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7/25/2019 Presentacion-Teoremas circuitos.pdf
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Tema 3. Teoremas de la Teora de Circuitos
3.1 Introduccin
3.2 Superposicin
3.3 Transformacin de fuentes
3.4 Teorema de Thevenin
3.5 Teorema de Norton
3.6 Mxima transferencia de potencia
A
B
ThR
ThV LRv
i
1
Bibliografa Bsica para este Tema:
[1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentos de circuitoselctricos, 3 ed., McGraw-Hill, 2006.
[2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, Introduction to electric circuits,7th ed., John Wiley & Sons, 2006.
Sadiku Tema 4
Dorf Tema 5
http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm
- Esta presentacin se encuentra, temporalmente, en:
2
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3.1 Introduccin
- Como hemos visto en temas anteriores, las ecuaciones de Kirchhoffpermiten analizar un circuito sin alterar su configuracin original.
- Sin embargo, la complejidad creciente de los circuitos que se usan enla prctica hace que los clculos se vuelvan tediosos.
- En este tema veremos un conjunto de tcnicas que permiten reducirla complejidad que un circuito antes de proceder a su anlisis:
- El principio de superposicin
- La transformacin de fuentes
- Los teoremas de Thevenin y Norton
3
3.2 Superposicin
- Los circuitos lineales verifican el principio de superposicin
El principio de superposicin establece que la tensin entre losextremos (o corriente a travs) de un elemento de un circuitolineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a travsde ese elemento debidas a cada una de las fuentes independientescuando acta sola.
- El principio de superposicin ayuda a analizar un circuito lineal conms de una fuente independiente mediante el clculo de la contribucinde cada fuente independiente por separado
- Un circuito lineal es aqul que slo tiene elementos lineales y fuentes
- Un elemento lineal es aqul cuya relacin i-v es lineal:
ctecon, aiav
- En esta asignatura slo se consideran circuitos lineales
4
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3
3.2 Superposicin
- La aplicacin del principio de superposicin tiene los siguientes pasos:
1. Apagar todas las fuentes independientes excepto una.
Encontrar la salida (tensin o corriente) debido a la fuente activa.
2. Repetir el paso anterior para cada una de las fuentes
independientes presentes en el circuito.
3. La contribucin total vendr dada por la suma algebraica de las
contribuciones de cada una de las fuentes independientes.
- Apagar una fuente independiente de tensin implica reemplazarla
por una fuente de tensin de 0V (cortocircuito)
- Apagar una fuente independiente de corriente implica reemplazarlapor una fuente de corriente de 0A (circuito abierto)
- Las fuentes dependientes no se modifican
- Observaciones:
5
-Ejemplo 1: Calcular ven el circuito de la figura, aplicando el principiode superposicin. Ra = 8 Ohm, Rb = 4 Ohm, Vs = 6 V, Is = 3 A
sV bRv
aR
sI
A&S-3 Ej. 4.3
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Solucin:
- Puesto que hay dos fuentes21
vvv
- v1 es la tensin debida a Vs con Is=0
- v2 es la tensin debida a Is con Vs=0
- Clculo de v1: (dejamos Is en circuito abierto)
iRiRV bas - Aplicando la KVL:
- luego A5.048
6
ba
s
RR
Vi
V25.041 iRv b- Por tanto
SV bR 1v
aR
i
sV bRv
aR
sI
7
- Clculo de v2: (cortocircuitamos Vs )
bR
2v
aR
sIba
sR
v
R
vI 22 - Aplicando la KCL:
- luego V8348
482
s
ba
ba IRR
RRv
- La solucin final es: V108221 vvv
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3.3 Transformacin de fuentes
- La transformacin de fuentes se usa para simplificar circuitos
Una transformacin de fuentes es el proceso de sustituir unafuente de tensin vs en serie con una resistencia Rpor una fuentede corriente is en paralelo con una resistencia R, o viceversa
circuitov
iA
B
R
sv circuitov
iA
B
Rsi
SS Riv
9
- Comprobacin
3.3 Transformacin de fuentes
circuitov
iA
B
R
sv - Aplicando KVL:
circuitov
iA
B
Rsi
- Aplicando KCL:
R
viii
R
vi ss
R
v
R
v
ivRiv
s
s s
R
vis
Debe cumplise para que amboscircuitos sean equivalentes!
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-Ejemplo 2: Calcular v0 en el circuito de la figura. Para ello, reducir elcircuito a un divisor de corriente aplicando transformacin de fuentes
A&S-3 Ej. 4.6
0v
4 8A3 V12
2 3
11
Solucin:
- Comenzamos transformando la fuente de corriente a una de tensin:
0v
4 8A3 V12
2 3
0v
8 V12
2 34
V12
- Ahora, asociamos las dos resistencias en serie:
V1234 SS Riv
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- Seguidamente, transformamos las fuentes de tensin:
0v
8 V12
6 3
V12
0v
6 8A2 3 A4
A26
12
R
vi SS
A43
12
R
vi SS
- Agrupando resistencias y fuentes:
13
2
36
363||6
- Por ltimo, usamos la frmula del divisor de corriente:
A0.4282
20
i
- y la ley de Ohm:
V2.30.4800 Riv
0v
2 8A2
0i
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3.4 Teorema de Thevenin
- Suele ocurrir que un elemento de un circuito sea variable (carga),
mientras que los dems permanecen fijos. Entonces, cada vez que secambia la carga debemos volver a analizar todo.
El teorema de Thevenin establece que un circuito lineal de dosterminales puede sustituirse por un circuito equivalente formadopor una fuente de tensin VTh en serie con una resistencia RTh
circuito lineal
de dosterminales
cargav
iA
B
cargav
iA
B
ThR
ThV
Circuito original Circuito equivalentede Thevenin
- El teorema de Thevenin proporciona una tcnica para sustituir la partefija por un circuito equivalente sencillo.
15
3.4 Teorema de Thevenin
- Clculo de la tensin equivalente de Thevenin:
circuito lineal
de dosterminales
ocv
0iA
B
Thoc Vv
0iA
B
ThR
ThV
- Utilizamos como circuito de carga un circuito abierto
- En esta situacin se cumple
ocTh vV
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9
3.4 Teorema de Thevenin
- Clculo de la resistencia equivalente de Thevenin, RTh
:
- Se ponen a cero las fuentes independientes. Entonces la RTh coincidecon la resistencia de entrada Rin vista en los terminales del circuito
A
B
ThR
0Th VinTh RR
circuito confuentes
independientespuestas a cero
A
B
inR
cero)antesindependiefuenteslas(coninTh RR
- Entonces
- Poner las fuentes independientes a cero significa:1. Cortocircuitar las fuentes independientes de tensin2. Dejar en circuito abierto las fuentes independientes de corriente
17
3.4 Teorema de Thevenin
- Determinacin de la resistencia de entrada Rin:
circuito confuentes
independientespuestas a cero
A
B
inR
- CASO 1: Circuito SIN fuentes dependientes.
1. Se ponen las fuentes independientes a cero
2. Se calcula Rin mediante asociacin de resistencias
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-Ejemplo 3: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figura
A&S-3 Ej. 4.8
V32
A
B
21
4 1
A2
19
Solucin:
- Comenzamos calculando la resistencia Thevenin. Para ello, ponemos a
cero las fuentes independientes y calculamos la resistencia de entrada
V32
A
B
21
4 1
A2
A
B
21
4 1
inR
41
214
214112||4inR
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- Para obtener la tensin Thevenin calculamos la tensin de circuitoabierto en los terminales A-B
V32
A
B
21
4 1
A2ThV
0i
- Resolvemos por anlisis de nudos
V32
21
4
A2
ThV1i 3i
2i- KCL: 231 iii
122
4
32 ThTh VV
- Usando la ley de Ohm:
- Despajando: V30Th V
21
- Por tanto:
V32
A
B
21
4 1
A2
V30
A
B
4
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3.4 Teorema de Thevenin
- Determinacin de la resistencia de entrada Rin
:
- CASO 2: Circuito CON fuentes dependientes.
1. Se ponen las fuentes independientes a cero2a. Se aplica una fuente de tensin v0 entre los terminales ABy se
calcula la corriente i0 que circula por la fuente.2b. O bien, se aplica una fuente de corriente i0 entre los terminales
ABy se calcula la tensin v0 entre dichos terminales.
Entonces Rin=v0/i0
circuito con
fuentesindependientespuestas a cero
A
B
0i
0v 0v
circuito con
fuentesindependientespuestas a cero
A
B
0i
(2a) (2b)00in ivR 00in ivR 23
-Ejemplo 4: Calcular el equivalente Thevenin del circuito de la figuraA&S-3 Ej. 4.9
64
2
xv
2
A5
xv2
A
B
24
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Solucin:
- Comenzamos calculando la resistencia Thevenin. Para ello, ponemos acero las fuentes independientes, ponemos una fuente de tensin v0entre los terminales y calculamos la corriente que pasa por ella.
64
2
xv
2
xv2
A
B
0i
0v
00in ivR
64
2
xv
2
A5
xv2
A
B
25
- NUDO C:
- En funcin de las tensiones de nudo:
- Resolvemos por anlisis de nudos:
0A vV ;C xvV ;3D xvV
64
2
xv
2
xv2
0i
0v
1i
xi
A
B
C D
2i3i
xiii 12
xxx ivv
42
2
- NUDO D: 320 iiii x
6
3
2
2
2
30 xxx
x vvivv
- De la ley de Ohm en A-D:
09
2vvx
00 23 ivv x
6Th0
0R
i
v
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- Para obtener la tensin Thevenin calculamos la tensin de circuitoabierto
64
2
xv
2
A5
xv2
A
B
ThV
0i1i
x
i
C D
2i3i
- NUDO C:
- En funcin de las tensiones de nudo:
- Resolvemos por anlisis de nudos:
xiii 12 5
- NUDO D: 32 iiix
xxx ivv 4
52
2
6
3
2
2 xxx
vvi
;C xvV
xvVVV 3ThAD
V3
20xv V203Th xvV
27
3.5 Teorema de Norton
- El teorema de Norton es el dual del teorema de Thevenin
El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dosterminales puede sustituirse por un circuito equivalente formadopor una fuente de corriente IN en paralelo con una resistencia RN
circuito linealde dos
terminales
cargav
iA
B
Circuito original Circuito equivalentede Norton
cargav
iA
B
NRNI
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3.5 Teorema de Norton
- Clculo de la corriente de Norton:
circuito linealde dos
terminales0v
sciA
B
0v
sciA
B
NRNI
- Utilizamos como circuito de carga un corto circuito
- En esta situacin se cumple
scN iI
29
3.5 Teorema de Norton
- Clculo de la resistencia de Norton:
- Partimos del equivalente Thevenin y aplicamos transformacinde fuentes
v
iA
B
NRNI
ThR
v
iA
B
ThV
Th
ThN
R
VI
ThN RR
ocTh vV
sc
oc
N
ThTh
i
v
I
VRR
N
- Adems, teniendo en cuenta que
- se obtienescN iI
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- Ejemplo 5: Calcular el equivalente Norton del circuito de la figura.Is = 2 A, Vs = 12 V, R1 = 4 Ohm, R2 = R4 = 8 Ohm, R3 = 5 Ohm
sI1R
2R
sV
A
B
3R
4R
A&S-3 Ej. 4.11
31
Solucin:
- Clculo de la resistencia equivalente de Norton RN
- Ponemos a cero las fuentes independientes
1R
2R A
B
3R
4R
NR
4
520
5205||20||)( 3421N RRRRR
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- Clculo de la fuente de corriente equivalente de Norton IN
- Calculamos la corriente de cortocircuito
0)( 24222S1s iRiRiIRV
A1884
2412
421
S1s2
RRR
IRVi
- KVL para la malla 2:
- Resolviendo: A12N iI
- Malla 1: S2 Ii
0421s VVVV
2V
sI1R
2R
sV
A
B
3R
4R
scN iI
1i 2i
1V
4V
33
3.6 Mxima transferencia de potencia
- En muchas situaciones prcticas un circuito se disea para suministrarpotencia a una carga
En condiciones de circuito fuente fijo y carga variable, latransferencia de potencia a la carga es mxima cuando laresistencia de carga RL es igual a la resistencia del equivalenteThevenin del circuito fuente RTh visto desde la fuente
LR
circuitofuente
A
B
ThR
ThV LR
Thmax RRpp L
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2
Th3
Th
Thp VRR
RR
RL
L
L
0p
2
2
LR
3.6 Mxima transferencia de potencia
- Demostracin
- Partimos del equivalente Thevenindel circuito fuente
A
B
ThR
ThV LRv
i
4
2
Thmax
LR
Vp
Th
Th
VRR
Rv
L
L
LL RR
V
R
vi
Th
Th 2
Th2
Th
p VRR
Rvi
L
L
- Para encontrar el mximo derivamos:
- Igualando a cero la derivada: Th0p
RR
R
L
L
- Se puede comprobar que
- La potencia mxima resulta:35
- Ejemplo 6: Determinar el valor de RL para que la transferencia depotencia en el circuito de la figura sea mxima. Calcular la potenciamxima.
A212
26
V12
A
B
3
LR
A&S-3 Ej. 4.13
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Solucin:
- Comenzaremos determinando el equivalente Thevenin delcircuito fuente
- Clculo de la resistencia Thevenin RTh
12
26 A
B
3
ThR
923
1261262312||6ThR
37
- Clculo de la tensin Thevenin VTh
ThV
A212
26
V12
A
B
3
1i2i
xv
- Malla 1: 0)2(12612 11 ii A32
1 i
- Malla 2: A22 i
21Th 3612 iiV
ThV
26
V12
A
B
3
1i 2i 0i
V22 Th V
- Clculo de VTh:
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- Clculo de la potencia mxima
V44.1394
22
4
22Th
max
LR
Vp
A
B
ThR
ThV ThR
39