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3.er grado: Matemática
SEMANA 11
Usamos sistemas de ecuaciones lineales para elegir el servicio de alquiler de juegos de video
DÍA 3
Los recursos que utilizaremos serán:
Cuaderno de trabajo de Matemática:
Resolvamos problemas 3 - día 3, ficha 6, páginas 83, 84 y 85.
Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.Días 3 y 4:
Resolvamos
Leemos y observamos la siguiente situación
Matías desea alquilar juegos de video, razón por la
cual visita una tienda y solicita información al
respecto. La vendedora le manifiesta que hay dos
maneras de usar el servicio y le detalla:
Primera forma: “Si se inscribe como socio de la
tienda, pagará una cuota anual de veinte soles y
por cada alquiler pagará cinco soles”.
Segunda forma: “Pagar diez soles por cada alquiler
sin la necesidad de inscribirse como socio”.
Elegimos un servicio conveniente
A partir de la situación responde:
1. ¿Cuál es la cantidad de juegos que debe alquilar Matías para que cancele el mismomonto en las dos formas de usar el servicio?
2. Determina las expresiones matemáticas que modelen las dos formas de usar elservicio.
Comprendemos la situación
1. ¿Qué nos pide hallar la situación?
3. Explica qué significa “inscribirse como socio”.
2. ¿Qué conocimientos matemáticos necesita Matías para solucionar el reto de la situación?
Responde las siguientes preguntas. Puedes marcar una o varias respuestas.
La cantidad de dinero que debe pagar
Matías por el alquiler de juegos de video
durante un año.
Las ecuaciones que representen las dos
formas de usar el servicio.
Determinar cuál de las formas le conviene
a Matías si quiere alquilar más de 4 juegos.
La cantidad de juegos de video que debe
alquilar Matías para pagar lo mismo en la
primera y segunda forma de acceder al
servicio.
Porcentajes.
Ecuaciones lineales.
Inecuaciones.
Sistemas de ecuaciones lineales.
Magnitudes proporcionales.
Pagar una cuota anual de veinte soles.
Pagar cinco soles por cada alquiler.
Pagar diez soles por cada alquiler.
Pagar mensualmente veinte soles.
Diseñamos una estrategia o plan
Escribe aquí tu respuesta.
Escribe una estrategia para dar solución a la primera pregunta de la situación.
Escribe una estrategia para dar solución a la segunda pregunta de la situación.
Escribe aquí tu respuesta.
Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Su forma es:
Donde a1, a2, b1, b2, c1, c2
son constantes, x e y
son las incógnitas.
Ejemplo:2x – y = 5
Verifico a continuación:
• En la 1.a ecuación: 2(3) – 1 = 5
• En la 2.a ecuación: 3 + 3(1) = 6
Los valores de las incógnitas que satisfacen
simultáneamente ambas ecuaciones son:
x = 3 Λ y = 1
El sistemax + 3y = 6
Luego digo, que el conjunto solución (C. S.) de
este sistema es: C .S. = {(3; 1)}
C. S. es un conjunto unitario cuyo único elemento es
el par ordenado (3; 1). Su primer componente
corresponde al valor de x y el segundo, al valor de y.
Métodos de resolución
En esta oportunidad recordaremos el método de
sustitución y el método de reducción.
Consiste en despejar una incógnita en una de las
ecuaciones y reemplazar la expresión obtenida en
la otra ecuación.
a) Método de sustitución
a 1x + b 1y = c 1
a 2x + b 2y = c 2
Recuerda:
Ejemplo:
Considero el siguiente sistema de ecuaciones lineales
con dos incógnitas:
2x + 5y = –1
3x – y = 7 ….(2)
….(1)
• De una de las ecuaciones del sistema despejo el valor
de una de las incógnitas en función de la otra.
Despejo la incógnita y de la ecuación (2):
3x – y = 7
3x – 7 = y ….(3)
• Sustituyo el valor de la incógnita despejada en la
otra ecuación, para obtener una ecuación con una incógnita.
Reemplazo el valor de y en la ecuación (1) y obtengo:
y = 3x – 7
2x + 5y = –1
2x + 5(3x – 7) = –1
2x + 15x – 35 = –1
17x = 34
x = 2
• Reemplazo el valor de
x en la ecuación (3):
y = 3(2) – 7
y = –1
• Luego, el conjunto solución
del sistema es:
C. S. = {(2; –1)}
Recuerda:
b) Método de reducciónConsiste en sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones del
sistema, multiplicadas previamente por factores convenientes, de
tal manera que se elimine una de las incógnitas.
Considero el siguiente sistema:
3x – 2y = 18
4x + 5y = 1 ….(2)….(1)
• Trato de eliminar una incógnita. Elijo eliminar y para
lo cual multiplico la ecuación (1) por 5 y la ecuación
(2) por 2:
(1) por 5: 5(3x – 2y) = 5(18) 15x – 10y = 90
(2) por 2: 2(4x + 5y) = 2(1) 8x + 10y = 2
• Reemplazo el valor de x en la
ecuación (1) o en la ecuación (2).
En (1):
3x – 2y = 18
3(4) – 2y = 18
12 – 2y = 18
–2y = 6
y = –3
• Luego, el conjunto solución
del sistema es:
C.S. = {(4; –3)} Sumando: 23x = 92
x = 4
Ejemplo:
Recuerda:
Ejecutamos la estrategia o plan
1. ¿Cuál es la cantidad de juegos que debe alquilar Matías para que cancele el mismo monto en las dos formas de usar el servicio?
Si es socio de la tienda:
Alquiler de 1 juego: S/ 20 + S/ 5 = S/ 25
Alquiler de 2 juegos: S/ 20 + S/ 10 = S/ 30
Alquiler de 3 juegos: S/ 20 + S/ 15 = S/ 35
Alquiler de 4 juegos: S/ 20 + S/ 20 = S/ 40
Resolución
• Represento los datos y las condicionesde la primera forma de usar el servicio.
• Analizo la información de la tabla.
Entonces, el pago por el alquiler de
juegos de video, cuando se es socio,
está determinado por:
La cuota anual (S/ 20) más el pago por
la cantidad de juegos alquilados.
Alquiler de 5 juegos: S/ 20 + S/ 25 = S/ 45
Alquiler de 6 juegos: S/ 20 + S/ 30 = S/ 50 Cantidad de juegos
alquilados0 1 2 3 4 5 6 …
Pago 20 5 10 15 20 25 30 …
Cuota anual
• Represento los datos y las condiciones de la segunda forma de usar el servicio.
• Analizo la información de la tabla.
Alquiler de 1 juego: 1(S/ 10) = S/ 10
Alquiler de 2 juegos: 2(S/ 10) = S/ 20
Alquiler de 3 juegos: 3(S/ 10) = S/ 30
Alquiler de 4 juegos: 4(S/ 10) = S/ 40
Entonces, el pago por el alquiler de juegos de
video, cuando no se es socio, está determinado
por la cantidad de juegos alquilados.
• Comparo el pago por el alquiler de videos en ambas formas de servicio.
Se concluye: al alquilar 4 juegos en ambas formas
de servicio, el pago es el mismo (S/ 40).
Si no es socio de la tienda:
Respuesta: Para pagar lo mismo en ambas formas de servicio se debe alquilar 4 juegos de video.
Pagos por el alquiler
Alquiler de: 1.a forma 2.a forma
1 juego S/ 25 S/ 10
2 juegos S/ 30 S/ 20
3 juegos S/ 35 S/ 30
4 juegos S/ 40 S/ 40
5 juegos S/ 45 S/ 50
Sigamos respondiendo
Cantidad de juegos alquilados
0 1 2 3 4 5 6 …
Pago 0 10 20 30 40 50 60 …
2. Determina las expresiones matemáticas que modelen las dos formas de usar el servicio.
Sea x : el número de juegos que se alquila.
Sea y : el pago.
Primera ecuación: y = 20 + 5x
• Determino las incógnitas de la situación.
• Formulo la primera ecuación considerando las condiciones de la primera forma de usar el servicio.
Segunda ecuación: y = 10x
Resolución
Primera forma:“Si se inscribe como socio de la tienda, pagará una cuota anual de veinte soles y por cada
alquiler pagará cinco soles”.
Segunda forma:“Pagar diez soles por cada alquiler sin la necesidad de inscribirse como socio”.
• Formulo la segunda ecuación considerando las condiciones de la segunda forma de usar el servicio.
Sigamos respondiendo
- Reemplazo el valor de x en la ecuación (2):
y = 10x
y = 10 (4)
y = 40
Respuesta: La expresión matemática que modela la primera forma es “y = 20 + 5x”. Para la segunda forma, “y = 10x”.
Matías pagará S/ 40 en la primera y en la
segunda forma de usar el servicio.
Se concluye que las ecuaciones (1) y (2) permiten
dar solución a la primera pregunta de la situación.
• Verifico si las ecuaciones permiten dar solución a la primera pregunta de la situación.
- Reemplazo la ecuación (2) en la ecuación (1):
10x = 20 + 5x
5x = 20
x = 4
y = 20 + 5x
Matías debe alquilar 4 juegos para pagar
el mismo monto en ambos servicios.
y = 20 + 5x ….(1)y = 10x ….(2)
- Organizo el sistema de ecuaciones lineales:
Sigamos respondiendo
Reflexionamos sobre lo desarrollado
1. ¿Cuál de las formas le conviene a Matías si quiere alquilar más de 4 juegos? ¿Por qué?
2. ¿Cómo verificas si los resultados obtenidos son correctos?
Responde las siguientes preguntas:
Escribe aquí tu respuesta. Escribe aquí tu respuesta.
Para seguir aprendiendo en casa
Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.
Estimada y estimado estudiante, con la finalidad de
afianzar tus aprendizajes matemáticos te invitamos a
revisar los desafíos de las páginas 90, 91 y 93 del cuaderno
de trabajo de Matemática, Resolvamos problemas 3 - día 4
donde encontrarás otras situaciones similares que te serán
útiles resolver.
Días 3 y 4:
Resolvamos
Gracias
