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TEMA: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
SEMANA: 1
OBJETIVO: EL ALUMNO IDENTIFICARA EL SISTEMAS COORDENADOS PARA
CACULAR LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
EXPLICACIÓN: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la
longitud del segmento que los separa.
Para calcularla aplicamos el teorema de Pitágoras en el rectángulo coloreado:
Si los puntos tiene la misma ordenada o la misma abscisa, la distancia entre ellos se calcula sin
necesidad de aplicar la fórmula anterior.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la
distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si
los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda
determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de
coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de
Pitágoras.
Ejemplo 1: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)
d = 5 unidades
ACTIVIDADES
1. Halla la distancia entre A y B en cada caso:
a. A (-7, 4), B (6, 4) b. A (3, 4), B(3, 9) c. A (-5, 11), B(0, -1)
2. Calcula el valor de k para que la distancia de A(-1, 4) a B(k, 1) sea igual a 5.
3. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasifícalos según la longitud de sus lados:
a. A(-2, 2), B(1, 6), C(6, -6) b. A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)
4.- Probar que los puntos: A (1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una
circunferencia de centro (1, 2). Si O es el centro de la circunferencia
las distancias de O a A, B y C deben ser iguales.
TEMA: DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
SEMANA: 2
OBJETIVO: EL ALUMNO IDENTIFICARA EL SISTEMAS COORDENADOS PARA
CACULAR EL PUNTO MEDIO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO
EXPLICACIÓN: PUNTO QUE DIVIDE A UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA.
Es el resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama razón o relación
de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.
La razón por cociente o geométrica es el resultado de la comparación de dos cantidades
homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene a la otra.
Se determina en un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes,
PA y PB, estén en la relación r:
Ejemplo:
¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A (-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?
Dividir un segmento dirigido en una razón dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se
encuentren las coordenadas de un punto que satisface la comparación entre dos magnitudes.
En general, si la razón es de la forma , implica que el segmento se divide en a + b partes. Por
ejemplo, si , el segmento se divide en 11 partes iguales.
Sean los puntos , así como el segmento de recta que los une:
Sea un punto que pertenezca al segmento. Si se forman los triángulos mostrados, se observa
que son semejantes. Esto es:
Donde r es la razón de proporcionalidad de semejanza.
Si se despeja x de la primera ecuación se tiene:
Análogamente se puede encontrar que:
Expresiones que sirven para obtener las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una
razón dada.
En el caso particular en que se trate del punto medio, r vale , y las ecuaciones se
convierten en:
ACTIVIDADES
1.- Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, −1) y B(8, 4). Hallar las coordenadas
del punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.
2.- Si e l segmento AB de extremos A (1, 3), B (7, 5), se divide en cuat ro partes iguales,
¿cuáles son las coordenadas de los puntos de divis ión?
3.- Determina la razón en la que el punto P(-1,3) divide al segmento cuyos extremos son los puntos
P1(-5,2) y P2(7,5) r= ?
4.- Determina la razón en la que el punto P(2,0) divide al segmento cuyos extremos son los puntos
P1(0,2) y P2(-2,4) r= ?
5.- ¿Dados los puntos P1(0,5), P2(6,-1) y la razón r= 5 encuentra las coordenadas del punto de división
P x=?, y=?
6.- Determina el punto medio del segmento P1(-6,4) y P2(2,2) xm , ym =?
7.- Dado un extremo del segmento P1(- 3,3) y el punto medio Pm(6,1) encuentra las coordenadas del
otro extremo x2=?, y2=?
TEMA: ECUACION DE LA RECTA
SEMANA: 3
OBJETIVO: EL ALUMNO EXPRESARA LAS DIFERENTES FORMAS DE LA ECUACION
DE LA RECTA A PARTIR DE ELEMENTOS DADOS
EXPLICACIÓN: OBTENCION DE LA ECUACION DE LA RECTA A PARTIR DE
A) UN PUNTO Y LA PENDIENTE
B) A PARTIR DE DOS PUNTOS.
Introducción
Las ecuaciones lineales pueden tomar varias formas, como la forma punto-pendiente, la forma
pendiente – intersección, y la forma estándar de una ecuación lineal. Éstas formas permiten a los
matemáticos describir la misma recta de distintas maneras.
Esto puede ser confuso, pero en realidad es bastante útil. Considera de cuántas maneras
diferentes es posible escribir un pedido de leche en una lista de compras. Puedes pedir leche
blanca, leche de vaca, un cuarto de leche, leche descremada, y cada una de éstas frases
describiría exactamente el mismo producto. La descripción que uses dependerá de las
características que más te importan.
Las ecuaciones que describen rectas pueden ser escogidas de la misma manera — pueden ser
escritas y manipuladas con base en las características de la recta que son de interés. Incluso, si
una característica es más importante, las ecuaciones lineales pueden convertirse de una forma a
otra.
Forma Punto-Pendiente
Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una
recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se
escribe como . En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las
coordenadas del punto.
Veamos de dónde es que viene ésta fórmula de punto-pendiente. Aquí está la gráfica de una recta
genérica con dos puntos trazados en ella.
La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo
segmento (la diferencia entre las corneadas en x). Esto puede escribirse como . Ésta ecuación es la fórmula de la pendiente.
Ahora digamos que uno de esos puntos es un punto genérico (x, y), lo cual significa que puede ser
cualquier punto en la recta, y el otro punto es un punto específico, . Si sustituimos éstas
coordenadas en la fórmula, obtenemos . Ahora podemos manipular un poco la ecuación
al multiplicar ambos lados de la fórmula por . Que se simplifica a .
es el punto-pendiente de la fórmula. Hemos convertido la fórmula de la
pendiente en la fórmula punto-pendiente. No lo hicimos sólo por diversión, sino porque la fórmula
punto-pendiente es a veces más útil que la fórmula de la pendiente, por ejemplo cuando
necesitamos encontrar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente.
Hagamos otro ejemplo. Considera la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente
de .
Sustituyendo éstos valores en la fórmula punto-pendiente, obtenemos . Que es
la ecuación de la recta.
Ecuación de la recta a partir de dos puntos.
Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2) que determina una recta r. Un
vector director de la recta es:
Cuyas componentes son:
Sustituyendo estos valores en la forma continua:
Ejemplos: Hallar la ecuación de la recta que pasa por A (1,3) y B(2, -5)
ACTIVIDADES: Obtener la ecuación de la recta a partir de los datos dados:
1).- Punto A (3,-3) m = ½
2).- Punto B (5,-3) m = 3
3.- Punto C (4, -2) m = -2
4.- Punto D (2, 5) m = -2
5).- Punto E (4,4) m = -3/4
6).- Punto A(3,-3) y (0,5)
7).- Punto B(5,-3) y (3,0)
8).- Punto C (4, -2) y (4,3)
9).- Punto D(2, 5) y (0, -5)
10).- Punto E (4,4) y (3,-3)
TEMA: LA CIRCUNFERENCIA
SEMANA: 4
OBJETIVO: EL ALUMNO COMPRENDE LAS RELACIONES DE LOS TEMAS DE
CIRCUNFERENCIA.
EXPLICACIÓN:
LA CIRCUNFERENCIA
Definición: La circunferencia es una curva plana y cerrada donde todos sus puntos están a igual
distancia del centro.
Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen
Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que
se muestra en la figura
Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendo podemos usar dos
métodos:
Método por desarrollo y
Método con las fórmulas conocidas.
Método por desarrollo
Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de la
circunferencia será
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso
corresponde a C (2, ─3)
entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como
(x ─ 2) 2 + (y ─ ─ 3) 2 = 5 2
(x ─ 2) 2 + (y + 3) 2 = 5 2
(x ─ 2) 2 + (y + 3) 2 = 25
Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h) 2 + (y ─ k) 2
Sigamos.
Tenemos nuestra ecuación ordinaria
(x ─ 2) 2 + (y + 3) 2 = 25
y desarrollamos sus dos binomios:
(x ─ 2) (x ─ 2) + (y + 3) (y + 3) = 25
(x 2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y 2 + 3y + 3y + 9) = 25
(x 2 ─ 4x + 4) + (y 2 + 6y + 9) = 25
Recordemos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula
general:
x 2 + y 2 ─ 4x + 6y + 4 + 9 ─ 25 = 0
x 2 + y 2 ─ 4x + 6y ─ 12 = 0
que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2, ─3 y cuyo radio
es 5.
Método con las fórmulas conocidas
Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas
Si entonces D = ─ 2a
Si entonces E = ─ 2b
Si entonces F = a 2 + b 2 ─ r 2
Recordemos que C (2, ─3) corresponde a C (a, b)
Entonces, hacemos:
F = 4 + 9 ─ 25 = ─12
Si recordamos que la estructura de la ecuación general de la circunferencia es
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
y en ella sustituimos los valores ahora conocidos de D, E y F, tendremos
x 2 + y 2 + ─4x + 6y + ─12 = 0
x 2 + y 2 + ─4x + 6y ─12 = 0
Obtenemos la misma ecuación general de la circunferencia que logramos mediante el método del
desarrollo.
ACTIVIDADES:
OBTENER LA ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA, TABULAR Y GRAFICAR
SEGÚN LOS DATOS DADOS.
1.- centro (0,5) radio = 3
2.- centro (0,-5) radio = 4
3.- centro (3,3) radio = 5
4.- centro (-3,4) radio = 4
5.- centro (5,-2) radio = 3
6.- centro (-4,-4) radio = 2
7.- centro (5,-5) radio = 2
8.- centro (3,5) radio = 5
TEMA: LA CIRCUNFERENCIA
SEMANA: 5
OBJETIVO: EL ALUMNO IDENTIFICA Y TRASLADA LA CIRCUNFERENCIA A
DIFERENTES MODOS DE REPRESENTACIÓN (ALGEBRAICO, GRÁFICO, TABULAR Y DE LENGUAJE COMÚN).
EXPLICACIÓN:
LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación general de la circunferencia
a).- Con centro en el origen.
Ejemplo: Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 6,3 y
cuyo centro se encuentra en C(0,0)
ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.
Si conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir sus cuadrados,
obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, asi:
Demostración:
Ejemplo:
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C (2;6) y radio r = 4
(x - 2)² + (y - 6)² = 4²
X² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
X² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
X² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
X² + y² - 4x - 12y + 24 = 0
ACTIVIDADES
1.- Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4
2.- Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C (2;6) y radio r = 4
3.- Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo radio es 3 y tiene de centro (1.5, -2)
1.- Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es C (2;- 6) y con radio r = 5
2.- Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C (-2;4) y radio r = 10
3.- Hallar la ecuación general de la circunferencia cuyo radio es 5 y tiene de centro (3, -2)
TEMA: LA CIRCUNFERENCIA
SEMANA: 6
OBJETIVO: EL ALUMNO UTILIZA RECURSOS TECNOLÓGICOS COMO PUEDEN
SER: CALCULADORA GRÁFICA, COMPUTADORA Y SOFTWARE PARA GEOMETRÍA ANALÍTICA O CUALQUIER RECURSO DE LAS TIC EN EL CUAL PUEDAN APOYAR Y REFORZAR EL APRENDIZAJE DE CIRCUNFERENCIA.
EXPLICACIÓN:
LA CIRCUNFERENCIA
Problemas contextuales
* Ana se ha montado en el caballo que está a 3.5 m del centro de
una plataforma que gira y su amiga Laura se ha montado en el león
que estaba a 2 m del centro. Calcular el camino recorrido por cada
una cuando la plataforma ha dado 50 vueltas.
Solución:
* Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden
describir como máximo un ángulo de 146°. Calcula el espacio
recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en
su balanceo es el máximo.
* La rueda de un camión t iene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido
el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?
r = 90 : 100 = 0.9 m L = 2 · π · 0.9 = 5.65 m
5.65 · 100 = 565 m
* Un faro barre con su luz un ángulo plano de 128°. Si el alcance
máximo del faro es de 7 millas, ¿cuál es la longitud máxima en
metros del arco correspondiente? 1 milla = 1852 m
* La longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área
del círculo?
ACTIVIDADES
Resuelve en cada caso aplicando las formulas correspondientes.
a El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio
del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.
b) Hal lar el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del
triángulo equi látero inscrito, siendo 2 cm el radio de la
circunferencia.
c) Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm
respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un
ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.
d) En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada
en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio.
Calcula el área de la zona de paseo.
e) La superficie de una mesa está formada por una parte central
cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados
opuestos. Calcula el área.
TEMA: LA ELIPSE
SEMANA: 7
OBJETIVO: EL ALUMNO IDENTIFICA Y TRASLADA LA ELIPSE A DIFERENTES
MODOS DE REPRESENTACIÓN (ALGEBRAICO, GRÁFICO, TABULAR Y DE LENGUAJE COMÚN).
EXPLICACIÓN:
LA ELIPSE
Como lugar geométrico
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias
a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
Elementos de una elipse
La elipse y algunas de sus propiedades geométricas.
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:
• El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
• El semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
Puntos de una elipse
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje mayor. La suma de
las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud
del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un
punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación: PF1 + PF2 = 2a
donde “a” es la medida del semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El resultado de la
suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y equivale al eje mayor. El eje
menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son
perpendiculares entre sí.
Excentricidad de una elipse
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (longitud del
segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letra c, y
su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.
ɛ = a
c con (1 ≤ ɛ ≥ 0)
Dado que c = 22 ba − ; también vale la relación:
ɛ = 2
22
a
ba −
=
La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se
aproxime su excentricidad al valor cero.5 La designación tradicional de la excentricidad es la letra
griega ε llamada épsilon.
(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales
o neperianos. Véase: número e)
Ejemplo:
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los
vértices y la excentricidad de la siguiente elipse.
Solución
ACTIVIDADES
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices
y la excentricidad de las siguientes elipses.
TEMA: LA ELIPSE
SEMANA: 8
OBJETIVO: EL ALUMNO IDENTIFICA Y TRASLADA DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN
DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN, CON EJE MAYOR SOBRE EL EJE “X”:
EXPLICACIÓN:
LA ELIPSE FUERA DEL ORIGEN
Elipse con centro fuera del origen (partes) Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje x,
se obtiene la siguiente ecuación:
(x – h)2 /a2 + (y – k)2/b2 = 1
Los elementos de la elipse son:
Centro: (h,k)
Vértices: V(h+a,k), V'(h-a,k)
Focos: F(h+c,k), F'(h-c,k)
Vértices del eje menor: B(h,k+b) B'(h,k-b)
Excentricidad: c/a
LR: 2b2/a
Si el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano y su eje focal es paralelo al eje y,
se obtiene la siguiente ecuación.
(x – h)2 /b2 + (y – k)2/a2 = 1
Los elementos de la elipse son:
Centro: (h,k)
Vértices: V(h,k+a), V'(h,k-a)
Focos: F(h,k+c) F'(H,k-c)
Vértices del eje menor: B(h+b,k) B'(h-b,k)
Excentricidad: a/e
LR: 2b2/a
Ejemplo 1:
Una elipse con centro en el punto C(3,2), un foco en F(6,2) y A(8,2) ¿qué
ecuación tiene?
Respuesta:
Solución
La representamos gráficamente:
Distancia focal semieje mayor
semieje menor
Trasladamos el centro de esta elipse al origen de coordenadas y obtenemos:
Ejemplo 2:
Sabemos que una elipse tiene su centro en ¿Cuál es
su ecuación?
Respuesta:
ACTIVIDADES
Representa gráficamente y determina los elementos de la elipse que faltan.
1.- Bosquejar la gráfica de la elipse 36
)6( 2−y+
16
)3( 2+x = 1
2.- Los focos de la elipse son F´(2,4), (2,10) y uno de sus vértices A (2,12)
obtener su ecuación y bosquejar su gráfica.
3.- Los vértices de una elipse son A ( -2,-3) , A(8,-3) y la magnitud de su lado
recto LR = 5
32, obtenga su ecuación y bosquejar su gráfica
4.- Una elipse tiene centro C (1, -4), foco F (1,6) y vértice A´( -2,-4) obtenga su
ecuación y bosquejar su gráfica.
TEMA: LA ELIPSE
SEMANA: 9
OBJETIVO: EL ALUMNO IDENTIFICA Y TRASLADA DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN
DE LA ELIPSE EN SU FORMA GENERAL DE LA ELIPSE AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0
EXPLICACIÓN:
ECUACION GENERAL DE LA ELIPSE.
Ecuación general de la elipse
Hasta ahora no nos hemos referido a la ecuación general de la elipse.
Una ecuación como:
se refiere a la ecuación general de la elipse
La obtenemos de un modo sencillo basándonos en la ecuación de la elipse con centro en y no en
el origen de coordenadas.
Escribimos, según lo que acabas de estudiar, del modo siguiente:
Haciendo operaciones tenemos:
Ordenamos:
Damos los valores siguientes a:
Sustituyendo en (I) obtenemos:
que es la ecuación general de la elipse.
Observa que los coeficientes de A y B tienen el mismo signo.
26.16 Sabemos que una elipse tiene su centro en ¿Cuál es su ecuación?
Respuesta:
Convertir de la forma ordinaria o canónica a su forma general la ecuación anterior.
a) Se busca el mínimo común múltiplo (mcm) y se pone como divisor:
400
)1(25)1(16 2 ++− yx= 1
b) El divisor se envía al segundo miembro y se resuelven, los binomios:
16(x2-2x+1) + 25(y2+2y+1) = 400
c) Se resuelven las multiplicaciones del primer miembro:
16x2-32x+16 + 25y2+50y+25 = 400
d) Se ordenan todos los términos al primer miembro y se iguala a cero:
16x2+25y2-32x+50y +16+25-400= 0
e) La ecuación en forma general es: 16x2+25y2-32x+50y +359= 0
ACTIVIDADES
Obtener la ecuación general de las ecuaciones siguientes.
1.- Bosquejar la gráfica de la el ipse 36
)6( 2−y+
16
)3( 2+x = 1
2.- Los focos de la el ipse son F´(2,4), (2,10) y uno de sus vértices A (2,12) obtener su
ecuación y bosquejar su gráfica.
3.- Los vértices de una elipse son A ( -2,-3) , A(8, -3) y la magnitud de su lado recto LR
= 5
32, obtenga su ecuación y bosquejar su gráfica.
4.- Una elipse t iene centro C (1, -4), foco F (1,6) y vértice A´( -2,-4) obtenga su
ecuación y bosquejar su gráfica.
TEMA: HIPERBOLA
SEMANA: 10
OBJETIVO: EL ALUMNO IDENTIFICA LA DEFINICIÓN DE LA HIPÉRBOLA COMO
LUGAR GEOMÉTRICO.
EXPLICACIÓN:
ECUACION DE LA HIPERBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN.
Definición
Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas
obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el
de la generatriz respecto del eje de revolución.
Historia
Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas del cono.
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del
problema de la duplicación del cubo donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte
de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratostenes
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,
considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio
de las tangentes a secciones cónicas.
Ecuaciones de la hipérbola
Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de
coordenadas (0,0) y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
2
2
a
x
- 2
2
b
y
= 1
Ejemplos:
a) 25
2x
- 9
2y
= 1
b) b) 25
2y
- 9
2x
= 1
Si el eje x es positivo, entonces la hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical.
La excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno.
Otros ejemplos:
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los
vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas.
ACTIVIDADES
Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los
vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas.
TEMA: HIPERBOLA
SEMANA: 11
OBJETIVO: EL ALUMNO IDENTIFICA LA ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA
AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0
EXPLICACIÓN:
FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA HIPERBOLA.
Desarrollando las ecuaciones de la hipérbola, escritas en su segunda forma ordinaria tenemos que:
a) Eliminando denominadores y desarrollando los binomios al cuadrado, resulta:
Eje focal x Eje focal y
2
2)(
a
hx −-
2
2)(
b
ky − = 1
2
2)(
a
ky − -
2
2)(
b
hx − = 1
22
2222 )()(
ba
kyahxb −−−=1
22
2222 )()(
ba
hxakyb −−−=1
b2(x2-2xh+h2)-a2(y2-2ky+k2)= a2b2
b2x2- 2b2hx+ b2h2- a2y2+ 2a2ky- a2k2 - a2b2= 0
b2x2 - a2y2 -2b2hx+2a2ky +b2h2 - a2k2- a2b2= 0 Ecuación 4
b2(y2-2ky+k2) - a2(x2-2hx+h2)= a2b2
b2y2- 2b2ky+ b2k2- a2x2+ 2a2hx- a2h2 - a2b2= 0
b2y2 - a2x2 + 2a2hx – 2b2ky - a2h2 + b2k2- a2b2= 0 Ecuación 5
Para la ecuación 4, establecemos las siguientes igualdades:
A=b2; C = -a2; D = -2b2h; E= 2a2k y F= b2h2-a2k2-a2b2
Sustituyendo, resulta:
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0; la cual es la ecuación de la hipérbola de eje focal paralelo al eje “x”, escrita
en su forma general.
Para la ecuación 5, establecemos las siguientes igualdades:
A=b2; C = -a2; D = -2a2h; E= - 2b2k y F= -a2h2+ b2k2- a2b2
Sustituyendo, resulta:
Ay2+Cx2+Dx+Ey+F=0; la cual es la ecuación de la hipérbola de eje focal paralelo al eje “y”, escrita
en su forma general.
Los coeficientes A y C de ambas ecuaciones generales deben ser de signo diferente.
Ejemplo ilustrativo sobre la transformación de la ecuación de la hipérbola de segunda forma
ordinaria a la forma general.
El centro de una hipérbola es el punto O´ (5,4) y uno de sus focos es F (5,8); si la excentricidad de
la hipérbola es 2, determinar su ecuación en la forma general y todos los elementos
correspondientes.
Solución
Dado que el foco F (5,8) y el centro O´(5,4) de la hipérbola están sobre el eje
focal y de acuerdo a sus coordenadas, se observa que tienen la misma abcisa(5),
por lo que se deduce que dicho eje es paralelo al eje “y”; por lo tanto la
ecuación de la hipérbola por aplicar en su segunda forma ordinaria, es:
2
2)(
a
ky − -
2
2)(
b
hx − = 1
El centro de la hipérbola es el punto medio del segmento FF´; por lo que se
deduce que las coordenadas del otro foco F´es (5,0).
La distancia entre los focos es: 2c= 8 por lo que c=4 y c 2= 16.
Si la excentricidad de la hipérbola esa
c = 2 y como c = 4, tenemos que:
a
4=2 por lo tanto a=2 y a2= 4
Por la relación pitagórica b 2= c2-a2 , resulta: b2=16-4 = 12 y b= 12 .
Las coordenadas de los vértices son:
V(h,k+a) V´(h,k-a)
V(5,4+2) V´(5,4-2)
V(5,6) V´(5,2)
Las coordenadas de los puntos extremos del eje conjugado, son:
A (h+b, k) A´(h-b, k)
A (5+2 3 ,4) A´(5-2 3 ,4)
La longitud del semieje transverso es a=2 y la del eje trasverso es 2a= 4
La longitud del semieje conjugado es b= 2 3 y la del eje conjugado es 2b=4
3
La longitud del lado recto es: LR =a
b22=
2
)12(2= 12
La ecuación de la parábola en su segunda forma ordinaria es:4
)4( 2−y -
12
)5( 2−x=1
Transformando la ecuación de la hipérbola de su segunda forma ordinaria a
la forma general, tenemos:
12
)5()4(3 22 −−− xy= 1} Eliminando denominadores y desarrollando los
binomios al cuadrado, resulta: 3(y 2-8y+16)-(x2-10x+25) =12
3y2-24y+48-x2+10x-25-12=0
3y2 - x2 + 10x - 24y - 37=0
Ecuación de la hipérbola de eje focal paralelo al eje “y”, escrita en su forma
general.
ACTIVIDADES
Transforma las ecuaciones ordinarias de las hipérbolas siguientes a su forma general.
9
)3( 2+x -
4
)1( 2−y= 1
9
)1( 2−y -
4
)2( 2−x = 1
25
)2( 2−x -
16
)1( 2+y= 1
25
)2( 2+y-
9
)1( 2−x= 1
TEMA: PARABOLA
SEMANA: 12
OBJETIVO: DEFINICIÓN DE LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.
PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL VERTICAL: X2 =4PY Y EJE FOCAL HORIZONTAL: Y2 = 4PX
EXPLICACIÓN:
ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN.
Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas en ecuaciones
y coordenadas definidas sobre un plano cartesiano..
Pues bien, una parábola es una forma geométrica.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de
elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría ).
Eje focal (o de simetría) (ef.): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y
pasa por el vértice.
Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al
interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y
fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco , así
como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:
En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de coordenadas y puede
estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha.
Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el
origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano) , y según esto, tenemos cuatro posibilidades de
ecuación y cada una es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje
focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la
derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con
el “parámetro p”), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la
directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:
De lo anterior resulta:
(trazo PD igual al trazo PF)
El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para
calcular distancia entre dos puntos.
El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0) , y también podemos usar la fórmula
para calcular la distancia entre ellos:
Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:
Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:
(x + p) 2 = (x – p) 2 + y 2
x 2 + 2px + p 2 = x 2 – 2px + p 2 + y 2
x 2 + 2px + p 2 – x 2 + 2px – p 2 = y 2
Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:
y 2 = 4px
que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica .
Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre).
Veamos ahora las cuatro posibilidades:
Primera posibilidad
La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en e l eje de las
abscisas “ X”
Ecuación de la parábola y 2 = 4px
Ecuación de la directriz x + p = 0
Segunda posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “ X”.
Ecuación de la parábola y 2 = –4px
Ecuación de la directriz x – p = 0
Tercera posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo) en el eje de las ordenadas “ Y” .
Ecuación de la parábola x 2 = 4py
Ecuación de la directriz y + p = 0
Cuarta posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas “Y”.
Ecuación de la parábola x 2 = –
4py
Ecuación de la directriz y – p =
0
Ejemplo:
Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y que contiene al
punto B(3, 4), además su eje de simetría (o eje focal) es paralelo al eje X.
Resolución:
El punto B (3, 4) nos indica que X = 3 Y = 4
Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación
Entonces la ecuación será
Y el Foco estará en el punto 4/3, 0
Vemos que 4/3 corresponde al valor de p, y como la directriz está a la misma distancia de p respecto
al vértice, pero hacia el lado contrario, entonces, la directriz será:
ACTIVIDADES
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen en cada uno de los siguientes
casos.
• Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice coincide con el origen de
coordenadas y pasa por el punto (3, 4), siendo su eje OX.
• Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta
directriz.
• Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta
directriz.
• De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
• De foco (2, 0), de vértice (0, 0).
TEMA: PARABOLA
SEMANA: 13
OBJETIVO: DEFINICIÓN DE LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.
PARÁBOLA CON VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN (X – h)2 = 4P (Y-k) Y (Y – k)2 = 4P (X-h)
EXPLICACIÓN:
ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE FUERA DEL ORIGEN.
Cuando el vértice de la parábola se localiza en cualquier punto, por convención ubicado en
las coordenadas (h, k) , y distinto al origen, la ecuación que describe a la parábola cambia en
función de la posición de este punto y de la orientación de apertura respecto de los ejes x e y .
Debido a estas características, también tenemos cuatro posibilidades de ecuaciones de parábolas
cuyo vértice está fuera del origen del sistema de ejes coordenados.
Primera posibilidad
Que la parábola se abra hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas “X”.
Ecuación de la parábola (y – k) 2 = 4p(x – h)
Ecuación de la directriz x – h + p = 0
Segunda posibilidad
Que la parábola se abra hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “ X”.
Ecuación de la parábola (y – k) 2 = 4p(x – h)
Ecuación de la directriz x – h – p = 0
Tercera posibilidad
Que la parábola se abra hacia arriba (sentido positivo) del eje de las ordenadas “Y”
Ecuación de la parábola (x – h) 2 = 4p(y –
k)
Ecuación de la directriz y – k + p = 0
Cuarta posibilidad
Que la parábola se abra hacia abajo (sentido negativo) del eje de las ordenadas “Y”.
Ecuación de la parábola (x – h) 2 = –4p(y – k)
Ecuación de la directriz y – k – p = 0
Recuerde que en todos los casos anteriores la longitud del lado recto siempre será LR= 4p.
Veamos unos ejemplos:
Ejemplo 1: Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el punto (3,2) y foco en (5,2).
Desarrollo:
Al analizar las coordenadas de vértice (3, 2) y foco (5, 2), vemos que su ordenada es común (y = 2),
por lo que se concluye que están alineados horizontalmente y que el foco está a la derecha del
vértice.
Según ya vimos, en este caso la ecuación que resulte tiene la forma
(y – k) 2 = 4p(x – h)
Siendo las coordenadas del vértice (h, k), se sustituyen en la ecuación y resulta: (y – 2) 2 = 4p(x –
3)
En donde el parámetro p representa la distancia del vértice al foco, que podemos calcular por
diferencia de las abscisas correspondientes:
p = 5 – 3 p = 2
Sustituyendo:
(y – 2) 2 = 4(2)(x – 3) Queda (y – 2) 2 = 8(x – 3),
ecuación escrita en la forma ordinaria o canónica.
Ejemplo 2
Determine las coordenadas del vértice (V), del foco (F), la longitud del lado recto (LR) y la
ecuación de la directriz (D), en una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es (x + 6) 2 = –24(y
– 2)
Desarrollo
Estando la x al cuadrado en (x + 6) 2 y siendo negativo el término –24 sabemos de inmediato que la
parábola representada en la ecuación es vertical y se abre hacia abajo (sentido negativo de las
ordenadas).
Por lo tanto, la forma de dicha ecuación será: (x – h) 2 = –4p(y – k)
Ahora, si las coordenadas del vértice corresponden con los valores de h y k (+6, –2) , y los
reemplazamos en la ecuación dada
Tendremos
Que nos entrega las coordenadas del vértice V = (–6, 2)
Además, los datos nos indican que – 4p = –24
Lo cual significa que la longitud del lado recto (LR) es –24 y por lo tanto
Entonces la distancia focal es 6 (igual a p).
Las coordenadas del foco se obtienen por la abscisa del vértice (–6) y por la diferencia (la resta)
entre la ordenada del vértice (2) y la distancia focal (6):
F = (–6, 2 – 6) F = (–6, –4)
Para determinar ecuación de la directriz se sustituyen los datos conocidos p y k en:
y – k – p = 0 y – 2 – 6 = 0
Resolviendo la ecuación queda:
y – 8 = 0 y = 8
ACTIVIDADES
Encuentra la ecuación de la parábola con vértice fuera del origen en cada uno de los siguientes
casos.
De foco (3, 2), de vértice (5, 2).
De foco (-2, 5), de vértice ( -2, 2).
De foco (3, 4), de vértice (1, 4).
TEMA: PARABOLA
SEMANA: 14
OBJETIVO: DEFINICIÓN DE LA PARÁBOLA COMO LUGAR GEOMÉTRICO Y SU
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA. AX2 + CY2 + DX + EY + F = 0
EXPLICACIÓN:
ECUACION GENERAL DE LA PARABOLA.
En todos los casos, la estructura de la ecuación de la parábola tiene las siguientes características:
Existe solamente una variable al cuadrado (x2 o bien y2) y otra lineal.
El coeficiente de la variable lineal (4p) (el coeficiente es el 4) representa la proporción del lado
recto con respecto de la distancia focal (debemos recordar que la distancia focal es la distancia
entre el foco y el vértice).
Pero además de lo anterior, desde el punto de vista de las estructuras algebraicas, la ecuación de la
parábola es una ecuación de segundo grado, que puede expresarse en la forma general de
ecuaciones de este tipo.
Obtención de la ecuación general de la parábola
Para llegar a dicha expresión o forma general, es necesario desarrollar algebraicamente la forma
ordinaria o canónica de la ecuación.
Tomando como ejemplo la forma: (x – h)2 = 4p(y – k)
Desarrollando resulta: x 2 – 2hx + h 2 = 4py – 4pk x 2 – 2hx + h 2 – 4py + 4pk = 0
Multiplicando la ecuación por un coeficiente “A” con la intención de generalizar, y considerando A
≠ 0 , tendremos:
Ax 2 – 2Ahx + Ah 2 – 4Apy + 4Apk = 0
Reordenando: Ax 2 – 4Apy – 2Ahx – Ah 2 + 4Apk = 0
Ax 2 – 4Apy – 2Ahx + A(h 2 + 4pk) = 0
Haciendo que los coeficientes de las variables sean: –4Ap = B; –2Ah = C;A(h 2 + 4pk) = D
Sustituyendo los coeficientes B, C y D en la ecuación, nos queda: Ax 2 + Bx + Cy + D = 0
que es la ecuación de una parábola horizontal en su forma general.
Análogamente, para una parábola de orientación vertical, la ecuación en su forma general será:
Ay 2 + Bx + Cy + D = 0
Ejemplo I
Una parábola tiene vértice en el punto (–4, 2) , y su directriz es y = 5 , encuentre su ecuación y
exprésela en la forma general.
Desarrollo
Analizando las coordenadas del vértice y la posición de la directriz, se puede concluir que:
a) La directriz es paralela al eje de las abscisas, por lo tanto la posición de la parábola es vertical.
b) La directriz corta al eje de las ordenadas en un valor (5) mayor que la ordenada del vértice (2),
por lo tanto la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo del eje de las Y).
c) Las coordenadas del vértice no corresponden con las del origen.
d) Dado lo anterior, se trata entonces de una parábola cuya ecuación ordinaria o canónica es del
tipo:
(x – h) 2 = –4p (y – k)
De las coordenadas del vértice se obtiene: h = –4; k = 2
Se obtiene p por diferencia entre las ordenadas del vértice y de la directriz, resultando: p = 5 – 2; p
= 3
Sustituyendo valores en la ecuación ordinaria, resulta:
(x – h) 2 = –4p(y – k); (x – (–4)) 2 = –4 (3) (y – (+2))
(x + 4) 2 = –12(y – 2); (x + 4) 2 = –12y + 24
Desarrollando el binomio al cuadrado
(x + 4) (x + 4) = x 2 + 8x + 16; x 2 + 8x + 16 = +12y – 24
Simplificando e igualando a cero la ecuación se tiene:
x 2 + 8x + 16 + 12y – 24 = 0; x 2 + 8x + 12y – 8 = 0
Que es la ecuación buscada.
Calcular los parámetros de la parábola si nos dan su ecuación general.
Reducción de la ecuación de una parábola
Dada una ecuación del tipo: Ax 2 + Bx + Cy + D = 0
o del tipo: Ay 2 + Bx + Cy + D = 0,
siempre es posible reducir la ecuación de una parábola . Para ello se completa un cuadrado y se
manipula adecuadamente el otro miembro.
Ejemplo II
Dada la ecuación de la parábola: y 2 + 8y – 6x + 4 = 0,
encuentre las coordenadas del vértice y del foco, así como la ecuación de su directriz.
Una forma de obtener los elementos solicitados consiste en reducir la ecuación general
anterior llevándola a la forma ordinaria o canónica.
Como primer paso, se separan a diferentes miembros la variable al cuadrado (y 2 ) y la variable
lineal (6x) junto con el término independiente (–4)
y 2 + 8y = 6x – 4
Con la intención de factorizar se procede a la adición (en ambos miembros de la ecuación) de un
término adecuado para que se complete el trinomio cuadrado perfecto :
En este caso ese número es 16, que se obtiene dividiendo a la mitad el valor numérico del factor
lineal (el 8 de 8y) y el resultado elevado al cuadrado:
8/2 = 4 y 4 2 = 16 (8 dividido 2 es igual a 4 y 4 al cuadrado es 16)
Y 16 lo sumamos a ambos lados de la ecuación: y 2 + 8y + 16 = 6x – 4 + 16
Simplificando: y 2 + 8y + 16 = 6x + 12
Factorizando resulta:
El trinomio cuadrado y 2 + 8y + 16 que se convierte en cuadrado de binomio (y + 4) 2
y 2 + 8y + 16 = (y + 4) 2
Y el segundo miembro queda: 6x + 12 = 6(x + 2)
Entonces, la ecuación queda así: (y + 4) 2 = 6(x + 2)
Que es la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen, horizontal, y que se abre
hacia la derecha, en el sentido positivo del eje de las abscisas, según lo visto anteriormente.
(y – k) 2 = 4p(x – h)
Con lo cual se puede determinar que: k = – 4; h = – 2
Por lo tanto, el vértice tiene las coordenadas V (–2, –4)
Además:
Si 4p = 6 entonces p = 6/4 = 3/2
Considerando la orientación ya señalada de la parábola y el valor de p , es posible determinar la
posición del foco, ya que éste estará alineado a la derecha del vértice a una distancia p desde h , y
con la misma ordenada k , resultando:
F(h + p, k); F(–2 + 3/2, –4); F(–1/2, –4)
La ecuación de la directriz se obtiene de x – h + p = 0
Resultando:
x – (– 2) + (3/2) = 0; x + 4/2 + 3/2 = 0; x + 7/2 = 0; x = –7/2
Ejemplo III
Veamos otro ejemplo, tenemos la ecuación desarrollada
3x2-4x-6y+8=0
Siempre que una variable esta elevada al cuadrado se trata de una parábola.
Para determinar si corresponde a una parábola, debe semejarse a:
(x – h) 2 = 4p(y – k)
que es la ecuación de una parábola de eje vertical, abierta hacia arriba .
Para llevar la ecuación desarrollada a la forma (x – h) 2 = 4 p (y – k) usaremos el método de
completar el trinomio, para llevarlo a cuadrado perfecto:
3x 2 – 4x – 6y + 8 = 0
Empezamos separando las variables en cada miembro:
Pasar los términos sin "x" al lado derecho de la ecuación
3x 2 – 4x = 6y – 8
dividir toda la ecuación por el coeficiente de la variable cuadrática, en este caso es 3, para quedar
x 2 – 4/3 x = 2y – 8/3
Obtener la mitad de 4/3
(4/3) / 2 = 2/3
Y elevarla al cuadrado
(2/3) 2 = 4/9
Sumar 4/9 en ambos lados de la ecuación (de la parábola)
x 2 – 4/3 x + 4/9 = 2y – 8/3 + 4/9
Factorizar y simplificar
(x – 2/3) 2 = 2y – 20/9
Factorizar por 2 en el lado derecho
(x – 2/3) 2 = 2 (y – 10/9)
Entonces
h = 2/3; k = 10/9; 4p = 2 ------> p = 2/4 = 1/2
ACTIVIDADES
Realiza lo que se indica en cada ejercicio.
1) Encuentre el vértice, foco, la ecuación de la directriz, así como la longitud del lado recto de las
parábolas siguientes:
a) y = x 2 – 4x + 2
b) y 2 + 14y + 4x + 45 = 0
2) Determine la ecuación de la parábola que tiene por vértice al punto (–3, 5), de eje paralelo al eje
X y que pasa por el punto (5, 9)
3) Encuentre la ecuación de la parábola, en su forma general, que pasa por los puntos (2, 5), (–2, –
3) y (1,6)
4) Encuentre la ecuación en forma general de la parábola con foco en (0, 6) y con directriz
superpuesta al eje X
5) Encuentre la ecuación en forma general de la parábola que tiene foco en (–2, 3) y cuyos
extremos del lado recto son (–2, 2) y (–2, 4).
![Platón - Diálogos V - Parménides-Teeteto-Sofista-Político [Gredos]](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/55cf9d20550346d033ac5948/platon-dialogos-v-parmenides-teeteto-sofista-politico-gredos.jpg)
