IDEAS PREVIAS

1. Planos paralelos. 2.Planos perpendiculares

3.Planos oblicuos.

CUERPO GEOMÉTRICO

Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica

de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar

en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.

1.- PrismasLos prismas son

poliedros que tienen:

Prisma triangular

Prisma rectangular

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

dos caras paralelas que

son polígonos iguales, y

Base

Base

las caras restantes

paralelogramos.Arista

lateral

Arista básica

Cara

lateral

Altura

Los elementos fundamentales

de un prisma se indican para el

caso del prisma pentagonal

Base: 3 lados

Base: 6 ladosBase: 4 lados

Base: 5 lados

La pirámides son poliedros que tiene:

Las caras de la pirámide forman la superficie piramidal.

En las pirámides, las caras laterales son siempre triángulos. Por tanto, para distinguirlas

y nombrarlas se utiliza el polígono de la base.

una cara que es un polígono, y

las caras restantes triángulos que se encuentran en el

vértice.

Base: 3 lados

Pirámide

triangular

Base: 4 lados

Pirámide

cuadrangular

Base: 5 lados

Pirámide

pentagonal

Base: 6 lados

Pirámide

hexagonal

2.- Pirámides

• Las figuras que están a la izquierda son poliedros.

• Las caras que limitan al poliedro son polígonos.

• Las aristas son los lados de las caras; cada dos

caras contiguas tienen una arista en común.

• Los vértices son los puntos donde concurren tres o

más caras.

Un poliedro es regular cuando sus caras son iguales y en cada vértice

concurre el mismo número de aristas (o caras). Sólo existen cinco poliedros

regulares.

(Entre paréntesis se indica el número de caras)

Un poliedro es la región del espacio determinada por polígonos. Las

caras del poliedro forman la superficie del poliedro.

3.- POLIEDROS REGULARES

Cuerpos redondos“Tienen al menos una cara curva”

Poliedros“Todas sus caras son planas”

Radio Basal Altura

se clasifican

ElementosElementos

Caras

basales laterales

Aristas Vértice

Altura

Base

Base

Radio basal

Cuerpos geométricos

PRISMA

Es el sólido geométrico que tiene dos regiones

poligonales congruentes y situados en planos

paralelos. Siendo las otras caras regiones

paralelográmicas, llamadas caras laterales.

ELEMENTOS DEL PRISMA:

Bases:

Aristas:

Altura:

ABCDE y FGHIJ

BG, FA, JE, ……

Es el segmento perpendicular

a las bases.

CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS.

1. Prisma recto:

Cuando sus aristas laterales

son perpendiculares a las bases.

2. Prisma oblicuo:

Cuando sus aristas laterales

no son perpendiculares.

3. Prisma regular:

Es prisma recto, cuyas bases

son polígonos regulares.

h

Área lateral (A )

ABASE

L

Área total (A )T

V = A AlturaxBase

Volumen (V)

A = A + 2AT

A =Perímetro

L Basex h

L Base

ABASE

h: Altura del prisma

ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA

ORTOGONAL

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR O ORTOEDRO.

Es aquel paralelepípedo

recto, cuyas caras son todas

rectangulares.

D c

a b

A = 2(ab + ac + bc)

D = a + b + c2 2 2 2

V = abc

Problemas resueltos:

1. Halla el área lateral, total y volumen de un prisma recto cuya base es un

rectángulo de dimensiones 4 m y 5 m y cuya altura es 12 m.

Desarrollo:

4

5

122T L baseA A A

L

perímetroA h

base

218 12 216LA m

2 2216 2 20TA m m

baseV A h

220 12V m m 3240V m

2256TA m

2. Halla el área lateral, total y volumen de un prisma recto cuya base es un

triángulo regular de dimensiones de 4 m de lado y 10m de altura.

Desarrollo: L

perímetroA h

base

2T L baseA A A

Hallan do el área de la base:

44

4

10

2 212 10 120LA m m

2 3

4

LA

24 3A m

2 2120 2 4 3TA m m

2 2120 8 3TA m m

28 15 3TA m

24 3 10V m m

340 3V m

3. Encuentra la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son:

5, 3 y 2 m.

Desarrollo:

5

32

2 2 2d a b c

2 2 25 3 2d

238d m

baseV A h

4. En el prisma regular mostrado, hallar el área total.

3

Desarrollo:

Como la base es un triángulo

equilátero, entonces las caras

son cuadrados de lado 6.

33

2T L baseA A A

66

6

26 3

18 6 24

TA

18 6 18 3TA

18 6 3TA

CILINDRO:Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica y dos planos paralelos

secantes a dicha superficie.

Altura

Generatriz

Base

CLASIFICACIÓN DE LOS CILINDROS

1. Cilindro recto:

Es el cilindro donde las generatrices

son perpendiculares a los planos

de las bases.

2. Cilindro oblicuo:

Es el cilindro donde las generatrices

no son perpendiculares

a los planos de las bases.

ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO RECTO

Área lateral (A )L

Área total (A )T

Volumen (V)

A = A + 2AT L Base

A = 2 rgL

Gen

erat

riz

r

g

V = r g2

g : Generatrizr : Radio de las bases

ABASE

A = 2 r(g + r)T

Ejemplos diversos

1. Halla el área lateral , total y volumen de un cilindro recto que tiene como base

un círculo de 3 cm de radio 18 cm de altura.

Desarrollo: 2LA rg

2 3 18LA

2108LA cm

2T L baseA A A

2 2108 2 9TA cm cm

2126TA cm

2V r g

23 18V 3162V cm

3.La figura indica el desarrollo de una

pirámide triangular regular. Calcular

su área lateral.

Desarrollo:

Pide:

P =3

2 2

1 1

3

3ap

3 3LA

.L baseA p ap

CONO:es el solido que se determina

al trazar un plano secante a una

superficie cónica.

h

r

Vértice

Generatriz

Altura

gh

r

g

h

O

g

r

g

ÁREA LATERAL (AL)

ÁREA TOTAL (AT)

VOLUMEN (V)

A = r.gL

A = r . (g + r)T

r . h13

V =2

h

r

g

g

g

2 r

Desarrollo lateral del cono

2

g

r=

Ejemplos diversos:

1.Hallar la razón entre área lateral y

volumen del cono recto, si: r = 4.

r 60°

Desarrollo:

Pide: LA

V

60°

30°

4

8

4 3

A = r.gL

4 8LA

32LA

r . h13

V =2

21. 4 4 3

3V

64 3.

3V

La razón es:3

2

2. El radio de la base de un cono

mide 4 cm y la altura es de 3 cm.

Calcular el valor de su área total y

volumen

Desarrollo:

AB

C

4

35

A = r . (g + r)T

4 5 4TA

236TA cm

r . h13

V =2

21

4 33

V

316V cm

3. Si la diferencia de cuadrados entre la

generatriz y la altura de un cono recto es

225 dm y la generatriz mide 25 dm,

hallar el ángulo de desarrollo de la

superficie lateral del cono.

Desarrollo:

h

25

r

Por dato:

2 225 225h

2 2 225g h

2625 225h

h = 20 dm

2025

15

53°

37°

Respuesta: 74°

4.En el gráfico halla el volumen

del cono de revolución, si el

volumen del cilindro es 230cm

Desarrollo:

rr2r

340conoV cm

3 230cm r h 3 230cm r h

214

3conoV r h

1

.4 303

conoV 340conoV cm

R2R

R

Círculo menor

Círculo mayoro máximo

A = 4 R2

V = 43R

3

ESFERA:es el solido limitado por una superficie en la que todas sus puntos equidistan

de un punto interior denominado centro.

1. El radio de una esfera es de 6 dm.

Calcule su área y volumen.

Ejemplos diversos

Desarrollo:

6

24esfA R

24 6esfA

2144esfA dm

34

3esfV R

346

3esfV

3288esfV dm

2.Halla el volumen de una esfera

de 10 cm de diámetro.

Desarrollo:

10

r = 5 cm

3100

3esfV cm

345

3esfV

3100

3esfV cm

2.Halla el volumen de una esfera

inscrita en un cono equilátero

de altura 6m

Desarrollo:

30°

O

r

2r

h = 3r

6 = 3r

r = 2

332

3esfV cm

34

23

esfV

332

3esfV cm