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Presentacion Capa Limite
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Teorıa de la CapaLımite Laminar
Miguel Hermanns
Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Teorıa de la Capa Lımite Laminar
Miguel Hermanns
Universidad Politecnica de Madrid, Espana
4 de diciembre de 2006
Teorıa de la CapaLımite Laminar
Miguel Hermanns
Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Introduccion
U
L
Σ
ρ, µ y U constantes
Si el numero de Reynolds es grande
Re =ρUL
µ� 1
se obtienen las ecuaciones de Euler incompresibles
∇ · v = 0, ρv · ∇v = −∇p +∇ · τ
con las siguientes condiciones de contorno:
x ∈ Σ : v · n = 0, v · t = 0
|x| → ∞ : v → U, p → p∞
Teorıa de la CapaLımite Laminar
Miguel Hermanns
Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Ludwig Prandtl
Antes the 1904:
Los teoricos y los experimentalistas no se entendıan
La teorıa y los experimentos no coincidıan
No era posible predecir la resistencia aerodinamica
Teorıa de la CapaLımite Laminar
Miguel Hermanns
Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
El concepto de capa lımite
U
L
Σ
δ
ρ, µ y U constantes
El flujo no cumple la condicion v = 0:
x ∈ Σ : |v| = ue(x) ⇒ pe +1
2ρu2
e = p∞ +1
2ρU2
Aparece una capa lımite, de espesor δ � L, en la cualla viscosidad no es despreciable
A traves de la capa lımite la velocidad decae hasta cero
Teorıa de la CapaLımite Laminar
Miguel Hermanns
Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Multiplicidad de las soluciones no viscosas
Las ecuaciones de Euler presentan infinitas soluciones, yademas no predicen la fuerza que actua sobre el cuerpo:
D = 0 D = 0 D 6= 0
No se obtiene automaticamente la solucion de lasecuaciones de Navier-Stokes correspondiente al lımite deRe→∞
⇒ Hay que tener en cuenta la capa lımite
Teorıa de la CapaLımite Laminar
Miguel Hermanns
Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Analisis de los ordenes de magnitud
L
U
p8
ρ, µ δ
yx
yx
yO
x
Uso de las coordenadas de capa lımite (x , y)
Curvaturas moderadas de la superficie: (R ∼ L)
Flujo plano e incompresible con viscosidad constante
Teorıa de la CapaLımite Laminar
Miguel Hermanns
Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Analisis de los ordenes de magnitud
L
U
p8
ρ, µ δ
yx
yx
yO
x
Ecuacion de continuidad:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
U
L∼ vc
δ
Velocidad transversal caracterıstica en la capa lımite:
vc ∼ Uδ
L� U
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Miguel Hermanns
Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Analisis de los ordenes de magnitud
L
U
p8
ρ, µ δ
yx
yx
yO
x
Ecuacion de cantidad de movimiento segun x :
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν
(∂2u
∂x2+∂2u
∂y2
)U2
L∼ Uvc
δ
∆xp
ρLν
U
L2� ν
U
δ2
Espesor caracterıstico de la capa lımite:
δ ∼√νL
U=
L
Re1/2� L
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Miguel Hermanns
Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Analisis de los ordenes de magnitud
L
U
p8
ρ, µ δ
yx
yx
yO
x
Ecuacion de cantidad de movimiento segun y :
u∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ O
(u2
R
)= −1
ρ
∂p
∂y+ ν
(∂2v
∂x2+∂2v
∂y2
)Uvc
L∼ v2
c
δ
U2
L
∆yp
ρδν
vc
L2� ν
vc
δ2
Variaciones de presion a traves de la capa lımite:
∆yp ∼ ρU2 δ
L� ρU2 ∼ ∆xp
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Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Analisis de los ordenes de magnitud
L
U
p8
ρ, µ δ
yx
yx
yO
x
Resumen del analisis de los ordenes de magnitud:
vc ∼U
Re1/2∆xp ∼ ρU2
δ ∼ L
Re1/2∆yp � ∆xp
La presion no varıa a traves de la capa lımite:
p(x , y) = pe(x)
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Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Ecuaciones de capa lımite
Ecuaciones de Navier-Stokes simplificadas:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
dpe
dx+ ν
∂2u
∂y2
Condiciones de contorno e ”inicial”:
u(x , y = 0) = 0
v(x , y = 0) = 0 u(x = 0, y) = u0(y)
u(x , y � δ) = ue(x)
Ecuacion de la region exterior:
uedue
dx= −1
ρ
dpe
dx
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Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Ecuaciones de capa lımite
Ecuacion de capa lımite para la funcion de corriente ψ:
∂ψ
∂y
∂2ψ
∂x∂y− ∂ψ
∂x
∂2ψ
∂y2= −1
ρ
dpe
dx+ ν
∂3ψ
∂y3
Condiciones de contorno e ”inicial”:
ψy (x , y = 0) = 0
ψ(x , y = 0) = 0 ψy (x = 0, y) = u0(y)
ψy (x , y � δ) = ue(x)
Ecuacion de la region exterior:
uedue
dx= −1
ρ
dpe
dx
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Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Propiedades de las ecuaciones de capa lımite
El problema planteado es parabolico
Las soluciones no cumplen que v → 0 cuando y →∞
Sus soluciones no dependen del numero de Reynolds:
u =u
U, x =
x
L, p =
p
ρU2, v =
v
vc, y =
y
δ
vc =U√Re, δ =
L√Re
∂u
∂x+∂v
∂y= 0,
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −dpe
dx+∂2u
∂y2,
u(x , y = 0) = 0
v(x , y = 0) = 0
u(x , y →∞) = ue(x)
u(x = 0, y) = u0(y)
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Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Resultados de la capa lımite
Proporciona el esfuerzo de friccion en la pared:
τw = µ∂u
∂y
∣∣∣∣y=0
∼ µU
δ∼ ρU2
Re1/2
Proporciona el punto de separacion de la capa lımite:
⇒ Resuelve el problema de la multiplicidad de soluciones
⇒ Determina la fuerza que actua sobre el cuerpo
Criterio de separacion de la capa lımite: τw = 0
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Introduccion
Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Resultados de la capa lımite
Proporciona el espesor de la capa lımite:
⇒ Espesor δ(x) basado en percentiles:
u(x , y = δ(x)) = 0.99ue(x)
⇒ Espesor de desplazamiento δ∗(x):
δ∗ =
∫ ∞
0
(1− u
ue
)dy
x
y = H
U
y = Y + δ∗
y = Y ue(x)
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Flujo sobre una placa plana
Up∞ ≈
xy
Ecuaciones de Euler:
∇ · v = 0, ρv · ∇v = −∇p
Condiciones de contorno:
y →∞ : u = U, v = 0, p = p∞
x > 0, y = 0 : v = 0
Solucion:u = U, v = 0, p = p∞
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Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Capa lımite sobre una placa plana
δ(x)8
U
p
Ecuaciones de capa lımite y condiciones de contorno:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
dpe
dx+ν
∂2u
∂y2
x > 0, y = 0 : u = 0, v = 0
y →∞ : u = U
x = 0 : u = u0(y) = U
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Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Capa lımite sobre una placa plana
δ(x)
8
U
p
Ecuaciones de capa lımite y condiciones de contorno:
∂ψ
∂y
∂2ψ
∂x∂y− ∂ψ
∂x
∂2ψ
∂y2= −1
ρ
dpe
dx+ ν
∂3ψ
∂y3
x > 0, y = 0 : ψy = 0, ψ = 0
y →∞ : ψy = U
x = 0 : ψy = u0(y) = U
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Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Capa lımite sobre una placa plana
δ(x)8
U
p
No existe longitud caracterıstica L (L⇔ x):
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= ν
∂2u
∂y2
U2
x∼ Uvc
δ∼ ν
U
δ2
Espesor caracterıstico de la capa lımite:
δ ∼√νx
U⇒ ψc ∼ Uδ ∼
√νUx
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Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Solucion de Blasius
δ(x)8
U
p
El problema de capa lımite a resolver es:
∂ψ
∂y
∂2ψ
∂x∂y− ∂ψ
∂x
∂2ψ
∂y2= ν
∂3ψ
∂y3
Este problema admite solucion de semejanza:
η = y
√U
2νx, ψ =
√2νUxf (η)
La ecuacion a resolver sera:
f ′′′ + ff ′′ = 0, f (0) = f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1
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Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Solucion de Blasius
Las componentes de la velocidad vienen dadas por:
u = Uf ′(η), v =
√νU
2x
(ηf ′ − f
)
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Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Solucion de Blasius
experimental perfil de Blasius
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Solucion de Blasius
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Solucion de Blasius
Esfuerzo local en la pared:
τw = µ∂u
∂y
∣∣∣∣y=0
=f ′′(0)√
2
ρU2
Re1/2x
= 0.332ρU2
Re1/2x
Espesor de desplazamiento:
δ∗ =
∫ ∞
0
(1− u
U
)dy =
√2νx
Ulım
η→∞(η − f ) = 1.721
x
Re1/2x
Velocidad vertical:
v∞(x) =
√νU
2xlım
η→∞(η − f ) = 0.860
U
Re1/2x
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Efecto del gradiente de presiones
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
dpe
dx+ ν
∂2u
∂y2
uedue
dx= −1
ρ
dpe
dx
Nearlyinviscid
core flow
Boundarylayers
U(x)
Profile pointof inflection
Separationpoint
w = 0
x
Dividingstreamline
Backflow
Separation
Nozzle:Decreasing
pressureand area
Increasingvelocity
Favorablegradient
Throat:Constantpressureand area
Velocityconstant
Zerogradient
Diffuser:Increasing pressure
and area
Decreasing velocity
Adverse gradient(boundary layer thickens)
U(x) ( x)δ
( x)δ
τ
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Efecto del gradiente de presiones
∂2u
∂y2
∣∣∣∣y=0
=1
µ
dpe
dx
Criterio de separacion de la capa lımite: τw = 0
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Ordenes demagnitud
Ecuaciones decapa lımite
Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Soluciones de Falkner-Skan
Si la distribucion de velocidades es de la forma
ue(x) = Axm ⇒ pe(x) ∼ x2m
entonces el problema tiene solucion se semejanza:
η = y
√m + 1
2
ue(x)
νx, ψ =
√2
m + 1νxue(x)f (η)
La ecuacion a resolver sera:
f ′′′ + ff ′′ + β(1− f ′2) = 0, f (0) = f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1
con el siguiente parametro:
β =2m
m + 1πβU
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Soluciones de Falkner-Skan
Casos especiales de las soluciones de Falkner-Skan:
β = 0: Solucion de Blasius:
ue(x) = U ⇒ δ ∼√
2νx
U
πβ = 0U
β = 1: Punto de remanso sobre un cuerpo romo:
ue(x) = Ax ⇒ δ ∼√ν
AπU
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Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Soluciones de Falkner-Skan
Si β > 0 ⇒ la capa lımite se adhiere mas a la pared
Si β < 0 ⇒ aparece un punto de inflexion
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Efecto de la succion/soplado
Sin succion Con succion
Succion:
Retrasa la separacion de la capa lımite
Retrasa la transicion a la turbulencia
Aumenta los esfuerzos de pared
Soplado:
Favorece la separacion de la capa lımite
Reduce los esfuerzos de pared
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Efecto de la succion/soplado
Si la distribucion de succion/soplado es de la forma
vw (x) = v∗wU
Re1/2x
entonces el problema tiene solucion de semejanza:
η = y
√U
2νx, ψ =
√2νUxf (η)
La ecuacion a resolver sera:
f ′′′ + ff ′′ = 0, f (0) = −√
2v∗w , f ′(0) = 0, f ′(∞) = 1
con el siguiente parametro:
v∗w
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Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Efecto de la succion/soplado
Si v∗w < 0 ⇒ la capa lımite se adhiere mas a la pared
Si v∗w > 0 ⇒ aparece un punto de inflexion
Para v∗w = 0.619 se produce la separacion
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Efecto de una protuberancia localizada
U
p∞
L≈ ` � L
Re =UL
ν� 1
La teorıa de capa lımite deja de ser valida, porejemplo, cerca del borde de salida o cuando haydesprendimiento
En esos casos la teorıa del ”Triple-Deck”, o capalımite interactiva, permite estudiar dichos flujos
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Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Efecto de una protuberancia localizada
U
p∞
L≈ ` � L
δ ∼q
νLU
Re =UL
ν� 1
La longitud ` de la protuberancia es pequena frente ala longitud de desarrollo L de la capa lımite
La altura h de la protuberancia es pequena frente alespesor δ de la capa lımite
Flujo plano e incompresible con viscosidad constante
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Efecto de una protuberancia localizada
U
p∞
L≈ ` � L
δ ∼q
νLU
Re =UL
ν� 1
Como la longitud de la protuberancia es pequena, `� L,
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= ν
∂2u
∂y2
U2
`∼ Uvc
δ� ν
U
δ2
la viscosidad no actua en la mayorıa de la capa lımite (y ∼ δ)
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Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Efecto de una protuberancia localizada
U
p∞
uc
L≈ ` � L
δ ∼q
νLU
δv � δ
Re =UL
ν� 1
La viscosidad solo actua en una subcapa viscosa de espesorδv , donde la velocidad caracterıstica es uc ∼ (U/δ)δv � U:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= ν
∂2u
∂y2
u2c
`∼ ucvc
δv∼ ν
uc
δ2v⇒ δv ∼ δ
(`
L
)1/3
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Efecto de una protuberancia localizada
A(x) ∼ δv
U
p∞
uc
u = U + δuv = δvp = p∞ + δp
L≈ ` � L
∼ `
δ ∼q
νLU
δv ∼ h
Re =UL
ν� 1
v = ∇φ
∇2φ = 0
La protuberancia de altura h ∼ δv desplaza verticalmentela capa lımite una distancia A(x) ∼ δv e induceperturbaciones en la corriente exterior:
(δu, δv) ∼ Uδv`
⇒ δp ≈ −ρUδu ∼ ρU2 δv`
La corriente exterior es irrotacional
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Efecto de una protuberancia localizada
A(x) ∼ δv
U
p∞
uc
u = U + δuv = δvδp ∼ ρU2δv /`
L≈ ` � L
∼ `
δ ∼q
νLU
δv ∼ h
Re =UL
ν� 1
v = ∇φ
∇2φ = 0
Las perturbaciones en la presion δp afectaran a la delgadasubcapa viscosa si:
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
∂p
∂x+ ν
∂2u
∂y2
u2c
`∼ ucvc
δv∼ δp
ρ`∼ ν
uc
δ2v⇒ δv ∼
δ2
`
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Efecto de una protuberancia localizada
A(x) ∼ δv
U
p∞
uc
u = U + δuv = δvδp ∼ ρU2δv /`
L≈ ` � L
∼ `
δ ∼q
νLU
δv � δ
Re =UL
ν� 1
v = ∇φ
∇2φ = 0
De las dos condiciones anteriores se obtienen las escalascaracterısticas del problema:
δv ∼ δ
(`
L
)1/3
δv ∼δ2
`
⇒
`
L∼ 1
Re3/8� 1
δvδ∼ 1
Re1/8� 1
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Efecto de una protuberancia localizadaEl problema a resolver en la subcapa viscosa es:
∂u
∂x+∂v
∂y= 0
u∂u
∂x+ v
∂u
∂y= −1
ρ
dp
dx+ ν
∂2u
∂y2
donde la presion viene dada por:
p = −ρU2
π
∫ ∞
−∞
A′(x1)
x − x1dx1
y las condiciones de contorno a imponer son
y = h(x) : u = v = 0
y � δv : u = λ [y + A(x)]
x → −∞ : u = λy , v = 0
Las incognitas del problema son ahora u, v , p(x) y A(x)
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Flujo sobre unaplaca plana
Efecto delgradiente depresiones
Efecto del lasuccion/soplado
Efecto de una protuberancia localizada
Propiedades del problema en la subcapa viscosa:
El problema ya no es parabolico sino elıptico
Admite desprendimientos locales de la capa lımite
La teorıa ”Triple-Deck” tambien es aplicable a:
Las cercanıas del punto de separacion
La region en torno al borde de salida de un perfil
La interaccion de ondas de choque con capas lımite
Cambios bruscos de las condiciones de contorno