Un caso importante de movimiento acelerado en dos dimensiones es el movimiento circular uniforme. En el movimiento de un objeto que describe una trayectoria circular a velocidad constante, a pesar de que la velocidad es constante, el movimiento es acelerado debido a que la dirección de la velocidad está cambiando. La velocidad es un vector, y cualquier cambio en ese vector, ya sea en magnitud o en dirección o en ambos, implica aceleración.

Consideremos un objeto que se mueve con rapidez constante v alrrededor de un círculo de radio r. La figura 1 nos muestra la trayectoria circular y los vectores velocidad de un objeto en los puntos a y b, se hace notar que los vectores velocidad son tangentes al círculo, indicando con ello que la dirección del movimiento es instantánea; y como la rapidez es constante, los vectores velocidad tienen la misma longitud; como los vectores velocidad tienen la misma magnitud pero difieren en dirección, entonces son diferentes y esto indica un cambio de velocidad y por lo mismo el objeto que se mueve de la posición a a la posición b, se está

acelerando. Consideremos ahora la aceleración promedio en cada uno de los pequeños intervalos de tiempo ; en el límite esta aceleración se hace aceleración instantánea.

En la figura 2, se indica el vector velocidad y un vector velocidad v muy próximo, como los vectores son perpendiculares entre sí y los vectores también son perpendiculares entre sí, entonces el ángulo formado entre los radios y r es el mismo ángulo que forman los vectores velocidad . Como los radios tienen la misma longitud y los vectores velocidad tienen la misma magnitud ( la rapidéz es constante), los triángulos que forman los radios y las velocidades, en las figuras 1 y 2, son semejantes, y podemos escribir:

Para pequeños intervalos de tiempo, , el ángulo es pequeño, y la longitud del vector es aproximadamente la misma que la del arco del círculo que une los puntos de los radio vectores. Esta longitud de arco es la distancia que recorre el objeto en el intervalo de tiempo , por lo que ; por lo que

podemos escribir y la magnitud de la aceleración

promedio es aproximadamente haciendo el límite

nos dá la aceleración instantánea; en este límite la longitud de arco del vector que une los extremos de los radios vectores es tan pequeña que no se puede distinguir, y

la relación se hace exacta. De manera final tenemos: para la magnitud de

la aceleración instantánea de un objeto que se mueve en un círculo de radio r con rapidez constante.

En el caso en el cual una partícula que siguiendo una trayectoria circular cambia de rapidez (movimiento

circular no uniforme, como por ejemplo, un objeto que sujeto a una cuerda inextensible se hace girar en en un círculo vertical desde el reposo y se va aumentando gradualmente la velocidad), entonces la magnitud y la dirección de la velocidad cambian y por lo mismo, la aceleración no puede ser ni paralela ni perpendicular a la velocidad. Pero podemos descomponer el vector aceleración en dos componentes, una paralela y otra perpendicular a la velocidad. Se le llama aceleración radial a la aceleración perpendicular a la velocidad porque se dirige hacia el centro de la trayectoria circular. A

la aceleración paralela a la velocidad se le llama aceleración tangencial por ser tangente a la trayectoria circular. La aceleración radial se encarga de cambiar solamente la dirección de la velocidad y actúa igual que la aceleración en el movimiento circular uniforme, y su magnitud es La aceleración tangencial se encarga de cambiar solo la magnitud de la velocidad, y actúa igual que en el movimiento en una dimensión; siendo si magnitud La magnitud del vector aceleración o la aceleración neta, puede calcularse con la combinación de éstas dos componentes mediante la relación y el ángulo comprendido entre la

aceleración neta y la aceleración radial se determina por

PROBLEMA 2.7.1. Una partícula lleva en un instante dado, una aceleración resultante de y una velocidad tangencial de . Determina el ritmo de incremento de la rapidez de

la partícula y el radio de curvatura de la trayectoria.Resp.

PROBLEMA 2.7.2. Una partícula se desplaza sobre una curva con una rapidez de

y cuando se encuentra a x= 5 m su rapidez se incrementa a Determina la magnitud de la aceleración de la partícula. Resp.

PROBLEMA 2.7.3. La posición de una partícula se define como

donde t se expresa en segundos y el argumento del coseno se expresa en radianes. Determina la rapidez de la partícula y las componentes radial y tangencial de la aceleración cuando t=2seg.

Resp.

PROBLEMA 2.7.4. Desde el reposo, una partícula recorre una trayectoria de radio constante de 100m, con una rapidez de ,donde t se expresa en segundos. Determinar las magnitudes de la aceleración y la velocidad en el instante en que: a) t=4 segundos. b)S= 50m.

Resp. a)

PROBLEMA 2.7.5. Una partícula recorre una trayectoria . Determinar la magnitud de la aceleración de la partícula:

a)Si su velocidad es constante de cuando x=2m; b) Si su velocidad de se incrementa a razón de cuando x=2m.

Resp.

PROBLEMA 2.7.6. Una partícula recorre una trayectoria circular de radio=1m, con una rapidez de . Determina las magnitudes de la rapidez y la aceleración: a) si durante una distancia desde S=0 hasta S=1m, la rapidez se incrementa en ,donde s se

expresa en metros. b) si durante una distancia desde t=0, hasta t=1seg. la rapidez se

incrementa en

Resp.

PROBLEMA 2.7.7. Se lanza una partícula con una rapidez inicial de con un ángulo de con respecto a la horizontal.Determina: a) la ecuación de la trayectoria y=f(x); b) las componentes normal y tangencial de la aceleración cuando t= 1 segundo.

Resp.