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Los realesson no nu-merables:unacantidadnumerablede pruebas
Jose GasconMarquez
Definicionesy primerosresultados
Los reales son no numerables:una cantidadnumerable de pruebas
Jose Gascon Marquez
UNA, Caracas
23 de junio de 2014
Los realesson no nu-merables:unacantidadnumerablede pruebas
Jose GasconMarquez
Definicionesy primerosresultados
El objetivo de esta charla es dar diferentes demostraciones de unhecho fundamental en matematicas: la no numerabilidad de losnumeros reales R. Los numeros reales y su construccion permitieron laformalizacion del analisis matematico y originaron nuevos problemas.Le debemos al genio de Cantor introducir las ideas de conjuntoinfinito y cardinal. Tambien le debemos a Cantor una construccion delos numeros reales. Cantor se da cuenta que los numeros reales tienenun cardinal mayor que los numeros naturales, es decir los numerosreales no son numerables. Su prueba de este hecho es una de lasdemostraciones mas hermosas de la matematica: el argumentodiagonal de Cantor. Sin embargo, distintas pruebas usando resultadosde topologia y medida pueden ser dadas para demostrar la nonumerabilidad de R. Dividimos nuestra presentacion en cinco partes:
1 Definiciones2 El argumento diagonal de Cantor3 Argumentos topologicos4 Argumentos de medida5 Conclusiones
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Definicionesy primerosresultados
El concepto de infinito
Definition
Un conjunto A es infinito si y solo si existe B ( A y f : A→ Bbiyectiva.
Example
El conjunto de los numeros naturales N es infinito ya que loscuadrados perfectos C = 0, 1, 4, 9, · · · es un subconjuntopropio de N y f : N→ C dada por f (n) = n2 es una biyeccion.
Definition
Un conjunto A se dice infinito numerable si existe una biyeccionentre A y el conjunto de los numeros naturales
Decir que un conjunto A es numerable equivale a poder “listar”sus elementos como una sucesion a0, a1, · · ·
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Definicionesy primerosresultados
Conjuntos numerables
Example
Los numeros enteros Z son un conjunto numerable como lodemuestra la numeracion 0, 1,−1, 2,−2, · · ·
Theorem
La union ∪∞n=1An de una familia numerable An, n = 1, 2, · · · deconjuntos disjuntos dos a dos es un conjunto numerable.
Example
Los numeros racionales Q son numerables. Cantor empezo acreer que todos los conjuntos infinitos son numerables.
Theorem
Si A es un conjunto infinito entonces existe un B ⊂ A tal que Bes numerable.
Example
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Definicionesy primerosresultados
Potencia de un conjunto
Un conjunto A tiene igual potencia que un conjunto B si sepuede establecer una biyeccion f entre A y B . Los conjuntosque tienen igual potencia que los numeros naturales N diremosque tienen potencia
ℵ0
Un conjunto que tiene la misma potencia que los reales Rdiremos que tiene potencia c. La pregunta de nuestra charla sepuede traducir a ¿es ℵ0 = c ?. Como veremos a continuacion larespuesta es no.
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El principio de los intervalos encajados
Recordamos el principio de los intervalos encajados en losnumeros reales. Supongamos que tenemos una sucesionIn = [an, bn],n = 1, 2, · · · de intervalos cerrados y acotados enR. Supondremos ademas que
In+1 ⊂ In y que bn − an →n→∞ 0
El teorema de Cantor de los intervalos encajados garantiza que⋂∞n=1 In = a. Su demostracion es muy sencilla y se basa en
que tanto an, bn son sucesiones monotonas y acotadas. Luegoconvergen y deben converger al mismo punto ya quel«ımn→∞(bn − an) = 0.
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R no es numerable:Prueba 1
Esta prueba esta basada en el principio de los intervalos encajados, esinteresante conocer que fue la primera demostracion que dio Cantor delresultado. Cantor estaba interesado en estudiar la existencia de numerostrascendentes. No queria exponerse a criticas de Kronecker y por eso trazaesta prueba de manera bastante constructiva.
Demostración.Supongamos que los reales R sean numerables, luego los podemos listarcomo x0, x1, x2, · · · −Tomemos un intervalo cerrado I0 = [a0, b0] , a0 < b0que no contenga a x0, esto es x0 /∈ I0. Tomemos ahora dentro de I0 unintervalo I1 = [a1, b1], I1 ⊂ I0 con x1 /∈ I1 y 0 < l(I1) = b1 − a1 = l(I0)/2.De manera inductiva construimos un intervalo Ik = [ak , bk ], ak < bk talque Ik ⊂ Ik−1, xk /∈ Ik y l(Ik) =
l(Ik−1)
2 = l(I0)
2k. Observese que los Ik son
una sucesion de intervalos cerrados encajados, cuya longitud tiende a cero,luego
∞⋂n=0
In = x
Pero x debe ser algun xj pero xj /∈ Ij ⇒ x = xj /∈ ∩∞n=0In un absurdo.
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Teorema de Baire
Sea X un espacio metrico, un conjunto A ⊂ X se denomina nunca denso si Atiene interior vacio. Por ejemplo, en los reales un punto x0 es nunca denso. Unejemplo menos trivial de conjunto nunca denso es el conjunto de Cantor. Unconjunto M se denomina de primera categoria si se puede escribir comoM = ∪∞n=1An donde cada An es nunca denso. Si tal escritura es imposiblediremos que el conjunto es de segunda categoria.
TheoremUn espacio metrico completo es de segunda categoria.
Como todos sabemos los reales con la distancia d(x , y) = |x − y | es completo,luego de segunda categoria. Esto nos lleva a una nueva demostracion de que R esno numerable.
Demostración.Razonamos por el absurdo, si R es numerable entonces
R =∞⋃
n=0
xn
pero cada xn es nunca denso y luego R seria de primera categoriacontradiciendo el teorema de Baire.
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Hechos basicos de la medida en R
Recordamos que los conjuntos Borel medibles en R se obtienencomo la menor σ−algebra que contiene los abiertos de R. Estaσ− algebra se denomina los borelianos de R. Recordamos queuna σ−algebra en R es una familia de conjuntos Ω = (Aα) talque
1 ∅,R ∈ Ω
2 Si A ∈ Ω entonces Ac ∈ Ω
3 Si An ∈ Ω ,n = 0, 1, 2 · · · entonces⋃∞
n=0 An ∈ Ω
Luego en los borelianos estan todos los abiertos y por lapropiedad 2. los cerrados deben estar incluidos. Luego lospuntos a ⊂ R son borelianos. Llamaremos Σ a la σ−algebrade Borel.
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Medida(continuacion)
Una medida µ en una σ−algebra Σ es una funcion que va desdeΣ en los reales que verifica
1 µ (A) ≥ 02 Si A1,A2,· · · es una sucesion de elementos de Σ disjuntos
dos a dos entonces µ(∪∞n=1An)=∑∞
n=1 µ(An)
Lebesgue fue capaz de construir una medida λ sobre losborelianos que verifica λ[0, 1] = 1 y λ(A + x) = λ(A).Para la medida de Lebesgue λ sobre R se tiene que si Ak es unasucesion de borelianos que verifica que A1 ⊃ A2 ⊃ · · · yλ(A1) <∞ entonces
l«ımn→∞
λ(An) = λ (∩An)
De aqui se puede ver que un punto tiene medida cero. Otraforma de hacerlo es aplicar la propiedad arquimediana.
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Demostracion basada en teoria de la medida
Vamos a dar otra demostracion de que los reales no sonnumerables.
Demostración.
Si los reales fueran numerables, el intervalo [0, 1] fueranumerable, luego podriamos listar sus elementos comox0, x1, · · · . Luego [0, 1] = ∪nxi. Luego1 = λ[0, 1]=
∑n λxn = 0, un absurdo.
El hecho que exista un conjunto no medible Lebesgue tambienimplica que los reales son no numerables, ya que de lo contrariola σ−algebra de Borel fuera la σ−algebra de partes.
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El metodo diagonal de Cantor
Es con mucho la demostracion mas conocida del resultado. Fuehistoricamente la tercera prueba que Cantor dio del hecho queR no es numerable. Como ya hemos observado basta trabajarcon el intervalo [0, 1].
Demostración.
Razonamos por el absurdo. Supongamos que [0, 1] esnumerable, entonces sus elementos se pueden numerar comox0, x1, · · · . Cada xi = 0, ai
1ai2a
i3 · · · donde hemos tomado la
expresion decimal de xi es decir los aji estan en el conjunto
0, 1, 2, 3, · · · 9. Colocamos los xi en un arreglo matricial
0, a11 a1
2 a13 · · ·
0, a21 a2
2 a23 · · ·
0, a31 a3
2 a33 · · ·
0, a41 a4
2 a43
. . ....
......
...
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Demostracion diagonal continuacion
Construimos un numero x = 0, b1b2 · · · donde escogemosb1 6= a1
1, b2 6= a22, · · · bk 6= ak
k , · · · .Claramente x ∈ [0, 1]. Luegox = xj para algun j pero bj 6= x j
j =⇒ x 6= xj . Un absurdo queproviene de suponer que R es numerable.Los metodos diagonales basados en esta idea de Cantor hanentrado como tecnicas en distintas areas de la matematica comola teoria de conjuntos, la topologia, el analisis real entre otras.
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El teorema de Cantor sobre la potencia del conjuntode partes
Cantor demostro que el conjunto de partes P(X ) de X siempretiene una potencia mayor que el propio conjunto X . Sudemostracion es sencilla y se basa en un argumento tipodiagonal. Usaremos este teorema para dar otra demostracionque R no es numerable. Observe que cualquier x ∈ [0, 1] tieneuna expansion binaria dada por x = 0, a1a2a3 · · · dondeai ∈ 0, 1. Por otro lado dar un subconjunto de N equivale adar su funcion caracteristica es decir una funcionχ : N→ 0, 1. Estamos listos para dar otra demostracion de lano numerabilidad de los reales R.Demostración.
Observe que existe una correspondencia biunivoca entre unnumero x ∈ [0, 1] escrito en notacion binaria y un subconjuntode los naturales, luego los reales son equipotentes con P(N).Pero por el teorema de Cantor el conjunto P(N) tiene mayorpotencia que N.
