condicionamientos geometricos necesarios y suficientes de-nominados mınimos constrenimientos5. Dichos constrenimientos puedenpresentarse de cualquiera de las 2 siguientes formas:

Dos vertices fijos

O bien:

Un vertice fijo, una direccion y una distancia conocidas.

Por lo tanto, una red libre sera aquella que no cumpla todos estos con-dicionantes geometricos y en funcion del numero de ellos que no satisfaga,ası sera su defecto de rango.

La estimacion como aproximados de los datos de partida,conduce a que,al no existir ningun lado conocido de la red, esta es desconocida en su mag-nitud, conociendose solamente figuras semejantes a la verdadera. Por otraparte, la inexistencia de coordenadas fijas en ningun punto impide esta-blecer unos ejes coordenados tambien fijos. El resultado es una Red Libre,geometricamente indeterminada y, por lo tanto, con infinitas solucionesposibles.

En el apartado 2.6 se determinaran los diferentes defectos de rango dela matriz N en funcion del tipo de red de que se trate. Para cada uno delos casos, el problema geometrico se puede resolver disenando una matrizde constrenimientos E que supla el defecto de rango de N . Es decir, conel mismo numero de ecuaciones independientes que este defecto de rango.La matriz E se disenara de forma logica a partir de las coordenadas departida (que se supondran aproximadas) de los puntos de la red de modoque su configuracion geometrica, su escala y sus ejes coordenados quedendefinidos.

2.4. Unicidad de la matriz seudoinversa

2.4.1. Demostracion de la unicidad de la seudoinversa

Proposicion. Dada una matriz N de coeficientes reales, su inversa ge-neralizada de Moore-Penrose o seudoinversa es unica.

5Pag. 227 de la referencia [Chueca et al 1996].

Unicidad de la matriz seudoinversa 11

Demostracion. Supongase que la matriz N admite 2 seudoinversas: P1,P2; evidentemente ambas matrices verificaran las 4 condiciones de Moore-Penrose descritas en el apartado 2.1. Por lo tanto, aplicando dichas condi-ciones:

1.P1 = P1NP1 = P1(NP1)T = P1P

T1 N

T = P1PT1 (NP2N)T =

= P1PT1 N

TP T2 N

T = P1(NP1)T (NP2)T = P1NP1NP2 = P1NP2

2.P2 = P2NP2 = (P2N)TP2 = NTP T

2 P2 = (NP1N)TP T2 P2 =

= NTP T1 N

TP T2 P2 = (P1N)T (P2N)TP2 = P1NP2NP2 = P1NP2

Luego P1 = P2.

2.4.2. La matriz inversa cumple las condiciones de Moore-Penrose

Proposicion. Si N es una matriz cuadrada de rango completo, la matrizinversa de N , N−1, es la seudoinversa de la matriz N .

Demostracion. Evidentemente la matriz N−1 verifica las cuatro condi-ciones:

1. NN−1N = N

2. N−1NN−1 = N−1

3. NN−1 = (NN−1)T = I

4. N−1N = (N−1N)T = I

2.4.3. La matriz seudoinversa en sistemas de ecuacioneslineales

A continuacion se tratara de abordar el problema de la resolucion delos sistemas de ecuaciones lineales por medio de las inversas generaliza-das, para lo cual es necesario introducir el concepto de sistema compatible.

Definicion. Sea A una matriz de coeficientes reales dem filas y n colum-nas, donde generalmente m 6= n. El sistema de ecuaciones lineales Ax = t

12 Antecedentes

es compatible si existe al menos un vector x0 que satisface el sistema deecuaciones lineales.

Proposicion. Sea A una matriz de coeficientes reales de n filas y mcolumnas y A+ una matriz dem filas y n columnas que verifica: A = AA+A.Entonces:

1. El sistema de ecuaciones lineales Ax = t es compatible⇔ AA+t = t

2. La solucion general de un sistema lineal compatible indeterminadoAx = t es:

x = A+t+ (I − A+A)z (2.2)

donde z es un vector arbitrario.

Demostracion. Si Ax = t es compatible, existira un vector x0 que sa-tisface el sistema, esto es, Ax0 = t. Multiplicando en esta expresion a laizquierda por AA+, se obtiene

AA+Ax0 = Ax0 = AA+t = t

Recıprocamente, si AA+t = t, el sistema lineal Ax = t admite solucion.Basta con considerar x0 = A+t.

A continuacion se probara la condicion 2. Puesto que el sistema es com-patible, se tiene:

Ax = A(A+t+ (I − A+A)z) = AA+t = t

luego, x dado por (2.2) es la solucion general de un sistema de ecuacioneslineales compatible indeterminado.

El recıproco de la condicion 2 de esta proposicion tambien se verifica,esto es, toda solucion del sistema de ecuaciones lineales indeterminadopuede expresarse como (2.2). Ya que si x verifica el sistema de ecuaciones,entonces:

t− Ax = 0

donde multiplicando por A+ a la izquierda

A+t− A+Ax = 0


y sumando y restando el vector x

x = A+t+ (I − A+A)x

Como se puede observar, en esta proposicion se exige exclusivamenteque la matriz A+ verifique la primera condicion para las seudoinversas, portanto, la proposicion se verifica tambien si en vez de considerar la matrizA+ se considera la matriz A−, inversa generalizada de la matriz A.

Proposicion. La solucion de un sistema de ecuaciones lineales compati-ble indeterminado Ax = t es unica⇔ A+A = I.

Demostracion. Por la proposicion anterior se sabe que la solucion ge-neral del sistema compatible, considerando la matriz A+, es

x = A+t+ (I − A+A)z

si A+A = I, entonces x = A+t que evidentemente es unica.Observese que la condicion A+A = I se verifica ⇔ rango(A) = n, lo

que equivale a la condicion establecida por Frobenius para la existencia deuna solucion unica ya que una de las hipotesis de esta proposicion es queel sistema de ecuaciones lineales sea compatible.

Lo que se va a desarrollar a continuacion y hasta el final de este apendi-ce es de sumo interes para aplicaciones topograficas y geodesicas puestoque se analizan sistemas con mas ecuaciones que incognitas, es decir, sobre-determinados o incompatibles. Este tipo de sistemas son los que se manejanen dichas ciencias puesto que la fiabilidad de la solucion (aproximada) y laestimacion de su error requiere que haya un exceso de observaciones quese traducira en mas ecuaciones de las necesarias para resolver el sistema.

Por lo tanto, lo que en adelante se demostrara es que la seudoinversaA+ de la matriz de diseno A del sistema proporciona la mejor estimacioninsesgada x para este tipo de sistemas.

Considerese ahora un (posible) sistema incompatible, la seudoinversapermite encontrar una solucion aproximada x del sistema de ecuacioneslineales, en el sentido de que minimiza la funcion:

F (x) = (Ax− t)T (Ax− t)

donde v(x) = Ax−t serıa el error que se cometerıa al considerar x soluciondel sistema.

14 Antecedentes

Proposicion. Sea Ax = t un sistema incompatible, el vector x = A+t,donde A+ es la seudoinversa de la matriz A, verifica las dos condicionessiguientes:

1. x minimiza la funcion real de n variables reales F (x).

2. x es el unico vector que verifica:

xT x < xTx

para todo vector x que minimice la funcion F (x).

Demostracion. La condicion necesaria de primer orden para que la fun-cion

F (x) = (Ax− t)T (Ax− t)admita un optimo, es que el gradiente se anule:

∇F (x) = 0⇒ At(Ax− t) = 0 (2.3)

El vector x = A+t verifica la ecuacion (2.3), ya que

AT (AA+t− t) = AT ((AA+)T t− t) = (AA+A)T t− AT t = 0La condicion suficiente para mınimo, se verifica si la matriz hessiana es

definida o semidefinida positiva; en este caso, la matriz hessiana es ATAque es al menos semidefinida positiva.

Por tanto el vector x = A+t minimiza la funcion F (x) y el valor quedicha funcion alcanza en x es:

F (x) = tT (I − AA+)tObservese que para probar la primera parte de esta proposicion se ha

necesitado exclusivamente que la matriz A+ verifique las condiciones(AA+)T = AA+

AA+A = A

Supongase ahora que el vector x no es el unico que minimiza la funcionF (x). Si el vector x′ tal que x′ 6= x, tambien minimiza la funcion F (x),tendra que verificar tambien las condiciones necesarias de optimo siendoentonces solucion del sistema ATAx = AT t.


La solucion general de este sistema viene dada por:

x = A′+At+ (I − A′+ATA)z (2.4)

donde A′+ es la seudoinversa de ATA. Mediante un sencillo calculo sedemuestra que

A′+ = A+A+T

por lo que la expresion (2.4) se transforma en

x = A+t+ (I − A+A)z (2.5)

El vector x′ = A+t+ (I − A+A)z con z 6= 0, ya que x 6= x′.Se considera

x′Tx′ = (A+t)T (A+t) +

[(I − A+A)z

]T [(I − A+A)z

]=

= xT x+[(I − A+A)z

]T [(I − A+A)z

]luego

x′Tx′ − xT x =

[(I − A+A)z

]T [(I − A+A)z

]> 0

c.q.d

Proposicion. Si G es una matriz tal que x = Gt verifica

xT x < xTx

para todo x 6= x que minimice la funcion F (x). Entonces la matriz G esla seudoinversa de la matriz A.

Demostracion. Si x = Gt verifica F (x) = F (x) para todo x de Rn, xverificara las condiciones necesarias de primer orden, esto es, se verifica:

AT (Ax− t) = 0⇒ AT (AGt− t) = 0⇒ AT (AG− I)t = 0

si esta ultima igualdad se ha de verificar para cualquier vector t, enton-ces:

AT (AG− I) = 0 (2.6)

16 Antecedentes

multiplicando (2.6) por GT a la izquierda:

(AG)TAG = (AG)T

donde tomando traspuestas:

(AG)TAG = AG = (AG)T

luego la matriz AG es simetrica.Si se considera (2.6) y tomando traspuestas, entonces:

(AG)TA = A

Como la matriz (AG) es simetrica, se cumple: AGA = ALuego queda demostrado que la matriz G verifica las condiciones 1 y 3

de Moore-Penrose.La condicion xT x < xTx para todo x 6= x, que minimice F (x) obligara a

que la matriz G verifique las condiciones 2 y 4. En efecto, como la matriz Gverifica las condiciones 1 y 3 de Moore-Penrose, toda solucion del sistemade ecuaciones lineales ATAx = AT t podra expresarse de la forma

x = Gt+ (I −GA)zsi z 6= 0 entonces x 6= x = Gt. Por tanto:

xTx = (Gt+ (I −GA)z)T (Gt+ (I −GA)z) =

= xT x+ tTGT (I −GA)z + zT (I −GA)TGt+ ((I −GA)z)T (I −GA)z

si xTx− xT x > 0⇒

tTGT (I −GA)z + zT (I −GA)TGt+ ((I −GA)z)T (I −GA)z > 0

Como esta desigualdad se ha de verificar para todo vector t y z, sola-mente se verificara si

GT (I −GA) = 0 (2.7)

Multiplicando (2.7) a la izquierda por AT , se obtiene:

(GA)T = (GA)TGA = GA

Diferentes formas de calcular la matriz seudoinversa 17

por tanto, la matriz GA es simetrica.Por (2.7): GT = GTGA, donde tomando traspuestas y sabiendo que la

matriz GA es simetrica, entonces:

G = GAG

Ası pues, la matriz G es la inversa generalizada de Moore-Penrose oseudoinversa de la matriz A.

2.4.4. Conclusiones

Si se verifican las condiciones de Moore-Penrose , a partir de la matrizA+ ha quedado demostrado como se construye un vector que mini-miza la funcion F (x) = (Ax− t)T (Ax− t) y por lo tanto, si el sistemaAx = t es incompatible, con esta estimacion se estara minimizandovtv, donde v es el residuo o error que se comete al considerar que xes la solucion del sistema Ax = t.

La seudoinversa es la inversa generalizada que engloba a las demas.Ha quedado probado que ella permite caracterizar todos las proble-mas tratados con las demas inversas generalizadas. Ademas, determi-na la solucion del sistema de ecuaciones lineales Ax = t y permitecaracterizar el vector que minimiza xTx entre los vectores que mini-mizan la funcion F (x).

2.5. Diferentes formas de calcular la matriz seu-doinversa

Como ya se ha introducido, hay diferentes formas de determinar la ma-triz seudoinversa de un sistema de ecuaciones normales aunque como tam-bien se ha demostrado, todas las formas proporcionan necesariamente elmismo resultado por la condicion establecida de unicidad de la seudoin-versa.

A continuacion se exponen cuatro diferentes modos de determinar estamatriz. Aunque existen otros, estos cuatro se consideran suficientementerepresentativas de todos los metodos, son los mas usuales en el campo de laGeodesia y se consideran suficientes para las pretensiones de este trabajo.

18 Antecedentes

2.5.1. Calculo basado en la matriz de constrenimientos

El siguiente estudio para determinar la matriz E y posteriormente N+

esta extraıdo de las paginas 209 a 215 de la referencia [Chueca et al 1996].

El modelo matematico, como se expone en el apendice A, se componede:

Modelo funcional:

L = F (X)

Que linealizado queda:

Ax− t = v

Modelo estocastico:

Los residuos siguen una distribucion normal tal que

v ∼ N(0, σ20Qll)

La matriz de pesos y la matriz cofactor a priori cumplen la siguienterelacion:

Qll ≡ Q = P−1

De momento, el modelo es igual al modelo de ecuaciones de observa-cion con la diferencia de que, esta vez, las matrices A y N presentan undefecto de rango de la misma cuantıa.

Para suplir este defecto de rango y hacer que la matriz N sea invertiblehabra que anadir una matriz E con el mismo numero de ecuaciones inde-pendientes como unidades de defecto de rango tenga la matriz N , como yase expuso al final del apartado 2.3.

Se denomina matriz de constrenimientos a la matriz E que sirve paracalcular la seudoinversa N+. Como se ha comentado, tiene que ser repre-sentativa del condicionamiento geometrico mınimo. Ademas, puesto queel sistema no tiene solucion unica sino que se busca la mejor estimacioninsesgada, el sistema resultante tiene que ser compatible indeterminado.Todo esto mismo equivale a anadir un grupo de restricciones que tambiencumplen un modelo matematico:


Modelo funcional:F2(X) = 0

Modelo estocastico:

Con la finalidad de independizar las restricciones de los observables:

v2 = 0σ2

0Q2 = 0

Consecuentemente:

P2 →∞

Ası pues, el modelo matematico conjunto linealizado queda de la si-guiente forma: Ax− t = v

A2x = 0(2.8)

Donde A2 es una matriz de rango completo, independiente de A y conel mismo numero de filas que el defecto de rango de la matriz A. Ademas,como puede observarse, la matriz columna de terminos independientes delsegundo sistema de (2.8) es nula para que el sistema global resultante seacompatible indeterminado.

El sistema de ecuaciones normales queda de la siguiente forma6:

(ATPA AT2A2 0

)(x−λ2

)=(ATPt

0

)(2.9)

La matriz de la izquierda es invertible por ser A2 de rango completo eindependiente de A.

Para determinar la solucion se expresara el sistema conjunto de la si-guiente forma:

(ATPA AT2A2 0

)(QA2 HT

H F

)=(I 00 I

)(2.10)

6Segun el metodo de ajustes coordinados. Ver capıtulo 9 de la referencia[Chueca et al 1996].

20 Antecedentes

Donde QA2 , H y F son matrices a determinar.Operando se obtienen las siguientes relaciones:

ATPAQA2 + AT2H = I (2.11)

ATPAHT + AT2 F = 0 (2.12)A2QA2 = 0 (2.13)

A2HT = I (2.14)

Ademas de todo esto hay que hacer una consideracion y es la siguiente;debido a que la matriz A es defectuosa rango, consecuentemente la matrizN tambien lo es y su defecto de rango sera el mismo. Por lo tanto, Nsera semidefinida positiva con tantos autovalores nulos como defecto derango presente (Como se demostrara en el apartado 2.5.4).

Los autovalores se determinan por definicion mediante la formula:

(N − µI)x = 0

De todos los autovalores, los nulos satisfacen:

Nx = 0

Y, tambien:

Ax = 0

Como la resolucion de Nx = 0 o Ax = 0 proporciona el nucleo de laaplicacion lineal, Ker(f), es evidente que los autovectores correspondien-tes a los autovalores nulos son los que generan el nucleo.

Ası pues, llamando E a la matriz constituida por estos autovectoresdispuestos por filas, se cumplira:

NET = 0 (2.15)

AET = 0 (2.16)

Es evidente que la matriz E en principio podrıa no ser unica con los ci-tados requerimientos, sin embargo, a partir de este momento se le da estadenominacion a la matriz que ademas de cumplir estos requisitos, cum-plira los que posteriormente se impongan para que proporcione junto conla matriz A, el ajuste que proporcione la mejor estimacion insesgada. Secumple tambien:


EAT = 0ENT = E(ATPA)T = EATPA = 0

Multiplicando por E en (2.11):

EATPAQA2 + EAT2H = E ⇒⇒ EAT2H = E ⇒

⇒ H = (EAT2 )−1E

Sustituyendo el valor de H obtenido en (2.14):

A2HT = A2E

T [(EAT2 )−1]T = (EAT2 )T [(EAT2 )T ]−1 = I

Sustituyendo esta vez H el (2.12):

ATPA[(EAT2 )−1E]T + AT2 F = ATPAET (A2ET )−1 + AT2 F = 0 (2.17)

Teniendo en cuenta (2.15):

AT2 F = 0 (2.18)

Como A2 es de rango completo, se cumple:

F = 0Sustituyendo lo obtenido hasta ahora en (2.9):

(ATPA AT2A2 0

)−1

=(

QA2 ET (A2ET )−1

(EAT2 )−1E 0

)(2.19)

Sustituyendo el valor de H en (2.11):

ATPAQA2 + AT2 (EAT2 )−1E = I

Se define la matriz no simetrica TA2:

TA2 = ATPAQA2 = I − AT2 (EAT2 )−1E (2.20)

22 Antecedentes

Teniendo en cuenta (2.13):

ATPAQA2 = ATPAQA2 + AT2A2QA2 (2.21)

Y a partir de (2.17) y (2.18):

ATPAET (A2ET )−1 = 0 = ATPAET (A2E

T )−1(EAT2 )−1E (2.22)

Aplicando la siguiente igualdad:

AT2A2ET (A2E

T )−1(EAT2 )−1E = AT2 (EAT2 )−1E (2.23)

y sumando las tres ultimas ecuaciones (2.21), (2.22) y (2.23):

ATPAQA2 + AT2A2QA2 + ATPAET (A2ET )−1(EAT2 )−1E+

+ AT2A2ET (A2E

T )−1(EAT2 )−1E = ATPAQA2 + AT2 (EAT2 )−1E

Agrupando y aplicando (2.20):

(ATPA+ AT2A2)[QA2 + ET (A2ET )−1(EAT2 )−1E] = I

Que implica que (ATPA + AT2A2) es invertible y se puede despejar lamatriz simetrica QA2:

QA2 = (ATPA+ AT2A2)−1 − ET (A2ET )−1(EAT2 )−1E

Finalmente, la solucion del ajuste se determina despejando (2.19) en(2.9): (

x−λ2

)=(

QA2 ET (A2ET )−1

(EAT2 )−1E 0

)(ATPt

0

)Ası pues:

x = QA2ATPt (2.24)

Siendo x una cualquiera de las infinitas soluciones del sistema.Como ya se ha demostrado en el apartado 2.4, la condicion necesaria

y suficiente para que esa solucion sea, ademas, mejor estimacion insesga-da, QA2 tiene que cumplir las condiciones de Moore-Penrose. Consecuen-temente, para obtener la matriz seudoinversa de N a partir del resultadoobtenido, habra que probar las cuatro condiciones:


1. NN+N = N

Multiplicando (2.20) por ATPA por la derecha:

ATPAQA2ATPA = ATPA− AT2 (EAT2 )−1EATPA

Y dado que AET = 0⇒ EAT = 0

ATPAQA2ATPA = ATPA

Es decir:

NQA2N = N

c.q.d

2. N+NN+ = N+

Multiplicando (2.20) por QA2 por la izquierda:

QA2TA2 = QA2ATPAQA2 = QA2 −QA2A

T2 (EAT2 )−1E

Y segun (2.13):

A2QA2 = 0⇒ QA2AT2 = 0

Finalmente se obtiene:

QA2ATPAQA2 = QA2NQA2 = QA2

c.q.d

Antes de comprobar si cumplen las dos condiciones restantes, suponga-se que la matriz A2 = E, puesto que, al ser independiente de A,cumple, al igual que E: AAT2 = 0 y tambien NAT2 = 0. Si, con este su-puesto, la matrices QA2 y N satisfacen las dos condiciones restantes,quedara probado que la matriz

QA2 = (ATPA+ ETE)−1 − ET (EET )−1(EET )−1E

es la seudoinversa de la matriz N .

24 Antecedentes

3. NN+ = (NN+)T

Sustituyendo en (2.20):

NQA2 = TA2 = I − ET (EET )−1E

Tomando transpuestas de esta expresion:

(NQA2)T = IT − [ET (EET )−1E]T = I − ET (EET )−1E = NQA2

c.q.d

4. N+N = (N+N)T

(QA2N)T = NTQTA2 =

(por ser las matrices N y QA2 simetricas)

= NQA2 =

(por ser simetrico el producto de matrices simetricas)

= (NQA2)T = QTA2N

T = QA2N

c.q.d

Ası pues, queda demostrado que la matriz seudoinversa de N que enadelante se denotara como N+, puede calcularse segun la siguiente expre-sion:

N+ = (ATPA+ ETE)−1 − ET (EET )−1(EET )−1E (2.25)

Ademas, dado que se ha probado que A2 = E, sustituyendo este valoren (2.20) se cumple

TE = ATPAN+ = NN+ = I − ET (EET )−1E (2.26)

Interesante resultado que sera de utilidad mas adelante.


2.5.2. Descomposicion LU

Este metodo se basa en aplicar transformaciones elementales a la ma-triz N del sistema de ecuaciones normales hasta conseguir que la matrizresultante sea triangular superior. Cada una de las operaciones elementalessupone multiplicar el sistema por una matriz triangular inferior con todoslos elementos de su diagonal principal iguales a 1. El resultado de todasestas operaciones sera la descomposicion de la matriz N en el producto deotras dos matrices cuadradas, LU , la primera, L, triangular inferior con loselementos de su diagonal principal iguales a 1 y la segunda, U , triangularsuperior.

En el caso de las redes libres, el sistema de ecuaciones normales es com-patible indeterminado por lo que al realizar la triangulacion habra tantasfilas de U iguales a 0 como defecto de rango exista. Por lo tanto, esas filasno producen ningun efecto al multiplicarlas por la matriz L. Es decir, elresultado de multiplicar L por U sera el mismo que multiplicar dos nuevasmatrices, B y C, con los siguientes requerimientos:

La matriz C no es cuadrada sino que resulta de suprimir las filas deU iguales a 0.

La matriz B tampoco es cuadrada y es el resultado de suprimir tantascolumnas a la derecha de la matriz L como la defecto de rango de lamatriz N .

Obviamente, el resultado del producto BC es identico al de LU , re-sultando en ambos casos la matriz N . Esto se debe a que las filasiguales a 0 de U no influyen en el resultado.

Todo esto expresado de forma matricial queda de la siguiente manera:

N = LU =

=

1 0 0 · · · 0l21 1 0 · · · 0l31 l32 1 · · · 0...

......

. . ....

ln1 ln2 ln3 · · · 1

u11 u12 u13 · · · u1r u1(r+1) · · · u1n

0 u22 u23 · · · u2r u2(r+1) · · · u2n

0 0 u33 · · · u3r u3(r+1) · · · u3n

......

.... . .

......

...0 0 0 · · · urr ur(r+1) · · · urn

0 0 0 · · · 0 0 · · · 0...

......

......

...0 0 0 · · · 0 0 · · · 0

=

26 Antecedentes

=

1 0 0 · · · 0 0l21 1 0 · · · 0 0l31 l32 1 · · · 0 0...

...... . . . ...

...l(r−1)1 l(r−1)2 l(r−1)3 · · · 1 0lr1 lr2 lr3 · · · lr(r−1) 1...

......

......

ln1 ln2 ln3 · · · ln(r−1) lnr

·

·

u11 u12 u13 · · · u1r u1(r+1) · · · u1n0 u22 u23 · · · u2r u2(r+1) · · · u2n0 0 u33 · · · u3r u3(r+1) · · · u3n...

...... . . . ...

......

0 0 0 · · · urr ur(r+1) · · · urn

= BC

El algoritmo de calculo para calcular L y U esta programado en el com-plemento “Matrix” de “EXCEL”7.

Con estas premisas, el sistema de ecuaciones normales queda de la si-guiente forma:

Nx = BCx = ATPt = d

Llamando y a Cx, el sistema se puede descomponer en otros dos:

y = Cx

By = d

(2.27)

La solucion mınimo cuadratica del segundo sistema (By = d) con masecuaciones que incognitas es identica a la expuesta en el apartado A.4.1del apendice A aunque con una matriz de pesos igual a la identidad. Resol-viendo:

y = (BTB)−1BTd

Sustituyendo este resultado en la primera ecuacion de (2.27):

Cx = (BTB)−1BTd

Esta vez el ajuste mınimo cuadratico, por tratarse se un sistema compa-tible indeterminado, se resuelve aplicando la ecuacion (C.1) del apendiceC:

7Vease la direccion web de la referencia [http://digilander.libero.it/foxes].

http://digilander.libero.it/foxes


x = [CT (CCT )−1(BTB)−1BT ]d = [CT (CCT )−1(BTB)−1BT ]ATPt

Siendo en este caso la inversa generalizada que resuelve el sistema N−

de la forma siguiente:

N− = CT (CCT )−1(BTB)−1BT

Para verificar si esta matriz es la seudoinversa de N habra que compro-bar que cumple las cuatro condiciones de Moore-Penrose:

1. NN+N = N

Partiendo de:

N = BC


Sustituyendo en la primera condicion:

NN−N = (BC)[CT (CCT )−1(BTB)−1BT ](BC) == B[(CCT )(CCT )−1][(BTB)−1(BTB)]C = BC = N

c.q.d

2. N+NN+ = N+

Partiendo de nuevo de:

N = BC


Sustituyendo esta vez en la segunda condicion:

N−NN− = [CT (CCT )−1(BTB)−1BT ]BC[CT (CCT )−1(BTB)−1BT ] == CT (CCT )−1[(BTB)−1(BTB)][(CCT )(CCT )−1](BTB)−1BT

= CT (CCT )−1(BTB)−1BT = N−

28 Antecedentes

c.q.d

3. NN+ = (NN+)T

Por un lado:

NN− = (BC)[CT (CCT )−1(BTB)−1BT ] == B[(CCT )(CCT )−1](BTB)−1BT = B(BTB)−1BT

Ası pues:

(NN−)T = [B(BTB)−1BT ]T = B(BTB)−1BT = NN−

c.q.d

4. N+N = (N+N)T

Por un lado:

N−N = [CT (CCT )−1(BTB)−1BT ](BC) == CT (CCT )−1[(BTB)−1(BTB)]C = CT (CCT )−1C

Por tanto:

(N−N)T = [CT (CCT )−1C]T = CT (CCT )−1C = N−N

c.q.d

Llegados a este punto, queda demostrado que otra expresion de la seu-doinversa de N tiene la forma:

N+ = CT (CCT )−1(BTB)−1BT (2.28)


2.5.3. Descomposicion de Cholesky

Muy parecido al metodo de descomposicion LU es el metodo de Cho-lesky. En este caso, la matriz que se desea descomponer tiene que sersimetrica y definida positiva. En el caso de la matriz N , se cumplen am-bos requisitos luego se podra realizar esta descomposicion. El metodo es elsiguiente:

Si N es una matriz simetrica y definida positiva entonces existe otramatriz triangular inferior L,invertible , tal que LLT = N .

Como aclaracion, se puede decir que L no es, en general, la de la des-composicion LU y que la descomposicion de Cholesky no es unica, a no serque se imponga la condicion sobre L de que tenga diagonal positiva. En elpresente estudio se impondra esta condicion para obtener una matriz unicay posteriormente comprobar que cumple las condiciones de Moore-Penrose.

En el caso de que la matriz N sea deficiente de rango, ocurrira comoen la descomposicion LU: habra tantas columnas iguales a 0 en la partederecha de L como defecto de rango tenga N . Ası pues, en lugar de tomarLLT como resultado de la descomposicion, se tomara L′L′T siendo L′ lamatriz que resulta de suprimir a L las columnas iguales a 0. Como dichascolumnas no tienen efecto a la hora de hacer el producto, es obvio queLLT = L′L′T = N .

Las formulas para la obtencion de los elementos de L; lij se puedenobtener igualando elementos en N = LLT , y resulta una formula general:

lij = mij−

∑j−1k=1 ljk−lik

ljj, para i > j

lii =√mii −

∑i−1k=1 l

2ik

El esquema de calculo del metodo de Cholesky es bastante ventajosodebido a que utiliza un relativamente bajo numero de operaciones. Estealgoritmo de calculo tambien esta programado en el complemento “Matrix”de “EXCEL”.

De este modo se puede hacer, de manera analoga al caso de la LU,descomponer el sistema de ecuaciones inicial en otros dos:

Nx = L′L′Tx = ATPt = d

Da lugar a:

30 Antecedentes

y = L′Tx

L′y = d

(2.29)

Como en el caso de la transformacion LU, se procede aplicando el resul-tado del apartado A.4.1 del apendice A. La solucion mınimo cuadratica delsegundo sistema de ecuaciones de (2.29), es la siguiente:

y = (L′TL′)−1L′Td

Sustituyendo este resultado en el primer sistema:

L′Tx = (L′TL′)−1L′Td

Una vez mas, de la misma forma que se procedio el la transformacionLU, es decir aplicando al segundo sistema de ecuaciones la ecuacion (C.1)del apendice C, se obtiene:

x = L′(L′TL′)−1(L′TL′)−1L′Td

La inversa generalizada que resuelve el sistema tiene esta vez la forma:

N− = L′(L′TL′)−1(L′TL′)−1L′T

A continuacion se comprobara que cumple las condiciones de Moore-Penrose para verificar si N−, efectivamente, es tambien otra forma de cal-cular la matriz seudoinversa de N :

1. NN+N = N

NN−N = (L′L′T )[L′(L′TL′)−1(L′TL′)−1L′T ](L′L′T ) == L′[(L′TL′)(L′TL′)−1][(L′TL′)−1(L′TL′)]L′T = L′L′T = N

c.q.d

2. N+NN+ = N+


N−NN− = [L′(L′TL′)−1(L′TL′)−1L′T ]L′L′T [L′(L′TL′)−1(L′TL′)−1L′T ] == L′(L′TL′)−1[(L′TL′)−1(L′TL′)][(L′TL′)(L′TL′)−1](L′TL′)−1L′T

= L′(L′TL′)−1(L′TL′)−1L′T = N−

c.q.d

3. NN+ = (NN+)T

Por un lado:

NN− = (L′L′T )[L′(L′TL′)−1(L′TL′)−1L′T ] == L′[(L′TL′)(L′TL′)−1](L′TL′)−1L′T = L′(L′TL′)−1L′T

(2.30)

Ası pues:

(NN−)T = [L′(L′TL′)−1L′T ]T = L′(L′TL′)−1L′T = NN−

c.q.d

4. N+N = (N+N)T

Por un lado:

N−N = [L′(L′TL′)−1(L′TL′)−1L′T ](L′L′T ) == L′(L′TL′)−1[(L′TL′)−1(L′TL′)]L′T = L′(L′TL′)−1L′T

(2.31)

Por tanto:

(N−N)T = [L′(L′TL′)−1L′T ]T = L′(L′TL′)−1L′T = N−N

c.q.d

32 Antecedentes

Por lo tanto, queda demostrado que otra expresion de la seudoinversade N tiene la forma:

N+ = L′(L′TL′)−1(L′TL′)−1L′T (2.32)

Ademas segun lo deducido en las ecuaciones (2.30) y (2.31):

NN+ = N+N (2.33)

Expresion que mas adelante se utilizara.

2.5.4. Descomposicion en valores singulares (DVS)

Este apartado ha sido extraıdo de las paginas 16 a 23 de la referencia[Marquez].

En el caso de las matrices simetricas (como ocurre con N puesto queN = NT ) se cumplen las siguientes propiedades:

1. Los vectores propios de N son mutuamente ortogonales.

Demostracion:

Sea N simetrica de orden n× n y µi, µj dos valores propios distintoscon sus respectivos vectores propios xi, xj.

Por hipotesis: Axi = µixi

Trasponiendo ambos miembros:

xTi AT = µix

Ti

Multiplicando por xj ambos miembros a la derecha:

xTi ATxj = µix

Ti xj

Puesto que N es simetrica y xj es un vector propio correspondiente alvalor propio µj:


xTi µjxj = µixTi xj ⇒ µjx

Ti xj = µix

Ti xj

µjxTi xj − µixTi xj = 0(µj − µi)xTi xj = 0

Puesto que los valores propios son distintos (µi 6= µj), tiene que cum-plirse que xTi xj = 0; es decir, xi y xj son orotgonales para i 6= j.

2. Los valores propios de N son mayores o iguales a cero (N esdefinida o semidefinida positiva).

Demostracion:

Si N es una matriz simetrica de orden n × n puede expresarse comoN = BTB donde B es una matriz de orden m × n. Sea µj un valorpropio de N y xj su vector propio correspondiente:

Nxj = µjxj

BTBxj = µjxj

Multiplicando ambos miembros por xTj por la izquierda:

xTj BTBxj = xTj µjxj

(BTxj)TBxj = µjxTj xj

‖Bxj‖2 = µj ‖xj‖2

Entonces:

µj =(‖Bxj‖‖xj‖

)2

≥ 0, j = 1, · · · , n

3. El numero de valores propios nulos es igual al defecto de rangode la matriz N .

Demostracion:

34 Antecedentes

Un valor propio de N es nulo si y solo si Nxj = 0; en efecto:

Nxj = µjxj

Si Nxj = 0→ µjxj = 0→ µj = 0 puesto que xj 6= 0Si µj = 0→ µjxj = 0→ Nxj = 0 puesto que N 6= 0

El conjunto de los xj que hacen Nxj = 0 es el Ker(N) (tambiendenominado espacio nulo de la matriz N) y tiene dimension d =n − R(N); es decir, existen d vectores propios independientes que logeneran. El numero de valores propios nulos de N es entonces igualal defecto de rango de la matriz N : d = n−R(N).

Una vez demostradas estas tres propiedades que seran utiles para elposterior desarrollo se pasa a describir el metodo en sı. La descomposicionen valores singulares consiste en una descomposicion de una matriz N enotras 3: N = UDV T . La matriz D es una matriz diagonal y las matrices Uy V T , las de cambio de base de N a D. A continuacion se desarrollara elmetodo en sı obteniendose las propiedades particulares de cada una deestas tres matrices.

Como en los dos casos anteriores, el complemento “Matrix” de “EXCEL”tiene tambien implementado el algoritmo para el calculo de las matrices U ,D y UT .

Segun la propiedad 1 demostrada anteriormente, si N es simetrica deorden n × n sus vectores propios son ortogonales: xTi xj = 0 para i 6= j.Denotando por qj a los vectores propios normalizados [Marquez]:

qj = xj‖xj‖

para j = 1, · · · , n

Se obtiene ası un conjunto ortonormal de vectores propios normaliza-dos:

qTi qj =

0 si i 6= j

1 si i = j

que son las columnas de la matriz U :

U = [q1, q2, · · · , qn]Como la matriz U es ortogonal: U−1 = UT


El producto NU cumple:

NU = N [q1, q2, · · · , qn] = [Nq1, Nq2, · · · , Nqn] == [µ1q1, µ2q2, · · · , µrqr, 0qr+1, · · · , 0qn] =

=[q1 q2 · · · qn

]

µ1 0 · · · 0 0 · · · 00 µ2 · · · 0 0 · · · 00 0 . . . 0 0 · · · 00 0 · · · µr 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

......

... . . . ...0 0 · · · 0 0 · · · 0

= UD

Donde D es una matriz diagonal cuyos elementos no nulos son los va-lores propios de N ordenados de mayor a menor (criterio para expresar Dde forma unica):

µ1 ≥ µ2 ≥ µ3 ≥ · · · ≥ µr > 0

Multiplicando ambos miembros por UT por la derecha:

NUUT = UDUT ⇒N = UDUT

Como puede observarse, en el caso de matrices simetricas la descompo-sicion UDV T se convierte en UDUT luego:

V ≡ U

La inversa de la matrizN serıa inmediata si fuera definida positiva pues-to que la inversa de D resultarıa una matriz diagonal cuyos elementos nonulos serıan los inversos de los valores propios deN . Asimismo, las inversasde U y UT son inmediatas al tratarse de matrices ortogonales.

Sin embargo, al ser N semidefinida positiva, no es invertible pero comoal hacer el producto UDUT se anulan los vectores propios de U correspon-dientes a los valores propios nulos de D, es logico pensar que al buscar laseudoinversa de N esto siga ocurriendo, por lo tanto, se ensayara la forma:N− = UD−UT donde D− denota la siguiente matriz:

36 Antecedentes

D− =

1/µ1 0 · · · 0 0 · · · 00 1/µ2 · · · 0 0 · · · 00 0 . . . 0 0 · · · 00 0 · · · 1/µr 0 · · · 00 0 · · · 0 0 · · · 0...

......

... . . . ...0 0 · · · 0 0 · · · 0

(2.34)

A continuacion, una vez mas, habra que probar que este resultado cum-ple las condiciones de Moore-Penrose:

1. NN+N = N

NN−N = (UDUT )(UD−UT )(UDUT ) == UD(UTU)D−(UTU)DUT == U(DD−D)UT = UDUT = N

c.q.d

2. N+NN+ = N+

N−NN− = (UD−UT )(UDUT )(UD−UT ) == UD−(UTU)D(UTU)D−UT == U(D−DD−)UT = UD−UT = N−

c.q.d

3. NN+ = (NN+)T

(NN−)T = (UDUT )T (UD−UT )T == (UDUT )(UD−UT ) == NN−

Determinacion de la matriz de costrenimientos 37

c.q.d

4. N+N = (N+N)T

(N−N)T = (UD−UT )T (UDUT )T == (UD−UT )(UDUT ) == N−N

c.q.d

De esta manera queda demostrado que otra forma de expresion de lamatriz seudoinversa de N es la siguiente:

N+ = UD−UT (2.35)

2.6. Determinacion de la matriz de costrenimien-tos

El presente apartado esta basado en el estudio desarrollado en el punto8.8 de la referesncia [Sevilla, 2005] (paginas 52 a 61).

En el apartado 2.3 se introdujo el concepto de matriz de constrenimien-tos ası como su notacion: E. Posteriormente, en el apartado 2.5.1 se de-dujo una expresion de la matriz seudoinversa que hacıa uso de esa matrizE. Pues bien, a continuacion se procedera a desarrollar la teorıa de comoconstruir esa matriz E de forma que cumpla los requerimientos hasta ahoraestablecidos.

Dadas las coordenadas una red geodesica donde se cumple la relacion:

x = X −X0

Donde X0 son los valores aproximados de las coordenadas de los verti-ces en un determinado sistema de referencia.

Ahora supongase que se toma otro sistema de referencia ligeramentedistinto al anterior. Las coordenadas ahora cumplen:

x∗ = X −X∗0

38 Antecedentes

DondeX∗0 son las coordenadas aproximadas de los vertices en este nue-vo sistema de referencia.

Como la coordenadas X de los vertices son las que van a definir elsistema de referencia, las coordenadas ajustadas tienen que ser las mismas:

X0 + x = X∗0 + x∗

La variacion de los sistemas de referencia definidos por las coordenadasaproximadas resulta:

dX0 = X∗0 −X0

Estableciendose a continuacion las formulas de transformacion entresistemas tridimensionales. La transformacion se compondra de:

1. Una traslacion del origen definida por el vector τ :

τ =

τxτyτz

Vectorialmente se representa como:

X ′0 = X0 + τ

Es decir:

X ′0 = X0 + τx

Y ′0 = Y0 + τy

Z ′0 = Z0 + τz

2. Tres rotaciones infinitesimales alrededor de los ajes X ′, Y ′ y Z ′ losangulos ωx, ωy y ωz respectivamente:

X ′′0 = Rz(ωz)Ry(ωy)Rx(ωx)X ′0

desarrollando:

X′′0

Y ′′0Z ′′0

=

1 ωz 0−ωz 1 0

0 0 1

1 0 −ωy

0 1 0ωy 0 1

1 0 0

0 1 ωx0 −ωx 1

X

′0

Y ′0Z ′0

=


=

1 ωz −ωy−ωz 1 ωxωy −ωx 1

X

′0

Y ′0Z ′0

3. Un cambio de escala muy proximo a la unidad, tal que:

1 + µ ∼= 1⇒ µ ∼= 0

Es decir:

X∗0 = (1 + µ)X ′′0

A partir de las relaciones obtenidas y considerando tanto los giros comoµ infinitesimales:

X∗0 = (1 + µ)X ′′0 = (1 + µ)

1 ωz −ωy−ωz 1 ωxωy −ωx 1

X ′0 =

=

1 + µ ωz −ωy−ωz 1 + µ ωxωy −ωx 1 + µ

X ′0 =


X0 + τxY0 + τyZ0 + τz

=

=

τxτyτz

+


X0Y0Z0

Expresando esto mismo en funcion de las incognitas (7 parametros):

X∗0 −X0

Y ∗0 − Y0Z∗0 − Z0

=

1 0 0 0 −Z0 Y0 X00 1 0 Z0 0 −X0 Y00 0 1 −Y0 X0 0 Z0

τxτyτzωxωyωzµ

(2.36)

Esta formula extendida a todos los puntos de la red se expresa de lasiguiente forma:

40 Antecedentes

dX0 = ETp (2.37)

Donde dX0 son las diferencias infinitesimales entre ambos sistemas pa-ra los k puntos de las red:

dX0 =

X∗01 −X01Y ∗01 − Y01Z∗01 − Z01X∗02 −X02Y ∗02 − Y02Z∗02 − Z02· · ·

X∗0k −X0kY ∗0k − Y0kZ∗0k − Z0k

; p =


ET =

1 0 0 0 −Z01 Y01 X010 1 0 Z01 0 −X01 Y010 0 1 −Y01 X01 0 Z011 0 0 0 −Z02 Y02 X020 1 0 Z02 0 −X02 Y020 0 1 −Y02 X02 0 Z02· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 0 0 0 −Z0k Y0k X0k0 1 0 Z0k 0 −X0k Y0k0 0 1 −Y0k X0k 0 Z0k

(2.38)

Dado que:

dx = x− x∗ = X0 −X∗0 = dX0

se cumple:

x = dx+ x∗ = dX0 + x∗

Sustituyendo en (2.37):

x = ETp+ x∗ (2.39)


La solucion buscada debe cumplir el requisito ‖x‖mınimo o de forma equi-valente Σx∗x∗ de traza mınima8. Por tanto, la condicion de partida sera unconjunto de parametros incognita x referidos a un sistema original arbi-trario y se desea llegar a otro conjunto de parametros x∗ referidos a unsistema en el que se verifique la propiedad de la traza mınima. Ası pues, lasolucion resultara de obtener el vector p de transformacion entre x y x∗.

Supongase la relacion matricial:

p = Bx (2.40)

Se trata de encontrar B que haga mınima la traza de Σx∗x∗.De las relaciones (2.39) y (2.40) resulta:

x∗ = x−ETp = x−ETBx = (I −ETB)x (2.41)

Aplicando la ley de propagacion de varianzas covarianzas (vease apendi-ce B):

Σx∗x∗ = (I −ETB)Σxx(I −ETB)T

Desarrollando este producto se obtiene:

Σx∗x∗ = Σxx −ETBΣxx −ΣxxBTE +ETBΣxxB

TE

Su traza sera:

TrΣx∗x∗ = TrΣxx − 2Tr(ETBΣxx) + Tr(ETBΣxxBTE)

Derivando con respecto a B e igualando a 0 para obtener la condicionde mınimo:

∂TrΣx∗x∗

∂B= ∂TrΣxx

∂B− 2∂Tr(E

TBΣxx)∂B

+ ∂Tr(ETBΣxxBTE)

∂B=

= −2∂Tr(ΣxxETB)

∂B+ ∂Tr(ΣxxB

TEETB)∂B

=

= −2ΣxxET + 2ΣxxB

TEET = 08Segun se demuestra en las paginas 32-34 de la referencia [Sevilla, 2005].

42 Antecedentes

Finalmente:

ΣxxET = ΣxxB

TEET

Despejando:

ET = BTEET ⇒ E = EETB

Como ET definida segun (2.38) es de rango completo:

B = (EET )−1E (2.42)

Resultando que si los parametros de transformacion p verificanBx = pcon la matrizB obtenida, entonces Σx∗x∗ de los parametros calculados con(2.41) tiene mınima traza.

Sustituyendo (2.42) en (2.41):

x∗ = [I − ET (EET )−1E]x

Y llamando H a la matriz:

H = I −ETB = I − ET (EET )−1E

Resultando finalmente:

x∗ = Hx

La matriz de varianzas-covarianzas de traza mınima, puesto que la ma-triz H es simetrica, resulta:

Σx∗x∗ = HΣxxH

Ademas, la matriz simetrica H resulta ser ademas idempotente:

HH = [I −ET (EET )−1E][I −ET (EET )−1E] == I −ET (EET )−1E −ET (EET )−1E +ET (EET )−1EET (EET )−1E == I −ET (EET )−1E = H

El sistema de referencia optimo al que conduce H es unico. Para de-mostrarlo se supondra otro sistema cuyos parametros son x y su matriz devarianza covarianza Σxx. Tomando esta vez x∗ y x∗:


x = Hx∗ = HHx = Hx = x∗ (2.43)

Σxx = HΣx∗x∗H = HHΣxxHH = HΣxxH = Σx∗x∗ (2.44)

Por lo tanto, si se llega a los mismos x∗ y Σx∗x∗, el sistema de referenciaes unico.

Las relaciones (2.43) y (2.44) demuestran dos propiedades importantısi-mas de la matriz H respecto a x∗ y Σx∗x∗:

x∗ = Hx∗

Σx∗x∗ = HΣx∗x∗H

Es decir, que no importa el sistema en el que se tomen los valores apro-ximados de los parametros X. El sistema solo sirve para calcular los ele-mentos de la matriz H, por lo tanto, puede ser arbitrario siempre que losparametrosX sean suficientemente aproximados como para que el sistemaconverja a x.

Este es un importantısimo resultado por un doble motivo; por un ladose ha conseguido el objetivo de este apartado, es decir, la obtencion de lamatriz de constrenimientos E que hace mınima la traza de Σxx. Por otrolado se ha demostrado la existencia de un sistema de referencia optimounico. Esto ultimo indica que este procedimiento es adecuado para la de-finicion de sistemas de referencia optimizados a partir observaciones enotros sistemas cuyos parametros que los definen se desean mejorar.

A continuacion se particularizara la solucion obtenida para la matriz deconstrenimientos E en diferentes tipos de redes. Para todos los casos seconsiderara una red geodesica formada por k puntos. La formula general(2.38) sera a partir de la cual se obtendra la particular en cada uno de loscasos.

2.6.1. Redes tridimensionales

Se parte de los postulados siguientes:

Coordenadas del punto i: (Xi, Yi, Zi).

Vector de incognitas: x = (x1, y1, z1, x2, y2, z2, · · · , xk, yk, zk)T

Relacion entre parametros: x = X −X0

44 Antecedentes

Solucion (mejor estimacion insesgada): X = X0 + x

Se consideraran diferentes casos a su vez:

1. Defecto de rango 7. Red completamente libre. No esta definidoninguno de los parametros que caracteriza la red, es decir:

Origen: no definido.

Orientacion: no definida.

Escala: no definida.

E =

1 0 0 1 0 0 · · · 1 0 00 1 0 0 1 0 · · · 0 1 00 0 1 0 0 1 · · · 0 0 10 Z1 −Y1 0 Z2 −Y2 · · · 0 Zk −Yk−Z1 0 X1 −Z2 0 X2 · · · −Zk 0 Xk

Y1 −X1 0 Y2 −X2 0 · · · Yk −Xk 0X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 · · · Xk Yk Zk

2. Defecto de rango 6.



Escala: definida.

E =

1 0 0 1 0 0 · · · 1 0 00 1 0 0 1 0 · · · 0 1 00 0 1 0 0 1 · · · 0 0 10 Z1 −Y1 0 Z2 −Y2 · · · 0 Zk −Yk−Z1 0 X1 −Z2 0 X2 · · · −Zk 0 Xk

Y1 −X1 0 Y2 −X2 0 · · · Yk −Xk 0


Origen: definido.




E =

0 Z1 −Y1 0 Z2 −Y2 · · · 0 Zk −Yk−Z1 0 X1 −Z2 0 X2 · · · −Zk 0 Xk

Y1 −X1 0 Y2 −X2 0 · · · Yk −Xk 0X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 · · · Xk Yk Zk



Orientacion: definida.


E =

1 0 0 1 0 0 · · · 1 0 00 1 0 0 1 0 · · · 0 1 00 0 1 0 0 1 · · · 0 0 1X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 · · · Xk Yk Zk


Origen: definido.


Escala: definida.

E =

0 Z1 −Y1 0 Z2 −Y2 · · · 0 Zk −Yk−Z1 0 X1 −Z2 0 X2 · · · −Zk 0 Xk

Y1 −X1 0 Y2 −X2 0 · · · Yk −Xk 0




Escala: definida.

E =

1 0 0 1 0 0 · · · 1 0 00 1 0 0 1 0 · · · 0 1 00 0 1 0 0 1 · · · 0 0 1

46 Antecedentes


Origen: definido.



E =(X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 · · · Xk Yk Zk

)

2.6.2. Redes planimetricas

Se parte de los postulados siguientes:

Coordenadas del punto i: (Xi, Yi).

Vector de incognitas: x = (x1, y1, x2, y2, · · · , xk, yk)T

Relacion entre parametros: x = X −X0

Solucion (mejor estimacion insesgada): X = X0 + x

Se consideraran diferentes casos a su vez:

1. Defecto de rango 4. Red completamente libre. No esta definidoninguno de los parametros que caracteriza la red, es decir:




Ejemplo: Triangulacion pura.

E =

1 0 1 0 · · · 1 00 1 0 1 · · · 0 1Y1 −X1 Y2 −X2 · · · Yk −Xk

X1 Y1 X2 Y2 · · · Xk Yk





Escala: definida.Ejemplos:

• Trilateracion pura.• Triangulacion +D distancias medidas (D ≥ 1).

E =

1 0 1 0 · · · 1 00 1 0 1 · · · 0 1Y1 −X1 Y2 −X2 · · · Yk −Xk





Ejemplo: Triangulacion con acimut conocido.

E =

1 0 1 0 · · · 1 00 1 0 1 · · · 0 1X1 Y1 X2 Y2 · · · Xk Yk




Escala: definida.

Ejemplo: Trilateracion con acimut conocido.

E =(

1 0 1 0 · · · 1 00 1 0 1 · · · 0 1

)


Origen: definido.


48 Antecedentes


Ejemplo: Triangulacion con un punto fijo.

E =(Y1 −X1 Y2 −X2 · · · Yk −Xk

X1 Y1 X2 Y2 · · · Xk Yk

)


Origen: definido.


Escala: definida.Ejemplos:

• Triangulacion con un punto fijo +D distancias medidas (D ≥1).

• Trilateracion con un punto fijo.

E =(Y1 −X1 Y2 −X2 · · · Yk −Xk

)7. Defecto de rango 1.

Origen: definido.



Ejemplo: Triangulacion con un punto fijo y un acimut conocido.

E =(X1 Y1 X2 Y2 · · · Xk Yk

)

2.6.3. Redes altimetricas

En el caso de redes altimetricas, al ser unidimensionales, solamente hayun parametro indeterminado. Se parte de:

Coordenadas del punto i: (Hi).

Vector de incognitas: x = (h1, h2, · · · , hk)T


Relacion entre parametros: h = H −H0

Solucion (mejor estimacion insesgada): H = H0 + h

Esta vez solo hay una posibilidad:

Defecto de rango 1.

Origen de altitudes: no definido.

E =(1 1 1 1 · · · 1 1

)Es evidente que el defecto de rango de la matriz de diseno de una red al-

timetrica libre sera igual a la unidad. Esta indeterminacion se correspondegeometricamente con una traslacion en sentido de medicion de las altitu-des (vertical) y modulo igual a la cota (desconocida) del Datum o puntofundamental altimetrico.

2.6.4. Metodo algebraico

Otra forma diferente de hallar la matriz de constrenimientos consiste enabordar el problema desde el punto de vista del algebra. De forma que, sise determina una matriz E que cumpla las condiciones impuestas al iniciodel apartado 2.5.1:

F2(X) = 0

P2 →∞

Ex = 0

Y la consecuencia que se deriva de estas condiciones:

NET = 0⇔ AET = 0

Donde E es una matriz de rango completo, independiente de N y conel mismo numero de filas que el defecto de rango de N .

Pues bien, dado que la matriz N es de rango incompleto, como se de-mostro en el punto 3 del apartado 2.5.4, esta matriz poseera un numeroigual a su defecto de rango de valores propios nulos. Consecuentemente,habra un vector propio no nulo por cada uno de los valores propios nulos.

Los valores propios nulos evidentemente cumplen:

50 Antecedentes

Nµj = 0 con j = 1, · · · , d

siendo d el defecto de rango de N . Por lo tanto:

N{v1 | v2 | v3 | · · · | vd

}= 0

Siendo los vj los vectores propios correspondientes a los valores propiosnulos µj. Y por tanto:

ET ={v1 | v2 | v3 | · · · | vd

}=⇒

E =

vT1vT2vT3...vTd

(2.45)

Otra forma de obtener la matriz E es darse cuenta de que estos vectorespropios constituyen el nucleo Ker(f) de la aplicacion lineal9:

fx −→ t

Donde la matriz que define la aplicacion es N . La forma de determi-nar los vectores del nucleo de la aplicacion lineal consiste en resolver laecuacion:

Nx = 0

Los vectores determinados por este procedimiento colocados por filasconstituyen la matriz E, es decir, la misma que la determinada por el meto-do anterior.

Ya sea de una forma o de otra, con el metodo algebraico se llega auna matriz E diferente a la deducida por los metodos geometricos. Sinembargo, dado que junto conN cumple las condiciones mınimo cuadraticasimpuestas, la matriz seudoinversa:

N+ = (ATPA+ ETE)−1 − ET (EET )−1(EET )−1E

9El nucleo de una aplicacion lineal son aquellos vectores cuya imagen es igual a 0.

Parametros de error de una red geodesica libre 51

sera identica cuando se determine por metodos geometricos a cuandose halle por el metodo algebraico.

La ventaja fundamental del metodo algebraico estriba en dos cuestio-nes:

No es necesario conocer los condicionantes geometricos de la red.Una vez determinada la matriz N , se calculan los vectores propios co-rrespondientes a valores propios nulos y esto determina directamentela matriz E.

Es aplicable a cualquier tipo de red con un procedimiento analogo. Esdecir, no hay que particularizar un metodo para cada tipo de red. Porlo tanto, es mas facilmente programable.

2.7. Parametros de error de una red geodesicalibre

2.7.1. Error medio cuadratico de una observacion aislada

Se parte de una expresion de vTP v obtenida segun lo siguiente:

vTP v = (Ax− t)T P (Ax− t) ==(xTAT − tT

)(PAx− Pt) =

= xTATPAx− xTATPt− tTPAx+ tTPt == xTATPAx− 2tTPAx+ tTPt == xTNx− 2dT x+ tTPt = xTNx− 2xTNx+ tTPt == tTPt− xTNx

Utilizando las propiedades de la traza y la esperanza matematicas vistasen el apendice D, observese ahora a que es igual el valor esperado de vTPv

E[vTPv

]= E

[tTPt− xTNx

]=

= E[Tr

(tTPt

)− Tr

(xTNx

)]= E

[Tr

(ttTP

)− Tr

(xxTN

)]=

= Tr(E[ttTP

])− Tr

(E[xxTN

])=

= Tr(E[ttTP

])− Tr

(E[N+ATPttTPAN+N

])(2.46)

Recordando y teniendo en cuenta que:

52 Antecedentes

Del modelo estocastico E[v] = 0 y E[t] = Ax

t = l − L0 ⇒ Σtt = Σll = σ20P−1

v = L− l

t = l − L0 ⇒ E[t] = E[l]− L0

t− E[t] = l − E[l] = l − L = −v

vvT = (−v) (−v)T = (t− E [t]) (t− E [t])T

E[ttT ] = Σtt + E [t]E[tT]

10

A continuacion se determinara cual es el valor de E[ttT]

E[vvT

]= E

[(t− E [t]) (t− E [t])T

]=

= E[ttT − tE[t]T − E[t]tT + E[t]E[t]T

]=

= E[ttT ]− E[t]E[t]T = Σtt + E [t]E[tT]− E[t]E[t]T =

= Σtt = σ20P−1

despejando de la anterior expresion queda

E[ttT ] = σ20P−1 + E[t]E[t]T = σ2

0P−1 + AxxTA

de donde

E[ttTP

]= E

[ttT]P =

(σ2

0P−1 + AxxTAT

)P = σ2

0Imm + AxxTATP

y tambien por otro lado

E[N+ATPttTPAN+N

]= N+ATPE

[ttTP

]AN+N =

= N+ATP(σ2

0Imm + AxxTATP)AN+N =

= N+ATPAN+Nσ20 +N+ATPAxxTATPAN+N =

= N+NN+Nσ20 +N+NxxTATPAN+N

aplicando los resultados de las ecuaciones (2.26) y (2.33)

10Vease pagina 23 de la referencia [Sevilla, 2005].


E[N+ATPttTPAN+N

]=

= σ20[Inn − ET (EET )−1E]2+

+ [Inn − ET (EET )−1E]xxTATPA[Inn − ET (EET )−1E] == σ2

0T2E + TExx

TATPATE

Por otro lado, la matriz TE es idempotente:

T 2E = [Inn − ET (EET )−1E]2 =

= [Inn − ET (EET )−1E][Inn − ET (EET )−1E] == Inn − ET (EET )−1E − ET (EET )−1E + ET (EET )−1EET (EET )−1E == Inn − ET (EET )−1E − ET (EET )−1E + ET (EET )−1E == Inn − ET (EET )−1E = TE

y volviendo a la expresion (2.46)

E[vTP v

]= Tr

(E[ttTP

])− Tr

(E[N+ATPttTPAN+N

])=

= Tr(σ2

0Imm + AxxTATP)− σ2

0Tr(T 2E)− Tr(TExxTATPATE) =

= σ20Tr(Imm) + Tr

(AxxTATP

)− σ2

0Tr(T 2E)− Tr(xxTATPAT 2

E) =

= mσ20 + Tr

(AxxTATP

)− σ2

0Tr(TE)− Tr(xxTATPATE) =

= mσ20 + Tr

(AxxTATP

)− σ2

0Tr(TE)− Tr(xxTATPA)++ Tr(xxTATPAET (EET )−1E) =aplicando la ecuacion (2.16) del apartado 2.5.1

= mσ20 + Tr

(AxxTATP

)− σ2

0Tr(TE)− Tr(AxxTATP

)=

= mσ20 − σ2

0Tr(TE) == mσ2

0 − σ20Tr(Inn) + σ2

0Tr(ET (EET )−1E)

como es facilmente demostrable que Tr(ET (EET )−1E) = R(A)

E[vTP v

]== mσ2

0 − nσ20 +R(A)σ2

0 == mσ2

0 − [n−R(A)]σ20 =

= [m−R(A)]σ20

54 Antecedentes

entonces si se toma como estimador

σ20 = vTP v

m−R(A) (2.47)

resulta ser un estimador insesgado

E[σ2

0

]=E[vTP v

]m−R(A) = [m−R(A)]σ2

0m−R(A) = σ2

0

De esta forma queda demostrado que existe un estimador insesgado dela varianza. Este representa una estimacion a posteriori de la varianza delobservable de peso unidad.

Por lo tanto, la estimacion a posteriori de la desviacion tıpica del ob-servable de peso unidad, tambien conocida como error medio cuadratico deuna observacion aislada, resulta ser:

σ0 =

√√√√ vTP v

m−R(A) (2.48)

2.7.2. Matriz de varianzas-covarianzas

Segun se demuestra en el apartado A.3.5 del apendice A, en el mo-delo estocastico quedan definidas las matrices cofactor y de varianzas-covarianzas de las observaciones y los terminos independientes:

Qll = Qtt = P−1

Para obtener la matriz cofactor de las incognitas se aplicara la ley depropagacion de las varianzas-covarianzas (apendice B):

x = N+ATPt⇒⇒ Qxx = N+ATPQttPAN

+ == N+ATPP−1PAN+ == N+ATPAN+ = N+NN+ = N+

(2.49)

Consecuentemente, la matriz de varianzas-covarianzas de las incognitasajustadas es

Σxx = σ20N

+ (2.50)


Esta matriz representa los errores en cada una de las variables (varian-zas) ası como la relacion lineal entre las variables tomadas dos a dos (co-varianzas). Es una matriz simetrica de dimensiones n × n y su expresionmatematica es la siguiente:

Σxx =

σ2x1 σx1x2 σx1x3 · · · σx1xn−1 σx1xn

σx1x2 σ2x2 σx2x3 · · · σx2xn−1 σx2xn

σx1x3 σx2x3 σ2x3 · · · σx3xn−1 σx3xn

......

... . . . ......

σx1xn−1 σx2xn−1 σx3xn−1 · · · σ2xn−1 σxn−1xn

σx1xn σx2xn σx3xn · · · σxn−1xn σ2xn

2.7.3. Figuras de Error

El presente apartado esta extraıdo de las paginas 119 a 122 referencia[De la Puente, 2011].

Las figuras de error dan una idea directa e intuitiva de la precision al-canzada en el ajuste. En la inmensa mayorıa de los casos tiene especialimportancia, ya que con el estudio de las elipses absolutas de error se ob-tiene una idea suficiente de la validez de la observacion y de la precisionconseguida en las coordenadas.

Como a continuacion se demostrara, las elipses absolutas de error, tie-nen el unico pequeno inconveniente de estar ligadas al sistema de referen-cia (datum). Ello se soslaya en el caso de redes libres ya que al realizar suajuste con constrenimiento mınimo, las elipses absolutas de error no estanconstrenidas en modo alguno por la precision de las coordenadas en las quese apoyan.

La metrica del espacio de parametros

Al igual que la matriz P = Q−1ll define la metrica del espacio de obser-

vaciones:

Σll = σ20P−1 ⇒ P = σ2

0Σ−1ll

La metrica en el espacio de parametros se obtiene mediante el tensormetrico:

N = σ20Σ−1

xx

56 Antecedentes

Elipses absolutas estandar de error

Obtenida la estimacion de las varianzas-covarianzas, y con el conceptode metrica en el espacio de las incognitas o parametros, se procedera aobtener las figuras de error absolutas.

Para ello se toma de la matriz las varianzas-covarianzas, las que corres-pondan de forma exclusiva a las coordenadas de cada punto, ignorando lainfluencia de otras fuentes estimadas de error en dichas coordenadas (re-flejadas en las correspondientes covarianzas).

Ejemplo: Para el puntoA, se obtiene de la matriz de varianzas-covarianzas

ΣxxA=(

σ2XA

σXAYA

σYAXAσ2YA

)Esta es una matriz simetrica y definida positiva (la matriz N lo es), y

por tanto diagonalizable.

Calculo de la elipse absoluta de un punto

Por una parte se tiene el vector estimado correspondiente al punto A,valor mas probable de las incognitas procedente del ajuste, y que es un vec-tor fijo que se denotara como XA. Ese vector, sera calculado con un deter-minado vector error xA. Empleando la notacion para XA, para denominara un resultado cualquiera que saldrıa con otro vector observacion distintoy en las mismas condiciones:

XA = XA + xA

Calculando el lugar geometrico (conjunto de vectores) XA, tales quela distancia (norma de xA) al vector XA sea menor que una desviacionestandar de peso unidad de un parametro aislado:∥∥∥XA − XA

∥∥∥2≤ σ2

0

Para ello se emplea la metrica del espacio de parametros, con la matrizde varianzas-covarianzas estimada (Σ−1

xx = σ20N), no existiendo necesidad

de conocer el parametro σ20 para el conocimiento del area de error, segun

lo siguiente:

(XA − XA)T σ20Σ−1

xxA(XA − XA) ≤ σ2

0

(XA − XA)TΣ−1xxA

(XA − XA) ≤ σ20σ2

0

∼= 1

Defecto de rango en redes libres 57

Ası pues, empleando la matriz de varianzas-covarianzas estimada deparametros, y suponiendo la necesaria compatibilidad estadıstica entre losparametros σ2

0 y σ20, resulta:

(XA − XA)TΣ−1xxA

(XA − XA) ≤ 1 (2.51)

Resultando ser esta, el area comprendida en el interior de una elipse,cuyo centro esta en el punto A y cuyos ejes corresponden a las direccionesde los autovectores de la matriz Σ−1

xx , asociada de la forma cuadratica.La ecuacion reducida al centro de la elipse y a sus ejes propios tendra la

forma11:

(x′′ y′′

) 1σ′′2x

00 1

σ′′2y

( x′′

y′′

)= 1⇒ x′′2

σ′′2x+ y′′2

σ′′2y= 1

Dado que se esta trabajando con la matriz inversa de la de varianzas-covarianzas, se puede escribir:

Σx′′x′′A= 1

σ′′2x0

0 1σ′′2y

−1

=(σ′′2x 00 σ′′2y

)

Por todo ello puede concluirse que la figura de error queda geometrica-mente determinada, resultando inmediato que:

Los autovalores M = σ′′2x y N = σ′′2y determinan los semiejes de laelipse de error.

La direccion de los ejes de la elipse la dan las direcciones de los auto-vectores que corresponden a los respectivos autovalores.

En torno a las coordenadas ajustadas, y dentro de esa area, se puededecir que la probabilidad de que se encuentre la realidad fısica del puntoes de ∼= 69 %, tal y como corresponde a una desviacion estandar.

2.8. Defecto de rango en redes libres

Hasta ahora se ha dado por supuesto la posibilidad de que la matrizde diseno de una red con superabundancia de observaciones pueda tener

11La doble comilla sobre las variables x e y indica el doble cambio de base al sistema deejes propios: Traslacion y giro.

58 Antecedentes

defecto de rango. Pero, habiendo mas observaciones que incognitas y siestas son las suficientes para resolver el problema geometrico, ¿por que yen que casos se produce ese defecto de rango?

Pues bien, para dar respuesta a esta pregunta se procedera a plantear unejemplo de una red mınima que, a pesar de no tratarse de un caso general,sı constituye una forma muy grafica de resolver la cuestion.

Supongase que sobre la red planimetrica expuesta en la figura 2.1 sedispone de las observaciones de la siguiente tabla:

Angulos DistanciasAI DAB

AD DAC

BI DAD

BD DBC

CI DBD

CD DCD

DI

DD

Evidentemente el problema geometrico esta resuelto puesto que se dis-pone de 14 observaciones y con tan solo 4 se puede resolver geometrica-mente como se vera mas adelante. Esto se traduce en lo siguiente: si sedispusiera de las 4 observaciones necesarias, por ejemplo, de una sola dis-tancia (DAB) y de 3 angulos (por ejemplo A = AI+AD,BD yDI), medianteel procedimiento geometrico de resolucion de triangulos, se tienen los da-tos necesarios y suficientes para resolver la figura de la siguiente forma:

Resolucion del triangulo ABD:

Con los angulos BI y A = AI + AD se determinan las distancias DAD

y DBD y el angulo DD.

Resolucion del triangulo BCD:

Con los angulos BD y DI se determinan las distancias DBC y DCD yel angulo C = CI + CD.

Llegados a este punto se dispone de todos los datos necesarios paradeducir la distancia restante: DAC .

Resolucion del triangulo ABC:

Con el angulo B = BI +BD y las distancia DAB y DBC se determinanlas angulos AD y CI .


Figura 2.1: Ejemplo de red de 4 vertices.

Resolucion de los angulos A y C:

Mediante diferencias se determinan los angulos AI = A−AD y CD =C − CI .

Con lo cual, la figura estarıa resuelta con 4 observaciones por lo quelas 10 restantes serıan, en principio, superabundantes. Realmente, esas 10observaciones de mas no aportan nada a la resolucion geometrica del pro-blema puesto que, como se ha visto, se pueden ir deduciendo al resolverla figura completa. Por lo tanto, aunque se disponga de ellas e incluso deotros 10 millones mas de observaciones, seguirıa siendo imposible la de-terminacion de las coordenadas por este procedimiento. Se necesitarıa co-nocimiento sobre las coordenadas de los puntos. Y la razon es que dichascoordenadas son simplemente arbitrarias, es decir dependiendo de dondese coloque su origen con respecto a la figura y su orientacion, estas va-riarıan radicalmente.

En resumen, si las incognitas del sistema son las coordenadas de lospuntos en lugar de los angulos y distancias de la figura, harıa falta tresdatos adicionales para su resolucion, como se ha deducido. Estos datosmaterializan geometricamente la distancia (X0 e Y0) de un punto de lafigura al origen de coordenadas adoptado y la orientacion (θ) de la figura

60 Antecedentes

Y

X

Y0

X0 θ

Figura 2.2: Defecto de rango desde el punto de vista geometrico.

en dicho sistema de coordenadas. Como se puede observar en la figura2.2. Consecuentemente, a pesar de la superabundancia de observaciones,si no se dispone de ninguno de estos 3 datos, el defecto de rango de lamatriz A que define geometricamente la red serıa 3. Esto se traduce en quede filas de la matriz A, materializadas por las ecuaciones de observacion,solamente 5 serıan linealmente independientes. Como las incognitas de lared son 8 (X e Y de cada punto), el defecto de rango de la matriz A resultaser igual a 3.

Como conclusion, este resultado es exportable a redes no definidasgeometricamente con respecto a un sistema de coordenadas, como la redobjeto del presente trabajo, pudiendose expresar las siguientes afirmacio-nes:

La necesidad de datos externos a lo puros observables si lo que sequiere es referir una red a un determinado sistema de coordenadas.

Si unicamente se desea resolver geometricamente la red, no serıan


necesarios datos sobre las coordenadas de ningun punto sino al me-nos, los condicionamientos geometricos mınimos que la definen.

Apartado 3

Material y metodologıa

3.1. Material

3.1.1. Material Topografico

La instrumentacion topografica basica empleada es el teodolito Wild T-2con distanciometro Di-20.

El error en la medida de las direcciones con el teodolito Wild T-2 es deaproximadamente 8cc. Este valor se obtuvo de la practica II del 30 Cursode Geodesia en la que se hicieron 30 mediciones a una misma senal dedu-ciendose dicho error teorico. Asimismo, en las sucesivas practicas del cursose ha ido constatando que los resultados siempre han sido coherentes conesa suposicion. Esto se ha deducido mediante los errores extraıdos de losestadillos usados y en otras ocasiones suponiendo que el error cometido erade los citados 8cc conduciendo a resultados correctos. Consecuentemente,dado que un angulo esta materializado por la diferencia de dos lecturas, elerror teorico en la medida de los angulos sera el siguiente:

A = LA − LBSiendo A el angulo y LA y LB las lecturas que lo constituyen. Por la

formula de transmision de errores (como se demuestra en el apendice E:“Formula de la transmision de errores”):

emcA2 =

(∂A

∂LA

)2

emcLA

2 +(∂A

∂LB

)2

emcLB

2 = emcLA

2 + emcLB

2

Donde emcA, emcLAy emcLB

son los errores medios cuadraticos en elangulo A, la lectura al punto A: LA y la lectura al punto B: LB respectiva-mente.

63

64 Material y metodologıa

Como emcLA= emcLB

= emcL, es decir, los 8cc mencionados.

emcA2 = 2 · emcL2

Finalmente se deduce:

emcA =√

2 · emcL =√

2 · 8cc = 11cc

Por otro lado el error teorico en la medida de las distancias es el queproporciona la casa constructora del distanciometro:

emcd = 5mm+ 1ppm1 (3.1)

3.1.2. Software

Se empleo como programa de calculo la aplicacion Microsoft Excel, conel complemento matricial Matrix.xla. Se trata de un software libre que sepuede descargar a traves de internet en la direccion web de la referencia[http://digilander.libero.it/foxes].

3.2. Metodologıa

3.2.1. Proyecto de Campo

Se observo una red de siete vertices situada proxima al acuartelamien-to Alfonso X, sede del Departameto de Geodesia y Topografıa, al suroestede Madrid. Esta red esta constituida por senales de aproximadamente 1,20metros de altura desde la base del pilar. Los vertices carecen de centra-do forzado. Constituyen pues, una muy buena senalizacion a efectos depunterıa sin embargo, al carecer de centrado forzado, puede haber erroresaccidentales en los estacionamientos difıciles de estimar. La geometrıa dela red definida por los vertices es la que se observa en el croquis de la figura3.1. En total se realizaron 24 observaciones de direccion y 5 de distancia.

3.2.2. Observacion

Los resultados son unicamente planimetricos. Se procedio a la obser-vacion diurna con estacionamiento en seis de los siete vertices y lectura

11ppm=1 parte por millon. Por cada kilometro de distancia, el error en su medida seincrementa 1mm.


Metodologıa 65

Mo

no

lito

Po

nci

o

Deh

esa

C

entr

o

C

amin

o

Mo

tori

sta

Escu

elas

44

70

00

0.0

00

44

70

50

0.0

00

44

71

00

0.0

00

44

71

50

0.0

00

44

72

00

0.0

00

44

72

50

0.0

00

42

95

00

.00

0

43

00

00

.00

0

43

05

00

.00

0

43

10

00

.00

0

43

15

00

.00

0

43

20

00

.00

0

43

25

00

.00

0

43

30

00

.00

0

43

35

00

.00

0

43

40

00

.00

0

43

45

00

.00

0

Figu

ra3.

1:C

roqu

isin

icia

lcon

las

visu

ales

mat

eria

lizad

asen

tre

cada

punt

ode

lare

d.


angular a algunos de los restantes. Asimismo, se hicieron cinco medicionesdisanciometricas entre ciertos puntos de la red. El metodo de observacionha sido el de una sola vuelta de horizonte y aplicando la regla de Bessel. Pa-ra evitar el movimiento del teodolito con la colocacion del distanciometro,se realizo una segunda vuelta en el caso de las mediciones distanciometri-cas.

Los datos obtenidos de campo son los reflejados en el cuadro 3.1. Setrata de lecturas horizontales LH , distancias geometricas Dg y angulos ce-nitales V para pasar estas distancias a distancias reducidas Dr.

3.2.3. Calculos previos

El sistema geodesico empleado para dar las coordenadas de los verticeses ETRS89. Como la compensacion de la red se realizara por el procedi-miento de Red Libre, estas coordenadas seran consideradas como aproxi-madas lo cual sera necesario para el planteamiento de ecuaciones de ob-servacion.

Las coordenadas de los puntos necesarias para el planteamiento porecuaciones de observacion estan dadas en proyeccion UTM2 y son las quese reflejan en el cuadro 3.2. Al tratarse de 7 puntos de coordenadas pla-nimetricas supuestas desconocidas: n = 14 (2 incognitas X e Y por cadapunto).

Con las premisas del parrafo anterior, la red es libre con 1 solo cons-trenimiento; las distancias, que sirven para dar dimension a la red. Con-secuentemente, se podra evaluar la observacion independientemente deldatum (sistema de coordenadas). No obstante, para la resolucion del siste-ma, es necesario anadir la matriz de constrenimientos por tratarse de unared libre. Puesto que se suponen todos los puntos desconocidos y se partede 1 o mas distancias conocidas, la matriz de constrenimientos tendra laforma deducida en el caso 2 del apartado 2.6.2. Tambien se calculara porel metodo algebraico con la formula general para E (2.45) obtenida enapartado 2.6.4. En cualquier caso, el defecto de rango sera 3 por lo que lasdimensiones de E seran: 3× n.

Con posterioridad, una vez analizada y depurada, en su caso, la obser-vacion, y decididos que puntos se consideran fijos, se podra constrenir lared basandose en ellos, realizando un ajuste definitivo.

Antes de plantear la matriz de diseno que define la red geodesica, es ne-cesario linealizar las ecuaciones tanto de angulo como de distancia. Esto sedebe a que el modelo de MMCC solamente es valido para sistemas lineales.

2Universal Trasversa de Mercator.

Metodologıa 67

Cuadro 3.1: Observaciones de campo.

Tipo de observacion Estacion Visado LH/Dg/Vdireccion Centro Dehesa 206,5268gdireccion Centro Motorista 268,4243gdireccion Centro Monolito 365,1230gdireccion Centro Camino 11,5327gdireccion Centro Poncio 50,3153gdireccion Monolito Camino 357,6304gdireccion Monolito Camino 357,6312gdireccion Monolito Poncio 393,1377gdireccion Monolito Escuelas 21,9971gdireccion Monolito Centro 26,1557gdireccion Monolito Centro 26,1560gdireccion Camino Centro 75,2600gdireccion Camino Monolito 160,3252gdireccion Escuelas Monolito 194,1698gdireccion Escuelas Poncio 210,1532gdireccion Dehesa Motorista 194,2388gdireccion Dehesa Monolito 262,3057gdireccion Dehesa Centro 289,4061gdireccion Dehesa Camino 292,5430gdireccion Dehesa Poncio 310,8079gdireccion Motorista Centro 340,9947gdireccion Motorista Dehesa 383,9295gdireccion Motorista Camino 311,7974gdireccion Motorista Poncio 334,2209gdistancia Monolito Centro 1464,930m

angulo cenital Monolito Centro 101,0347gdistancia Motorista Dehesa 1045,659m

angulo cenital Motorista Dehesa 100,3968gdistancia Centro Monolito 1464,934m

angulo cenital Centro Monolito 98,9984gdistancia Dehesa Motorista 1045,651m

angulo cenital Dehesa Motorista 99,6422gdistancia Monolito Escuelas 3872,619m

angulo cenital Monolito Escuelas 100,6616g


Cuadro 3.2: Coordenadas previas (ETRS89).

Nombre del punto X YCentro 431526,019m 4471218,713m

Monolito 430063,084m 4471160,663mCamino 430503,532m 4472061,484mEscuelas 433912,522m 4471566,203mDehesa 432173,163m 4470765,785m

Motorista 431510,622m 4469957,404mPoncio 431322,648m 4471947,291m

Linealizacion de ecuacion de angulo

Las ecuaciones de angulo se obtienen como diferencia de dos ecuacio-nes de direccion. Las ecuaciones de direccion, por otra parte, se obtienen apartir de la formula topografica entre los puntos A y B que relaciona la lec-tura LBA, la orientacion del origen del aparato topografico o desorientacionOoA

y la orientacion entre los dos puntos OBA :

LBA = F (X) = OBA −OoA

= arc tg ∆XBA

∆Y BA

−OoA

Haciendo un desarrollo por serie de Taylor hasta grado uno de la rela-cion funcional anterior se obtiene:

F (X) = F (X0) +[∂F

∂X

]0

(X −X0) = F (X0) +[∂F

∂X

]0

(x) =

=[arctan ∆XB

A

∆Y BA

−OoA

]0

+(∂F (X)∂XA

∂F (X)∂YA

∂F (X)∂XB

∂F (X)∂YB

∂F (X)∂OoA

)0

xAyAxByBooA

=

=[arctan ∆XB

A

∆Y BA

−OoA

]0

+(−∆Y B

A

D2AB

∆XBA

D2AB

∆Y BA

D2AB

−∆XBA

D2AB

−1)

0

xAyAxByBooA

Ecuacion en la que:

El subındice 0 indica que es una magnitud calculada con los parame-tros aproximados.

Metodologıa 69

Todos los sumandos estan en radianes; para trabajar en otras unida-des, se introducira la correspondiente constante de conversion.

En este estudio se ha trabajado en grados centesimales por lo que laconstante de conversion sera K = 200

π:

LBA =[arctan ∆XB

A

∆Y BA

−OoA

]0+(−K∆Y B

A

D2AB

K∆XBA

D2AB

K∆Y BA

D2AB

−K∆XBA

D2AB

−1)

0

xAyAxByBooA

De la misma forma se procedera para obtener la ecuacion de direccion

entre el punto de estacion A y otro punto visado C resultando:

LCA =[arctan ∆XC

A

∆Y CA

−OoA

]0+(−K∆Y C

A

D2AC

K∆XCA

D2AC

K∆Y CA

D2AC

−K∆XCA

D2AC

−1)

0

xAyAxCyCooA

Restando ambas ecuaciones se obtiene la correspondiente ecuacion de

angulo. Por lo tanto, el sistema resultante tendra tantas ecuaciones deangulo desde cada estacionamiento como visuales se hayan observado des-de este menos una. En la ecuacion de angulo desaparece como incognitala desorientacion del punto de estacion. La ecuacion tendra pues la formasiguiente:

LCA − LBA =[arctan ∆XC

A

∆Y CA

−OoA

]0−[arctan ∆XB

A

∆Y BA

−OoA

]0

+

+(XABC YABC

−K∆Y BA

D2AB

K∆XBA

D2AB

K∆Y CA

D2AC

−K∆XCA

D2AC

)0

xAyAxByBxCyC

Donde:


XABC = −

(K∆Y C

A

D2AC− K∆Y B

A

D2AB

)

YABC =(K∆XC

A

D2AC− K∆XB

A

D2AB

)Dado que:

LBAo =[arctan ∆XB

A

∆Y BA−OoA

]0

LCAo =[arctan ∆XC

A

∆Y CA−OoA

]0

La ecuacion que formara parte de una lınea i del sistema, sera:

Aix− ti = vi con

ti =(lCA − lBA

)−(LCAo − LBAo

)

Aix =(XABC YABC

−K∆Y BA

D2AB

K∆XBA

D2AB

K∆Y CA

D2AC

−K∆XCA

D2AC

)0

xAyAxByBxCyC

(3.2)

Donde lBA y lCA son las observaciones de campo. Las observaciones ajus-tadas se obtendrıan finalmente de la forma siguiente:

LCA − LBA = lCA − lBA + vi

Linealizacion de ecuacion de distancias

A partir de la relacion funcional existente entre parametros (coordena-das) y distancia, y de forma totalmente analoga a lo visto en la ecuacionde direccion, se obtiene la ecuacion tipo para una observacion de distancia.En este caso la magnitud observada sera la distancia dBA.

Relacion funcional entre parametros y observaciones (una fila del siste-ma de ecuaciones de una red topografica):

Metodologıa 71

DBA = F (X) =

√∆XB

A2 + ∆Y B

A2

Derivando con respecto a las incognitas y realizando el desarrollo deTaylor hasta orden uno se obtiene:

F (X) = F (X0) +[∂F

∂X

]0

(X −X0) = F (X0) +[∂F

∂X

]0

(x) =

= DBAo +

(∂F (X)∂XA

∂F (X)∂YA

∂F (X)∂XB

∂F (X)∂YB

)0

xAyAxByB

=

= DBAo +

(−∆XB

A

DAB

−∆Y BA

DAB

∆XBA

DAB

∆Y BA

DAB

)0

xAyAxByB

= dBA + v

La ecuacion, que formara formara parte de una lınea i del sistema, sera:

Aix− ti = vi con

ti = dBA −DBAo

Aix =(−∆XB

A

DAB

−∆Y BA

DAB

∆XBA

DAB

∆Y BA

DAB

)0

xAyAxByB

(3.3)

Reduccion de distancias

Previamente las distancias, se reducen al plano local horizontal, obte-niendose distancias reducidas: para ello se han empleado los datos de ob-servacion de angulos cenitales y distancias geometricas mediante la formu-la:

Dr = Dg sin V

Posteriormente, esas distancias en el plano horizontal habra que pro-yectarlas sobre el elipsoide de referencia. debido a que las distancias entre


los vertices de la red es inferior en todos los casos a 4000m es suficiente laaproximacion del elipsoide a una esfera de radio el radio medio del elip-soide entre cada pareja de puntos. Estos radios medios se calculan segun laformula3:

R = a√

1− e2

1− e2 sin2 ϕ

En esta formula interviene la latitud ϕ de cada punto que se calcu-lara segun las formulas de transformacion de coordenadas en la proyec-cion UTM a coordenadas geodesicas. Estas formulas estan publicadas porla “Defense Mapping Agency” en el documento oficial de la referencia:[DMA, 1989].

Una vez obtenido el radio medio de los puntos, se calculara el radiomedio entre cada pareja de puntos entre los que se ha medido la distancia.Con estos radios medios y una altura media para la zona de Hm = 670m, seaplicara la siguiente formula (con la aproximacion citada anteriormente)para reducir las distancias al elipsoide De:

De = R

R +Hm

Dr

Finalmente, para pasar las distancias sobre el elipsoide De a distanciasen la proyeccion DUTM se aplicara el coeficiente de deformacion lineal Kmedio entre cada pareja de puntos. Este coeficiente se obtiene tambien delas formulas del documento oficial de la DMA [DMA, 1989]. Se aplicara,por tanto, la siguiente formula:

DUTM = DeK

Los datos de latitud ϕ, longitud λ, radio medio R y coeficiente de defor-macion lineal K obtenidos aplicando las formulas de la DMA se resumenen el cuadro 3.3.

Llegados a este punto, ya se dispone de todos los datos necesarios paratransformar las distancias tomadas en campo en distancias en la proyec-cion. Esto queda resumido en el cuadro 3.4.

3Segun se demuestra en la pagina 118 de la referencia [Mena, 2000]. Donde a y eson los parametros que definen al elipsoide (GRS80 en este caso por el sistema geodesicoadoptado, obtenidos de la referencia [IAG, 1979]) y ϕ es la latitud del punto donde sedesea calcular el radio medio. Los parametros del elipsoide son el semieje mayor y laexcentricidad respectivamente: a = 6378137m y e2 = 0,00669438002290.

Metodologıa 73

Cuadro 3.3: Datos geodesicos de los puntos donde se midio distancia (Elipsoide GRS80).

Punto Latitud (ϕ) Longitud (λ) K RMonolito 40o23′17′′,1866N 3o49′26′′,3981W 0,9996602068 6374669,379mDehesa 40o23′5′′,0088N 3o47′56′′,7555W 0,9996566286 6374666,885mCentro 40o23′19′′,5067N 3o48′24′′,3756W 0,9996577143 6374669,854m

Motorista 40o22′38′′,5980N 3o48′24′′,5406W 0,9996577404 6374661,476mEscuelas 40o23′31′′,4697N 3o46′43′′,2891W 0,9996537613 6374672,304m

Cuadro 3.4: DUT M a partir de los datos.

Estacion Visado Dr = Dg sinV Km Rm

Monolito Centro 1464,737m 0,9996589606 6374669,616mMotorista Dehesa 1045,639m 0,9996571845 6374664,181m

Centro Monolito 1464,753m 0,9996589606 6374669,616mDehesa Motorista 1045,634m 0,9996571845 6374664,181m

Monolito Escuelas 3872,410m 0,9996569841 6374670,841m

Ke = Rm

Rm+HmDUT M = KmKeDr

Monolito Centro 0,9998949076 1464,083mMotorista Dehesa 0,9998949075 1045,170m

Centro Monolito 0,9998949076 1464,099mDehesa Motorista 0,9998949075 1045,166m

Monolito Escuelas 0,9998949076 3870,675m

Reduccion de angulos

Debido a las cortas distancias entre los puntos de la red, la reduccionde los angulos para pasarlos del plano horizontal al elipsoide y posterior-mente al plano de la proyeccion no tiene sentido. Con absoluta seguridad,la correccion a los angulos serıa muy inferior al error teorico en su medida(en el apartado 3.1.1 se dedujo que era alrededor de 11cc).

Para constatar este hecho se procede a la reduccion del angulo de lared cuyos lados son los mas largos. Se trata del angulo formado entre losvertices Punto A: Escuelas (punto de estacion) y Punto B: Monolito, Punto C:Poncio (puntos visados). A continuacion se comparara el angulo formadoentre estos vertices calculado a partir de orientaciones con el calculado apartir de acimutes geodesicos:

Orienaciones:

Se obtienen a partir de las coordenadas iniciales de los vertices en elsistema ETRS89:


OBA = arctan ∆XB

A

∆Y BA

= 293,3178g

OCA = arctan ∆XC

A

∆Y CA

= 309,3008g

Consecuentemente el angulo formado sera:

A = OCA −OB

A = 309,3008g − 293,3178g = 15,9830g

Acimutes:

Se determinan, una vez mas, a partir de las formulas establecidas enla referencia oficial [DMA, 1989]:

ABA = 292,7572g

ACA = 308,7401g

Esta vez, el angulo formado sera:

A = ACA − ABA = 308,7401g − 292,7572g = 15,9830g

De esta manera queda demostrado que la diferencia entre ambos angu-los esta por debajo incluso de la apreciacion del aparato topografico em-pleado (1cc). Con lo cual, se corrobora la premisa de no realizar reduccionesde los angulos al plano de la proyeccion puesto que la diferencia quedarıaabsorbida por la imprecision de la instrumentacion empleada.

3.2.4. Planteamiento estocastico: Pesos

La matriz de pesos (segun se demuestra en el apartado A.3.3 del apendi-ce A) es una matriz diagonal cuyos elementos se materializan dividiendola varianza de peso unidad por los errores medios cuadraticos al cuadradode cada observacion. La varianza de peso unidad se supondra igual a 1 pordesconocerla a priori. Al final del calculo se comprobara si esta suposiciones correcta comparandola con el valor del error de una observacion aislada.

Para estimar los errores se toman los siguientes criterios:

Errores de las ecuaciones de angulo:

A pesar de que se ha expuesto que lo mas logico serıa estimarlo delorden de 11cc, empıricamente se observa, una vez ajustada la red, que

Metodologıa 75

un valor mas realista serıa de 7,5cc debido a que con este valor, σ20 se

aproxima mucho mas a 1 y Σxx resulta ser menor. Consecuentementese opta por este segundo valor, por otro lado, tambien coherente dadolas buenas condiciones de visibilidad en que se hicieron las observa-ciones y lo bien definidas y proximas que estan unas senales respectoa otras.

Errores de las ecuaciones de distancia:

Aplicando la formula (3.1), los errores para cada una de las distanciasmedidas resultan:

Cuadro 3.5: emc, s en las distancias.

Estacion Visado emcdMonolito Centro 0,006mMotorista Dehesa 0,006m

Centro Monolito 0,006mDehesa Motorista 0,006m

Monolito Escuelas 0,009m

La matriz de pesos resultante tiene dimensiones m×m donde m = 23.Su expresion matematica queda representada en la formula (3.4).


P=

1777777,78

00

00

00

00

00

01777777

,780

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

01777777

,780

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

01777777

,780

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

01777777

,780

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

01777777

,780

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

00

1777777,78

00

00

00

00

00

00

23926,12

00

00

00

00

00

00

27359,79

00

00

00

00

00

00

23926,09

00

00

00

00

00

00

27359,86

00

00

00

00

00

00

12702,71 (3.4)

Metodologıa 77

3.2.5. Planteamiento de ecuaciones de observacion

Con las observaciones de que se dispone se pueden plantear 18 ecuacio-nes de angulo y 5 de distancia (m = 23). Una vez reducidas las distanciasal plano de la proyeccion, las observaciones reducidas y el correspondientevector de observaciones son los reflejados en el cuadro 3.6.

Cuadro 3.6: Vector de observaciones l.

no Estacion (A) Visado(B) Visado (C ) Tipo Angulo/DUTM

de ecuacion1 Centro Dehesa Motorista Angulo 61,8975g2 Centro Motorista Monolito Angulo 96,6987g3 Centro Monolito Camino Angulo 46,4097g4 Centro Camino Poncio Angulo 38,7826g5 Monolito Camino Poncio Angulo 35,5073g6 Monolito Camino Poncio Angulo 35,5065g7 Monolito Poncio Escuelas Angulo 28,8594g8 Monolito Escuelas Centro Angulo 4,1586g9 Monolito Escuelas Centro Angulo 4,1589g

10 Camino Centro Monolito Angulo 85,0652g11 Escuelas Monolito Poncio Angulo 15,9834g12 Dehesa Motorista Monolito Angulo 68,0669g13 Dehesa Monolito Centro Angulo 27,1004g14 Dehesa Centro Camino Angulo 3,1369g15 Dehesa Camino Poncio Angulo 18,2649g16 Motorista Centro Dehesa Angulo 42,9348g17 Motorista Dehesa Camino Angulo 327,8679g18 Motorista Camino Poncio Angulo 22,4235g19 Monolito Centro Distancia 1464,083m20 Motorista Dehesa Distancia 1045,170m21 Centro Monolito Distancia 1464,099m22 Dehesa Motorista Distancia 1045,166m23 Monolito Escuelas Distancia 3870,675m

La matriz de diseno, la de criterio y el vector de terminos independientesson los expresados como A ,N y t respectivamente. La dimension de A esm× n la de N , n× n y la de t, m× 1. Formulas (3.5).

A=

0,0043

−0,0666

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0462

0,0660

−0,0505

0,0006

0,0000

0,0000

−0,0487

−0,0428

−0,0017

0,0434

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0505

−0,0006

0,0000

0,0000

−0,0323

0,0064

0,0017

−0,0434

0,0306

0,0371

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

−0,0505

0,0144

0,0000

0,0000

−0,0306

−0,0371

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0811

0,0226

0,0000

0,0000

0,0343

0,0085

−0,0570

0,0279

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0227

−0,0364

0,0000

0,0000

0,0343

0,0085

−0,0570

0,0279

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0227

−0,0364

0,0000

0,0000

0,0210

−0,0200

0,0000

0,0000

0,0017

−0,0164

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

−0,0227

0,0364

0,0017

−0,0434

0,0000

0,0271

0,0000

0,0000

−0,0017

0,0164

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0017

−0,0434

0,0000

0,0271

0,0000

0,0000

−0,0017

0,0164

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0306

0,0371

−0,0570

0,0279

0,0265

−0,0650

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0017

−0,0164

0,0000

0,0000

−0,0053

−0,0077

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0035

0,0241

0,0000

0,0000

0,0055

0,0291

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

−0,0526

0,0095

0,0471

−0,0386

0,0000

0,0000

0,0462

0,0660

−0,0055

−0,0291

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

−0,0408

−0,0369

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

−0,0462

−0,0660

0,0000

0,0000

0,0185

0,0238

0,0000

0,0000

0,0277

0,0422

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

−0,0185

−0,0238

0,0000

0,0000

−0,0170

−0,0018

0,0000

0,0000

0,0355

0,0255

−0,0505

0,0006

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0471

−0,0386

0,0034

0,0380

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0246

0,0118

0,0000

0,0000

−0,0471

0,0386

0,0225

−0,0504

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

−0,0246

−0,0118

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

−0,0071

0,0088

0,0317

0,0030

0,9992

0,0396

−0,9992

−0,0396

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,6339

0,7734

−0,6339

−0,7734

0,0000

0,0000

0,9992

0,0396

−0,9992

−0,0396

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,6339

0,7734

−0,6339

−0,7734

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

−0,9945

−0,1048

0,0000

0,0000

0,9945

0,1048

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

;t=

−0,0044

g

0,0006

g

−0,0002

g

−0,0032

g

−0,0020

g

−0,0028

g

0,0018

g

0,0012

g

0,0015

g

−0,0007

g

0,0004

g

−0,0020

g

0,0026

g

−0,0022

g

−0,0003

g

0,0033

g

−0,0041

g

0,0001

g

−0,003

m−

0,029

m0,013

m−

0,033

m−

0,067

m

N=

72211,6

15982,6

−51273

,2−

3880,9

911,1

−4283

,2−

10,6

100,3

−9505

,1−

2536,6

−5055

,6−

3350,6

−7278

,2−

2031,6

15982,6

36334,4

−6144

,5−

9644,8

−861

,3−

7607,3

266,2

−2526

,8−

13465,2−

17152,2

2140,1

15,5

2082,0

581,2

−51273

,2−

6144,5

71217,9

928,5

−9552

,510104

,3−

12515,1−

1957,4

−114

,5449

,4302

,2−

372,5

1935,3

−3007

,8−

3880,9

−9644

,8928

,515382

,4−

2766,1

−5244

,1−

1397,8

2241,8

−611

,82401

,46339

,2−

2048,4

1388,8

−3088

,3911

,1−

861,3

−9552

,5−

2766,1

19500,4

−2091

,10,0

0,0

−591

,83133

,71294

,7−

2589,9

−11561

,85174

,7−

4283,2

−7607

,310104

,3−

5244,1

−2091

,117661

,90,0

0,0

907,2

2669,5

619,7

−1239

,6−

5257,0

−6240

,3−

10,6

266,2

−12515

,1−

1397,8

0,0

0,0

12628,4

1245,3

0,0

0,0

0,0

0,0

−102

,7−

113,8

100,3

−2526

,8−

1957,4

2241,8

0,0

0,0

1245,3

1671,8

0,0

0,0

0,0

0,0

611,8

−1386

,8−

9505,1

−13465

,2−

114,5

−611

,8−

591,8

907,2

0,0

0,0

43423,4

29709,3

−32137

,9−

15766,5

−1074

,1−

773,2

−2536

,6−

17152,2

449,4

2401,4

3133,7

2669,5

0,0

0,0

29709,3

51536,9

−30645

,4−

39376,1

−110

,5−

79,5

−5055

,62140

,1302

,26339

,21294

,7619

,70,0

0,0

−32137

,9−

30645,4

35996,4

21584,1

−399

,8−

37,8

−3350

,615,5

−372

,5−

2048,4

−2589

,9−

1239,6

0,0

0,0

−15766

,5−

39376,1

21584,1

42601,8

495,4

46,8

−7278

,22082

,01935

,31388

,8−

11561,8−

5257,0

−102

,7611

,8−

1074,1

−110

,5−

399,8

495,4

18481,3

789,4

−2031

,6581

,2−

3007,8

−3088

,35174

,7−

6240,3

−113

,8−

1386,8

−773

,2−

79,5

−37,8

46,8

789,4

10167,0

(3.5)

Apartado 4

Resultados

4.1. Resolucion por 4 diferentes metodos

4.1.1. Resolucion empleando matriz de constrenimientos

Matriz de costrenimientos

Debido a que el unico condicionante geometrico de la red es la medi-cion de ciertas distancias, habrıa otros 3 parametros que definen geometri-camente la red que quedarıan por conocer. Se trata de al menos una direc-cion conocida y las coordenadas de un punto. Por carecer de estos datos, apesar de que hay superabundancia de observaciones, el problema geometri-co es irresoluble por tener la matriz A y, consecuentemente N un defectode rango igual a tres. Por lo tanto, para poder obtener la mejor estima-cion insesgada de la solucion, la matriz de constrenimientos E tiene quetener rango igual a 3 y la forma deducida en el punto 2 del apartado 2.6.2(Egeometrico) o la formula general para E (2.45) deducida en apartado 2.6.4(Ealgebraico). Con todo esto la matriz E y la matriz seudoinversa calculadapor este metodo: N+ = (ATPA+ETE)−1−ET (EET )−1(EET )−1E tienen laexpresion de la formula (4.1). Con cualquiera de las dos formas de calcularla matriz E: Egeometrico y Ealgebraico.

79

N+

=

0,00002

−0,00001

0,00000

0,00013

0,00006

0,00009

0,00003

−0,00020

−0,00005

−0,00005

−0,00012

0,00001

0,00005

0,00003

−0,00001

0,00003

0,00000

−0,00018

−0,00010

−0,00014

−0,00004

0,00023

0,00007

0,00010

0,00018

0,00001

−0,00009

−0,00006

0,00000

0,00000

0,00000

0,00031

0,00016

0,00021

0,00008

−0,00047

−0,00012

−0,00012

−0,00028

0,00002

0,00013

0,00006

0,00013

−0,00018

0,00031

−0,00468

−0,00249

−0,00336

−0,00095

0,00727

0,00155

0,00181

0,00404

−0,00025

−0,00214

−0,00081

0,00006

−0,00010

0,00016

−0,00249

−0,00124

−0,00176

−0,00052

0,00388

0,00079

0,00095

0,00210

−0,00012

−0,00110

−0,00046

0,00009

−0,00013

0,00021

−0,00336

−0,00176

−0,00232

−0,00069

0,00518

0,00111

0,00126

0,00288

−0,00020

−0,00150

−0,00056

0,00003

−0,00004

0,00008

−0,00095

−0,00052

−0,00069

−0,00011

0,00146

0,00029

0,00038

0,00080

−0,00004

−0,00046

−0,00016

−0,00020

0,00023

−0,00047

0,00727

0,00387

0,00517

0,00146

−0,01095

−0,00238

−0,00293

−0,00630

0,00027

0,00332

0,00125

−0,00005

0,00007

−0,00012

0,00155

0,00079

0,00111

0,00029

−0,00238

−0,00045

−0,00062

−0,00129

0,00006

0,00068

0,00028

−0,00005

0,00010

−0,00012

0,00180

0,00095

0,00125

0,00038

−0,00293

−0,00062

−0,00057

−0,00152

0,00018

0,00081

0,00025

−0,00012

0,00018

−0,00028

0,00404

0,00210

0,00288

0,00080

−0,00630

−0,00129

−0,00152

−0,00339

0,00020

0,00180

0,00070

0,00001

0,00001

0,00002

−0,00025

−0,00012

−0,00020

−0,00004

0,00028

0,00006

0,00018

0,00021

0,00008

−0,00011

−0,00009

0,00005

−0,00009

0,00013

−0,00214

−0,00110

−0,00150

−0,00046

0,00332

0,00068

0,00081

0,00180

−0,00011

−0,00090

−0,00038

0,00003

−0,00006

0,00006

−0,00081

−0,00046

−0,00056

−0,00016

0,00125

0,00028

0,00025

0,00070

−0,00009

−0,00038

−0,00002

Egeom

etrico= (

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

4471218,713

−431526

,0194471160

,663−

430063,084

4472061,484

−430503

,5324471566

,203−

433912,522

4470765,785

−432173

,1634469957

,404

01

01

01

−431510

,6224471947

,291−

431322,648 )

Ealgebraico

= (0,88474

0,27541

0,87680

0,47548

1,00000

0,41525

0,93226

−0,05097

0,82280

0,18691

0,71224

0,27752

0,98438

0,30322

0,81203

−0,77454

0,80655

−0,63633

0,89165

−0,67794

0,84486

−1,00000

0,76924

−0,83568

0,69287

−0,77308

0,88086

−0,75532

0,13537

−0,22643

0,16520

−0,97824

−0,29773

−0,75189

−0,04321

1,00000

0,36813

0,10614

0,78356

−0,23435

−0,23905

−0,33095 )

(4.1)

Resolucion por 4 diferentes metodos 81

Parametros ajustados

El resultado del ajuste MMCC sobre el vector de los parametros incogni-ta es el siguiente:

x1 = N+d =

xCentro

yCentro

xMonolito

yMonolito

xCamino

yCamino

xEscuelas

yEscuelas

xDehesa

yDehesa

xMotorista

yMotorista

xPoncio

yPoncio

=

0,018m−0,006m0,012m0,018m0,015m0,019m−0,056m0,035m0,037m−0,097m−0,004m−0,023m−0,021m0,055m

y los parametros ajustados son por lo tanto:

X1 = x1 +X0 =

0,018m−0,006m0,012m0,018m0,015m0,019m−0,056m0,035m0,037m−0,097m−0,004m−0,023m−0,021m0,055m

+

431526,019m4471218,713m430063,084m4471160,663m430503,532m4472061,484m433912,522m4471566,203m432173,163m4470765,785m431510,622m4469957,404m431322,648m4471947,291m

=

431526,037m4471218,707m430063,096m4471160,681m430503,547m4472061,503m433912,466m4471566,238m432173,200m4470765,688m431510,618m4469957,381m431322,627m4471947,346m

82 Resultados

4.1.2. Resolucion por descomposicion LU de la matriz decriterio N

Determinacion de las matrices B y C

A partir de la herramienta de descomposicion LU del complemento “Ma-trix” de “Excel” de la direccion web [http://digilander.libero.it/foxes], seobtienen las correspondientes matrices L y U de la formula (4.2).

Eliminando las filas de pivotes nulos de la matriz U y las correspondien-tes columnas de la matriz L resultan las matrices B y C. Posteriormente, sehalla la matriz N+ mediante la formula (2.28):

N+ = CT (CCT )−1(BTB)−1B

La expresion de las matrices B, C y N+ queda reflejada en la formula(4.3).

Las diferencias que pudiera haber entre la matriz seudoinversa calcula-da mediante este y el anterior procedimiento, son solamente fruto de lasaproximaciones numericas del metodo de calculo empleado. Puesto que haquedado demostrado teoricamente que la matriz seudoinversa es unica.


L=

1,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,22

133

1,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

−0,

7100

40,

1586

71,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

0−

0,05

374−

0,26

789−

0,01

274

1,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,01

262

−0,

0324

1−

0,25

708−

0,24

294

1,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

−0,

0593

2−

0,20

305

0,23

891

−0,

5583

3−

0,11

571

1,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

−0,

0001

50,

0081

9−

0,36

972−

0,11

600−

0,21

775

0,18

295

1,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

139

−0,

0777

2−

0,04

360

0,12

060

−0,

0054

30,

0701

90,

1121

51,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

0−

0,13

163−

0,34

642−

0,14

891−

0,33

014−

0,19

262−

0,35

180−

0,34

689−

0,08

486

1,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

−0,

0351

3−

0,50

586

0,03

769

−0,

1687

90,

1478

1−

0,21

028

0,18

942

−0,

8742

70,

6938

51,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

0−

0,07

001

0,09

937

−0,

1119

50,

5378

30,

1313

20,

6048

6−

0,18

811−

0,92

201−

0,83

635−

0,33

085

1,00

000

0,00

000

0,00

000

0,00

000

−0,

0464

00,

0230

9−

0,08

450−

0,16

093−

0,22

868−

0,22

072−

0,25

791

0,47

166

−0,

5713

1−

1,02

225−

10,5

8597

1,00

000

0,00

000

0,00

000

−0,

1007

90,

1126

0−

0,11

235

0,15

126

−0,

7209

5−

0,43

601−

0,46

500

1,00

687

−0,

1636

50,

3308

5−

1,00

000

0,12

122

1,00

000

0,00

000

−0,

0281

30,

0314

3−

0,13

576−

0,23

256

0,20

202

−0,

6392

0−

0,04

367−

0,59

738−

0,12

254

0,02

225

10,5

8597

−0,

9879

0−

0,08

164

1,00

000

U=

7221

1,6

1598

2,6−

5127

3,2−

3880,9

911,

1−

4283,2

−10,6

100,

3−

9505,1

−25

36,6

−50

55,6

−33

50,6

−72

78,2

−20

31,6

0,0

3279

7,0

5203,9

−87

85,9−

1063,0−

6659,3

268,

5−

2549,0−

1136

1,4−

1659

0,8

3259,1

757,

136

92,9

1030,8

0,0

0,0

3398

6,1

−43

3,1−

8737,0

8119,7

−12

565,

2−

1481,8

−50

60,8

1280,8

−38

04,6

−28

71,7

−38

18,5

−46

13,8

0,0

0,0

0,0

1281

4,7−

3113,2−

7154,8

−14

86,5

1545,5

−42

30,7

−21

63,0

6892,1

−20

62,2

1938,3

−29

80,1

0,0

0,0

0,0

0,0

1645

2,0−

1903,7

−35

82,5

−89,3

−31

68,9

2431,8

2160,5

−37

62,3

−11

861,

133

23,6

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

9900,8

1811,4

695,

0−

3483,1

−20

81,9

5988,6

−21

85,3

−43

16,8

−63

28,5

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

6696,7

751,

0−

2323,0

1268,5

−12

59,7

−17

27,1

−31

13,9

−29

2,4

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

1089,1

−92,4

−95

2,1

−10

04,1

513,

710

96,5

−65

0,6

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

3343

6,7

2319

9,9

−27

964,

8−

1910

2,7−

5471,9

−40

97,3

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

2467

4,7

−81

63,7

−25

223,

681

63,7

548,

90,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

027,9

−29

5,3

−27,9

295,

30,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

00,

0

(4

.2)

B=

1,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,2213307

1,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

−0,7100417

0,1586691

1,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

−0,0537436

−0,2678864

−0,0127429

1,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0126166

−0,0324109

−0,2570753

−0,2429439

1,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

−0,0593151

−0,2030462

0,2389113

−0,5583267

−0,1157116

1,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

−0,0001463

0,0081878

−0,3697167

−0,1160006

−0,2177545

0,1829526

1,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0013885

−0,0777198

−0,0435994

0,1206036

−0,0054302

0,0701915

0,1121522

1,0000000

0,0000000

0,0000000

0,0000000

−0,1316286

−0,3464165

−0,1489082

−0,3301420

−0,1926159

−0,3518035

−0,3468878

−0,0848622

1,0000000

0,0000000

0,0000000

−0,0351268

−0,5058629

0,0376853

−0,1687941

0,1478088

−0,2102787

0,1894233

−0,8742724

0,6938464

1,0000000

0,0000000

−0,0700103

0,0993715

−0,1119459

0,5378308

0,1313185

0,6048585

−0,1881142

−0,9220053

−0,8363498

−0,3308527

1,0000000

−0,0463998

0,0230851

−0,0844976

−0,1609277

−0,2286846

−0,2207175

−0,2579052

0,4716569

−0,5713081

−1,0222453

−10,5859693

−0,1007897

0,1125990

−0,1123539

0,1512557

−0,7209481

−0,4360076

−0,4649980

1,0068674

−0,1636502

0,3308527

−1,0000000

−0,0281338

0,0314302

−0,1357568

−0,2325550

0,2020176

−0,6391953

−0,0436703

−0,5973845

−0,1225383

0,0222453

10,5859693

C=

72211,6

15982,6−

51273,2−

3880,9

911,1

−4283

,2−

10,6

100,3

−9505

,1−

2536,6

−5055

,6−

3350,6

−7278

,2−

2031,6

0,0

32797,0

5203,9

−8785

,9−

1063,0−

6659,3

268,5

−2549

,0−

11361,4−

16590,8

3259,1

757,1

3692,9

1030,8

0,0

0,0

33986,1

−433

,1−

8737,0

8119,7

−12565

,2−

1481,8

−5060

,81280

,8−

3804,6

−2871

,7−

3818,5

−4613

,80,0

0,0

0,0

12814,7

−3113

,2−

7154,8

−1486

,51545

,5−

4230,7

−2163

,06892

,1−

2062,2

1938,3

−2980

,10,0

0,0

0,0

0,0

16452,0

−1903

,7−

3582,5

−89,3

−3168

,92431

,82160

,5−

3762,3

−11861

,13323

,60,0

0,0

0,0

0,0

0,0

9900,8

1811,4

695,0

−3483

,1−

2081,9

5988,6

−2185

,3−

4316,8

−6328

,50,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

6696,7

751,0

−2323

,01268

,5−

1259,7

−1727

,1−

3113,9

−292

,40,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

1089,1

−92,4

−952

,1−

1004,1

513,7

1096,5

−650

,60,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

33436,7

23199,9

−27964

,8−

19102,7

−5471

,9−

4097,3

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

24674,7

−8163

,7−

25223,6

8163,7

548,9

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

27,9

−295

,3−

27,9

295,3

N+

=

0,00002

−0,00001

0,00001

0,00000

−0,00001

0,00000

0,00000

0,00000

−0,00001

0,00000

−0,00001

0,00000

−0,00001

0,00001

−0,00001

0,00004

−0,00001

0,00000

−0,00001

−0,00001

0,00000

−0,00004

0,00001

0,00003

0,00003

0,00001

−0,00001

−0,00003

0,00001

−0,00001

0,00002

0,00000

0,00000

−0,00001

0,00001

0,00001

−0,00001

0,00000

−0,00002

0,00000

−0,00001

0,00001

0,00000

0,00000

0,00000

0,00004

0,00000

−0,00001

0,00000

0,00003

0,00001

−0,00003

−0,00001

−0,00002

−0,00001

0,00000

−0,00001

−0,00001

0,00000

0,00000

0,00007

0,00000

−0,00002

0,00006

−0,00002

−0,00002

−0,00004

0,00000

0,00003

−0,00004

0,00000

−0,00001

−0,00001

−0,00001

0,00000

0,00006

−0,00002

0,00003

0,00001

−0,00005

0,00000

−0,00004

0,00002

0,00002

0,00000

0,00000

0,00001

0,00000

−0,00002

−0,00002

0,00008

0,00000

−0,00002

0,00001

−0,00002

0,00001

−0,00003

0,00001

0,00000

−0,00004

0,00001

0,00003

0,00006

0,00003

0,00000

0,00015

−0,00002

−0,00012

−0,00009

−0,00007

0,00005

0,00001

−0,00001

0,00001

−0,00001

0,00001

−0,00002

0,00001

−0,00002

−0,00002

0,00005

−0,00002

0,00003

−0,00002

−0,00002

0,00002

0,00000

0,00003

0,00000

−0,00003

−0,00002

−0,00005

0,00001

−0,00012

−0,00002

0,00014

0,00005

0,00009

−0,00002

−0,00006

−0,00001

0,00003

−0,00002

−0,00001

−0,00004

0,00000

−0,00002

−0,00009

0,00003

0,00005

0,00008

0,00001

−0,00003

0,00000

0,00000

0,00001

0,00000

−0,00002

0,00000

−0,00004

0,00001

−0,00007

−0,00002

0,00009

0,00001

0,00009

−0,00001

−0,00006

−0,00001

−0,00001

−0,00001

−0,00001

0,00003

0,00002

−0,00003

0,00005

−0,00002

−0,00002

−0,00003

−0,00001

0,00007

−0,00001

0,00001

−0,00003

0,00001

0,00000

−0,00004

0,00002

0,00001

0,00001

0,00002

−0,00006

0,00000

−0,00006

−0,00001

0,00012

(4.3)



Debido a la unicidad de la matriz seudoinversa el resultado del ajusteMMCC sobre el vector de los parametros incognita es el mismo que en elcaso del calculo mediante matriz de constrenimientos:

x2 = N+d =

xCentro

yCentro

xMonolito

yMonolito

xCamino

yCamino

xEscuelas

yEscuelas

xDehesa

yDehesa

xMotorista

yMotorista

xPoncio

yPoncio

=

0,018m−0,006m0,012m0,018m0,015m0,019m−0,056m0,035m0,037m−0,097m−0,004m−0,023m−0,021m0,055m

y los parametros ajustados son por lo tanto:

X2 = x2 +X0 =

0,018m−0,006m0,012m0,018m0,015m0,019m−0,056m0,035m0,037m−0,097m−0,004m−0,023m−0,021m0,055m

+

431526,019m4471218,713m430063,084m4471160,663m430503,532m4472061,484m433912,522m4471566,203m432173,163m4470765,785m431510,622m4469957,404m431322,648m4471947,291m

=

431526,037m4471218,707m430063,096m4471160,681m430503,547m4472061,503m433912,466m4471566,238m432173,200m4470765,688m431510,618m4469957,381m431322,627m4471947,346m

86 Resultados

4.1.3. Resolucion por descomposicion de Cholesky de lamatriz de criterio N

Determinacion de la matriz L

Como en el caso anterior, se emplea la herramienta de descomposicionde Cholesky del complemento “Matrix” de “Excel” de la direccion web dela referencia [http://digilander.libero.it/foxes], obteniendose la matriz L.

Eliminando las columnas nulas (tantas como el defecto de rango de lamatriz N) de la matriz L resulta la matriz L′. Posteriormente, se halla lamatriz N+ mediante la formula (2.32):

N+ = L′(L′TL′)−1(L′TL′)−1L′T

La expresion de las matrices L, L′ y N+ esta expuesta en la formula(4.4).

Las diferencias que pudiera haber entre la matriz seudoinversa calcu-lada mediante este procedimiento y los anteriores son, como se dijo ante-riormente, fruto de las aproximaciones numericas del metodo de calculoempleado.


L=

268,

7222

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

0059,4

765

181,

0994

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

−19

0,80

3928,7

349

184,

3531

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

00−

14,4

421−

48,5

141−

2,34

9211

3,20

190,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

003,

3904

−5,

8696

−47,3

926−

27,5

017

128,

2655

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

00−

15,9

393−

36,7

716

44,0

440

−63,2

036−

14,8

418

99,5

027

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

−0,

0393

1,48

28−

68,1

584−

13,1

315−

27,9

304

18,2

043

81,8

331

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

3731

−14,0

750−

8,03

7713,6

525

−0,

6965

6,98

429,

1778

33,0

008

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

−35,3

715−

62,7

358−

27,4

517−

37,3

727−

24,7

060−

35,0

054−

28,3

869−

2,80

0518

2,85

710,

0000

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

−9,

4394

−91,6

115

6,94

74−

19,1

078

18,9

588

−20,9

233

15,5

011

−28,8

517

126,

8747

157,

0817

0,00

000,

0000

0,00

000,

0000

−18,8

133

17,9

961

−20,6

376

60,8

834

16,8

436

60,1

851

−15,3

940−

30,4

269−

152,

9325

−51,9

709

5,28

140,

0000

0,00

000,

0000

−12,4

687

4,18

07−

15,5

774−

18,2

173−

29,3

323−

21,9

620−

21,1

052

15,5

650

−10

4,46

77−

160,

5760

−55,9

084

0,00

000,

0000

0,00

00−

27,0

844

20,3

916

−20,7

128

17,1

224

−92,4

728−

43,3

839−

38,0

522

33,2

274

−29,9

246

51,9

709

−5,

2814

0,00

000,

0000

0,00

00−

7,56

025,

6920

−25,0

272−

26,3

257

25,9

119

−63,6

017−

3,57

37−

19,7

141−

22,4

070

3,49

4355,9

084

0,00

000,

0000

0,00

00

L′

=

268,

7221

500,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

0059,4

7645

318

1,09

9421

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

−19

0,80

3922

28,7

3487

818

4,35

3082

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

−14,4

4209

3−

48,5

1406

6−

2,34

9185

113,

2018

550,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

003,

3903

66−

5,86

9592

−47,3

9262

0−

27,5

0169

812

8,26

5526

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

0,00

0000

−15,9

3928

1−

36,7

7155

244,0

4403

8−

63,2

0361

9−

14,8

4181

299,5

0271

90,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

00−

0,03

9308

1,48

2810

−68,1

5841

4−

13,1

3148

0−

27,9

3039

718,2

0428

381,8

3307

70,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

0000

000,

3731

15−

14,0

7501

9−

8,03

7679

13,6

5254

6−

0,69

6509

6,98

4247

9,17

7763

33,0

0076

80,

0000

000,

0000

000,

0000

00−

35,3

7152

8−

62,7

3582

7−

27,4

5169

2−

37,3

7269

2−

24,7

0597

9−

35,0

0540

8−

28,3

8689

7−

2,80

0516

182,

8570

960,

0000

000,

0000

00−

9,43

9353

−91,6

1147

16,

9474

09−

19,1

0780

118,9

5877

5−

20,9

2330

615,5

0109

0−

28,8

5166

112

6,87

4737

157,

0817

190,

0000

00−

18,8

1333

117,9

9611

6−

20,6

3757

260,8

8344

416,8

4363

460,1

8506

8−

15,3

9396

3−

30,4

2688

1−

152,

9325

04−

51,9

7091

05,

2813

66−

12,4

6865

24,

1806

92−

15,5

7739

0−

18,2

1731

9−

29,3

3234

9−

21,9

6198

7−

21,1

0518

015,5

6504

1−

104,

4677

48−

160,

5760

42−

55,9

0837

8−

27,0

8442

620,3

9161

6−

20,7

1278

417,1

2242

6−

92,4

7278

4−

43,3

8394

3−

38,0

5221

633,2

2739

8−

29,9

2459

251,9

7091

0−

5,28

1366

−7,

5601

885,

6919

96−

25,0

2719

3−

26,3

2566

325,9

1189

5−

63,6

0167

3−

3,57

3673

−19,7

1414

7−

22,4

0698

93,

4943

2355,9

0837

8

N+

=

0,00

002

−0,

0000

10,

0000

10,

0000

0−

0,00

001

0,00

000

0,00

000

0,00

000

−0,

0000

10,

0000

0−

0,00

001

0,00

000

−0,

0000

10,

0000

1−

0,00

001

0,00

004

−0,

0000

10,

0000

0−

0,00

001−

0,00

001

0,00

000

−0,

0000

40,

0000

10,

0000

30,

0000

30,

0000

1−

0,00

001−

0,00

003

0,00

001

−0,

0000

10,

0000

20,

0000

00,

0000

0−

0,00

001

0,00

001

0,00

001

−0,

0000

10,

0000

0−

0,00

002

0,00

000

−0,

0000

10,

0000

10,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

40,

0000

0−

0,00

001

0,00

000

0,00

003

0,00

001

−0,

0000

3−

0,00

001−

0,00

002−

0,00

001

0,00

000

−0,

0000

1−

0,00

001

0,00

000

0,00

000

0,00

007

0,00

000

−0,

0000

20,

0000

6−

0,00

002−

0,00

002−

0,00

004

0,00

000

0,00

003

−0,

0000

40,

0000

0−

0,00

001−

0,00

001−

0,00

001

0,00

000

0,00

006

−0,

0000

20,

0000

30,

0000

1−

0,00

005

0,00

000

−0,

0000

40,

0000

20,

0000

20,

0000

00,

0000

00,

0000

10,

0000

0−

0,00

002−

0,00

002

0,00

008

0,00

000

−0,

0000

20,

0000

1−

0,00

002

0,00

001

−0,

0000

30,

0000

10,

0000

0−

0,00

004

0,00

001

0,00

003

0,00

006

0,00

003

0,00

000

0,00

015

−0,

0000

2−

0,00

012−

0,00

009−

0,00

007

0,00

005

0,00

001

−0,

0000

10,

0000

1−

0,00

001

0,00

001

−0,

0000

20,

0000

1−

0,00

002−

0,00

002

0,00

005

−0,

0000

20,

0000

3−

0,00

002−

0,00

002

0,00

002

0,00

000

0,00

003

0,00

000

−0,

0000

3−

0,00

002−

0,00

005

0,00

001

−0,

0001

2−

0,00

002

0,00

014

0,00

005

0,00

009

−0,

0000

2−

0,00

006

−0,

0000

10,

0000

3−

0,00

002−

0,00

001−

0,00

004

0,00

000

−0,

0000

2−

0,00

009

0,00

003

0,00

005

0,00

008

0,00

001

−0,

0000

30,

0000

00,

0000

00,

0000

10,

0000

0−

0,00

002

0,00

000

−0,

0000

40,

0000

1−

0,00

007−

0,00

002

0,00

009

0,00

001

0,00

009

−0,

0000

1−

0,00

006

−0,

0000

1−

0,00

001−

0,00

001−

0,00

001

0,00

003

0,00

002

−0,

0000

30,

0000

5−

0,00

002−

0,00

002−

0,00

003−

0,00

001

0,00

007

−0,

0000

10,

0000

1−

0,00

003

0,00

001

0,00

000

−0,

0000

40,

0000

20,

0000

10,

0000

10,

0000

2−

0,00

006

0,00

000

−0,

0000

6−

0,00

001

0,00

012

(4

.4)

88 Resultados


Debido a la unicidad de la matriz seudoinversa el resultado del ajusteMMCC sobre el vector de los parametros incognita es el mismo que en loscasos anteriores:

x3 = N+d =

xCentro

yCentro

xMonolito

yMonolito

xCamino

yCamino

xEscuelas

yEscuelas

xDehesa

yDehesa

xMotorista

yMotorista

xPoncio

yPoncio

=

0,018m−0,006m0,012m0,018m0,015m0,019m−0,056m0,035m0,037m−0,097m−0,004m−0,023m−0,021m0,055m

y los parametros ajustados son:

X3 = x3 +X0 =

0,018m−0,006m0,012m0,018m0,015m0,019m−0,056m0,035m0,037m−0,097m−0,004m−0,023m−0,021m0,055m

+

431526,019m4471218,713m430063,084m4471160,663m430503,532m4472061,484m433912,522m4471566,203m432173,163m4470765,785m431510,622m4469957,404m431322,648m4471947,291m

=

431526,037m4471218,707m430063,096m4471160,681m430503,547m4472061,503m433912,466m4471566,238m432173,200m4470765,688m431510,618m4469957,381m431322,627m4471947,346m


4.1.4. Resolucion por descomposicion en valores singula-res (DVS) de la matriz de criterio N

Determinacion de las matrices U y D

A partir de la herramienta de descomposicion SVD del complemento“Matrix” de “Excel” de la direccion web [http://digilander.libero.it/foxes],se obtienen las correspondientes matrices U y D.

Aplicando la formula (2.34) se obtiene la matriz D−. Posteriormente, sehalla la matriz N+ mediante (2.35):

N+ = UD−UT

La expresion de las matrices U , D, D− y N+ esta expuesta en las formu-las (4.5) y (4.6).

Las diferencias que pudiera haber entre la matriz seudoinversa calcula-da mediante este procedimiento y los anteriores son, una vez mas, fruto delas aproximaciones numericas del metodo de calculo empleado.


U=

−0,3990

0,5638

−0,1887

0,1439

0,1467

0,4403

−0,2572

0,1211

−0,1612

0,0343

0,0218

0,2500

−0,2635

−0,1047

−0,2417

0,0428

−0,7094

−0,1759

−0,0047

−0,3078

0,0911

−0,3256

0,1630

−0,0019

−0,1639

0,1259

0,2285

−0,2738

0,3654

−0,5715

−0,4008

0,1443

0,1755

0,2043

−0,2486

0,0373

−0,2800

−0,0277

0,0107

0,2610

−0,2577

−0,0939

0,0289

−0,0343

0,2362

0,1851

−0,3999

0,1441

−0,3652

−0,5010

−0,0576

0,0459

0,1092

−0,1516

0,0818

−0,5439

−0,0209

0,0765

0,1711

0,2575

0,3350

−0,5749

−0,1677

0,0320

0,1863

−0,4126

0,1559

0,0902

−0,3480

−0,2602

0,0759

−0,0645

0,0342

0,2106

0,3975

0,3501

0,5255

0,0652

0,3066

0,1372

0,1904

−0,0681

0,1260

−0,4626

−0,0379

0,0636

0,1439

−0,0934

−0,0897

−0,1576

0,5698

−0,2162

−0,6388

0,0108

−0,0334

0,1841

−0,2983

−0,1688

−0,0007

0,0082

0,0739

0,0111

−0,0556

0,0394

0,0264

−0,0979

−0,0594

−0,2639

0,5701

0,5785

0,4678

0,1667

0,4092

0,2200

0,1734

−0,5226

0,2055

0,0212

−0,1269

−0,2891

0,2743

0,3196

−0,0195

0,3359

−0,2181

−0,0211

0,4912

0,3332

0,0216

0,2700

−0,1461

−0,0098

0,0483

0,2008

−0,0323

−0,2097

−0,5417

0,2486

0,2934

−0,1544

−0,3377

−0,2967

0,2072

0,3676

−0,1865

−0,0514

0,0839

−0,0732

0,3141

0,3288

−0,2978

0,4892

−0,1370

0,1282

−0,3422

−0,2962

0,3206

−0,4490

0,2495

0,1459

−0,1473

0,1442

−0,1061

−0,2875

−0,3574

0,1230

0,2269

−0,2767

0,0209

−0,0558

−0,1063

−0,2973

−0,5865

0,1182

0,1468

0,3881

0,3054

−0,2532

0,1621

0,1118

−0,3365

−0,2392

−0,0114

0,0107

0,0229

−0,0519

−0,0406

−0,3618

−0,1788

0,5144

−0,2142

0,5798

0,1933

0,0873

0,2081

−0,3114

D=

136037,340

00

00

00

00

00

00

00

126145,0438

00

00

00

00

00

00

00

44584,474

00

00

00

00

00

00

00

34705,418

00

00

00

00

00

00

00

30961,239

00

00

00

00

00

00

00

30184,494

00

00

00

00

00

00

00

19098,930

00

00

00

00

00

00

00

12971,917

00

00

00

00

00

00

00

7072,464

00

00

00

00

00

00

00

4628,702

00

00

00

00

00

00

00

2425,582

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

0 (4.5)

D−

=

7,35E−

060

00

00

00

00

00

00

07,

93E−

060

00

00

00

00

00

00

02,

24E−

050

00

00

00

00

00

00

02,

88E−

050

00

00

00

00

00

00

03,

23E−

050

00

00

00

00

00

00

03,

31E−

050

00

00

00

00

00

00

05,

24E−

050

00

00

00

00

00

00

07,

71E−

050

00

00

00

00

00

00

01,

41E−

040

00

00

00

00

00

00

02,

16E−

040

00

00

00

00

00

00

04,

12E−

040

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

N+

=

0,00

002

−0,

0000

10,

0000

10,

0000

0−

0,00

001

0,00

000

0,00

000

0,00

000

−0,

0000

10,

0000

0−

0,00

001

0,00

000

−0,

0000

10,

0000

1−

0,00

001

0,00

004

−0,

0000

10,

0000

0−

0,00

001−

0,00

001

0,00

000

−0,

0000

40,

0000

10,

0000

30,

0000

30,

0000

1−

0,00

001−

0,00

003

0,00

001

−0,

0000

10,

0000

20,

0000

00,

0000

0−

0,00

001

0,00

001

0,00

001

−0,

0000

10,

0000

0−

0,00

002

0,00

000

−0,

0000

10,

0000

10,

0000

00,

0000

00,

0000

00,

0000

40,

0000

0−

0,00

001

0,00

000

0,00

003

0,00

001

−0,

0000

3−

0,00

001−

0,00

002−

0,00

001

0,00

000

−0,

0000

1−

0,00

001

0,00

000

0,00

000

0,00

007

0,00

000

−0,

0000

20,

0000

6−

0,00

002−

0,00

002−

0,00

004

0,00

000

0,00

003

−0,

0000

40,

0000

0−

0,00

001−

0,00

001−

0,00

001

0,00

000

0,00

006

−0,

0000

20,

0000

30,

0000

1−

0,00

005

0,00

000

−0,

0000

40,

0000

20,

0000

20,

0000

00,

0000

00,

0000

10,

0000

0−

0,00

002−

0,00

002

0,00

008

0,00

000

−0,

0000

20,

0000

1−

0,00

002

0,00

001

−0,

0000

30,

0000

10,

0000

0−

0,00

004

0,00

001

0,00

003

0,00

006

0,00

003

0,00

000

0,00

015

−0,

0000

2−

0,00

012−

0,00

009−

0,00

007

0,00

005

0,00

001

−0,

0000

10,

0000

1−

0,00

001

0,00

001

−0,

0000

20,

0000

1−

0,00

002−

0,00

002

0,00

005

−0,

0000

20,

0000

3−

0,00

002−

0,00

002

0,00

002

0,00

000

0,00

003

0,00

000

−0,

0000

3−

0,00

002−

0,00

005

0,00

001

−0,

0001

2−

0,00

002

0,00

014

0,00

005

0,00

009

−0,

0000

2−

0,00

006

−0,

0000

10,

0000

3−

0,00

002−

0,00

001−

0,00

004

0,00

000

−0,

0000

2−

0,00

009

0,00

003

0,00

005

0,00

008

0,00

001

−0,

0000

30,

0000

00,

0000

00,

0000

10,

0000

0−

0,00

002

0,00

000

−0,

0000

40,

0000

1−

0,00

007−

0,00

002

0,00

009

0,00

001

0,00

009

−0,

0000

1−

0,00

006

−0,

0000

1−

0,00

001−

0,00

001−

0,00

001

0,00

003

0,00

002

−0,

0000

30,

0000

5−

0,00

002−

0,00

002−

0,00

003−

0,00

001

0,00

007

−0,

0000

10,

0000

1−

0,00

003

0,00

001

0,00

000

−0,

0000

40,

0000

20,

0000

10,

0000

10,

0000

2−

0,00

006

0,00

000

−0,

0000

6−

0,00

001

0,00

012

(4

.6)

92 Resultados


Debido a la unicidad de la matriz seudoinversa el resultado del ajusteMMCC sobre el vector de los parametros incognita es el mismo que en loscasos anteriores:

x4 = N+d =

xCentro

yCentro

xMonolito

yMonolito

xCamino

yCamino

xEscuelas

yEscuelas

xDehesa

yDehesa

xMotorista

yMotorista

xPoncio

yPoncio

=

0,018m−0,006m0,012m0,018m0,015m0,019m−0,056m0,035m0,037m−0,097m−0,004m−0,023m−0,021m0,055m

y los parametros ajustados son:

X4 = x4 +X0 =

0,018m−0,006m0,012m0,018m0,015m0,019m−0,056m0,035m0,037m−0,097m−0,004m−0,023m−0,021m0,055m

+

431526,019m4471218,713m430063,084m4471160,663m430503,532m4472061,484m433912,522m4471566,203m432173,163m4470765,785m431510,622m4469957,404m431322,648m4471947,291m

=

431526,037m4471218,707m430063,096m4471160,681m430503,547m4472061,503m433912,466m4471566,238m432173,200m4470765,688m431510,618m4469957,381m431322,627m4471947,346m

4.2. Analisis estocastico inicial a posteriori

El vector de residuos v resulta ser el siguiente:

Error de los parametros ajustados a posteriori 93

vT =(

0,0004g −0,0007g 0,0000g 0,0005g −0,0003g 0,0005g

−0,0001g 0,0002g −0,0001g 0,0000g 0,0006g 0,0004g

−0,0007g −0,0006g −0,0003g 0,0004g 0,0002g −0,0013g

0,009m −0,003m −0,008m 0,001m 0,000m)

Aplicando la formula (2.48):

σ0 =

√√√√ vTPv

m−R(A) =√

11,7610790123− 11 = 0,9899949078

Este valor es un indicador mas de que el ajuste parece ser correcto, y deque el planteamiento estocastico tambien lo es: el error en una medicionaislada a posteriori, es muy proximo al planteado inicialmente que es 1.

Ademas, los grados de libertad; 12, indican que la observacion cons-tituye una muestra bastante aceptable de observaciones para el analisisrealizado.

4.3. Error de los parametros ajustados a poste-riori

Se muestra la matriz de varianzas-covarianzas de parametros ajustados,procedente del calculo segun:

Σxx = σ20N−1

94 Resultados

Σx

x=

2,05025

E−

05−

1,05929

E−

051,22023

E−

052,5614

E−

06−

9,20654

E−

06−

3,45267

E−

061,2964

E−

06−

1,05929

E−

053,84256

E−

05−

6,46724

E−

06−

3,98033

E−

06−

5,71632

E−

06−

1,01768

E−

05−

4,34852

E−

061,22023

E−

05−

6,46724

E−

062,43036

E−

053,32335

E−

06−

4,70565

E−

06−

1,2824

E−

051,31301

E−

052,5614

E−

06−

3,98033

E−

063,32335

E−

063,9481

E−

05−

1,40534

E−

06−

7,11192

E−

061,87158

E−

06−

9,20654

E−

06−

5,71632

E−

06−

4,70565

E−

06−

1,40534

E−

066,90443

E−

052,85017

E−

06−

2,30671

E−

05−

3,45267

E−

06−

1,01768

E−

05−

1,2824

E−

05−

7,11192

E−

062,85017

E−

065,64849

E−

05−

1,85156

E−

051,2964

E−

06−

4,34852

E−

061,31301

E−

051,87158

E−

06−

2,30671

E−

05−

1,85156

E−

057,90303

E−

053,27125

E−

06−

3,80537

E−

055,02532

E−

062,76097

E−

055,60093

E−

053,37637

E−

05−

4,94799

E−

07−

6,7462

E−

061,28872

E−

05−

1,4076

E−

059,07137

E−

06−

2,29636

E−

051,45571

E−

05−

2,10482

E−

05−

4,13644

E−

062,82198

E−

05−

7,05245

E−

08−

3,08504

E−

05−

1,5774

E−

05−

4,70743

E−

057,66856

E−

06−

1,03251

E−

052,48538

E−

05−

1,79666

E−

05−

6,12919

E−

06−

3,79673

E−

051,26574

E−

06−

1,89696

E−

051,7617

E−

071,33837

E−

054,65533

E−

06−

2,35646

E−

05−

7,84199

E−

07−

4,12829

E−

057,58513

E−

06−

7,72336

E−

06−

1,0616

E−

05−

1,28877

E−

05−

9,29317

E−

062,88659

E−

051,61192

E−

05−

3,03719

E−

051,21732

E−

05−

2,78183

E−

056,35777

E−

06−

1,58337

E−

06−

3,51795

E−

051,53974

E−

056,23363

E−

06

3,27125

E−

06−

6,7462

E−

06−

4,13644

E−

06−

1,03251

E−

051,7617

E−

07−

7,72336

E−

061,21732

E−

05−

3,80537

E−

051,28872

E−

052,82198

E−

052,48538

E−

051,33837

E−

05−

1,0616

E−

05−

2,78183

E−

055,02532

E−

06−

1,4076

E−

05−

7,05245

E−

08−

1,79666

E−

054,65533

E−

06−

1,28877

E−

056,35777

E−

062,76097

E−

059,07137

E−

06−

3,08504

E−

05−

6,12919

E−

06−

2,35646

E−

05−

9,29317

E−

06−

1,58337

E−

065,60093

E−

05−

2,29636

E−

05−

1,5774

E−

05−

3,79673

E−

05−

7,84199

E−

072,88659

E−

05−

3,51795

E−

053,37637

E−

051,45571

E−

05−

4,70743

E−

051,26574

E−

06−

4,12829

E−

051,61192

E−

051,53974

E−

05−

4,94799

E−

07−

2,10482

E−

057,66856

E−

06−

1,89696

E−

057,58513

E−

06−

3,03719

E−

056,23363

E−

060,000147594

−2,2834

E−

05−

0,000113854

−8,82005

E−

05−

6,65437

E−

054,72235

E−

059,48366

E−

06−

2,2834

E−

055,06545

E−

05−

1,86971

E−

053,01978

E−

05−

1,481

E−

05−

1,60184

E−

051,98254

E−

05−

0,000113854

−1,86971

E−

050,000136556

5,0093

E−

058,68395

E−

05−

1,90834

E−

05−

5,98374

E−

05−

8,82005

E−

053,01978

E−

055,0093

E−

058,0614

E−

051,35288

E−

05−

2,55833

E−

054,58839

E−

06−

6,65437

E−

05−

1,481

E−

058,68395

E−

051,35288

E−

058,54888

E−

05−

1,03512

E−

05−

5,43208

E−

054,72235

E−

05−

1,60184

E−

05−

1,90834

E−

05−

2,55833

E−

05−

1,03512

E−

056,37188

E−

05−

1,39988

E−

059,48366

E−

061,98254

E−

05−

5,98374

E−

054,58839

E−

06−

5,43208

E−

05−

1,39988

E−

050,000118679

Elipses absolutas de error 95

4.4. Elipses absolutas de error

De la matriz de varianzas-covarianzas de los parametros ajustados, seobtienen las submatrices correspondientes a las coordenadas de los respec-tivos vertices. A continuacion se exponen los resultados.

La representacion grafica de las elipses absolutas de error se muestra enla figura 4.1.

CentroAutovalores 0,000043345 0,000015590

a bSemiejes 0,007m 0,004m

va vbAutovectores 0,420776189 0,907164483

−0,907164483 0,420776189Oa Ob

Orientacion 172,3516g 72,3516g

MonolitoAutovalores 0,000040180 0,000023610



0,978773623 −0,204944370Oa Ob


CaminoAutovalores 0,000069663 0,000055873



0,211383798 −0,977403136Oa Ob


96 Resultados

EscuelasAutovalores 0,000147618 0,000079031



−0,999973970 0,007215247Oa Ob


DehesaAutovalores 0,000140471 0,000046764



−0,979012581 0,203799817Oa Ob


MotoristaAutovalores 0,000096806 0,000069312



0,767407423 −0,641159767Oa Ob


PoncioAutovalores 0,000122049 0,000060369



−0,972385847 0,233379015Oa Ob


Elipses absolutas de error 97

Mo

no

lito

Pon

cio

Deh

esa

Cen

tro

Cam

ino

Tran

smis

ion

es

Mo

tori

sta

Escu

elas

44

70

00

0.0

00

44

70

50

0.0

00

44

71

00

0.0

00

44

71

50

0.0

00

44

72

00

0.0

00

44

72

50

0.0

00

42

95

00

.00

0

43

00

00

.00

0

43

05

00

.00

0

43

10

00

.00

0

43

15

00

.00

0

43

20

00

.00

0

43

25

00

.00

0

43

30

00

.00

0

43

35

00

.00

0

43

40

00

.00

0

43

45

00

.00

0

10

cen

tím

etro

s

Figu

ra4.

1:C

roqu

isde

las

elip

ses

abso

luta

sde

erro

r.

98 Resultados

Como puede observarse en el croquis, el error es mınimo en el cen-tro de la red y mayor (aunque muy pequeno) en los extremos. Esta es unaconsecuencia logica y evidente. En el centro, al haber mayor numero de ob-servaciones y por materializarse estas en todas direcciones, esta mejor con-trolado. Sin embargo, los extremos son geometricamente mas “inestables”al recibir observaciones de una sola zona de la red en lugar de recibirlaspor todas las direcciones.

Asimismo, no se observa ningun tipo de desviacion sistematica de loserrores en una determinada direccion. Lo cual pone de manifiesto, una vezmas, la coherencia entre las observaciones y las coordenadas de los verticesde la red.

4.5. Comparacion con las coordenadas origina-les

La diferencia de las coordenadas ajustadas con las originales es precisa-mente x:

x = N+d = X −X0 =

xCentro

yCentro

xMonolito

yMonolito

xCamino

yCamino

xEscuelas

yEscuelas

xDehesa

yDehesa

xMotorista

yMotorista

xPoncio

yPoncio

=

0,018m−0,006m0,012m0,018m0,015m0,019m−0,056m0,035m0,037m−0,097m−0,004m−0,023m−0,021m0,055m

Como puede observarse la mayorıa de los valores estan por debajo de

los 5cm, lo cual indica una precision muy elevada teniendo en cuenta loserrores accidentales inherentes a la instrumentacion y los errores tambienaccidentales aunque no estimables debidos al estacionamiento. Estos ulti-mos, como ya se comento, estan principalmente causados por la carenciade sistema de centrado forzado. Solamente hay una coordenada (la y delvertice Dehesa) cuya discrepancia roza los 10cm. Este valor, aunque muy

Transformacion entre sistemas de coordenadas 99

por encima de los otros, sigue siendo coherente con la precision de losmetodos empleados.

4.6. Transformacion entre sistemas de coorde-nadas

Como ya se demostro en el apartado 2.6, la resolucion de una red me-diante el procedimiento de red libre, define indirectamente un sistema decoordenadas optimo a partir de las coordenadas ajustadas de los puntosque constituirıan el marco de dicho sistema de referencia. En teorıa, si laprecision de la instrumentacion es superior a la empleada para la determi-nacion de los puntos originalmente y si no hay errores groseros, el sistemade coordenadas calculado se ajusta mas a la realidad que el inicial. No sesabe si este es el caso de la red del presente estudio puesto que se descono-ce la precision con que se calcularon las coordenadas originales, pero, noobstante, se puede calcular la relacion entre ambos sistemas de referenciamediante la formula (2.36). Se trata de la denominada transformacion de7 parametros, valida para transformaciones diferenciales entre sistemas decoordenadas, por lo tanto, mas que suficiente para el presente estudio.

Previamente, las coordenadas de ambos sistemas (referidas al elipsoideGRS801) habrıa que transformarlas a un sistema de referencia tridimensio-nal mediante 2 pasos:

1. Paso de coordenadas UTM a coordenadas geodesicas.

Una vez mas mediante el empleo de las formulas proporcionadas porla referencia [DMA, 1989] se obtienen las coordenadas geodesicasdel siguiente cuadro:

1Recuerdese a = 6378137m, e2 = 0,00669438002290.

100 Resultados

Coordenadas Originales

Nombre del punto Latitud ϕ Longitud λ

Centro 40o23′19′′,5067N 3o48′24′′,3756WMonolito 40o23′17′′,1866N 3o49′26′′,3981WCamino 40o23′46′′,5327N 3o49′8′′,0721WEscuelas 40o23′31′′,4697N 3o46′43′′,2891WDehesa 40o23′5′′,0088N 3o47′56′′,7555W

Motorista 40o22′38′′,5980N 3o48′24′′,5406WPoncio 40o23′43′′,0741N 3o48′33′′,2838W

Coordenadas Ajustadas

Latitud ϕ Longitud λ

Centro 40o23′19′′,5065N 3o48′24′′,3748WMonolito 40o23′17′′,1872N 3o49′26′′,3976WCamino 40o23′46′′,5333N 3o49′8′′,0715WEscuelas 40o23′31′′,4708N 3o46′43′′,2915WDehesa 40o23′5′′,0057N 3o47′56′′,7539W

Motorista 40o22′38′′,5973N 3o48′24′′,5407WPoncio 40o23′43′′,0759N 3o48′33′′,2847W

2. Paso de coordenadas geodesicas a coordenadas tridimensionales.

Mediante las formulas de la pagina 90 de la referencia [Mena, 2000],para transformar coordenadas geodesicas a tridimensionales de pun-tos que se encuentran sobre el elipsoide de referencia:

X = N cosϕ cosλ; Y = N cosϕ sin λ; Z = (1− e2)N sinϕ

y la formula proporcionada para calcular N (pagina 95):

N = a√1− e2 sin2 ϕ

Finalmente se obtienen las coordenadas tridimensionales reflejadasel siguiente cuadro:


Coordenadas Originales

Nombre del punto X Y Z

Centro 4854115,162m −322986,150m 4110958,547mMonolito 4854064,089m −324448,830m 4110904,040mCamino 4853507,626m −323978,491m 4111593,451mEscuelas 4854034,279m −320591,443m 4111239,594mDehesa 4854447,483m −322355,349m 4110617,930m

Motorista 4854930,632m −323044,310m 4109997,374mPoncio 4853631,183m −323164,494m 4111512,203m

Coordenadas Ajustadas

X Y Z

Centro 4854115,167m −322986,132m 4110958,542mMonolito 4854064,078m −324448,817m 4110904,054mCamino 4853507,615m −323978,475m 4111593,465mEscuelas 4854034,253m −320591,498m 4111239,621mDehesa 4854447,548m −322355,315m 4110617,856m

Motorista 4854930,646m −323044,314m 4109997,357mPoncio 4853631,146m −323164,513m 4111512,245m

Una vez que se dispone de ambos conjuntos de coordenadas en un sis-tema de referencia tridimensional,es posible aplicar la formula de transfor-macion de 7 parametros (2.36) particularizandola para los 7 puntos queconstituyen la red:

1 0 0 0 −Z01 Y01 X010 1 0 Z01 0 −X01 Y010 0 1 −Y01 X01 0 Z011 0 0 0 −Z02 Y02 X020 1 0 Z02 0 −X02 Y020 0 1 −Y02 X02 0 Z02· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 0 0 0 −Z07 Y07 X070 1 0 Z07 0 −X07 Y070 0 1 −Y07 X07 0 Z07


=

X∗01 −X01Y ∗01 − Y01Z∗01 − Z01X∗02 −X02Y ∗02 − Y02Z∗02 − Z02· · ·

X∗07 −X07Y ∗07 − Y07Z∗07 − Z07

102 Resultados

Donde (X01, Y01, Z01, · · · , X07, Y07, Z07) son los valores originales de lascoordenadas de los vertices en el sistema de referencia ETRS89. Por otrolado (X∗01, Y

∗01, Z

∗01, · · · , X∗07, Y

∗07, Z

∗07) son las coordenadas aproximadas de

los vertices en el nuevo sistema de referencia. Aplicando dicha formula a lared, se obtienen las matrices A7parametros y t7parametros (4.7).

A7parametros =

1 0 0 0 −4110958,547m −322986,150m 4854115,162m0 1 0 4110958,547m 0 −4854115,162m −322986,150m0 0 1 322986,150m 4854115,162m 0 4110958,547m1 0 0 0 −4110904,040m −324448,830m 4854064,089m0 1 0 4110904,040m 0 −4854064,089m −324448,830m0 0 1 324448,830m 4854064,089m 0 4110904,040m1 0 0 0 −4111593,451m −323978,491m 4853507,626m0 1 0 4111593,451m 0 −4853507,626m −323978,491m0 0 1 323978,491m 4853507,626m 0 4111593,451m1 0 0 0 −4111239,594m −320591,443m 4854034,279m0 1 0 4111239,594m 0 −4854034,279m −320591,443m0 0 1 320591,443m 4854034,279m 0 4111239,594m1 0 0 0 −4110617,930m −322355,349m 4854447,483m0 1 0 4110617,930m 0 −4854447,483m −322355,349m0 0 1 322355,349m 4854447,483m 0 4110617,930m1 0 0 0 −4109997,374m −323044,310m 4854930,632m0 1 0 4109997,374m 0 −4854930,632m −323044,310m0 0 1 323044,310m 4854930,632m 0 4109997,374m1 0 0 0 −4111512,203m −323164,494m 4853631,183m0 1 0 4111512,203m 0 −4853631,183m −323164,494m0 0 1 323164,494m 4853631,183m 0 4111512,203m

t7parametros =

0,005m0,018m−0,005m−0,011m0,013m0,014m−0,011m0,015m0,014m−0,026m−0,055m0,026m0,065m0,034m−0,074m0,014m−0,005m−0,017m−0,037m−0,020m0,042m

(AT7parametrosA7parametros)−1AT

7parametrost7parametros =

τx

τy

τz

ωx

ωy

ωz

µ

=

−0,200m0,025m−0,093m

−1,86882E − 09−9,09467E − 091,40240E − 093,35789E − 08

(4.7)


Con lo cual, el posicionamiento espacial del nuevo sistema de referen-cia con respecto al antiguo queda determinado mediante los 7 parametrosque definen la relacion entre ambos. Como puede observarse, la diferenciaentre ambos sistemas es mınima:

Desplazamiento entre orıgenes (τx, τy, τz): representan el vectorde traslacion del sistema antiguo al nuevo.

Es del orden de unos pocos centımetros:

• τx = −0,200m• τy = 0,025m• τz = −0,093m

Giros en los 3 ejes (ωx, ωy, ωz): representan los giros en los 3 ejesentre el sistema antiguo y el nuevo.

• ωx = −1,86882E − 09 rad = −0′′,0004• ωy = −9,09467E − 09 rad = −0′′,0019• ωz = 1,40240E − 09 rad = 0′′,0003

Factor de escala (1 + µ): representa el factor de escala entre ambossistemas.

1 + µ = 1,0000000336

De esta manera queda demostrado que el procedimiento de Red Libre esuna forma de definir sistemas de referencia mediante una “depuracion” delas coordenadas de los puntos. Esta “depuracion” puede darse por validay, por tanto, adoptarse unas nuevas coordenadas cuando se cumplan losrequisitos siguientes:

La precision de la instrumentacion ha de ser superior a la empleadapara definir el sistema original.

Tiene que haber suficientes observaciones de todos los puntos queconstituyen la red (marco de referencia).

Es necesario un analisis estadıstico para descartar errores de cual-quier tipo y observaciones que puedan afectar a la fiabilidad de losdatos de la red.

Apartado 5

Conclusiones

Como se puede comprobar, las correcciones a coordenadas y las matri-ces seudoinversas obtenidas coinciden en los cuatro ajustes, por lo que sepone de manifiesto la validez de la resolucion del sistema Nx− t = v.

En caso de haber obtenido alguna discrepancia en el ajuste de las ecua-ciones, con respecto al metodo de calculo por constrenimientos, serıa de-bido a que dado el numero de decimales con que se esta trabajando y losredondeos, la factorizacion da lugar a pivotes que no son totalmente nu-los, y que pueden proporcionar un resultado enganoso. No obstante, esasituacion no se ha presentado en este estudio.

Por otro lado, la resolucion de la red como red libre independiente delDatum adoptado, proporciona una precision intrınseca de la red muy acep-table. La obtencion de desviaciones tıpicas en los vertices del orden de0,5 − 1,2cm, demuestra la extremadamente buena calidad de la observa-cion y del ajuste realizado.

Tambien cabe destacar que en las correcciones a coordenadas obteni-das, ninguna alcanza los 10cm e incluso existen correcciones del orden dedecimas de centımetro.

Con estos resultados, no se estima necesario un analisis posterior comored ligada puesto que no se observan errores dignos de estudiar a parte enninguno de los vertices. Por lo tanto, se considera que el ajuste definitivoya esta hecho concluyendose que son correctas las coordenadas de todoslos puntos de la red.

Si la precision de la instrumentacion y los metodos con los que se hahecho este estudio fuese superior a aquellos que se emplearon para definirlas coordenadas de la red, se podrıa concluir que la estimacion obtenida enel presente documento es mejor solucion de las coordenadas originales dela red. Si, por el contrario, la instrumentacion y metodos originales fueronde mayor precision, la conclusion coherente consistirıa en afirmar que al

105

106 Conclusiones

nivel de precision que proporcionan los instrumentos y metodos empleadosen este trabajo, no se observan errores en las coordenadas de ningun puntode la red.

5.1. Objetivos cumplidos

5.1.1. Objetivo general

El objetivo general de este estudio que consistıa en profundizar en el pro-cedimiento de resolucion de redes geodesicas libres mediante el empleo de ladenominada matriz seudoinversa se ha cumplido puesto que se han desarro-llado todos los fundamentos matematicos necesarios para conseguirlo y seha sido capaz de llevar a la practica mediante la resolucion de un ejemplode Red Libre.

5.1.2. Objetivos especıficos

A continuacion se expondra el grado en el que han sido conseguidoscada uno de los objetivos especıficos:

1. Exponer los casos en los que se presentan redes geodesicas libres.

Como se explica en el apartado 2.1, las redes geodesicas libres sepresentan siempre que se carezca de alguno de los siguientes datosde la red: origen, orientacion o escala.

2. Diferenciar los tipos de redes geodesicas libres en funcion de los gradosde libertad del sistema.

En el apartado 2.6 se han contemplado todos los casos posibles deredes libres que se presentan en el ambito de la Geodesia. Tanto pla-nimetricas como altimetricas como tridimensionales.

3. Definir las aplicaciones de las redes geodesicas libres.

Las aplicaciones estan expuestas en el apartado 2.2. Incluso una deellas; la de definir sistemas de referencia, ha sido llevada a la practicamediante un ejemplo en el apartado 4.6.

4. Resolver de un ejemplo practico de red geodesica libre.

A partir del apartado 3: Material y Metodologıa, se aplica todo el desa-rrollo teorico a la resolucion de una red geodesica libre.

Objetivos cumplidos 107

5. Desarrollar y fundamentar matematicamente 4 metodos de resolucionde redes geodesicas libres.

Estos cuatro metodos estan expuestos y desarrollados en el apartado2.5.

6. Plantear la resolucion de una red geodesica libre mediante esos 4 meto-dos.

El ejemplo de red que se propone en este estudio se resuelve por cadauno de los metodos citados en el apartado 4.1.

7. Constatar que la solucion del ajuste de la red es la misma independien-temente del metodo elegido.

Se comprueba matmaticamente en el ejemplo propuesto, que los re-sultados del ajuste son los mismos independientemente del metodode calculo elegido. Los resultados de cada uno de los metodos se en-cuentran en los apartados 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 y 4.1.4.

8. Verificar si en alguno de los puntos de la red hay algun error grosero yen su caso, proponer unas coordenadas mejoradas.

Mediante el estudio estadıstico de errores de la red se comprueba queno hay errores groseros detectables con la instrumentacion empleaday, por tanto, no se proponen coordenadas nuevas para ninguno de lospuntos.

9. Comprobar la exactitud de las coordenadas de la red geodesica ejemplo.

Mediante el mismo estudio que en el caso anterior, se verifica la exac-titud de las coordenadas de los puntos de la red geodesica.

Apendices

109

Apendice A

Modelo matematico deecuaciones de observacion

Para el planteamiento y posterior resolucion del problema se partira deun modelo matematico combinacion a su vez de otros dos:

Modelo estocastico (o estadıstico): materializado por los errores delos datos observados.

Modelo funcional: materializado por la relacion entre parametros yobservaciones.

El metodo empleado para la resolucion sera el de ecuaciones de ob-servacion por ser mas facilmente programable que el de ecuaciones decondicion y por ser el que se viene empleando actualmente por toda lacomunidad cientıfica. Este modelo tiene como inconveniente la necesidadde metodos potentes de calculo sobre todo cuando los sistemas estan for-mados por numerosas ecuaciones. Sin embargo, este impedimento cadavez esta mas superado gracias a los modernos y potentes procedimientosde calculo y en particular para los ejemplos que seran objeto del presenteestudio. La notacion matematica y planteamiento del modelo que a conti-nuacion se desarrolla esta extraıda de las paginas 68 a 87 de la referencia[De la Puente, 2011].

“A este modelo se le denomina “Modelo de Gauss Markov regular” y sebasa en la obtencion de la mejor estimacion lineal insesgada de todas lasaproximaciones posibles.

Se trata de plantear una ecuacion independiente por cada observacion.De ahı que en adelante se denominaran Ecuaciones de Observacion.

111

112 Modelo matematico de ecuaciones de observacion

A.1. Nomenclatura del modelo de Ecuacionesde Observacion

Vector de observaciones ajustadas: L

Vector de parametros ajustados: X

Relacion funcional entre los parametros anteriores:

L = F (X)

Matriz de diseno: A

Vector de parametros aproximados: X0

Vector de terminos independientes: t

Vector de observaciones reales: l

Vector de observaciones calculadas con parametros aproximados: L0

Vector de parametros incognitas: x

Vector de residuos de las observaciones: v = L− l

Numero de observaciones: m

Numero de incognitas: n

Numero de redundancias o grados de libertad: r = m− n

Matriz de pesos de las observaciones: P

Matriz cofactor a priori: Q = P−1

Varianza a priori de la unidad de peso: σ20

Matriz de varianza-covarinaza de las obseraciones: Σll = Σ = σ20Q

Cantidades estimadas: Notacion con el sımboloˆ

Modelo funcional de ecuaciones de observacion 113

A.2. Modelo funcional de ecuaciones de obser-vacion

En la definicion de este modelo se cumplen las siguientes relaciones:

L = F (X)

A =[∂F

∂X

]X=X0

t = l − L0

x = X −X0

L = l + v

El modelo de ecuaciones de observacion se basa en la resolucion deun sistema de ecuaciones lineales. Por lo tanto, cuando las ecuaciones quedefinan el sistema no sean lineales habra que linealizarlas. Este procedi-miento consiste en realizar un desarrollo en serie de Taylor de la funcionL = F (X) en torno a X0 hasta el termino de primer orden. Consecuente-mente, el modelo queda de la forma siguiente:

L = F (X0) +[∂F

∂X

]X=X0

(X −X0)

L = L0 + Ax

Ax+ L0 − l = v

Finalmente, el modelo funcional linealizado:

Ax− t = v (A.1)

Como consecuencia de la linealizacion, para la resolucion de sistemaspor este metodo, se ha de disponer de parametros aproximados para quetras un numero de iteraciones, los parametros aproximados (X0) converjana los parametros ajustados (X) dentro de un orden de precision acorde conla precision de las observaciones.


A.3. El modelo estocastico de ecuaciones de ob-servacion

Hasta el momento solo se ha explicado como plantear un sistema deecuaciones lineales (linealizando las ecuaciones en caso de planimetrıa),que es el paso previo necesario para el ajuste por MMCC.

Este apartado debe complementarse mediante el estudio previo de algu-nas propiedades de la traza y la esperanza matematica, que tambien serannecesarias en este apartado cuando se indique.

A.3.1. La hipotesis de Gauss-Markov

Hipotesis de partida necesaria para el ajuste, conocida como hipotesisde Gauss-Markov:

“Las observaciones se distribuyen cada una de ellas independientemen-te, segun una distribucion Normal. Cada una de estas distribuciones tienede media el valor observado li, y de varianza la propia de la instrumenta-cion y observador: σ2

li”.

La hipotesis, implica la construccion de la matriz de varianzas-covarianzasde las observaciones, constituyendo el modelo de Gauss-Markov:

Σll =

σ2l1 0 0 · · · 00 σ2

l2 0 · · · 00 0 0 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · σ2

lm

A.3.2. El espacio vectorial de observaciones

Consecuentemente con lo anterior, establecido un vector columna l cu-yas componentes son todas y cada una de nuestras m observaciones li,podemos definir un espacio vectorial que este formado por vectores delmismo tipo, con el mismo no de componentes, y por tanto m-dimensional.

A.3.3. La metrica en el espacio de observaciones

A continuacion vamos a definir el modulo o norma de un vector en eseespacio, que sera la base del producto interno.

Posteriormente sera inmediato extender el concepto a la distancia entredos vectores en el espacio de observaciones.

El modelo estocastico de ecuaciones de observacion 115

El tensor metrico P en el espacio de observaciones

Debido al caracter aleatorio del vector concreto de nuestras observa-ciones, la matriz P, que define la metrica en el espacio, debe ser capaz deproporcionar el valor mas probable de la norma del vector, a partir delconocimiento del caracter aleatorio de las componentes del mismo.

Tenemos por un lado la matriz de varianzas-covarianzas correspondien-te al vector de observaciones, que nos define ese caracter aleatorio: Σll

Y por otro el concepto de metrica, expresado por la matriz P, que apli-cado al vector de observaciones me dara la norma del mismo:

|l|2 = lTPl

Esta matriz P, como se ha dicho, debe proporcionar el valor del moduloo norma, cuyo caracter aleatorio, hace que los cuadrados de las componen-tes, varıen segun un peso inversamente proporcional a los correspondienteserrores cuadraticos:

|l|2 = σ20

σ2l1

l21 + σ20

σ2l2

l22 + · · ·+ σ20

σ2lm

l2m

Ese caracter aleatorio, queda expresado pues, en cada componente porσ2

0σ2

li

, de forma que si una observacion tiene peso unidad, entonces σ2li

= σ20,

conociendose por lo tanto σ20 como varianza a priori de una observacion de

peso unidad o varianza de la unidad de peso.Lo cual podemos escribir de la forma:

|~l|2 =(l1 l2 · · · lm

)

σ20

σ2l1

0 0 · · · 0

0 σ20

σ2l2

0 · · · 00 0 0 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · σ2

0σ2

lm

l1l2· · ·lm

= ~lTP~l

Por tanto, la matriz que define la metrica queda:

P = σ20Σ−1

ll ⇒ Σll = σ20P−1

La matriz P, que llamaremos de pesos, es pues la matriz cofactor de lade varianzas-covarianzas de las observaciones sera por tanto: Qll = P−1


Se advierte de forma inmediata que si las observaciones son todas de lamisma precision, entonces:

σ2l1 = σ2

l2 = · · · = σ2lm = σ2

0 ⇒ P = I

y tambien que en ese caso, la norma sera:

|~l|2 = l21 + l22 + · · ·+ l2m

A.3.4. Consecuencias de la hipotesis de Gauss-Markov

Estamos ahora en condiciones de entender lo que [Chueca et al 1996]en su pagina 291 nos indica respecto a que “el ajuste se aborda de dosdiferentes formas:

En sentido mas reducido requiere como datos de partida la existenciade una matriz de varianza-covarianzas o equivalentemente su matrizcofactor: La matriz de pesos. Por medio de la propagacion de varianzas-covarianzas, ello es suficiente para estimar los parametros, es decir, paraobtener los parametros ajustados, y para estimar la precision de los mis-mos.

Si ademas se pretende obtener informacion adicional como por ejemploacerca del correcto comportamiento estadıstico, la bondad o el controlde las observaciones, la fiabilidad de la red dada su geometrıa y la pro-pia observacion, la deteccion de los errores groseros, etc., deberemos iral estudio por medio de los correspondientes tests y otros conceptos es-tadısticos.”

El proposito de la Ley propagacion de las varianzas-covarianzas es, apartir de la matriz de varianzas-covarianzas de las observaciones originales,poder calcular la de otros parametros que son funcion ellas, siempre quela relacion funcional que los una sea lineal. Si no es lineal esa relacion, elpaso previo sera la linealizacion.”

A.3.5. Matriz de varianzas-covarianzas y cofactor del vec-tor de terminos independientes

Sabiendo la relacion basica t = l − L0, y que L0 es un vector constante,aplicamos la ley de propagacion de varianzas-covarianzas:

La condicion de mınimo en ecuaciones de observacion 117

Σtt = Σll = σ20P−1

por tanto, la matriz cofactor es

Qtt = Qll = P−1

A.4. La condicion de mınimo en ecuaciones deobservacion

La condicion de mınimo (el principio de los MMCC), esta relacionadacon la mınima distancia (vmınima) entre el vector ajustado L = L0 + Ax(calculado con parametros estimados x), y el observado l; el estimado loes a traves del modelo funcional, y el observado es el de datos de campo:vmınima = distancia (L− l)mınima

v = L− l = L0 + Ax− lPrincipio→ ‖[L0 + Ax]estimado − lobservado‖mınima

Es decir, la condicion exige hacer mınimo en el espacio de observacionesla forma cuadratica: ∥∥∥vTPv∥∥∥

mınimo= T (v)mınimo

Aplicamos la condicion:

∂T (v)∂x

= 2(∂v

∂x

)TP v = 2ATP v = 0

ATP v = ATP (Ax− t) = ATPAx− ATPt = 0

A.4.1. Valores estimados: sistema de ecuaciones norma-les

Empleando la nomenclatura

{N = ATPAd = ATPt

(A.2)


la estimacion, conocida como sistema de ecuaciones normales, queda dela forma:

Nx− d = 0 (A.3)

Si la matriz N es regular (modelo Gauss-Markov regular), la soluciondel sistema de ecuaciones normales es unica y los parametros estimadosseran pues:

Nx− d = 0⇒ x = N−1d (A.4)

Comprobemos que x es una estimacion insesgada1:

E[x] = E[N−1d] = E[N−1ATPt] = N−1ATPE[t] = N−1ATPAx = Ix = x

Notese que, el conocimiento “a priori” de σ20 no es necesario, sino unica-

mente la matriz de pesos P = σ20Σ−1

ll , pudiendo asignarse el valor arbitrarioσ2

0 = 1, con lo que P = Σ−1ll , practica comun en Topografıa.”

1Una estimacion x es insesgada cuando se verifica que E[x] = x y por el contrario,cuando tiene un determinado sesgo β , es porque se verifica que E[x] = β + x.

Apendice B

Ley de propagacion de lasvarianzas-covarianzas

El siguiente desarrollo esta extraıdo de la pagina 232 de la referen-cia [De la Puente, 2011] con el tıtulo “Ley de propagacion de las varianzas-covarianzas”:

“Se trata ahora de forma analoga a lo anterior, de deducir la matriz devarianzas-covarianzas de un vector variable y, que es una funcion lineal deotro x, conociendo la matriz de varianzas-covarianzas de este ultimo.

La funcion sera del tipo:

y = a0 + Ax

Donde ~a0 es un vector de constantes y A es una matriz de constantes, yconocemos la matriz de varianzas-covarianzas de x→ Σxx.

Aplicando la ley de propagacion de la media, deducimos la ley:

Σyy == E[(y − E[y])(y − E[y])T ] =

= E[(y − a0 − AE[x])(y − a0 − AE[x])T ] == E[(Ax− AE[x])(Ax− AE[x])T ] =

= AE[(x− E[x])(x− E[x])T ]AT == AΣxxA

T

119

120 Ley de propagacion de las varianzas-covarianzas

Queda finalmemte la ley de propagacion de varianzas-covarianzas, queemplearemos frecuentemente:”

Σyy = AΣxxAT (B.1)

Con este resultado es facil deducir que la misma ley se puede aplicar alas matrices cofactor. Dado que, por definicion Σyy = σ2

0Qyy y Σxx = σ20Qxx,

la ley de propagacion en funcion de las matrices cofactor queda de la formasiguiente:

Qyy = AQxxAT (B.2)

Apendice C

Mejor estimacion en sistemascompatibles indeterminados

La condicion de partida es el siguiente sistema de ecuaciones compatibleindeterminado, por tanto, con menos ecuaciones que incognitas:

Cx = t

De las infinitas soluciones, en este apartado se tratara de obtener aquellaque haga mınima la norma de la solucion:

‖x‖mınima = (xTx)mınima

El problema se reduce a la determinacion de los extremos condicionadosde la funcion T (x) = (xTx) con la condicion Cx− t = 0. Es decir:

T (x, λ) = xTx− 2λT (Cx− t)

Donde λ es el vector llamado de los multiplicadores de Lagrange. Lacondicion de mınimo se resuleve aplicando derivadas parciales:

∂T∂x

= 2xT − 2λTC = 0

∂T∂λ

= 2 (Cx− t) = 0→

xT = λTC

Cx− t = 0

El sistema se resuelve sustituyendo x = CTλ en

Cx− t = 0

obteniendose:

CCTλ− t = 0

121

122 Mejor estimacion en sistemas compatibles indeterminados

Como CCT es simetrica y definida positiva resulta:

λ = (CCT )−1t

Finalmente se obtiene la ecuacion que hace mınima la norma de lasincognitas x:

x = CTλ = CT (CCT )−1t (C.1)

Apendice D

Algunas propiedades de la traza yla esperanza matematica

El presente apendice esta extraıdo de la pagina 233 de la referencia[De la Puente, 2011] con el tıtulo “Algunas propiedades de la traza y la es-peranza matematica”:

“Vamos a demostrar algunas propiedades de la traza y la esperanza ma-tematica que son necesarias para comprender la formulacion empleada enMMCC.

Si el producto de 2 matrices A y B es una matriz cuadrada

Tr(AB) = Tr(BA) (D.1)

Demostracion:

Tr(Am×nBn×m) =

= Tr

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

· · · · · · . . . a1nam1 am2 · · · amn

b11 b12 · · · b1mb21 b22 · · · b2m

· · · · · · . . . a1nbn1 bn2 · · · anm

=

= (a11b11 + a12b21 + · · · a1nbn1) + (a21b12 + a22b22 + · · · a2nbn2) · · ·++ · · · (am1b1m + am2b2m + · · · amnbnm) == (a11b11 + a21b12 + · · · am1b1m) + (a12b21 + a22b22 + · · · am2b2m) · · ·++ · · · (a1nbn1 + a2nbn2 + · · · amnbnm) =

123

124 Algunas propiedades de la traza y la esperanza matematica

= Tr

b11 b12 · · · b1mb21 b22 · · · b2m

· · · · · · . . . a1nbn1 bn2 · · · anm

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

· · · · · · . . . a1nam1 am2 · · · amn

=

= Tr(Bn×mAm×n)Otra propiedad que emplearemos es

Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B) (D.2)

Propiedad que es inmediato comprobar.

La traza y la esperanza matematica

Tr(E[A]) = Tr

E[a11] E[a12] · · · E[a1m]E[a21] E[a22] · · · E[a2m]· · · · · · . . . · · ·

E[am1] E[am2] · · · E[amm]

=

= E[a11] + E[a22] + · · ·+ E[amm] = E[a11 + a22 + · · ·+ amm] = E[Tr(A)]

por lo tanto”

Tr(E[A]) = E[Tr(A)] (D.3)

Apendice E

Formula de la transmision deerrores

Este apartado esta extraido de la pagina 215 de la referencia [De la Puente, 2011]con el tıtulo “Formula de la transmision de errores”.

“Sea x = F (A,B,C) una cantidad funcion de las cantidades mededidasA,B y C.

Sean emca, emcb y emcc los errores medios cuadraticos de las medidasA,B y C.

Nos proponemos encontrar el emcx en funcion de emca, emcb y emcc.

Asimilando los errores a diferenciales y aplicando el concepto de dife-rencial total1 para cada medida:

dx1 = ∂F

∂AdA1 + ∂F

∂BdB1 + ∂F

∂CdC1

dx2 = ∂F

∂AdA2 + ∂F

∂BdB2 + ∂F

∂CdC2

· · · = · · ·

dxn = ∂F

∂AdAn + ∂F

∂BdBn + ∂F

∂CdCn

Por definicion de emc:

1Puede verse en la pagina 283 de la referencia [Mena 2, 1997]

125

126 Formula de la transmision de errores

emc2 =∑dx2

i

n=(∂F

∂A

)2 (dA1)2 + (dA2)2 + . . .+ (dAn)2

n+

+(∂F

∂B

)2 (dB1)2 + (dB2)2 + . . .+ (dBn)2

n+

+(∂F

∂C

)2 (dC1)2 + (dC2)2 + . . .+ (dCn)2

n+

+ 2(∂F

∂A

)(∂F

∂B

)dA1dB1 + . . .

n+ 2

(∂F

∂B

)(∂F

∂C

)dB1dC1 + . . .

n+

+ 2(∂F

∂A

)(∂F

∂C

)dA1dC1 + . . .

n+ . . .

Los terminos dA1dB1 + . . . son sensiblemente nulos, puesto que a cadavalor de dA1dB1, le corresponde otro valor de signo contrario, anulandoseentre sı. Igualmente podemos razonar al respecto de los dB1dC1 y dA1dC1

Ademas tenemos que:

emca2 = (dA1)2+(dA2)2+...+(dA3)2

n

emcb2 = (dB1)2+(dB2)2+...+(dB3)2

n

emcc2 = (dC1)2+(dC2)2+...+(dC3)2

n

De donde finalmente:

emc2x =

(∂F

∂A

)2

emc2a +

(∂F

∂B

)2

emc2b +

(∂F

∂C

)2

emc2c (E.1)

La formula (E.1) es de amplia aplicacion para obtener el error teoricoen los metodos topograficos, como se vera oportunamente.”

Bibliografıa

Referencias

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[Sevilla, 2005] Sevilla de Lerma, Miguel J. (2005). Ajuste de redes libres.Modelos matematicos singulares. Instituto de Astronomıa y Geodesia.Madrid: Publicacion num. 200. Centro mixto C.S.I.C.-U.C.M.

[De la Puente, 2011] Tcol. GM. De la Puente Maroto, Javier. (2011). Topo-grafıa Clasica. Metodos de ajuste de redes. Curso de Geodesia. Escuelade Guerra del Ejercito. Departamento de Geodesia y Topografıa.

[Miguel Castro, 2004] Cte. GM. Miguel Castro, Oscar Luis. (2004). Com-pensacion de redes libres. Solucion con matriz seudoinversa. Tesina findel XXVI Curso de Geodesia, dirigida por el Tcol. GM. Javier de la PuenteMaroto.

[Martın, 2010] Cor. GM. Martın Sanchez, Antonio. (2010) Guıa de inicia-cion a LaTeX. Escuela de Guerra del Ejercito. Departamento de Geo-desia y Topografıa.

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[Rao-Mitra, 1971] Rao, C.R., Mitra, S.K. (1971). Generalized Inverse of Ma-trices and its Aplications. John-Wiley.

[Penrose, 1955] R. Penrose. (1955). A generalized inverse for matrices.Proc. Cambridge Philos. Soc., Vol. 51, pp 406-413.

127

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[IAG, 1979] Intenational Association of Geodesy (IAG). Geodetic ReferenceSystem 1980. General Assembly 1979 of the IAG.

Direcciones Web

[http://digilander.libero.it/foxes] Direccion con enlace para la descarga de:MATRIX and LINEAR ALGEBRA Package For EXCEL.

Ultimo acceso 24/04/2012


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PREMIOS DEFENSA 2013 TRABAJOS SELECCIONADOS TRABAJOS DE ... · La matriz inversa cumple las condiciones de Moore- ... En este caso la matriz de dise ˜no Nes de rango completo y se