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La Transformada de Hough. Detección deLíneas y Círculos
Presentado por: Tania Martínez
Herramienta utilizada para detectar figuras enuna imagen digital que pueden ser expresadasmatemáticamente, tales como rectas, círculos oelipses.
La Transformada de Hough
inicialmente esta técnica solo se aplicaba a ladetección de rectas en una imagen, más tarde seextendió para identificar cualquier figura que sepudiera describir con unos cuantos parámetros.
La Transformada de Hough
Como primer paso, se puede usar un detectorde bordes para obtener los puntos de la imagenque pertenecen a la frontera de la figuradeseada.
La Transformada de Hough
Debido a las imperfecciones, ya sea de la imagencaptada o del detector de bordes, existenmuchos puntos que pertenecen a la línea y quefaltan en la imagen; también pueden existirseparaciones espaciales entre la figura ideal (porejemplo, una recta) y los puntos ruidosos delborde detectado.
La Transformada de Hough
El objetivo de la transformada de Hough esresolver este problema, haciendo posiblerealizar agrupaciones de los puntos quepertenecen a los bordes de posibles figuras através de un procedimiento de votación sobreun conjunto de figuras parametrizadas.
La Transformada de Hough
Será responsabilidad nuestra establecer elumbral de votos para considerar que una líneaexiste en la imagen
La Transformada de Hough
RECTA:Para poder representar todas las posibles rectasque puedan aparecer en la imagen, podemosutilizar la ecuación de la recta en coordenadaspolares:
xcos θ+ysin θ=ρ
La Transformada de Hough
RECTA:
Se tendrá el rango natural de θ ∈ [0, 2π]. Luego,se transforma cada punto (x, y) de la imagen deorigen, en los puntos (ρi, θi ), el espacio definidopor (ρ, θ) se denomina espacio de Hough para elconjunto de rectas en dos dimensiones.
La Transformada de Hough
RECTA:Para un punto arbitrario en la imagen con
coordenadas (x0,y0), las rectas que pasan por
ese punto son los pares (ρ,θ) con r = x*cos θ +y*sin θ donde ρ (la distancia entre la línea y elorigen) está determinado por θ. Estocorresponde a una curva sinusoidal en elespacio (ρ,θ) que es única para ese punto.
La Transformada de Hough
RECTA:
Si las curvas correspondientes a dos puntos seinterceptan, el punto de intersección en elespacio de Hough corresponde a una línea en elespacio de la imagen que pasa por estos dospuntos.
La Transformada de Hough
RECTA:
Generalizando, un conjunto de puntos queforman una recta, producirán sinusoides que seinterceptan en los parámetros de esa línea.
La Transformada de Hough
RECTA:
El algoritmo de la transformada de Hough usauna matriz, llamada acumulador, cuyadimensión es igual al número de parámetrosdesconocidos del problema, en el caso de unarecta la dimensión del acumulador será dos,correspondientes a los valores cuantificadospara (ρ,θ)
La Transformada de Hough
RECTA:
Para construir el acumulador es necesariodiscretizar los parámetros que describen lafigura. Cada celda del acumulador representauna figura cuyos parámetros se pueden obtenera partir de la posición de la celda.
La Transformada de Hough
RECTA:
Cada punto en la imagen vota por las posiblesrectas a las que puede pertenecer ese punto.Esto se logra buscando todas las posiblescombinaciones de valores para parámetros quedescriben la figura (los posibles valores seobtienen a partir del acumulador).
La Transformada de Hough
RECTA:
Si es así, se calculan los parámetros de esafigura, y después se busca la posición en elacumulador correspondiente a la figura definida,y se incrementa el valor que hay en esa posición.
La Transformada de Hough
RECTA:
Las figuras se pueden detectar buscando lasposiciones del acumulador con mayor valor(máximos locales en el espacio del acumulador).La forma más sencilla de encontrar estos picoses aplicando alguna forma de umbral
La Transformada de Hough
RECTA: Algoritmo1: cargar imagen2: detectar los bordes en la imagen3: por cada punto en la imagen:4: si el punto (x,y) esta en un borde:5: por todos los posibles ángulos θ :6: calcular ρ para el punto (x,y) con un ángulo θ7: incrementar la posición (ρ, θ) en el acumulador8: buscar las posiciones con los mayores valores en el
acumulador9: devolver las rectas cuyos valores son los mayores en el
acumulador.
La Transformada de Hough
RECTA:Considera tres puntos, mostrados aquí comopuntos negros:
La Transformada de Hough
RECTA:Por cada punto se dibujan un número de líneasque pasan por los mismos, con distintosángulos. Son las líneas continuas.
La Transformada de Hough
RECTA:Por cada línea se dibuja una recta perpendiculara esta que pasa por el origen de coordenadas.Son las líneas discontinuas.
La Transformada de Hough
RECTA:La longitud y el ángulo de cada línea discontinuase calcula. Los resultados se muestran en lastablas.
La Transformada de Hough
RECTA:Se crea un grafo con las longitudes de las líneaspor cada ángulo, conocido como grafo delespacio de Hough.
La Transformada de Hough
RECTA:El punto donde las curvas se interceptan da ladistancia y el ángulo. Esta distancia y esteángulo indican la recta que se intercepta con lospuntos anteriores. El grafo muestra el puntorosado donde se interceptan las curvas, estepunto corresponde a la recta rosada de laFigura, que pasa por los tres puntos negros.
La Transformada de Hough
CIRCULO:
Para definir la transformada de Hough para elcírculo, lo primero que debemos hacer esexpresar el círculo mediante la siguienteecuación:
(x-a)^2+(y-b) ^2=r^2
La Transformada de Hough
CIRCULO:
Donde (a,b) es el centro del círculo y r su radio.Para encontrar circunferencias usando latransformada de Hough, se necesita unacumulador con tres dimensiones .
La Transformada de Hough
CIRCULO:Después cada punto en la imagen vota por lascircunferencias en los que pudiera estar. Una vezterminado este procedimiento se buscan lospicos en el acumulador y con esto se obtienen elradio y el centro de la circunferencia. Si seconociera el radio de antemano, solo senecesitaría un acumulador de dos dimensiones
La Transformada de Hough
CIRCULO:
La Transformada de Hough
En MATLAB
HOUGH implementa la transformada Houghestandar.
HOUGHPEAKS Identifica los picos en latransformada de Hough.
HOUGHLINES Extrae los segmentos de lineabasados en la transformada de Hough.
La Transformada de Hough
En MATLABBusque los segmentos delinea correspondiente a 5picos de la transformada deHough de la imagencircuit.tif rotada,adicionalmente indique elsegmento mas largo.
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En MATLAB
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En MATLAB
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En MATLAB
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En MATLAB
La Transformada de Hough
• Rojas, T., Sanz, W., y Arteaga F.(2008). Sistema de visión porcomputadora para la detección de objetos esféricos a través dela transformada de Hough. Revista Ingeniería UC, 15 (1), 77-87.
• Technology Robotix Society. Tutorial: Shape Detection.Disponible en:
http://www.robotix.in/tutorials/categ/opencv/shape_detection
• Escolano, F., Cazorla, M., Galipienso, M., Pardo, O., y Lozano,M.,(2003) . Inteligencia Artificial. Modelos, Técnicas y Áreas deAplicación. Madrid, España: Paraninfo.
Bibliografía
