Presentac..2

Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda

rea de TecnologaUnidad Curricular: Investigacin de Operaciones

TemaTema No. 2No. 2Programacin de Metas y ObjetivosProgramacin de Metas y ObjetivosProgramacin de Metas y ObjetivosProgramacin de Metas y Objetivos

Facilitador:

Dr. Juan J. Lugo Marn.

La mayora de las situaciones de decisin real, sean personales o profesionales, se

caracterizan por metas (atributos) y objetivos mltiples ms que por un simple objetivo.

Estas metas pueden ser complementarias, pero frecuentemente son conflictivas entre

ellas y tambin inconmensurables

La Programacin meta es una tcnica de resolucin de problemas multicriterios, que

PROGRAMACIN DE METAS Y OBJETIVOS

La Programacin meta es una tcnica de resolucin de problemas multicriterios, que

permite escoger las variables que ofrecen una mejor solucin al problema planteado,

teniendo la gran ventaja que permite trabajar con metas medidas en distintas unidades

e incluso contrapuestas.

La filosofa de los problemas de programacin meta es muy similar a los de

Programacin Lineal, slo que ahora adems de las restricciones estructurales, se

pueden tener varios objetivos simultneos, los cuales se desean alcanzar. Como la

existencia de un objetivo que puede ser alcanzado o no.

Programacin de Metas: Planteamiento utilizado para resolver unproblema de optimizacin de objetivos mltiples como un programa lineal

que equilibre los pros y los contras de los objetivos en conflicto.

Meta: Valor objetivo numrico especfico establecido para un fin en unprograma de metas.


programa de metas.

Penalizacin: Valor relativo que se usa para representar insatisfaccin concada unidad que un objetivo est por debajo de su meta, si el objetivo es

maximizar, y por encima de la meta si lo que se busca es minimizar.

En los problemas de metas se tienen objetivos mltiples, en este caso se

encontrarn problemas con mltiples metas sin prioridades y/o con prioridades, y

en todos los casos se pudiesen tener problemas con ponderacin y sin

ponderacin.

Es importante recalcar que nunca se sacrificar una meta de mayor prioridad por


Es importante recalcar que nunca se sacrificar una meta de mayor prioridad por

una de menor prioridad, pero dentro de una misma prioridad, la desviacin con

mayor ponderacin puede ser desplazada por la de menor ponderacin si esta

ltima logra un valor que compense dicha ponderacin.

Figura 1. Esquema bsico de la programacin meta.

META: mi

di+

di-


Figura 1. Esquema bsico de la programacin meta.

En la figura 1, se puede observar que se presentan tres posibilidades, que la

meta sea alcanzada, que se logre un valor mayor a la meta en cuyo caso se

incurre en una desviacin positiva, o que se quede por debajo de la meta, y en

ese caso se tendr una desviacin negativa. Dependiendo del problema y de la

meta en s, se podr tener inters en minimizar la desviacin positiva, la

negativa o ambas.

La programacin de metas es un enfoque para tratar problemas de decisin gerencial que

comprenden metas mltiples o ilimitadas, de acuerdo a la importancia que se le asigne a

estas metas. El tomador de decisiones debe ser capaz de establecer al menos una

importancia ordinal, para clasificar estas metas. Una ventaja importante de la

programacin meta es su flexibilidad en el sentido de que permite al tomador de

decisiones, experimentar con una multitud de variaciones de las restricciones y de

prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisin de objetivos


prioridades de las metas cuando se involucra con un problema de decisin de objetivos

mltiples.

La forma del modelo de programacin lineal sigue siendo la misma en programacin por

meta, es decir, tambin se tiene una funcin objetivo que se busca optimizar sujeta a una

o ms restricciones. Sin embargo, dentro de este marco de referencia se agregarn dos

conceptos nuevos. El primero es el de las restricciones de meta en lugar de las

restricciones de recurso que se han analizado. El segundo concepto es el de rango de

prioridad entre las funciones de objetivo.

.

Las caractersticas que distinguen la programacin de Meta son :

La Funcin Objetivo siempre busca minimizar.

Por cada meta existir una restriccin meta.

Que las metas se satisfacen en una secuencia ordinal. Esto es, que las metas que deben

PROGRAMACIN DE METAS Y OBJETIVOS - CARACTERSTICAS

Que las metas se satisfacen en una secuencia ordinal. Esto es, que las metas que deben

clasificarse en orden de prioridad por el tomador de decisiones son satisfechas

secuencialmente por el algoritmo de solucin.

Las metas con prioridad baja se consideran solamente despus de que las metas de

prioridad alta se han cumplido.

La Programacin de metas es un proceso de satisfaccin, en el sentido de que el

tomador de decisiones tratar de alcanzar un nivel satisfactorio en vez del mejor resultado

posible para un solo objetivo.

La nocin fundamental de la Programacin Meta, comprende incorporar todas las metas

gerenciales en la formulacin del modelo del sistema.

En la programacin Meta, en vez de intentar minimizar o maximizar la Funcin Objetivo

directamente, como en la programacin lineal, se minimizan las desviaciones entre las

metas y los lmites logrables dictados por el conjunto dado de restricciones en los

recursos. Estas variables de desviacin, que se denominan de "holgura" o "sobrantes" en

PROGRAMACIN DE METAS Y OBJETIVOS - CARACTERSTICAS

recursos. Estas variables de desviacin, que se denominan de "holgura" o "sobrantes" en

programacin lineal, toman un nuevo significado en la Programacin Meta. Ellas se

dividen en desviaciones positivas y negativas de cada una de las submetas o metas. El

objetivo se convierte entonces en la minimizacin de estas desviaciones, dentro de la

estructura prioritaria asignada a estas desviaciones.

las metas se satisfacen en el orden de prioridad establecido por el tomador de

decisiones.

Las metas no necesitan satisfacerse exactamente sino tan cerca como sea posible.

La programacin meta tambin es aplicable en las siguientes reas, entre otras:

MERCADEO: Donde las metas conflictivas podran ser: maximizar la

participacin del mercado, minimizar los costos de publicidad, maximizar el

PROGRAMACIN DE METAS Y OBJETIVOS - APLICACIONES

participacin del mercado, minimizar los costos de publicidad, maximizar el

margen de ganancia por artculo vendido.

CONTROL DE INVENTARIOS: Donde es necesario minimizar el nmero de

faltantes y minimizar el costo de almacenaje.

PRODUCCION: Donde es necesario minimizar el costo de fabricacin,

maximizar el control de calidad, y maximizar la utilizacin de recursos.

La formulacin de un modelo de Programacin Meta es similar al modelo de

Programacin Lineal (P.L). El Primer paso es definir las variables de decisin, despus

se deben de especificar todas las metas gerenciales en orden de prioridad. As, una

PROGRAMACIN DE METAS Y OBJETIVOS - FORMULACIN

caracterstica de la Programacin de Meta es que proporciona solucin para los

problemas de decisin que tengan metas mltiples, conflictivas e inconmensurables

arregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la administracin.

La formulacin de un modelo de programacin por metas consiste en fijar los

atributos que se consideran relevantes para el problema que se est analizando. Una

vez establecidos los atributos, se pasa a determinar el nivel de aspiracin que

corresponde a cada atributo, es decir, el nivel de logro que el centro decisor desea

alcanzar.

Seguidamente, se conecta el atributo con el nivel de aspiracin, por medio de la

introduccin de las variables de desviacin negativa y positiva, respectivamente:

n: variable de desviacin negativa, cuantifica la falta de logro de una meta

p: variable de desviacin positiva, cuantifica el exceso de logro de una meta


p: variable de desviacin positiva, cuantifica el exceso de logro de una meta

En general, la meta del atributo i-simo se escribe como:

Los valores de las variables de desviacin son siempre positivas o cero, al menos una de

las dos variables de desviacin que definen la meta tendr que ser cero.

Las dos variables de desviacin tomarn el valor cero cuando la meta alcance

exactamente su nivel de aspiracin, ti. Una variable de desviacin se dice que es no

deseada cuando al centro decisor le conviene que la variable en cuestin alcance su valor

ms pequeo, es decir, cero.

En conclusin se puede decir que los pasos para la formulacin de problemas de

Programacin de Metas son:

Identificacin de las variables de decisin; en el cual se definen adems 2 nuevas

variables para cada objetivo; una para representar la cantidad en el cual el objetivo

se pasa del objetivo especificado y la otra para representar la cantidad que est por


se pasa del objetivo especificado y la otra para representar la cantidad que est por

debajo de la meta.

Identificacin de las restricciones.

Identificacin de la Funcin Objetivo: en la programacin de metas el objetivo es

minimizar la penalizacin total por no haber logrado las dos metas. Aplicando la

descomposicin se tiene el siguiente resultado:

Penalizacin Total= (Penalizacin por no alcanzar la meta)+ (Penalizacin por

exceder la meta)

Ejercicio de Metas Con Prioridad

Considera la situacin de Schwim Manufacturing Company en donde la administracin

desea alcanzar varias metas. Ahora supondremos que la administracin desea ordenar

dichas metas en orden de importancia y que la meta ms importante tiene prioridad

PROBLEMAS DE PROGRAMACION DE METAS CON PRIORIDADES Y CON PONDERACIONES.

Autor: Natasha Snchez

dichas metas en orden de importancia y que la meta ms importante tiene prioridad

absoluta sobre la siguiente meta ms importante y as sucesivamente.

Para lograr que las metas de baja prioridad se consideren solamente despus de lograr las

metas de alta prioridad, se clasifican las metas en k rangos y las variables de desviacin

asociadas con las metas, se les asigna un nmero prioritario Pj (j = 1,2,..., k). Los factores

de prioridad satisfacen

P1>>>P2>>>...Pj>>>Pj+1.

Las relaciones de prioridad implican que la multiplicacin por n, no importa que tan

grande sea n, no puede hacer una meta de baja prioridad tan importante como una meta

de alta prioridad (por ejemplo: Pj>nPj+1).

Ahora supongamos que la divisin de bicicletas de Schwim, adems de lograr sus $600.00

de meta primaria de utilidad, desea utilizar completamente sus departamentos de

ensamblaje y terminacin durante la reorganizacin que se avecina. Esto es, como una

meta secundaria, la divisin desea minimizar el tiempo ocioso. La formulacin del modelo

es:



es:

Minimizar Z = P1 (d1- + d1+) + P2(d2-+d3-)

S.A.

15x1+25x2 +d1- - d1+ = 600

x1 +3x2 + d2- - d2+= 60

x1 +x2 +d3- - d3+ = 40

x1, x2, di-,di+ = 0

Donde:

x1 = Nmero de bicicletas de 3 velocidades producidas por da

x2 = Nmero de bicicletas de 10 velocidades producidas por da

d1- = Cantidad por debajo de la utilidad perseguida

d1+ = cantidad por encima de la utilidad perseguida

d2- = Tiempo ocioso diario en el departamento de ensamble

d2+ = Tiempo extra diario en el departamento de ensamble

d3- = Tiempo ocioso diario en el departamento de terminacin.

d3+ = Tiempo extra diario en el departamento de terminacin.



d3 = Tiempo extra diario en el departamento de terminacin.

Nota: Puesto que d1- y d1+ se incluyen en la funcin objetivo, el modelo intentar lograrexactamente la utilidad diaria perseguida de $600, minimizando tanto las desviaciones

positivas como las negativas. Con d2+ d3+ y eliminados de la funcin objetivo, sin embargo, el

modelo no se preocupar del tiempo extra en el departamento de ensamble o terminacin e

intentar minimizar solamente el tiempo ocioso en estos departamentos. Debido a que la

meta de utilidad perseguida es ms importante que la meta de minimizacin del tiempo

ocioso, a esta se le asigna prioridad P1. El modelo intentar lograr esta meta hasta donde ms

le sea posible antes de considerar la meta secundaria de minimizar el tiempo ocioso de

produccin.

Mtodo de Metas Con Ponderaciones

La ponderacin de objetivos para la determinacin de soluciones eficientes, es posiblemente

la primera tcnica multiobjetivo considerada. El mtodo se deduce directamente de las



la primera tcnica multiobjetivo considerada. El mtodo se deduce directamente de las

condiciones necesarias de Kuhn.Tucker para soluciones eficientes y fue propuesto por Zadeh

en 1963, para con una adecuada variacin paramtrica de los pesos, generar el conjunto

eficiente.

El mtodo de las ponderaciones se puede utilizar para generar el conjunto eficiente, aunque

no resulta muy adecuado para obtener la representacin completa del citado conjunto. Para

llevarlo a cabo, hay que considerar de forma sistemtica una serie de conjuntos de pesos

positivos. Usualmente se empieza por la optimizacin individual de cada objetivo que

equivale a tomar los pesos para despus introducir una variacin sistemtica d estos con una

tasa de aumento prefijado que hay que estimar como adecuada

Planteamiento del Mtodo.Matemticamente el mtodo de las ponderaciones se formula mediante el problema

Max Z(x)= kZk(x) Sujeto a: x F

Con k peso asociado al objetivo Zk denominamos a este problema p() donde (1.p)



Con k peso asociado al objetivo Zk denominamos a este problema p() donde (1.p)

El problema multiobjetivo ha quedado transformado en un problema de optimizacin con un

nico objetivo. El peso k para el objetivo Zk se interpreta como la importancia o peso relativo

del k-simo objetivo en relacin con el resto de los objetivos.

De esta forma, si los pesos 1..p expresan las referencias del decisor y este es capaz de

asignarlos de una manera coherente, la solucin optima de p() es la solucin de mejor

compromiso para l.

Este mtodo es vlido para problemas lineales y no lineales, aunque nosotros nos

restringiremos aqu al primer caso. Es interesante notar, que la solucin optima del problema

p () es eficiente si los pesos k son positivos. Si se tomaran pesos negativos, ello es

equivalente a transformar el problema p () en uno de minimizacin para el que se tendra un

conjunto eficiente distinto.

Mtodo de Metas y Penalizacin

Este mtodo se aplica a problemas con dos o ms objetivos contrapuestos.



Este mtodo se aplica a problemas con dos o ms objetivos contrapuestos.

Para alcanzar una decisin optima, se procede a identificar:

1. Una Meta: en la forma de un valor objetivo numrico especifico que se desee lograr.

2. Una Penalizacin: en la forma de un valor para cada unidad que el objetivo se encuentre

por debajo (si es maximizacin) o por encima si es (minimizacin) de la meta.

Una vez identificadas las metas y las penalizaciones, debe encontrarse una solucin que

minimice las penalizaciones totales asociadas a los objetivos.

Propiedades Se utilizan metas y penalizaciones para permitir que las restricciones sean violadas, si hay

una mejora significativa en el logro de otras metas.

Los diferentes objetivos pueden combinarse en solo objetivo general.

Los objetivos pueden catalogarse en orden de importancia.

La obtencin de las metas, las penalizaciones, las funciones de utilidad o clasificaciones de



La obtencin de las metas, las penalizaciones, las funciones de utilidad o clasificaciones de

los objetivos est cargada de un alto grado de subjetividad.

Procedimiento: Por cada objetivo, se identifica una meta.

Por cada meta identificada, se definen dos variables no negativas adicionales: la variable 1

representa la cantidad en que el objetivo supera la meta y la variable 2 representa la cantidad

en que la meta supera el objetivo.

Por cada objetivo, se formula una restriccin de meta asociada.

Se establece una sola funcin objetivo de minimizacin de la penalizacin total por no

cumplir con las metas.

Se resuelve el programa lineal con un solo objetivo.

EJERCICIOS.

1. MTV Steel Company produce tres tamaos de tubos: A, B y C, que son vendidos,

respectivamente en $10, $12 y $9 por pie. Para fabricar cada pie del tubo A se requieren 0.5

minutos del tiempo del procesamiento sobre un tipo particular de maquina de modelado.

PROBLEMAS DE PROGRAMACION DE METAS


minutos del tiempo del procesamiento sobre un tipo particular de maquina de modelado.

Cada pie del tubo B requiere 0.45 minutos y cada pie del tubo C requiere 0.6 minutos.

Despus de la produccin, cada pie de tubo, sin importar el tipo, requiere de 1 onza de

material de soldar. El costo se estima en $3, $4 y $4 por pie de los tubos A, B y C

respectivamente.

Para la siguiente semana, MTV Steel ha recibido pedidos excepcionalmente grandes que

totalizan 2000 pies del tubo A, 4000 pies del tubo B y 5000 pies del tubo C. como solo se

disponen de 40 horas de tiempo de maquina esta semana y solo se tienen en inventario

5500 de onzas de material de soldar, el departamento de produccin no podr satisfacer

esta demanda, que requiere un total de 97 horas de tiempo de maquina y 11000 onzas de

material de soldar.

No se espera que contine este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones deproduccin, la gerencia de MTV Steel esta considerando la compra de algunos de estos tubos a por-veedores deJapn a un costo de entrega de $6 por pie del tubo A, $6 por pie del tubo B y $7 por pie del tubo C. Supngase quela compaa se ha establecido una meta de ganancia de $55.000 y desea que los costos de importacin no superenlos $40.000. Formule este modelo como un problema de metas, sabiendo que la meta de ganancia es dos vecesms importante que la meta de costos de importacin.



TIPO

PRECIO DE

VENTA ($/ft))

DEMANDA(ft) TIEMPO DE

MAQUINA

(min/ft)

MATERIAL PARA

SOLDAR (oz/ft)

COSTO DE

PRODUCCION

($/ft)

COSTO DE

COMPRA ($/ft)

A 10 2000 0.50 1 3 6

B 12 4000 0.45 1 3 6

C 9 5000 0.60 1 4 7

ms importante que la meta de costos de importacin.

Cantidad Disponible 40hr 5500 oz

Identificacin de las variables.

AP = nmero de pies de Tubo A por producir

BP = nmero de pies de Tubo B por producir.

CP = nmero de pies de Tubo C por producir.



CP = nmero de pies de Tubo C por producir.

AJ = nmero de pies de Tubo A por comprar a Japn.

BJ = nmero de pies de Tubo B por comprar a Japn.

CJ = nmero de pies de Tubo C por comprar a Japn.

Variables de decisin.

P+ = cantidad de dlares en que se excede la ganancia de la meta de $55000

P- = cantidad de dlares que faltan para la ganancia meta de $55000

I+ = cantidad de dlares en que las importaciones exceden la meta de $40000

I - = cantidad de dlares que faltan para que las importaciones alcancen la meta de $40000.

Identificacin de la Funcin Objetivo

Minimizar 2P- + I+

Identificacin de las Restricciones

Restricciones de Demanda



Restricciones de Demanda

AP + AJ = 2000 (demanda Tipo A)

BP + BJ = 4000 (demanda Tipo B)

CP + CJ = 5000 (demanda Tipo C)

Restricciones de Recursos

0.5AP + 0.45BP + 0.6CP 2400 (tiempo de maquina)

AP + BP + CP 5500 (material de soldadura)

Restricciones de Metas



7AP + 8BP + 5CP + 4AJ + 6BJ + 2CJ P+ + P- = 55000 (meta de ganancia)

6AJ + 6BJ + 7CJ I+ + I- = 40000 (meta de importacin)

Restricciones Lgicas

AP, BP, CP, AJ, BJ, CJ, P+, P-, I+, I- 0

2. El departamento de nutricin de Hospital General Mountain View esta

preparando un men de comida que ser servido un da cada mes. El



departamento ha determinado que esta comida deber proporcionar 63000

miligramos (mg) de protena, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1 mg de

tiamina y 50 mg de vitamina C. Para lograr este objetivo, la comida debe

consistir en una cierta cantidad de espagueti, carne de pavo, papas

gratinadas, espinaca y pastel de manzana. Cada 100 gramos de estos

alimentos proporcionan la cantidad de cada nutriente que se indica en la

siguiente tabla:

PROTEINAS HIERRO NIACINA TIAMINA VITAMINA C GRASA

Espagueti 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000

Pavo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000

Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900



Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900

Espinaca 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300

Pastel de

Manzana

4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300

El departamento sabe que debe presentar una comida bien balanceada que guste al

paciente. Con este objetivo en mente, el departamento no servir mas de 300 gramos

de espagueti, 300 gramos de pavo, 200 gramos de papas, 100 gramos de espinacas y

100 gramos de pastel de manzana. Como director del departamento de nutricin,

usted desea determinar la composicin de una comida que satisfaga los

requerimientos nutricionales y proporciones la mnima cantidad de grasas.

Variables de decisin

SPAG = el nmero de 100 gramos de espagueti que incluir

PAVO = el nmero de 100 gramos de pavo que incluir

PAPA = el nmero de 100 gramos de papa que incluir

SPIN = el nmero de 100 gramos de espinacas que incluir

MANZ = el nmero de 100 gramos de pastel de manzana que incluir



MANZ = el nmero de 100 gramos de pastel de manzana que incluir

Identificacin de la Funcin Objetivo

Minimizar 0.09F+ +0F- + C+ + 0C-

Identificacin de las restricciones

Restricciones de Metas

5000SPAG + 5000PAVO + 7900PAPA + 300SPIN + 14300MANZ F+ + F- = 55000 (grasa)

0.15SPAG + 0.80PAVO + 0.12PAPA + 0.20SPIN + 0.51MANZ C+ + C- = 2 (costo)

Restricciones de Nutrientes

5000SPAG +29300PAVO +5300PAPA +3000SPIN +4000MANZ 100000 (mx. de protenas)



5000SPAG +29300PAVO +5300PAPA +3000SPIN +4000MANZ 80000 (mn. de protenas)

1.1SPAG + 1.8PAVO + 0.5PAPA + 2.2SPIN + 1.2MANZ 10 (hierro)

1.4SPAG + 5.4PAVO + 0.9PAPA + 0.5SPIN + 0.6MANZ 15 (niacina)

0.18SPAG + 0.06PAVO + 0.06PAPA + 0.07SPIN + 0.15MANZ 1 (tiamina)

10PAPA + 28SPIN + 3MANZ 50 (vitamina C)

Restricciones de Limite

SPAG 3

PAVO 3



PAVO 3

PAPA 2

SPIN 1

MANZ 1

Restricciones Lgicas

SPAG, PAVO, PAPA, SPIN, MANZ, F+, F-, C+, C- 0

EJERCICIOS.

3. Una compaa qumica produce cuatro productos qumicos diferentes (1 y 2). Por cada

hora que se realiza el proceso 1 este entrega 400kg de A. 100kg de B y 100kg de C. el

proceso 2 entrega 100kg de A. 100kg de B y 100 kg de D por hora. El departamento de



proceso 2 entrega 100kg de A. 100kg de B y 100 kg de D por hora. El departamento de

marketing de la compaa ha especificado que la produccin diaria debe ser no ms de

500kg de B y 300kg de C y al menos 800kg de A y 100kg de D. una corrida del proceso 1

tiene un costo de 500 bs/hr. Y una corrida del Proceso 2 tiene un costo de 100Bs/hr.

Suponga que un kg de cada qumico A, B, C se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 Bs,

respectivamente y que las ventas del proceso 1 es de 1400Bsf/hr y 1000 Bs/hr, as como

tambin las ganancias del proceso 1 son de 900 y del proceso 2 900bs. Formule un

modelo de Programacin lineal para alcanzar las siguientes metas: Que los costos se

encuentren por debajo de 30000Bs, que las ventas aumenten 100.000Bs y que las

ganancias aumenten a 200.000Bs

Producto Proceso kg/hr

Solucin: Primero se deben organizar los datos del ejercicio en una tabla para visualizarlos

mejor.



1 2 Produccin kg/da Ventas Bsf/kg

A 400 100 800 1

B 100 100 500 5

C 100 300 5

D 100 100 4

Costo Bsf/hr 500 100

Ventas 1400 1000

Ganancias 900 900

Luego se deben definir las variables a utilizar.

T1= Tiempo de produccin del proceso 1 (hr)



T1= Tiempo de produccin del proceso 1 (hr)

T2=Tiempo de produccin del proceso 2 (hr)

Se coloca la Funcin Objetivo (F.O):

Minimizar Z1=500 T1+100 T2 Costos

Maximizar Z2=1400 T1+1000 T2 Ventas

Maximizar Z3=900 T1+900 T2 Ganancias

Sujeto a:

400 T1+100 T2>=800



1 2

100 T1+100 T2=0

F.O < > Meta

Seguidamente se realiza una tabla con las metas.



F.O

-

Meta

Z1 X1 X2 30.000

Z2 X3 X4 100.000

Z3 X5 X6 200.000

Despus que se realiza la tabla se seleccionan las variables que sobrepasan

la meta o las variables que representa la cantidad que falta para alcanzar la



la meta o las variables que representa la cantidad que falta para alcanzar la

meta, para entonces penalizarlas. En este caso las variables son las que

estn dentro del recuadro rojo, ya que X2 sobrepasa la meta de los costos,

X3 est por debajo de la meta planteada de ventas al igual que X5 por la

parte de ganancias.

F.O

- Meta


F.O + - Meta

Z1 X1 X2 30.000

Z2 X3 X4 100.000

Z3 X5 X6 200.000

Razonamiento

500 T1+100 T2+ X1- X2= 30.000 Para los costos

1400 T1+1000 T2 + X3- X4= 100.000 Para las Ventas

900 T +900 T + X - X = 200.000 Para las ganancias


1 2 3 4

900 T1+900 T2+ X5- X6= 200.000 Para las ganancias

T1, T2 X1,X2 ,X3,X4 ,X5, X6>=0

Se eliminan las funciones objetivos, pero debo tener 1, para eso necesito

minimizar las violaciones por lo que penalizo las variables que no me convengan

Finalmente consigo mi Funcin Objetivo:

Minimizar Z4= X2+ X3+ X5

4. En una planta se pueden fabricar dos productos diferentes (1 y 2). El tiempo

que cada producto requiere en cada una de las dos maquinas es el mostrado

en el cuadro anexo. Cada mquina est disponible 220min para cada


en el cuadro anexo. Cada mquina est disponible 220min para cada

producto. Formule un modelo de programacin lineal para alcanzar las

siguientes metas:

Produccin Total: 14 unidades

Del Producto 1: 8 unidades.

Del Producto 2: 9 unidades

Maquina (minutos)

Producto 1 2


Producto 1 2

1 20 15

2 14 18

Tiempo Disponible

(min)

220 220

Nota: Por cada meta se identifica una funcin objetiva o viceversa.

Variables:

X1= Cantidad del producto 1. (Unidades)

X2= Cantidad del producto 2. (Unidades).

Metas.




Producto 1: 8 unidades.

Producto 2: 9 unidades

Funciones Objetivo por cada meta:

Maximizar Z1= X1+ X2Maximizar Z2= X2Maximizar Z3= X1Restricciones:

20 X1+ 14 X2

F.O

-

Meta


Z1 X3 X4 14

Z2 X5 X6 8

Z3 X7 X8 9

Se penalizan las 6 variables ya que unas se sobrepasan la meta (X4 X6 X8) as

como tambin hay variables que se encuentran por debajo de la meta(X3 X5 X7).

Razonamiento:

X1+X2+X3-X4=14

X2+X5-X6 = 8

X +X -X = 9


2 5 6

X3+X7-X8 = 9

20 X1+ 14 X2

5. Una compaa est considerando unos nuevos productos, se est buscando

determinar la mezcla optima de los productos considerando 3 factores:

a) Mantener el nivel actual de empleo de 400 trabajadores.


b) Sostener la inversin de capital a menos de 60 millones de bs.

Ante la duda de no poder alcanzar las metas se establecen las siguientes

penalizaciones: 5 sino se llegan a la meta de utilidad (por milln de bs menos); 2

por sobrepasar la meta de empleo (por cien trabajadores); 4 por quedar por

debajo de esa misma meta; 3 por exceder la meta de inversin de capital (por

milln de bs de mas). La contribucin de cada producto de inversin y utilidad se

presenta en la siguiente tabla.

1 2 3

Utilidad a 12 bs 9bs 15bs Al menos


largo plazo 120.000.000

Nivel de

empleo

5 3 4 Mantener

4000

Inversin de

capital

5 7 8 Menos de

60.000.000

Se definen las variables

X1=Cantidad de producto 1

X2= Cantidad de producto 2

X = Cantidad de producto 3


2

X3= Cantidad de producto 3

Nota: si no hay restricciones, no hacen falta.

Las Funciones Objetivos

Max Z1=12 X1+9 X2+12 X3Z2=5X1+3X2+4 X3

Mini Z3=5X1+7X2+8X3

F.O

-

Meta

Se realiza la tabla de las metas.


+ -

Z1 X4 X5120.000.000

Z2 X6 X7 4000

Z3 X8 X960.000.000

En este caso se penaliza X4 ya que la meta es que al menos la utilidad sea

120.000.000bs, sea que puede ser ms que eso y por tanto X4 se

encuentra por debajo de la meta.


encuentra por debajo de la meta.

X6 y X7 se penaliza porque la meta es mantener a 4000 el nivel de empleo,

y estas variables no cumplen con esto, sino que una est por debajo de la

meta y la otra por encima de la meta.

X9 se penaliza porque se encuentra por encima de la meta.

Se coloca las funciones objetivos con sus nuevas variables de penalizacin y las

metas.

12X1+9 X2+12 X3+ X4- X5=120.000.000

5X +3X +4 X + X - X =4000


5X1+3X2+4 X3+ X6- X7=4000

5X1+7X2+8X3+ X8- X9=60.000.000

X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9 >= 0

Finalmente se coloca la funcin objetivo general con los valores de

penalizacin que se le asignan a las variables por no cumplir con las metas.

Z4= 5 X4+4 X6+2 X7+3 X9

Documents

Presentac..2