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REFLEXIONES SOBRE LA UTILIZACIÓN DE LA OBRA DE M.C. ESCHER EN LA ENSEÑANZA DEL

PENSAMIENTO GEOMÉTRICOMtro. Adrián Cuevas González

RESUMENEn este texto se reflexionará sobre la vinculación de las teselaciones de M. C.Escher a la enseñanza de la integración de mosaicos geométricos a partir de ladeformación de polígonos con educadoras en formación en el laboratorioPENSMAT-ENEG

PALABRAS CLAVE: Teselación, mosaico, cenefa, deformación de polígonos,simetría

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niciaré por mencionar que elpresente texto se escribe con elpropósito de reflexionar sobre laconcepción matemática de la obra deEscher, focalizada en las teselacionescreadas por el autor a partir de lamatematización de los mosaicosmoriscos que cubren los muros de laAlhambra en Granada, España para suaplicación en la enseñanza de patronesgeométricos, deformación de polígonosy proyecciones geométricas.

El pensamiento geométrico en laobra de EscherAl observar los mosaicos creados porMaurits Cornelius Escher no deja de

asombrar la forma en que se entrelazan ala perfección las figuras orgánicas, de talmanera que al apreciarlos difícilmente nosdamos cuenta que se diseñaron a partir dedeformaciones geométricas de polígonosregulares, lo que impregna un significadoespecial a sus teselaciones como productodel arte geométrico.

Para comprender la matemática que viveen los mosaicos escherianos en palabrasde Freire (1996) y Lockhart (2008)debemos identificarla como un proceso dematematización, como el descubrir que enun mosaico compuesto por figuras delagartos o patos y peces entrelazadosademás de una ilusión óptica seencuentran patrones geométricos.

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REFLEXIONES SOBRE LA UTILIZACIÓN DE LA OBRA DE M.C. ESCHER EN LA ENSEÑANZA DEL

PENSAMIENTO GEOMÉTRICOMtro. Adrián Cuevas González

Con referencia a lo anterior, apreciar lageometría en la obra de Escher es unproceso de mate-alfabetización queimplica además de reconocer el valorestético cultural de sus realizaciones, lanecesidad de replantear su significadoen una realidad que nos invita aincursionar en el concepto de procesosgeométricos como las proyeccionessimétricas o la compensación de áreasen los polígonos.

A fin de atender al propósito centraré laatención en los procesos matemáticos alos que recurre Escher para el diseñode sus mosaicos teselados como puntode partida es necesario conceptualizarlos términos teselación, tesela, mosaicoy su significado específico en la obra deMaurits Cornelius.

El origen etimológico del términoteselación procede del latín tesella, quepuede traducirse azulejo, y este a su vez dela palabra griega tessares, que es sinónimode cuatro. El diccionario electrónicoDefinición.de la conceptualiza como elpatrón que se sigue al recubrir unasuperficie en la que se requiere evitar lasuperposición de figuras y asegurar queno se registran espacios en blanco en elrecubrimiento.

La Asociación Mexicana de Ciencias en elcomunicado de divulgación Teselaciones,arte y matemática conceptualiza lateselación de un plano como elrecubrimiento de un friso o un zócalo configuras regulares e iguales con la únicacondición de que en cada vértice confluyaun número entero de figuras, de donde sededuce que el ángulo formado entre doslados consecutivos debe ser divisor de 360°.

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Esto deja tres opciones: los cuadrados(90°), los triángulos (60°) y loshexágonos (120°). Las posibilidades semultiplican si se combinan figuras,figuras no regulares o deformacionesvarias. (Asociación Mexicana deCiencias, 2013)

La obra de Escher que refiero en esteartículo son teselaciones regulares,mosaícos teselados creados a partir demódulos o teselas por la deformaciónde polígonos utilizando el método decompensación de áreas, dondeaprovecha cada espacio libre paradiseñar formas con patrones definidosque representan figuras de animales yhumanos que no son otra cosa quecreativos dibujos geométricos, lo que lohizo estar más cerca de los matemáticosque de los artistas de su tiempo.

En sus trabajos pueden observarsetambién “los teselados irregulares queestán construidos a partir de polígonosregulares e irregulares que, al igual quetodas las teselaciones, cubren toda lasuperficie sin sobreponerse ni dejarespacios vacíos.” (PLAN CEIBAL, s.f.);los demi-regulares que se forman apartir de la combinación de dos o máspolígonos regulares pero de modo queno todos los vértices tengan la mismadistribución y los semirregularesformados por la combinación de dos omás polígonos regulares perodistribuidos de modo tal que en todoslos vértices aparezcan los mismospolígonos y en el mismo orden.

Reformulando los significados expuestos,las teselaciones creadas por Escher motivode esta reflexión, se definen comoteselados regulares, mosaicos reconocidospor su valor artístico concebido a partir depatrones matemáticos que se hanconvertido en modelo al crearinnovaciones en el diseño de mosaícos,cenefas y teselaciones tridimensionalesque encuentran su aplicación principal endiseños para recubrimientos cerámicos yel diseño textil. El estudio de la relaciónarte-matemática en la obra de estesingular arquitecto además de representarun objeto de estudios académico, abreoportunidades para su uso en laenseñanza de transformacionesgeométricas.

Procesos de pensamiento geométricopresentes en las teselacionesPara la vinculación de las teselacionesescherianas en la enseñanza delpensamiento geométrico con educadorasen formación se intencionan los siguientesprocesos:1.Deformación de polígonos2.Las proyecciones geométricas en lassecuencias modulares3.Teselaciones regulares

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1.Deformación de polígonos. Lasteselaciones de Escher se construyen apartir de la descomposición depolígonos con el método de áreascompensadas que consiste en realizaren uno de los lados del polígono tomadocomo base, una deformación a la cualdebemos aplicarle una isometría, con elfin de que la figura formada mantengala misma área que la original. Esteprocedimiento puede ser aplicado másde una vez hasta formar la figuradeseada. A las nuevas figuras queteselan el plano se les llama trisides.Resulta sencillo identificar ladeformación del triángulo equiláterocon el método de compensación deáreas para descubrir un pez volador.

Otras deformaciones de polígonosutilizadas por Escher incluyentriángulos encontrados, cuadrados ohexágonos, la imagen 10 muestra cómose generan las formas orgánicas a partirde la compensación de áreas.

2 Las proyecciones geométricas en lassecuencias modulares. Para demostrar quela simetría se encuentra presente en laobra de Escher debe significarse deacuerdo con el planteamiento de Enriquede la Torre:

la teoría de la simetría es una parte de lageometría que, operando sobre el espacioeuclídeo, engloba como transformaciones atodas las isometrías, siendo su interésespecífico el estudio de los grupos deisometrías que dejan invariantes lasfiguras. Las transformaciones en el planoafín reciben también el nombre deisometrías; la palabra isometría provienedel griego y significa ‘igual medida’.Podemos concluir entonces que lastraslaciones, los giros y las simetrías sonmovimientos en el plano, y cualquier otromovimiento que se realice es composiciónde ellos. Todo movimiento en un plano es obien la identidad o una traslación o unarotación (movimientos directos, que nocambian la orientación del objeto despuésde aplicarle el movimiento), o bien unasimetría o una simetría deslizante(movimientos indirectos, que cambian laorientación). (De la Torre Fernández,2012)

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Imagen 10

Desde esta visión, se entiende unateselación como un recubrimientoespecial del plano, que se genera con larepetición, en dos o más direccionesdistintas donde cada tesela cumpleciertas características de acoplamientoy regularidad. En la imagen 12 essencillo identificar un triánguloequilátero con vértices en la cola y lasaletas de cada pez volador. Losmovimientos que convierten eltriángulo en el pez son las simetríascentrales generadas en rotación deorden 6 en los vértices del triángulo.

En otro ejemplo más complicado sobrela utilización de las simetrías en lasteselaciones de Escher, la imagen 13muestra con una cuadrículasobrepuesta al dibujo la forma en quese generan las imágenes y susproyecciones.

3.Teselaciones regulares. Los mosaicoscreados por Escher se consideranteselaciones regulares porque al utilizarseen la composición de un mosaico lospolígonos son equivalentes, además depertenecer al grupo de diecisiete que sonperiódicas y se clasifican en cinco tiposconforme a las simetrías que se generan apartir de la repetición de la figura base.

Reconocer el pensamiento geométricopermea los procesos creativos de Escherimplica reconocer en ellos isometrías ysimetrías, descubrir que la tesela básicapara realizar cualquier mosaico es unpolígono regular. Su creación estrascendente porque a partir de losprincipios de compensación de áreas ytransformaciones geométricas construyecomposiciones complejas.

ExperienciaEn el curso Forma, Espacio y Medida de lalicenciatura en educación preescolar quese imparte en el laboratorio depensamiento matemático PENSMAT-ENEGse experimenta la utilización de la obra deEscher al trabajar con el contenidoClasificación de cuadriláteros y otrospolígonos con base en sus propiedades. Elproceso didáctico se realiza desde elmodelo PAL-PENSMAT a partir de lasiguiente guía:

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Al aplicar las deformaciones depolígonos en el diseño de teselacionescon módulos geométricos queaparentan ser orgánicos, se genera unasituación con diferentes grados dedificultad. El menos complejo es formaruna cenefa, porque las deformaciones alpolígono base o tesela se realizan sóloen los lados hacia donde crece la tesela.

Cenefas creadas por las educadoras enformación:

Formar mosaicos bidimensionales es unasituación que implica un mayor grado dedificultad porque las deformaciones serealizan en todos los lados del polígonocon la condición de que en conjuntoformen un mosaico sin espacios vacíos.

Mosaicos bidimensionales creados pordocentes en formación

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SESIÓN 5 Semana 5

TIEMPO Presencial 6 horas Complementario 3 horas

UNIDAD I Forma y espacio

CONTENIDO 1.7 Clasificación de cuadriláteros y otros polígonos con base en sus

propiedades

GUÍA DE TRABAJO

COLABORATIVO

CONTEXTUALIZACIÓN

Observar el video sobre la obra de Escher

Encontrar el patrón geométrico en un mosaico con figuras orgánicas

CONCEPTUALIZAR

1.Concepto y trazo de polígonos regulares

2.Descomposición de polígonos regulares involucrando teselas

3. El teselado en la obra de Escher

4. Teselaciones a partir de polígonos regulares

EXPERIMENTAR

1.Determinar con cuáles polígonos regulares se puede crear una teselación

2. Diseñar una cenefa con módulos geométricos que aparentan ser

orgánicos, de preferencia con motivos de culturas regionales

3. Diseñar un mosaico con módulos geométricos que aparentan ser

orgánicos, de preferencia con motivos de culturas regionales

APROPIAR

Realiza un texto sobre la capacidad de los niños para aprender a partir de

los mosaicos teselados y la etno-matemática, las propiedades de los

polígonos regulares.

DISEÑO DE

TUTORIALES

SOBRE

PROTOTIPOS

DIDÁCTICOS

Crea un tutorial en video sobre la construcción de mosaico teselado

iniciando por la descomposición de un polígono regular

ESTUDIO DE

CLASES

Diseñar un mosaico teselado y justificar su aplicación con niños de

preescolar

DISEÑO DE

PROTOTIPOS

DIDÁCTICOS

Diseñar un mosaico teselado tridimensional (cuerpo geométrico) para su

aplicación con niños de preescolar

GUÍAS PARA EL

APRENDIZAJE DE

LA ENSEÑANZA DE

LA GEOMETRÍA Y

LA MEDICIÓN

Actividades que se sugieren para el futuro docente

PDF 8. Página 63

PDF 8. Página 65

PDF 8. Página 67

PDF 8. Página 69

Las teselaciones con mayor grado dedificultad son las tridimensionalesporque además de las deformaciones entodos los lados de cada cara, debeobservarse el mosaico integrado entodos sus vértices, lo que implicarealizar las deformaciones a lospolígonos con diferentes tipos desimetrías.

Teselaciones tridimensionales creadaspor alumnas normalistas.

Su aplicación en preescolar seintenciona hacia los patronesgeométricos, en el caso de las cenefas elordenamiento de secuencias lineales.

En los mosaicos bidimensionalesreconocer los patrones para conformarlosal realizar el ordenamiento en direccióneshorizontal y vertical.

Los mosaicos tridimensionalesrepresentan un reto mayor para los niñosde preescolar porque deben descubrir lospatrones a partir de las secuencias que seforman en tres direcciones al cubrir conlas piezas poligonales el cuerpogeométrico.

Lo anterior permite afirmar que realizarteselaciones modeladas a partir de lostrabajos de Escher implica diversosprocesos de pensamiento matemático. A lavez que crearlas implica la resolución deproblemas situados.

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La flexibilidad en el grado de dificultadpara diseñar y construir mosaicospotencia la oportunidad de su usodidáctico como estrategia deaprendizaje del pensamientomatemático en cualquier niveleducativo a partir de preescolar.En el laboratorio PENSMAT-ENEGademás de reconocer su valor comoestrategia didáctica, se intenciona quelas educadoras en formación diseñenprototipos didácticos intencionados apartir de la obra escheriana para suaplicación en el nivel educativo depreescolar .

Referencias.

Asociación Mexicana de Ciencias. (6 deJunio de 2013). Teselaciones, Arte yMatemáticas. Boletín AMC(208), 13.Recuperado el 9 de Noviembre de 2016,dehttp://www.comunicacion.amc.edu.mx/comunicados/teselaciones-arte-y-matematicas

Corrales Rodrigañez, C. (Junio de 2005).Escher I: Las matemáticas paraconstruir. (F. E. Matemáticas, Ed.)SUMA(49), 101-108. Recuperado el 12de Septiembre de 2016, dehttp://www.mat.ucm.es/~ccorrale/pdfs/suma49.pdf

De la Torre Fernández, E. (2012).Mosaicos: rompiendo el plano de maneraarmónica. Seminario, Ministerio deEducación, ESTALMAT, Galicia.Recuperado el 28 de octubre de 2016, dehttp://www.estalmat.org/madrid/archivos/Galicia-Mosaicos.pdf

Diccionario electrónico Definición.de. (s.f.).Recuperado el 12 de septiembre de 2016,de http://definicion.de/teselacion/

Lockhart, P. (2008). Lamento de unmatemático. Gaceta de la Real SociedadMatemática Española(11.4), 737-766.Recuperado el 12 de Septiembre de 2016,de https://eudml.org/doc/44110

Pando Figueroa, S. A. (2009). El extrañomundo de las teselaciones. Tesis, UNAM,Maestría en Docencia para la EducaciónMedia Superior en Matemática, México.Recuperado el 12 de Septiembre de 2016,dehttp://132.248.9.195/ptd2009/junio/0644147/Index.html

Pérez Gómez, R. (2000). M.C. Escher.Reflexiones sobre la división regular delplano. Números(43-44), 293-297.Recuperado el 8 de Septiembre de 2016,dehttp://www.sinewton.org/numeros/numeros/43-44/Articulo59.pdf

PLAN CEIBAL. (s.f.). Teselados irregulares.Recuperado el 13 de Octubre de 2016, dehttp://www.ceibal.edu.uy/userfiles/P0001/ObjetoAprendizaje/HTML/Unidad_QUEesunateselacion_SRealini.elp/teselados_irregulares.html

Ubiratán D'Ambrosio entrevista a PaulFreire-8° ICMI-1996-Sevilla España.(2015). (J. Carrasco, Trad.) Argentina.Recuperado el 7 de Agosto de 2016, dehttps://www.youtube.com/watch?v=iFPu8hECSmM

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