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Preparo 1.º ESO
Los números grandes .............................................................................. 2 5 0
Propiedades de las potencias .................................................................. 2 5 2
Múltiplos y divis ores ................................................................................ 2 5 4
Números primos y números compues tos .................................................. 2 5 6
Des compos ic ión en factores primos ......................................................... 2 5 8
Coordenadas y números negativos ........................................................... 2 6 0
Sumas y res tas combinadas .................................................................... 2 6 2
Suma y res ta de fracc iones ..................................................................... 2 6 4
Algunos problemas con fracc iones ........................................................... 2 6 6
Cálculo rápido de porcentajes .................................................................. 2 6 8
Un porcentaje expres a una proporción ...................................................... 2 7 0
Los ángulos en los po lígonos ................................................................... 2 7 2
Índice
©G
RU
PO
AN
AY
A,
S.A
., M
ate
máticas 6
.º E
ducació
n P
rim
ari
a.M
ate
rial fo
tocopia
ble
auto
rizado.
250
1 Es cribe cómo s e leen es tos números :
A 8 .................................................................................................................................
.................................................................................................................................
B 8 .........................................................................................................................
Los números grandes
• Un año tiene treinta y un millones y medio de segundos.
• La Tierra tiene seis mil quinientos millones de habitantes.
• Un año luz equivale a nueve billones y medio de kilómetros.
• Mil millares hacen UN MILLÓN 8 1 000 000
• Mil millones hacen UN MILLARDO 8 1 000 000 000
• Mil millardos hacen UN BILLÓN 8 1 000 000 000 000
Aprende los órdenes de unidades de números con más de nueve cifras:
C
MILLONES
10 5 330 6
M
0 0 0
MILLARES
N.° DE SEGUNDOS
QUE HAY EN UN AÑO
N.° DE HABITANTES
DE LA TIERRA
N.° DE KILÓMETROS
DE UN AÑO LUZ
MILES DEMILLONES
D U
0 00
06 0 005 00 0 00 00
00 0 008 00 0 09
0
0
0 64
BILLONES
Manejamos números de más de nueve cifras
APLICO LO APRENDIDO
Act ividades
C
MILLONES
48 0 075 0
M
0 0 0
MILLARESMILES DEMILLONES
D U
1
00 0 000 00 0 02 001B
A
BILLONES
©G
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S.A
., M
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251
3 Es cribe cómo s e leen es tos números :
a) 1 4 8 2 0 0 0 0 0 0 8 ...........................................................................................................
...........................................................................................................
b) 3 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 .......................................................................................................
.......................................................................................................
c) 5 0 2 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 8 ....................................................................................................
....................................................................................................
d) 1 7 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 ..................................................................................................
...................................................................................................
4 Es cribe con c ifras .
a) Novecientos c incuenta y dos millones 8 .............................................
b) Doce mil s e tec ientos millones 8 .......................................................
c ) Tres c ientos c incuenta mil millones 8 ............................................................
d) Quince billones ochocientos mil millones 8 ............................................................
5 Completa con c ifras .
a) En c ien millones hay .............................. millares .
b) En mil millones hay ......................... centenas de millar.
c ) En un billón hay ........................................ de millones .
AVANZO
6 Redondea.
6 342 850 000 000
15 823 072 000 000
6 752 629 000 000
12 568 472 000 000
A LOS MILES DE MILLONES A LOS BILLONES
2 Escribe en la tabla: cuatro mil setecientos millones y dos billones , seiscientos mil millones .
CM D U
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252
Propiedades de las potencias
Operamos con potencias
1 Calcula como s e ha hecho en e l e jemplo y comprueba que
los res ultados co inciden.
(4 · 5 )2 = 2 0 2 = 4 0 0 8 4 2 · 5 2 = 1 6 · 2 5 = 4 0 0
a) (2 · 5 )3 = ..................................... 8 2 3 · 5 3 = ....................................................
b) (2 · 3 )4 = ..................................... 8 2 4 · 3 4 = ....................................................
c ) (5 · 3 )2 = ..................................... 8 5 2 · 3 2 = ....................................................
d) (2 · 1 0 )4 = ................................... 8 2 4 · 1 0 4 = ..................................................
APLICO LO APRENDIDO
Act ividades
• La potencia de un producto de dos números es igual al
producto de las potencias de los factores.
(a · b)4 = a4 · b4
EJEMPLO:
(2 · 3)3 = 63 = 6 · 6 · 6 = 216
23 · 33 = (2 · 2 · 2) · (3 · 3 · 3) = 8 · 27 = 216(2 · 3)3 = 23 · 33
• La potencia del cociente de dos números es igual al
cociente de las potencias del dividendo y del divisor.
(a : b)4 = a4 : b4
EJEMPLO:
(6 : 3)3 = 23 = 2 · 2 · 2 = 8
63 : 33 = (6 · 6 · 6) : (3 · 3 · 3) = 216 : 27 = 8(6 : 3)3 = 63 : 33
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253
2 Calcula como en e l e jemplo y comprueba que los res ultados
co inciden.
(1 0 : 2 )3 = 5 3 = 1 2 5 8 1 0 3 : 2 3 = 1 0 0 0 : 8 = 1 2 5
a) (3 0 : 6 )2 = ......................... 8 3 0 2 : 6 2 = ................................................
b) (8 : 4 )4 = ......................... 8 8 4 : 4 4 = ..................................................
3 Completa.
a) (4 · 5 )3 = 4.....
· 5.....
d) 1 8.....
: 6.....
= .....2
b) 6 5 : 3 5 = .....5
e ) 2 4 · ..........
= 6 4
c) 1 2.....
= 3 5 · .....5
f) 4 4 · 2 0.....
: ..........4
4 Expres a con una única potencia, como en e l cas o res ue lto .
2 4 · 5 4 = 1 0 4
a) 1 0 3 : 5 3 = .......... e ) 3 0 3 : 1 0 3 = ..........
b) 6 2 · 2 2 = .......... f) 1 0 3 · 5 3 = ..........
c ) 3 4 · 5 4 = .......... g) 1 8 2 : 9 2 = ..........
d) 2 4 5 : 8 5 = .......... h) 5 5 · 4 5 = ..........
a) 5 3 · 2 3 = 1 0 3 = .................................. c ) 1 6 5 : 8 5 = ...................................
b) 2 5 2 · 4 2 = 1 0 0 2 = ............................... d) 3 2 4 : 8 4 = ...................................
AVANZO
5 Reflexiona y calcula de la fo rma más s encilla.
a) (5 3 · 2 3 ) : 1 0 3 = ..............................................................
b) (5 0 4 : 5 4 ) : 1 0 3 = ............................................................
c ) (4 3 · 5 3 ) : 2 3 = ................................................................
d) (2 4 2 : 4 2 ) : 3 2 = ..............................................................
6 Calcula.
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254
Múltiplos y divisores
Reconocemos la relación de divisibilidad
Dos números están emparentados por la relación de divisibilidad cuando su
cociente es exacto. Y entonces decimos que:
• El mayor es múltiplo del menor.
• El menor es divisor del mayor.
EJEMPLO:
1 Encuentra pare jas de números emparentados por la re la-
c ión de divis ibilidad.
APLICO LO APRENDIDO
8
540
08 40 = 8 · 5 8
40 es múltiplo de 8.
8 es divisor de 40.
división exacta
Cada divisor de un número lleva otro emparejado.
8
540
0
5
840
0
8 es divisor de 40.
5 es divisor de 40.
2 Rodea las pare jas de números que es tán emparentados por
la re lac ión de divis ibilidad y tacha las que no lo es tán.
8 8 8
40
8 8
• a es múltiplo de b
o lo que es igual
• b es múltiplo de a
si la división a : b es exacta.
8 5 1 8 1 2 5 5
1 5 9 2 7 6 4 2
5 - 5 0 0 1 2 - 3 6 1 5 - 8 4
1 3 7 - 5 4 8 2 2 5 - 2 2 2 5
Act ividades
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255
3 Es cribe «verdadero» o «fals o».
a) 2 0 es tá contenido exactamente 4 veces en 8 0 8 ..............................
b) 2 0 es múltiplo de 8 0 8 ..............................
c ) 8 0 es múltiplo de 2 0 8 ..............................
d) 2 0 es divis or de 8 0 8 ..............................
e ) 8 0 es divis or de 2 0 8 ..............................
4 Explica con c laridad por qué 5 9 8 es múltiplo de 1 3 .
AVANZO
8 Encuentra todos los múltiplos de 8 comprendidos entre 2 5 0
y 3 0 0 .
5 ¿ Es 2 2 divis or de 3 4 4 ? Explica tu res pues ta.
6 Es cribe los c inco primeros múltiplos de 1 5 .
7 Es cribe .
a) Los divis ores de 3 6 .
b) Los divis ores de 1 0 0 .
c ) Los divis ores de 1 3 .
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
..........................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
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256
Números primos y números compuestos
Diferenciamos los números que se pueden descomponer en factores
Los divisores de un número permiten expresarlo en
forma de producto.
EJEMPLO:
Los números, como 18, que se pueden descompo-
ner en factores más sencillos se llaman númeroscompuestos.
Sin embargo, hay números que solo tienen dos divi-
sores (el mismo número y la unidad) , lo cual impide
su descomposición.
EJEMPLO:
Los números, como 13, que no se pueden descom-
poner en factores más sencillos se llaman númerosprimos.
Un número primo solo tiene dos divisores: él mismo
y la unidad.
El número 1, como solo tiene un divisor, no se con-
sidera primo.
18 8 ( ) 8DIVISORES
1 - 2 - 3 - 6 - 9 - 18
1 Obs erva es tos números y di cuáles s on primos y cuáles com-
pues tos :
1 2 = 2 · 6 = 2 · 2 · 3
7 = 1 · 7
2 5 = 5 · 5
PRIMOS 8 .......................... COMPUESTOS 8 .....................................................
1 5 = 3 · 5
2 1 = 3 · 7
3 0 = 6 · 5 = 2 · 3 · 5
2 0 = 4 · 5 = 2 · 2 · 5
2 3 = 1 · 2 3
3 1 = 1 · 3 1
18 = 2 · 9
18 = 3 · 6
18 = 2 · 3 · 3
13 8 ( ) 8 13 = 3 · 1DIVISORES
1 - 13
COMPOSICIONES DE 18
NO SE PUEDE
DESCOMPONER
8 18 = 2 · 9
8 18 = 3 · 6
8 18 = 2 · 3 · 3
13 = 13 · 1
Números compuestos
APLICO LO APRENDIDO
Act ividades
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257
2 Completa.
4 Es cribe , ordenados de menor a mayor, todos los números pri-
mos menores que 3 0 .
3 Rodea los números primos y expres a como producto de dos
factores los compues tos .
5 Entre es tos números hay cuatro que son primos . Rodéalos .
AVANZO
a) 2 4 = 8 · ..... = 2 · ..... · 2 · 3 d) 2 6 = 2 · ..........
b) 4 0 = 4 · .......... = 2 · ..... · 2 · ..... e ) 5 0 = 2 · .......... = ..... · 5 · .....
c ) 7 2 = ..... · 9 = ..... · ..... · ..... · 3 · ..... f) 1 0 0 = 4 · 2 5 = 2 · ..... · 5 · .....
1 1 1 2
2 2 2 3
3 2 3 3
4 2 4 3
1 3 1 4
2 4
3 4
4 4
1 5
2 5
3 5
4 5
1 6 1 7
2 6 2 7
3 6 3 7
4 6 4 7
1 8 1 9
2 8 2 9
3 8 3 9
4 8 4 9
2 0
3 0
4 0
5 0
2 1
3 1
4 1
2 3 4
2 Ò 2 2 Ò 3
5 6 7 8 9 1 0
2 1 1 2 9
5 1 5 3 5 5 5 7
5 9
6 0 6 1 6 5 6 7
6 El número 2 0 0 es compues to . Exprés alo como :
a) Producto de dos factores 8 2 0 0 = .......... Ò ..........
b) Producto de tres factores 8 2 0 0 = .......... Ò .......... Ò ..........
c ) Producto de cuatro factores 8 2 0 0 = .......... Ò .......... Ò .......... Ò ..........
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Descomposición en factores primos
Expresamos en forma de producto de números primos
1 Utiliza e l cálculo mental y des compón en factores primos .
2 Utiliza e l cálculo mental y des compón en factores primos .
1 6 = .....................................
3 2 = .....................................
6 3 = .....................................
2 5 = .....................................
5 4 = .....................................
6 5 = ......................................
Un número, si no es primo, se puede descomponer en factores, y estos, a su
vez, en otros factores, hasta que todos sean primos.
EJEMPLO: Descomponer 36 en factores primos
Para conseguirlo, te puedes apoyar en el cálculo mental.
36 = 4 · 9 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32
Sin embargo, en la práctica, conviene actuar con método, teniendo en cuen-
ta los criterios de divisibilidad.
• 36 es divisible entre 2 8 36 : 2 = 18
• 18 es divisible entre 2 8 36 : 2 = 9
• 9 es divisible entre 3 8 9 : 3 = 3
• 3 es divisible entre 3 8 3 : 3 = 1
ò
36
18
9
3
1 36 = 22 · 32
COCIENTES
PARCIALES
FACTORES
PRIMOS
2
2
3
3
a) 8 = 2 · ..... = 2 · ..... · .....
b) 1 2 = ..... · 3 = ..... · ..... · 3
c ) 2 0 = 4 · 5 = ..... · ..... · 5
d) 2 7 = 3 · ..... = 3 · ..... · .....
e ) 4 0 = 4 · ..... = ..... · ..... · ..... · .....
f) 4 5 = 9 · ..... = ..... · ..... · 5
Para descomponer un número en factores primos ( factorizar) lo vamos
dividiendo entre sus factores primos: primero, entre 2 tantas veces como
sea posible; después, entre 3, entre 5…, y así sucesivamente, hasta obtener
1 en el cociente.
APLICO LO APRENDIDO
Act ividades
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3 Completa para des componer en factores primos .
6 Des compón en factores primos .
8 4 : 2 =
4 2 : 2 =
2 1 : 3 =
7 : 7 = 8 4 = 2 2 · ·
a) 5 0 4 b) 5 9 4 c) 9 9 0
AVANZO
ò
8 4
1
2
3
4 Completa para des componer en factores primos .
2 4
1 2
6
3
1
4 2
7
1
2 7 2
3 6
3
1
2
5 Des compón en factores primos .
9 0 1 2 0 1 5 4 2 6 0
7 2 = 2.....
· 3.....
4 2 = ..... · ..... · .....2 4 = 2.....
· .....
9 0 = ..................... 1 2 0 = ..................... 1 5 4 = ..................... 2 6 0 = .....................
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260
Coordenadas y números negativos
Localizamos puntos en el plano
1 Es cribe las coordenadas de los puntos que s e han s eñalado
en e l plano .
APLICO LO APRENDIDO
A (....., .....) F (....., .....)
B (....., .....) G (....., .....)
C (....., .....) H (....., .....)
D (....., .....) I (....., .....)
E (....., .....) J (....., .....)
Cada punto del plano se designa por sus dos coordenadas:
• La primera coordenada se llama «x del punto» o abscisa.
• La segunda coordenada se llama «y del punto» u ordenada.
Según la posición del punto, los valores de las coordenadas
pueden ser positivos, negativos o nulos.
Al origen de coordenadas se les suele designar con la
letra O. Sus coordenadas son (0, 0) . Es decir, O (0, 0) .
Los puntos que están en el eje Y tienen su abscisa igual
a 0: A (0, 3) .
Los que están a la derecha del eje Y tienen su abscisa
positiva, B(3, 2) , y los que están a la izquierda tienen su
abscisa negativa, C(–3, 2) .
La ordenada de los puntos que están en el eje X es 0:
D(–2, 0) , E(3, 0) .
Los que están por encima del eje X tienen su ordenada positiva, B(3, 2) , C(–3, 2) , y
los que están bajo el eje X tienen su ordenada negativa: F(–2, –4) , G (4, –2) .
Xx0
y P (x,y)
Y
EJE DEORDENADAS
EJE DEABSCISAS
A(0, 3)
E(0, 3)
O(0, 0)D(–2, 0)
C(–3, 2)
F(–2, –4)G(4, –2)
B(3, 2)
Act ividades
B
A
C
D
H
G
F
E
J
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2 Señala en e l plano la pos ic ión de cada punto .
A (5 , 1 ) B (4 , 0 ) C (1 , 4 )
D (0 , 1 ) E (–1 , 1 ) F (–5 , 4 )
G (–4 , 0 ) H (–1 , –3 ) I (0 , –2 )
J(–2 , –4 ) K (2 , –2 ) L (4 , –3 )
3 Dados los puntos :
A(1 , 2 ) B (5 , 3 ) C(6 , 0 ) D (2 , –1 )
a) Dibuja en e l plano de l cuadrilátero A, B, C,
D.
b) Dibuja s u s imétrico A'B'C'D' res pecto al
e je vertical.
c ) Es cribe las coordenadas de los vértices
de l s imétrico .
A' (–1 , 2 ) B' (....., .....)
C' (....., .....) D' (....., .....)
4 Los puntos : A (2 , 3 ), B (–3 , 3 ), C(–3 , –2 ) son tres de
los cuatro vértices de un cuadrado. Dibuja e l cuadrado
y es cribe las coordenadas de l cuarto vértice .
D (....., .....)
5 De un rectángulo MNPK, conocemos las coordenadas
de tres vértices :
M (4 , 0 ) N (–3 , –2 ) P (–4 , 2 )
Dibuja e l rectángulo y es cribe las coordenadas de l
cuarto vértice , K:
K (....., .....)
AVANZO
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262
Sumas y restas combinadas
Resolvemos sumas y restas de varios números
1 Observa cada gráfico y realiza la operación correspondiente .
+9 – 5 = +4A
B
C
D
2 Calcula teniendo en cuenta que los dos números tienen e l
mis mo s igno .
a) +6 + 2 = ..........
b) –2 – 1 = ..........
c ) +2 + 8 = ..........
d) –5 – 2 = ..........
e ) –3 – 3 = ..........
f) +8 + 4 = ..........
g) +6 + 9 = ..........
h) –1 1 – 5 = ..........
i) –1 0 – 8 = ..........
APLICO LO APRENDIDO
Para resolver expresiones con sumas y restas combinadas, sigue estos pasos:
1. Suma los números positivos y ponle al
resultado el signo «+».
2. Suma los números negativos y ponle al
resultado el signo «–».
3. Resta los dos resultados anteriores y
pon el signo del que tenga mayor valor
absoluto (valor sin signo) .
EJEMPLO
6 – 4 – 7 + 3 – 5 =
ô
= (6 + 3) – (4 + 7 + 5) =
ô
= +9 – 16 =
ô
= –7
+7 – 1 0 = ..........
+4 + 7 = ..........
–3 – 6 = ..........
+9
–5
Act ividades
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263
7 Calcula como en e l e jemplo .
–2 + 6 + 1 – 7 – 5 + 4 = (6 + 1 + 4 ) – (2 + 7 + 5 ) = 1 1 – 1 4 = –3
AVANZO
3 Realiza, teniendo en cuenta que los dos números tienen s ig-
nos diferentes .
a) +7 – 3 = ..........
b) +2 – 5 = ..........
c ) +4 – 6 = ..........
d) –5 + 9 = ..........
e ) –3 + 8 = ..........
f) –6 + 1 = ..........
g) –1 0 + 2 = ..........
h) –1 5 + 4 = ..........
i) +6 – 1 1 = ..........
4 Calcula.
a) +6 + 2 = ..........
b) +5 + 3 = ..........
c ) +2 + 8 = ..........
d) –5 – 2 = ...........
e ) –3 + 8 = ..........
f) –9 + 4 = ..........
g) +5 + 1 1 = ..........
h) –1 0 + 4 = ..........
i) –4 – 7 = ..........
6 Calcula.
a) +6 + 3 + 4 + 1 = ..........
b) –2 – 5 – 1 – 3 = ..........
c ) +6 + 5 – 1 – 4 = ..........
d) –3 – 5 + 7 + 2 = ..........
5 Calcula como en e l e jemplo res ue lto .
+2 – 5 + 6 = +2 + 6 – 5 = +8 – 5 = +3
a) +4 – 5 + 3 = +4 + 3 – 5 = .............................................
b) –6 + 3 + 8 = +3 + 8 – 6 = .............................................
c ) –5 + 3 – 2 = +3 – 2 – 5 = ..............................................
d) +6 – 4 – 7 = ..................................................................
a) +8 – 3 – 4 + 1 – 2 = .............................................................................................
b) –5 – 3 + 6 – 1 + 7 = .............................................................................................
c ) –9 + 5 – 8 + 2 + 7 = .............................................................................................
264
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., M
ate
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n P
rim
ari
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tocopia
ble
auto
rizado.
Suma y resta de fracciones
Sumamos y restamos fracciones de distinto denominador
1 Calcula reduciendo , primero , a común denominador.
APLICO LO APRENDIDO
Para sumar o restar fracciones, las reduciremos, primero, a común denomi-
nador, y tomaremos como denominador común el mínimo común múltiplo
de los denominadores.
+ =1
4
3
8
+ =5
8
1
4
3
8
= + = + = 5
8
2
8
3
8
1 · 2
4 · 2
3
8
mín.c.m. (8, 4) = 8
Tomaremos 8 como denominador común.
a) + = + = + = 1 Ò 3
5 Ò 3
1 Ò 5
3 Ò 5
1
5
1
3
b) – = – = – = 1 Ò 2
5 Ò 2
1 Ò 5
2 Ò 5
1
5
1
2
c) + = + = + = 4 Ò 36 Ò 2
3
4
1
6
d) – = 1
6
5
8
e ) – = 3
2 0
3
1 0
f) + = 5
1 8
5
1 2
}
+
+
Act ividades
EJEMPLO:
265
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A,
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., M
ate
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ducació
n P
rim
ari
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ate
rial fo
tocopia
ble
auto
rizado.
3 Calcula.
AVANZO
2 Opera y s implifica los resultados , igual que en el caso resuelto.
+ = + = + = = 5
6
2 5
3 0
1 6
3 0
9
3 0
8 Ò 2
1 5 Ò 2
3 Ò 3
1 0 Ò 3
8
1 5
3
1 0
a) + = + = 1 5 Ò 21 0 Ò 3
1
1 5
1
1 0
b) – = 1
1 0
1
6
c) – = 1
2 4
5
8
a) + + =1
6
1
3
1
2
b) – + =1
8
1
4
1
2
c) – + =4
9
1
6
3
4
d) – + =3
5
5
6
2
3
4 Calcula como en e l e jemplo .
( + ) – ( – ) = ( + ) – ( – ) = – = = 2
3
8
1 2
1
1 2
7
1 2
9
1 2
1 0
1 2
4
1 2
3
1 2
3
4
5
6
1
3
1
4
a) ( + ) – ( – ) =1
2
7
1 0
1
4
1
5
b) (1 – ) + ( + ) =1
2
1
5
7
1 0
a) ( – ) + ( – ) =3
1 0
1
2
1
5
3
4
b) ( + ) – ( – ) =1
5
1
2
1
3
2
5
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tocopia
ble
auto
rizado.
266
Resolvemos dos problemas diferentes
a) ¿ Qué fracción de tarta ha consumido?
b) ¿ Qué fracción de tarta queda?
1 La familia Pérez cons ume la tercera parte de una tarta en la
comida y la cuarta parte en la cena.
HAGO PROBLEMAS
Algunos problemas con fracciones
PROBLEMA 1 - SUMA DE FRACCIONES
Manuel gasta la mitad de su dinero en el cine y la tercera parte en una hambur-
guesa. ¿Qué fracción del dinero que tenía ha gastado? ¿Qué fracción le queda?
Solución: Manuel ha gastado de su dinero. Le queda .1
6
5
6
GASTA 8 + = + = 8 LE QUEDA 81
6
5
6
2
6
3
6
1
3
1
2
PROBLEMA 2 - FRACCIÓN DE OTRA FRACCIÓN
Marta gasta la mitad de su dinero en un concierto y la tercera parte «de lo
que le quedaba» en una revista. ¿Qué fracción del dinero que tenía ha gas-
tado? ¿Qué fracción le queda?
Solución: Ha gastado de su dinero y le quedan .2
6
4
6
CONCIERTO: Gasta 8 . Queda 8 .1
2
1
2
REVISTA: Gasta 8 de = · = . Quedan 8 de = · = .2
6
1
2
2
3
1
2
2
3
1
6
1
2
1
3
1
2
1
3
+
CINE HAMBURGUESA
CONCIERTO REVISTA
Act ividades
267
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rizado.
a) En e l des ayuno cons ume .
Y le quedan .
b) En la merienda cons ume
Y le quedan
1
3
2 La familia González cons ume la tercera parte de un bizcocho
en e l des ayuno y la cuarta parte de lo que le quedaba en la
merienda.
Completa.
3 Ros a rec ibe 1 0 euros de paga y gas ta la mitad en e l c ine y la quinta parte en un pas te l.
a) ¿ Qué fracc ión de l dinero ha gas tado? .....................................................................
............................................................................................................................
b) ¿ Qué fracc ión le queda? ........................................................................................
............................................................................................................................
c ) ¿ Cuánto le queda? ................................................................................................
............................................................................................................................
4 De un bidón de ace ite que es taba lleno , s e gas tó ayer la tercera parte y hoy la mitad de
lo que quedaba.
a) ¿ Qué fracc ión de l bidón s e ha gas tado? .................................................................
b) ¿ Qué fracc ión le queda? ........................................................................................
c ) Si aún quedan dos litros , ¿ cuál es la capacidad del bidón? ..........................................
de = · = = 1
4
1
4
de = · = = 3
4
3
4
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tocopia
ble
auto
rizado.
268
Calculamos algunos porcentajes especiales
Cálculo rápido de porcentajes
Con un poco de ingenio, y basándote en la simplificación de fracciones, el
cálculo de algunos porcentajes te resultará muy sencillo. Veamos algunos
ejemplos.
• EL 50%
50% de 80 = de 80 = de 80 = 80 : 2 = 40
El 50% es la mitad. Para hallar el 50%, se divide entre 2.
• EL 25%
25% de 60 = de 60 = de 60 = 60 : 4 = 15
El 25% es la cuarta parte. Para hallar el 25%, se divide entre 4.
• EL 20%
20% de 40 = de 40 = de 40 = 40 : 5 = 8
El 20% es la quinta parte. Para calcular el 20%, se divide entre 5.
• EL 10%
10% de 70 = de 70 = de 70 = 70 : 10 = 7
El 10% es la décima parte. Para calcular el 10%, se divide entre 10.
1
10
10
100
1
5
20
100
1
4
25
100
1
2
50
100
1 Calcula mentalmente .
APLICO LO APRENDIDO
a) 5 0 % de 4 0 = ..........
b) 5 0 % de 6 0 = ..........
c ) 5 0 % de 8 0 = ..........
d) 5 0 % de 4 8 = ..........
e ) 5 0 % de 2 6 = ..........
f) 5 0 % de 8 4 = ..........
g) 5 0 % de 4 0 0 = ...............
h) 5 0 % de 2 5 0 = ...............
i) 5 0 % de 6 4 0 = ...............
2 Calcula mentalmente .
a) 2 5 % de 4 0 = ..........
b) 2 5 % de 8 0 = ..........
c ) 2 5 % de 6 0 = ..........
d) 2 5 % de 3 6 = ..........
e ) 2 5 % de 2 8 = ..........
f) 2 5 % de 8 4 = ..........
g) 2 5 % de 6 0 0 = ...............
h) 2 5 % de 2 4 0 = ...............
i) 2 5 % de 8 3 2 = ...............
Act ividades
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rizado.
3 Calcula.
a) 1 0 % de 7 0 = .....
b) 1 0 % de 3 0 = .....
c ) 1 0 % de 1 5 0 = ..........
d) 1 0 % de 3 2 0 = ..........
e ) 1 0 % de 8 5 = ..........
f) 1 0 % de 3 6 = ..........
4 Calcula teniendo en cuenta que e l 2 0 % es la quinta parte .
a) 2 0 % de 4 0 = .....
b) 2 0 % de 3 5 = .....
c ) 2 0 % de 1 5 = ..........
d) 2 0 % de 5 5 = ..........
e ) 2 0 % de 1 2 = ..........
f) 2 0 % de 2 5 0 = ..........
5 Calcula teniendo en cuenta que e l 2 0 % es e l doble de l 1 0 %.
a) 1 0 % de 8 0 = ..........
b) 2 0 % de 8 0 = ..........
c ) 1 0 % de 9 0 = ..........
d) 2 0 % de 9 0 = ..........
e ) 1 0 % de 1 2 = ..........
f) 2 0 % de 1 2 = ..........
6 Calcula teniendo en cuenta que e l 5 % es la mitad de l 1 0 %.
a) 1 0 % de 4 0 = .....
b) 5 % de 4 0 = .....
c ) 1 0 % de 1 8 0 = ..........
d) 5 % de 1 8 0 = ..........
e ) 1 0 % de 2 4 = ..........
f) 5 % de 2 4 = ..........
AVANZO
7 El 5 0 % de los pas ajeros de un avión s on europeos ; e l 2 5 %,
americanos , y e l res to , as iáticos . ¿ Qué porcentaje de los via-
je ros s on as iáticos ?
8 En mi c las e , entre chicos y chicas , s omos 2 4 . El 2 5 % nos
quedamos a comer. ¿ Cuántos alumnos y alumnas s e quedan
a comer?
HAGO PROBLEMAS
..................................................................................................
..................................................................................................
270
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rizado.
Resolvemos nuevos problemas de porcentajes
Un porcentaje expresa una proporción
Tratemos, ahora, los porcentajes desde el punto de vista de la pro-
porcionalidad.
EJEMPLO:
Si partimos de la información: el 20% de las ovejas de un rebaño
son negras podemos construir la tabla siguiente:
Observa que se trata de una tabla de
proporcionalidad directa, con la que
podemos construir parejas de fraccio-
nes equivalentes.
N.º DE OVEJAS(TOTAL)
100
OVEJAS NEGRAS(PARTE)
20
200 40
300 60
400 …
… …
1 En un rebaño de 4 0 0 ove jas , e l 2 0 % s on negras . ¿ Cuántas
ove jas negras hay en e l rebaño?
So lución: En e l rebaño hay .......... ove jas negras .
APLICO LO APRENDIDO
1 0 0 2 0
4 0 0 x
TOTAL PARTE
} = 8 x = = 2 0
x
1 0 0
4 0 0
2 En un rebaño hay 8 0 ove jas negras , lo que s upone un 2 0 %
del to tal. ¿ Cuál es e l to tal de ove jas de l rebaño?
So lución: El rebaño tiene un to tal de ............... ove jas .
1 0 0 2 0
x 8 0
TOTAL PARTE
} = 8 x = =
= =
ô ô
100 · 40 = 200 · 20 100 · 60 = 300 · 20
20
60
100
300
20
40
100
200
22 00 %% negras
·22 00 %% ddee 44 00 00 == ??
· 22 00 %% ddee ?? == 88 00
Para un determinado tanto por ciento, tomado sobre diferentes cantidades, cada can-tidad es directamente propocional a su porcentaje correspondiente.
Esto nos permite usar la regla de tres directa, que ya conocemos, para resolver nuevos
problemas.
Act ividades
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rizado.
7 Hoy han faltado tres compañeros , de los 2 5 que s omos en
clas e . ¿ Qué porcentaje han faltado hoy?
AVANZO
3 En un rebaño de 4 0 0 ove jas hay 8 0 de lana negra. ¿ Cuál es
e l tanto por c iento de ove jas negras en e l rebaño?
So lución: En 1 0 0 ove jas hay .......... negras .
Es decir, e l .......... % de las ove jas s on negras .
4 0 0 8 0
1 0 0 x
TOTAL PARTE
} = 8 x = = ...............
4 El 2 0 % de los 2 4 0 coches que han s alido hoy de una fábri-
ca s on ro jos . ¿ Cuántos coches ro jos han s alido hoy de la
fábrica?
1 0 0 2 0
2 4 0 x
TOTAL COCHES COCHES ROJOS
}........................................................................................
5 Una fábrica ha producido hoy 4 8 coches ro jos , lo que s upo -
ne e l 2 0 % de l to tal de s u producción. ¿ Cuántos coches ha
fabricado hoy en to tal?
1 0 0 2 0
x 4 8
TOTAL COCHES COCHES ROJOS
}........................................................................................
6 Una fábrica ha producido hoy 2 4 0 coches de los que 4 8 s on
ro jos . ¿ Qué porcentaje de los coches fabricados s on ro jos ?
2 4 0 4 8
1 0 0 x
TOTAL COCHES COCHES ROJOS
}........................................................................................
...............................................................................................................................................
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rizado.
1 Dos de los ángulos de un triángulo miden∧A = 30° y
∧B = 80°.
¿ Cuál es la medida del tercer ángulo?
............................................................................................
Los ángulos en los polígonos
SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO
Para hallar la suma de los ángulos de un triángulo cualquiera, trazamos
por uno de sus vértices una paralela al lado opuesto.
Los ángulos sombreados son iguales y también son iguales los punteados.
Entonces, vemos que A+ B +C es un ángulo llano y su amplitud es de 180º.
La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo vale 180º.
A + B + C = 180°
SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN CUADRILÁTERO
Mediante una diagonal, el cuadrilátero
se parte en dos triángulos.
La suma de los ángulos de cada triángu-
lo es 180°.
Los ángulos de los dos triángulos suman
180 Ò 2 = 360°.
La suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es 360º.
A + B + C + D = 360°
B
CA
BC
A
CA
B
C
A
D
Calculamos la suma de los ángulos de un triángulo y de un cuadrilátero
APLICO LO APRENDIDO
C
80°30°
Act ividades
272
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rizado.
273
5 Calcula la amplitud de los ángulos∧A y
∧B.
∧A = ...............
∧B = ...............
AVANZO
A B
100°120°
2 En un triángulo rectángulo , uno de los agudos mide 4 0 °.
¿ Cuánto mide e l o tro?
............................................................................................
40°
x
3 ¿ Cuánto mide cada uno de los ángulos de un triángulo equi-
látero?
............................................................................................
xx
x
85°
115° 115°
135°90°
90°X^
x
4 Calcula la medida de l ángulo ∧x y de l ángulo
∧y.
∧X = ...............
∧Y = ...............
B
A C
DE
6 Teniendo en cuenta que dos diagonales de l pentágono la
dividen en tres triángulos . ¿ Cuál es la s uma de los ángulos
de l pentágono?
∧A +
∧B +
∧C +
∧D +
∧E = ...............
274
Soluciones
PÁGINA 250
PÁGINA 251
1. A 8 Dieciocho mil quinientos setenta y cuatro
millones.
B 8 Doce billones.
PÁGINA 254
1. Respuesta libre. Por ejemplo:
PÁGINA 256
1. PRIMOS 8 7, 23, 31
COMPUESTOS 8 12, 15, 25, 21, 30, 20
PÁGINA 257
2. a) 8 · 3 = 2 · 2 · 2 · 3
b) 4 · 10 = 2 · 2 · 2 · 5
c) 8 · 9 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
d) 2 · 13
e) 2 · 25 = 2 · 5 · 5
f) 4 · 25 = 2 · 2 · 5 · 5
3.
PÁGINA 255
3. a) Verdadero.
b) Falso.
c) Verdadero.
d) Verdadero.
e) Falso.
4. Al dividir 598 entre 13, la división es exacta.
5. No. Al dividir 344 entre 22, la división es inexacta.
6. 15, 30, 45, 60, 75
7. a) 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
b) 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
c) 1, 13
8. 256, 264, 272, 280, 288, 296
PÁGINA 252
1. a) 103 = 1 000 8 23 · 53 = 8 · 125 = 1 000
b) 64 = 1 296 8 24 · 34 = 16 · 81 = 1 296
c) 152 = 225 8 52 · 32 = 25 · 9 = 225
d) 204 = 160 000 8 24 · 104 = 16 · 10 000 = 160 000
PÁGINA 253
2. a) 52 = 25 8 303 : 62 = 900 : 36 = 25
b) 24 = 16 8 84 : 44 = 4 096 : 256 = 16
3. a) (4 · 5) 3 = 43 · 53 d) 182 : 62= 32
b) 65 : 35= 25 e) 24 · 34 = 64
c) 125 = 35 · 45 f) 44 · 204 = 804
4. a) 23 e) 33
b) 122 f) 503
c) 154 g) 22
d) 35 h) 205
2.
3. a) Mil cuatrocientos ochenta y dos millones.
b) Trescientos cuarenta y dos mil millones.
c) Cinco billones veinte mil quinientos millones.
d) Diecisiete billones ochocientos mil millones.
4. a) 952 000 000
b) 12 700 000 000
c) 350 000 000 000
d) 15 800 000 000 000
5. a) En cien millones hay 100 000 millares.
b) En mil millones hay 10 000 centenas de millar.
c) En un billón hay 1 000 000 de millones.
6.
5. a) 1 000 c) 25 = 32
b) 1002 = 10 000 d) 44 = 256
6. a) 103 : 103= 1 c) 203 : 23= 103 = 1 000
b) 104 : 103= 10 d) 62 : 32= 22 = 4
CM D U
6 342 850 000 000
15 823 072 000 000
6 752 629 000 000
12 568 472 000 000
A LOS MILES DE MILLONES
6 343 000 000 000
15 823 000 000 000
6 753 000 000 000
12 568 000 000 000
6 000 000 000 000
16 000 000 000 000
7 000 000 000 000
13 000 000 000 000
A LOS BILLONES
5 - 500 137 - 548 12 - 36 15 - 842. 225 - 2 225
11 12
22
32 33
4342
13
23
14
24
34
44
15
25
35
45
16 17
26 27
36 37
46 47
18 19
28 29
38 39
48 49
20
30
40
50
21
31
41
2 3 4
2 Ò 3
5 7 8
2 Ò 4
9
3 Ò 3
10
2 Ò 52 Ò 2
6
3 Ò 7
2 Ò 6 2 Ò 7 3 Ò 5 2 Ò 8 2 Ò 9 2 Ò 10
2 Ò 11 3 Ò 8 5 Ò 5 2 Ò 13 3 Ò 9 4 Ò 7 3 Ò 10
4 Ò 8 3 Ò 11 2 Ò 17 5 Ò 7 4 Ò 9 2 Ò 19 3 Ò 13 4 Ò 10
6 Ò 7 4 Ò 11 5 Ò 9 2 Ò 23 6 Ò 8 7 Ò 7 5 Ò 10
2 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
4 7 0 0 0 0 0 0 0 0 15 5 9 18 9 27 12 6
42 6 6 18 5 55
275
PÁGINA 258
1. a) 2 · 4 = 2 · 2 · 2 d) 3 · 9 = 3 · 3 · 3
b) 4 · 3 = 2 · 2 · 3 e) 4 · 10 = 2 · 2 · 2 · 5
c) 4 · 5 = 2 · 2 · 5 f) 9 · 5 = 3 · 3 · 5
2. 16 = 2 · 2 · 2 · 2 25 = 5 · 5
32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 54 = 2 · 3 · 3 · 3
63 = 3 · 3 · 7 65 = 5 · 13
PÁGINA 259
3. 84 : 2 = 42
42 : 2 = 21
21 : 3 = 7
7 : 7 = 1
4.
24 = 23 · 3 42 = 2 · 3 · 7 72 = 23 · 32
5.
90 = 2 · 32 · 5 120 = 23 · 3 · 5 154 = 2 · 7 · 11
260 = 22 · 5 · 13
6.
504 = 23 · 32 · 7 594 = 2 · 33 · 11 990 = 2 · 32· 5 ·11
4. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
5. 53, 61, 67, 59
6. a) 200 = 2 Ò 100
b) 200 = 2 Ò 4 Ò 25
c) 200 = 2 Ò 2 Ò 2 Ò 25
PÁGINA 260
1. A(5, 2) F(–2, 0)
B(2, 4) G(–5, –2)
C(3, 0) H(–3, –3)
D(0, 2) I(0, –3)
E(–4, 1) J(3, –3)
PÁGINA 261
2.
3.
c) A' (–1, 2) B' (–5, 3)
C' (–6, 0) D' (–2, –1)
4.
D (2, –2)
5.
K (3, 4)
84
42
21
7
1
2
2
3
7
24
12
6
3
1
2
2
2
3
42
21
7
1
2
3
7
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
90
45
15
5
1
2
3
3
5
260
130
65
13
1
2
2
5
13
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
154
77
11
1
2
7
11
504
252
126
63
21
7
1
2
2
2
3
3
7
594
297
99
33
11
1
2
3
3
3
11
990
495
165
55
11
1
2
3
3
5
11
F C
E
G B
D
I
H
J
L
K
A
B
C ' C
A' A
D' D
B '
B
C
A
D
P
K
N
M
⇒
84 = 22 · 3 · 7
276
PÁGINA 265
2. a) 1 Ò 3/ 10 Ò 3 + 1 Ò 2/ 15 Ò 2 = 3/ 30 + 2/ 30 =
a) = 5/ 30 = 1/ 6
b) 1 Ò 5/ 6 Ò 5 – 1 Ò 3/ 10 Ò 3 = 5/ 30 – 3/ 30 =
b) = 2/ 30 = 1/ 15
c) 5 Ò 3/ 8 Ò 3 – 1/ 24 = 15/ 24 – 1/ 24 = 14/ 24 =
c) = 7/ 12
3. a) 1 Ò 3/ 2 Ò 3 + 1 Ò 2/ 3 Ò 2 + 1/ 6 = 3/ 6 + 2/ 6 +
a) + 1/ 6 = 6/ 6 = 1
b) 1 Ò 4/ 2 Ò 4 – 1 Ò 2/ 4 Ò 2 + 1/ 8 = 4/ 8 – 2/ 8 +
a) + 1/ 8 = 3/ 8
c) 3 Ò 9/ 4 Ò 9 – 1 Ò 6/ 6 Ò 6 + 4 Ò 4/ 9 Ò 4 = 27/ 36 –
a) – 6/ 36 + 16/ 36 = 37/ 36
d) 2 Ò 10/ 3 Ò 10 – 5 Ò 5/ 6 Ò 5 + 3 Ò 6/ 5 Ò 6 =
a) = 20/ 30 – 25/ 30 + 18/ 30 = 13/ 30
PÁGINA 262
PÁGINA 263
1. A 8 +9 – 5 = +4
B 8 +7 – 10 = –3
C 8 +4 + 7 = +11
D 8 –3 – 6 = –9
2. a) +8 d) –7 g) +15
b) –3 e) –6 h) –16
c) +10 f) +12 i) –18
3. a) +4 d) +4 g) –8
b) –3 e) +5 h) –11
c) –2 f) –5 i) –5
4. a) +8 d) –7 g) +16
b) +8 e) +5 h) –6
c) +10 f) –5 i) –11
5. a) +7 – 5 = +2
b) +11 – 6 = +5
c) +3 – 7 = –4
d) +6 – 11 = –5
6. a) +14 b) –11 c) +6 d) +1
7. a) (8 + 1) – (3 + 4 + 2) = 9 – 9 = 0
b) (6 + 7) – ( 5 + 3 + 1) = 13 – 9 = 4
c) (5 + 2 + 7) – (9 + 8) = 14 – 17 = –3
PÁGINA 264
1. a) 5/ 15 + 3/ 15 = 8/ 15
b) 5/ 10 – 2/ 10 = 3/ 10
c) 1 Ò 2/ 6 Ò 2 + 3 Ò 3/ 4 Ò 3 = 2/ 12 + 9/ 12 = 11/ 12
d) 5 Ò 3/ 8 Ò 3 – 1 Ò 4/ 6 Ò 4 = 15/ 24 – 4/ 24 = 11/ 24
e) 3 Ò 2/ 10 Ò 2 – 3/ 20 = 6/ 20 – 3/ 20 = 3/ 20
f) 5 Ò 3/ 12 Ò 3 + 5 Ò 2/ 18 Ò 2 = 15/ 36 + 10/ 36 =
f) = 25/ 36
PÁGINA 266
1. a) Ha consumido 7/ 12.
b) Quedan 5/ 12.
PÁGINA 267
4. a) (4/ 20 + 5/ 20) – (14/ 20 – 10/ 20) = 9/ 20 –
a) – 4/ 20 = 5/ 20 = 1/ 4
b) (10/ 10 – 7/ 10) + (2/ 10 + 5/ 10) = 3/ 10 +
a) + 7/ 10 = 10/ 10 = 1
c) (15/ 20 – 4/ 20) + (10/ 20 – 6/ 20) = 11/ 20 +
a) + 4/ 20 = 15/ 20 = 3/ 4
d) (12/ 30 + 10/ 30) – (15/ 30 – 6/ 30) = 22/ 30 –
a) – 9/ 30 = 13/ 30
2. a) Le quedan 2/ 3.
b) de = . = =
de = . = =
3. a) Ha gastado 7/ 10.
b) Le quedan 3/ 10.
c) Le quedan 3 €.
4. a) Se ha gastado 2/ 3.
b) Le queda 1/ 3.
c) La capacidad son 6 l.
12
612
23
34
23
34
16
212
23
14
23
14
PÁGINA 268
1. a) 20 d) 24 g) 200
b) 30 e) 13 h) 125
c) 40 f) 42 i) 320
2. a) 10 d) 9 g) 150
b) 20 e) 7 h) 60
c) 15 f) 21 i) 208
PÁGINA 269
3. a) 7 c) 15 e) 8,5
b) 3 d) 32 f) 3,6
4. a) 8 c) 3 e) 2,4
b) 7 d) 11 f) 50
5. a) 8 c) 9 e) 1,2
b) 16 d) 18 f) 2,4
6. a) 4 d) 18 e) 2,4
b) 2 d) 9 f) 1,2
7. Son asiáticos el 25 %.
8. Se quedan a comer 6 alumnos.
277
PÁGINA 270
1. x = = 80
En el rebaño hay 80 ovejas negras.
2. = 8 x = = 400
El rebaño tiene un total de 400 ovejas.
100 . 8020
2080
100x
20 . 400100
5. Ha fabricado 240 coches.
6. El 20% son rojos.
7. Han faltado el 12%.
PÁGINA 271
3. = 8 x = = 20
En 100 ovejas hay 20 negras.
Es decir el 20% de las ovejas son negras.
4. Han salido 48 coches rojos.
80 . 100400
80x
400100
PÁGINA 272
1. El tercer ángulo mide 70°.
PÁGINA 273
2. El otro ángulo mide 50°.
3. Miden 60° cada uno.
4. X^
= 45° Y^
= 45°
5. A^
= 40° B= 60°
6. A^
+ B^
+ C^
+ D^
+ E^
= 540°
