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EXAMEN DE ANÁLISIS MATEMÁTICO II
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UNIVERSIDAD NAIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA
PRIMERA PRÁCTICA DE ANÁLISIS MATEMÁTICO II
I. DERIVADAS: 1. Encontrar la derivada de las funciones siguientes, usando la definición de derivada.
a) f ( x )=√x2+3 x−e2x …………………………………(Joe Johan Zúñiga Curipaco)
Solución:
f ' ( x )=limh→0
√( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )−√ x2+3 x−e2x
h
f ' ( x )=limh→0
√( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )−√ x2+3 x−e2x
h (√( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )+√x2+3 x−e2x
√( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )+√x2+3 x−e2x )f ' ( x )=lim
h→0
( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )−(x2+3x−e2x )h(√ (x+h )2+3 ( x+h )−e2 (x +h)+√ x2+3 x−e2x )
f ' ( x )=limh→0
x2+2 xh+h2+3 x+3h−e2x +2h−x2−3x+e2x
h (√ ( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )+√ x2+3x−e2 x)
f ' ( x )=limh→0
2xh+h2+3h−e2x +2h+e2 x
h(√ (x+h )2+3 ( x+h )−e2 (x +h)+√ x2+3 x−e2x )
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f ' ( x )=limh→0
h (2 x+h+3 )−e2x (e2h−1 )h(√ (x+h )2+3 ( x+h )−e2 (x +h)+√ x2+3 x−e2x )
f ' ( x )=limh→0
h (2 x+h+3 )
h(√ (x+h )2+3 ( x+h )−e2 (x +h)+√ x2+3 x−e2x )−lim
h→0
e2x (e2h−1 )h (√ ( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )+√x2+3x−e2x)
f ' ( x )=limh→0
2 x+h+3
√( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )+√x2+3 x−e2x−lim
h→0
2e2x
(√( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )+√x2+3 x−e2x ) [ limh→0
(e2h−1 )2h ]
f ' ( x )=limh→0
2 x+h+3
√( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )+√x2+3 x−e2x−lim
h→0
2e2x
(√( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )+√x2+3 x−e2x )[ ln (e ) ]
f ' ( x )=limh→0
2 x+h+3
√( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )+√x2+3 x−e2x−lim
h→0
2e2x
(√( x+h )2+3 ( x+h )−e2 ( x+h )+√x2+3 x−e2x )
f ' ( x )= 2 x+32√x2+3 x−e2x
− 2e2x
2√ x2+3 x−e2x
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f ' ( x )= 2 x+3−2e2x
2√x2+3 x−e2x
b) g ( x )=3√ x3−2x2+x …………………………………(Joe Johan Zúñiga Curipaco)
Solución:
g ' ( x )=limh→0
3√ ( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h )− 3√x3−2 x2+ xh
g' ( x )=limh→0
3√ ( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h )−3√x3−2 x2+ xh (
3√ (( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) )2+ 3√( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) 3√ x3−2x2+x+ 3√( x3−2x2+x )2
3√ (( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) )2+ 3√( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) 3√ x3−2x2+x+ 3√( x3−2x2+x )2 )
g ' ( x )=limh→0
( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h )− (x3−2x2+x )
h ( 3√ (( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) )2+ 3√( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) 3√ x3−2x2+x+ 3√ (x3−2x2+x )2)
g ' ( x )=limh→ 0
x3+3 x2h+3 xh2+h3−2h2−4 xh−2 x2+ x+h−x3+2x2−x
h ( 3√ (( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) )2+ 3√( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) 3√ x3−2x2+x+ 3√ (x3−2x2+x )2)
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g ' ( x )=limh→0
3 x2h+3 x h2+h3−2h2−4 xh+h
h ( 3√ (( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) )2+ 3√( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) 3√ x3−2x2+x+ 3√ (x3−2x2+x )2)
g ' ( x )=limh→0
h (3x2+3 xh+h2−4 x+1 )
h ( 3√ (( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) )2+ 3√( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) 3√ x3−2x2+x+ 3√ (x3−2x2+x )2)
g ' ( x )=limh→ 0
3x2+3 xh+h2−4 x+1
( 3√ (( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) )2+ 3√( x+h )3−2 ( x+h )2+( x+h ) 3√ x3−2x2+x+ 3√ (x3−2x2+x )2)
g ' ( x )= 3 x2−4 x+13√(x3−2x2+x )2
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c) h ( x )=5√2 x3−3x2+2 …………………………………(Joe Johan Zúñiga Curipaco)
Solución:
h ' ( x )=limh→0
5√2 ( x+h )3−3 ( x+h )2+2− 5√2 x3−3 x2+2h
A=2 ( x+h )3−3 ( x+h )2+2
B=2 x3−3 x2+2
h ' ( x )=limh→0
5√A−5√Bh (
5√A4+ 5√A3 5√B+5√A2 5√B2+ 5√A 5√B3+ 5√B4
5√A4+ 5√A3 5√B+5√A2 5√B2+ 5√A 5√B3+ 5√B4 )
h ' ( x )=limh→0
A−B
h ( 5√A4+ 5√ A3 5√B+5√A2 5√B2+ 5√ A 5√B3+ 5√B4 )
Remplazando valores:
h ' ( x )= limh→0
2 ( x+h )3−3 ( x+h )2+2−(2x3−3 x2+2 )h ( 5√A4+ 5√ A3 5√B+
5√A2 5√B2+ 5√ A 5√B3+ 5√B4 )
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h ' ( x )=limh→0
2 x3+6 x2h+6 x h2+2h3−3 x2−6 xh−3h2+2−2 x3+3x2−2
h ( 5√A4+ 5√A3 5√B+5√A2 5√B2+ 5√A 5√B3+ 5√B4 )
h ' ( x )=limh→0
6x2h+6 x h2+2h3−6 xh−3h2
h ( 5√A4+ 5√ A3 5√B+5√A2 5√B2+ 5√ A 5√B3+ 5√B4 )
h ' ( x )= limh→0
h (6 x2+6 xh+2h2−6x−3h )h ( 5√A4+ 5√ A3 5√B+
5√A2 5√B2+ 5√ A 5√B3+ 5√B4 )
h ' ( x )= limh→0
(6 x2+6 xh+2h2−6x−3h )( 5√A4+ 5√ A3 5√B+
5√A2 5√B2+ 5√A 5√B3+ 5√B4 )
Reemplazando cuando h=0
A=2 ( x+h )3−3 ( x+h )2+2
A=2x3−3 x2+2
Decimos que A=B
h ' ( x )= 6 x2−6 x5√ (2x3−3 x2+2 )4+
5√(2 x3−3 x2+2 )4+5√ (2 x3−3 x2+2 )4+
5√ (2 x3−3x2+2 )4+5√(2x3−3 x2+2 )4
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h ' ( x )= 6 x2−6 x
55√(2x3−3 x2+2 )4
d) i (x )=3√x4+3x−√x2+9 x
Solución:
i' ( x )=limh→0
3√ ( x+h )4+3 ( x+h )−√¿¿¿¿
i' ( x )= limh→0
¿¿
i' ( x )= limh→0
¿¿
i' ( x )=limh→0
¿¿
i' ( x )= limh→0
¿¿
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i' ( x )=limh→0
¿¿
i' ( x )=limh→0
¿¿
i' ( x )=limh→0
¿¿
i' ( x )= 4 x3+3
[ 3√(x4+3 x )2+ 3√ (x4+3 x ) ( x4+3 x )+ 3√(x 4+3x )2]− 2 x+9
[√x2+9 x+√x2+9 x ]
i (x )= 4 x3+3
33√ (x4+3 x )2
− 2 x+9√ x2+9 x
Rpta
e) k ( x )=√cos (3 x )
k ' ( x )=limh→0
√cos (3 ( x+h ))−√cos (3 x)h
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k ' ( x )=limh→0
√cos (3 ( x+h ))−√cos (3 x)h
√cos (3 ( x+h ))+√cos (3 x )√cos (3 ( x+h ))+√cos (3 x )
k ' ( x )=limh→0
cos (3 ( x+h ) )−cos (3x )
h1
√cos (3 ( x+h ))+√cos (3 x)
k ' ( x )=limh→0
cos (3 x )cos (3h )−sen (3 x ) sen(3h)−cos (3 x )
h
limh→0
1
√cos (3 ( x+h ))+√cos (3x )
k ' ( x )=[ limh→0 cos (3 x ) (cos (3h )−1 )
h−sen (3 x ) sen(3h)
h ][ 12√cos (3 x) ]
k ' ( x )=[−cos (3 x )limh→0
3 (1−cos (3h ) )
3h(1+cos (3h ) )(1+cos (3h ) )
−sen (3 x )limh→0
3 sen(3h)
3h ][ 12√cos (3 x) ]
k ' ( x )=[−3cos (3 x )limh→0
(1−cos2 (3h ) )3hx3h
1x 3h
(1+cos (3h ) )−3 sen (3x )(1)][ 1
2√cos (3 x) ]k ' ( x )=[−3cos (3 x ) lim
h→0 ( sen (3h)3h )
23 h
(1+cos (3h ) )−3 sen (3x )] [ 1
2√cos (3 x ) ]k ' ( x )=[−3cos (3 x ) lim
h→0 ( sen (3h)3h )
23 h
(1+cos (3h ) )−3 sen (3x )] [ 1
2√cos (3 x ) ]Por límites notables:
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k ' (x)−3 sen (3 x )2√cos (3x )
Respuesta:
k ' (x)−3 sen (3 x )2√cos (3x )
f) l (x )=√sen ( x )
Solución:
l ' ( x )=limh→0
√sen ( x+h )−√sen (x )h
l ' ( x )=limh→0
√sen ( x+h )−√sen (x )h (√sen ( x+h )+√sen (x)
√sen ( x+h )+√sen (x))
l ' ( x )=limh→0
sen ( x+h )−sen ( x)
h ( 1
√sen ( x+h )+√sen (x ))l ' ( x )=
limh→0
sen ( x )cos (h)+sen (h ) cos (x)−sen (x)
h [ limh→0
1
√sen ( x+h )+√sen (x ) ]
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l ' ( x )=[ limh→0sen ( x ) (cos (h )−1 )
h+limh→0
sen (h )cos (x )
h ] [ 12√sen (x) ]
l ' ( x )=[−sen ( x )limh→0
1−cos (h)
h+cos (x )
limh→0
sen (h )
h ] [ 12√sen (x) ]
l ' ( x )=[−sen ( x )limh→0
(1−cos (h))∗h
h∗h ( 1+cos (h)1+cos (h))+cos ( x)(1)][ 12√sen (x ) ]
l (x )=[−sen ( x ) limh→0 ( sen(h)h )
2
limh→0 ( h
1+cos (h))+cos (x)] [ 12√sen (x) ]
Por límites notables:
l ' ( x )=(−sen ( x ) (1 ) (0 )+cos (x ) ) [ 1
2√sen ( x ) ]l ' ( x )=[ cos ( x )
2√ sen ( x ) ]Respuesta:
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l ' ( x )=[ cos ( x )2√ sen ( x ) ]
g) m ( x )=tan3( 2 x3 ) …………………………………(Eliseo Silvestre de la Cruz )
Solución:
¿limh→ 0
tan3( 2 ( x+h )3 )−tan3( 2x3 )h
limh→0
tan( 2 (x+h )3 )−tan( 2x3 ) [ tan2( 2 (x+h )
3 )−tan( 2 (x+h )3 ) tan( 2 x3 )+ tan
2
( 2 x3 )]h
limh→0
sen ( 2 (x+h )3 )
cos ( 2 ( x+h )3 )
−sen( 2 x3 )cos( 2 x3 )
hlimh→0 [ tan2( 2 ( x+h )
3 )−tan( 2 ( x+h )3 ) tan( 2 x3 )+tan
2
( 2 x3 )]
limh→0
sen( 2 ( x+h )3 )cos (2 x3 )−cos( 2 ( x+h )
3 )sen ( 2x3 )hcos ( 2 (x+h )
3 )cos( 2 x3 )[3 tan2( 2 x3 )]
( 23 limh→0sen (2 (h )
3 )2h3
) limh→0
1
cos ( 2 ( x+h )3 )cos ( 2 x3 ) [
3 tan2( 2 x3 )]
Por .limite notable:
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA23 ( 1
cos2( 2x3 ) )[3 tan2(2x3 )]
m' ( x )=2 tan2( 2x3 )sec 2( 2 x3 )
h) n ( x )= ln4( 3 x2 ) …………………………………(Eliseo Silvestre de la Cruz )
Solución:
n'=limh→0
f ( x+h )−f (x )h
n'=limh→0
ln4 (3 x+3h2 )−ln4 (3 x2 )h
n'=limh→0
[( ln2( 3x+3h2 )+ ln2( 3 x2 ))( ln2( 3 x+3h2 )−ln2( 3 x2 ))]h
n'=limh→0
( ln2(3 x+3h2 )+ ln2( 3x2 ))( ln( 3x+3h2 )+ ln( 3 x2 ))(( ln( 3x+3h2 )−ln (3 x2 )))h
n'=limh→0 ( ln2( 3 x+3h2 )+ln2( 3 x2 ))( ln( 3 x+3h2 )+ln (3 x2 ))[ limh→0 ( ln( 3 x+3h2 )−ln( 3x2 ))
h ]n'=( ln2( 3 x2 )+ ln2( 3 x2 ))(ln( 3 x2 )+ ln(3 x2 ))[ 1h limh→0
ln( 3 x+3h3 x )]
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n'=(2 ln2( 3 x2 ))(2 ln( 3x2 ))[ lim h→0
1hln( x+hx )]
n'=(4 ln3( 3 x2 )) [ limh→0 1h ln(1+ hx )]
n'=(4 ln3( 3 x2 )) ln(1+ hx )(xh ) 1x
n'=(4 ln3( 3 x2 )) ln (e )( 1x )
n'=(4 ln3( 3 x2 )) 1x ln (e )
n '=4 ln3( 3x2 ) 1x Rta.
i) ñ ( x )=log(√ x) …………………………………(Eliseo Silvestre de la Cruz )
Solución:
ñ '( x)=límh→0
log (√ x+h )−log(√ x)h
=límh→0
log √ x+hxh
ñ ' ( x )=log(límh→0(1+ hx )
12h)
ñ ' ( x )=log(límh→0(1+ hx )
1h12xx )=¿ log( límh→0(1+ hx )
xh)límh→0 ( 12x )¿
ñ ' ( x )=[ límh→0( 12x )] [ log (e) ]
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ñ ' ( x )= log (e)2 x
j) q ( x )=ln (√3x )
Solución:
q ( x )=limh→0
ln (√3 ( x+h ) )−ln (√3 x)
h
q ' (x )=lim h→0
1hln(√ 3 ( x+h )
3 x )q ' (x )=lim
h→0ln( x+hx )
1h∙ 12
q ' (x )=ln limh→0 (1+ hx )
xh∙ 12x
q ' (x )=ln [elimh→0
1
2 x ]
q ' (x )=ln [elimh→0
1
2 x ]
q ' (x )= ln [ e 12 x ]
q ' (x )= ln [ e 12 x ]
q ' (x )= 12 x
( lne )
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q ' ( x )= 12x
Respuesta:
q ' ( x )= 12x
k) r (x )=sec h2(x)………(Henry)
r ' (x )= 1
cosh2 ( x )= 1
( ex+e−x
2 )2= 4
e2 x+2+e−2x
r' (x )=lim
h→0
4
e2(x +h)+2+e−2 (x+h)− 4
e2x+2+e−2x
r ' (x )=
limh→0
4
e2 (x+h )+2+e−2 (x +h) −4
e2 x+2+e−2x
h
r ' (x )=
limh→0
4 (e2 x+2+e−2 x)−4 (e2(x+h)+2+e−2 ( x+h) )(e2 (x+h)+2+e−2 ( x+h ) ) (e2 x+2+e−2x )
h
r ' (x )=limh→0
4 (e2x+2+e−2x−e2 ( x+h )−2−e−2 ( x+h ) )
h (e2(x+ h)+2+e−2 ( x+h) ) (e2x+2+e−2x )
r ' (x )=limh→0
4 (e2x−e2 ( x+h)+e−2 x−e−2 (x +h) )
h (e2 (x+h )+2+e−2 (x +h) ) (e2x+2+e−2x )
r ' (x )=limh→0
4 (e2x (1−e2h)+e−2x (1−e−2h))
h (e2(x +h)+2+e−2 ( x+h )) (e2x+2+e−2 x)
r ' (x )=
limh→0
4 (e−2 x(1−1
e2h)+e2x (1−e
2h))h (e2 (x+h )+2+e−2 (x +h) ) (e2x+2+e−2x )
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r ' (x )=
limh→0
4( e−2 x (e2h−1 )e2h
−e2 x (e2h−1))h (e2 (x+h )+2+e−2 (x +h) ) (e2x+2+e−2x )
r ' (x )=limh→0
4 (e2h−1) (e−2x−e2 xe2h )
h (e2 (x+h )+2+e−2 (x +h) ) (e2x+2+e−2x )e2h
r ' (x )=limh→0
4(eh+1)(eh−1)(e−2x−e2x e2h )
h (e2 (x+h )+2+e−2 (x +h) ) (e2x+2+e−2x )e2h
r ' (x )=[ limh→0( eh−1h )] [limh→0
(eh+1 )][ limh→0 ( 4
(e2 (x+h)+2+e−2( x+h) ) )] [ lim h→0( (e−2x−e2x e2h )
(e2 x+2+e−2 x)e2h )]r ' (x )=ln e .2( 2
e x+e−x )2
.(e−x−ex ) (e−x+ex )(ex+e− x) (ex+e−x )
r ' (x )=ln e .2( 2e x+e−x )
2
.¿
r ' (x )=−2 sech2 ( x ) tanh ( x )Rpta .
l) s ( x )=coth3 ( x )m) t ( x )=arcsen ( x )n) z (x )=arccos (x )o) w (x )=arctan ( x )
p) X(x)=arccot(x) ……… (henry)
SOLUCION:
limh→0
arccot ( x+h )−arccot(x )h
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y '=1i
ln(√ x+ ix−i )
y '=limh→0
[ 1i ln(√ x+h+ix+h−i )−1i ln(√ x+i
x−i )]h
y '=limh→0
[ 1i ln(√ x+h+ix+h−i
√ x+ ix−i
)]h
y '=limh→0
[ 1i ln(√ ( x+h+i ) ( x+i )(x+h−i ) ( x−i ) )]
h
y '=limh→0
[ 1i ln(√ ( x+h+i ) ( x−i )(x+h−i ) ( x−i ) )]
h
y '=1i1hlimh→0
ln(√ ( x+h+i ) (x−i)( x+h−i ) ( x−i ) )
y '=1i1hlimh→0
ln(√ x2+xh+ ix−ix−ih+1x2+ xh+ix−ix+ ih+1 )
y '=1i1hlimh→0
ln(√ x2+xh−ih+1x2+xh+ih+1 )
y '=1iln [ limh→0 ( x2+xh−ih+1
x2+xh+ih+1 )12h ]
y '=1iln [ limh→0 (1+ x2+ xh−ih+1
x2+xh+ih+1−1)
12h ]
y '=1iln [ limh→0 (1+ x2+ xh−ih+1−x2−xh−ih−1
x2+xh+ih+1 )12h ]
y '=1iln [ limh→0 (1+ −2ih
x2+ xh+ih+1 )12h]
Llevando a la forma :
19
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y '=1iln [ limh→0 (1+ −2ih
x2+ xh+ih+1 )12h(i (x2+ xh+ih+1 )
(x2+ xh+ih+1 ) )]y '=
1iln [ limh→0 (1+ −2ih
x2+ xh+ih+1 )12h(i (x2+ xh+ih+1 )
(x2+ xh+ih+1 ) ) limh→0 −i(x2+xh+ih+1) ]
y '=1iln e
limh→0 ( −i
(x2+xh+ih+1 ) )
y '=1ilimh→0 ( −i
(x2+xh+ih+1 ) ) ln eReemplazando (h→0 )
y '= −1x2+1
q) y ( x )=arcsec ( x )
r) z (x )=arccsc ( x ) (henry)
Solución:
csc ( y )=x
2 i
eiy−e−iy=x
2 i=x (e iy− 1
e iy ) 2 ie iy=xe2 iy−x
0=xe2 iy−2i eiy−x
0=x (eiy )2−2 i (e iy )−x
y=−b±√b2−4ac2a
e iy=2 i±√ (2i )2−4 ( x ) (−x )
2x
e iy=2 i±√4 i2+4 ( x ) ( x )
2x
20
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e iy=i ±√x2−1x
lneiy=ln( i ±√ x2−1x )
iylne=ln( i ±√x2−1x )
y=1iln( i+√x2−1
x )
z ' (x)=lim
h→0
1iln( i+√( x+h )2−1
x+h )−1i ln( i+√ x2−1x )
h
z ' (x)=lim
h→0
1i [ ln( i+√ (x+h )2−1
x+h )−ln( i+√x2−1x )]
h
z ' (x)=limh→0
1i [ ln( i+√( x+h )2−1
x+hi+√ x2−1
x)]
h
z ' (x)=limh→0
1
i[ ln( i+√( x+h )2−1
x+hi+√ x2−1
x)
h]
z ' (x)=limh→0
1
ih [ ln( i+√ (x+h )2−1x+h
i+√x2−1x
)] z ' (x)=
limh→0
1
ih [ ln ( ( x ) (i+√ ( x+h )2−1)(x+h ) ( i+√x2−1 ) )]
21
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z ' (x)=limh→0
1
ih [ ln ( xi+x√ ( x+h )2−1ix+ x√ x2−1+ ih+h√ x2−1 )]
z ' (x)=limh→0
1
ih [ ln ( xi+x √( x+h )2−1+ ix+x √x2−1+ih+h√x2−1−(ix+x √x2−1+ih+h√ x2−1 )ix+x √x2−1+ih+h√x2−1 )]
z ' (x)=limh→0
1
ih [ ln ( xi+x √( x+h )2−1+ ix+x √x2−1+ih+h√x2−1−ix−x √x2−1−ih−h√x2−1ix+x √x2−1+ih+h√ x2−1 )]
z ' (x)=limh→0
1
ih [ ln ( ( xi+x √ x2−1+ ih+h√ x2−1 )+ix+x √ ( x+h )2−1−ix−x √x2−1−ih−h√x2−1ix+ x√ x2−1+ih+h√x2−1 )]
z ' (x)=limh→0
1
ih [ ln (1+ x √ (x+h )2−1−x √x2−1−ih−h√x2−1ix+x √x2−1+ih+h√ x2−1 ) ]
z ' (x)=limh→0
1
ih [ ln (1+ x √ (x+h )2−1−x √x2−1−ih−h√x2−1ix+x √x2−1+ih+h√ x2−1 ) ]
(xi+ x √x2−1+ih+h√x2−1)(x √( x+h)2−1−x √x2−1−ih−h√x2−1)
(x √ ( x+h )2−1− x√ x2−1−ih−h√x2−1)(xi+ x√ x2−1+ ih+h√x2−1)
PROPIEDAD: ln e=ln(1+ 1h )h
z ' (x)=limh→0
1hi [ (x √( x+h )2−1−x √x2−1−ih−h√x2−1)
(xi+x √x2−1+ih+h√ x2−1 ) ] [ ln(1+ x√ ( x+h )2−1−x √x2−1−ih−h√ x2−1ix+x √ x2−1+ ih+h√ x2−1 )
(xi+ x √x2−1+ih+h√x2−1)(x √( x+h)2−1−x √x2−1−ih−h√x2−1) ]
z ' ( x )= limh→0
1hi [ ( x √( x+h )2−1−x√ x2−1−ih−h√ x2−1)
(xi+x √x2−1+ih+h√ x2−1 ) ] . lne z ' ( x )=lim
h→0
1hi [ x √( x+h )2−1−x √x2−1
xi+x √x2−1+ih+h√ x2−1− ih+h√ x2−1xi+x √x2−1+ih+h√ x2−1 ]
z ' ( x )=limh→0
1hi [ x √( x+h )2−1−x √x2−1
xi+x √x2−1+ih+h√ x2−1− ih+h√ x2−1xi+x √x2−1+ih+h√ x2−1 ]
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z ' ( x )= limh→0
1hi [ x (√ ( x+h )2−1−√x2−1) (√ ( x+h )2−1+√ x2−1)
( xi+ x√ x2−1+ih+h√x2−1 ) (√( x+h )2−1+√x2−1)− ih+h√ x2−1xi+x √x2−1+ih+h√ x2−1 ]
z ' ( x )= limh→0
1hi [ x ( ( x+h )2−1− (x2−1 ))
( xi+ x√ x2−1+ih+h√x2−1 ) (√( x+h )2−1+√x2−1)− ih+h√ x2−1xi+x √x2−1+ih+h√ x2−1 ]
z ' ( x )=limh→0
1hi [ x ( ( x+h )2−1− (x2−1 ))
( xi+ x√ x2−1+ih+h√x2−1 ) (√( x+h )2−1+√x2−1) ]−[( 1hi )( ih+h√ x2−1xi+x √x2−1+ih+h√ x2−1 )]
z ' ( x )=limh→0
1hi [ x (x2+2 xh+h2−1−x2+1 )
( xi+ x√ x2−1+ih+h√x2−1 ) (√( x+h )2−1+√x2−1) ]−[( 1hi )( ih+h√ x2−1xi+x √x2−1+ih+h√ x2−1 )]
z ' ( x )=limh→0 [( 1hi )( 2 x2h+x h2
( xi+ x√ x2−1+ ih+h√ x2−1 ) (√( x+h )2−1+√x2−1) )]−[( 1hi )( ih+h√x2−1i+x√ x2−1+ih+h√x2−1 )]
z ' ( x )=limh→0 [(1i )( 2x2+xh
( xi+x √ x2−1+ ih+h√ x2−1 ) (√( x+h )2−1+√x2−1) )]−[( 1i )( i+√x2−1i+ x√ x2−1+ih+h√x2−1 )]
z' ( x )=[( 1i )( 2 x2
(xi+x √x2−1 ) (√x2−1+√ x2−1 ) )]−[(1i )( i+√x2−1i+x √x2−1 )]
z' ( x )= 1
(xi+x √x2−1 ) (1i )( 2 x2
2√x2−1−i−√x2−1)
z ' ( x )= 1
(xi+x √x2−1 ) (1i )( x
2−i √x2−1−x2+1
√x2−1 ) z ' ( x )= 1
(xi+x √x2−1 ) (1i )(−i .ix√ x2−1+ix
√x2−1 ) 1ix
23
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z ' ( x )= 1
(xi+x √x2−1 ) ( x √x2−1+ix√x2−1 ) 1ix .i
z' ( x )= −1
x √x2−1Rpta .
s) A ( x )=arcsenh ( x )
t ¿ B (x )=arccosh ( x )…………….. (Joseph Michael Cayllahua Ch.)
solucion :
como sabemos ;cosx= ex+e− x
2
y=arccosh ( x )x=cosh ( y )
x=cosh ( y )= e y+e−iy
2⇒
ey+ 1e y
2
x= e y+12e y ⇒e2 y−2 xe y+1=0
e y=−(−2 x )±√ (−2x )2−4 (1 ) (1 )
2 (1 )
e y=2x ±√4 x2−42
⇒ x ±√x2+1
e y=x+√ x2−1 e y>0 ; x<¿ √ x2−1
e y=x−√x2−1
⇒ el signomenor sedescarta
e y=x+√ x2−1
y=ln (x+√x2−1 )
B' (x)=límh→0
f ( x+h )−f (x )h
B' (x)=límh→0
ln (( x+h )+√( x+h )2−1)−ln (x+√x2−1)h
24
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B' (x)=límh→0
ln|( x+h )+√ ( x+h )2−1(x+√ x2−1 ) |
h
B'(x )=lím
h→0
1hln|( x+h )+√ ( x+h )2−1
(x+√ x2−1 ) |B'
(x )=límh→0
1hln|1+ ( x+h )+√ ( x+h )2−1− x−√x2−1
(x+√ x2−1 ) |ln|1+ ab|
abba⇒ a
bln|1+ a
b|ba=a
b(1 )
límh→0
1hln|1+ ( x+h )+√ ( x+h )2−1−x−√ x2−1
( x+√x2−1 ) |(( x+h)+√ ( x+h )2−1−x−√x2−1
(x+√x2−1 ) )( (x+√ x2−1 )( x+h)+√ ( x+h )2−1− x−√x2−1)
límh→0
1h ( (x+h )+√( x+h )2−1−x−√ x2−1
(x+√x2−1 ) ) ln|1+ ( x+h )+√ (x+h )2−1−x−√x2−1(x+√ x2−1 ) |(
(x+√x2−1)( x+h )+√ ( x+h)2−1−x−√ x2−1)
límh→0
1h ( (x+h )+√( x+h )2−1−x−√ x2−1
(x+√x2−1 ) )(1)
límh→ 0
1h ( h+√ ( x+h )2−1−√ x2−1
(x+√x2−1 ) )límh→0
1h ( h
( x+√x2−1 ) )+límh→0
1h (√ ( x+h )2−1−√x2−1
(x+√ x2−1 ) )multiplicamos por suconjugada
B'(x )=( 1
(x+√ x2−1 ) )+ límh→0
1h
(√( x+h )2−1−√ x2−1)(x+√ x2−1 )
(√( x+h )2−1+√x2−1)(√( x+h )2−1+√x2−1)
B'(x )=( 1
(x+√ x2−1 ) )+ límh→0
1h
( ( x+h )2−1−x2+1 )(x+√x2−1 ) (√( x+h )2−1+√x2−1)
B'(x )=( 1
(x+√ x2−1 ) )+ límh→0
1h
(x2+2xh+h2−1−x2+1 )(x+√x2−1 ) (√( x+h )2−1+√x2−1)
B'(x )=( 1
(x+√ x2−1 ) )+ límh→0
1h
(2xh+h2 )(x+√x2−1 ) (√( x+h )2−1+√x2−1)
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B'(x )=( 1
(x+√ x2−1 ) )+ límh→0
1h
h (2 x+h )
(x+√x2−1 ) (√( x+h )2−1+√x2−1)
B'(x )=( 1
(x+√ x2−1 ) )+ límh→ 0
(2x+h )
(x+√ x2−1 ) (√ ( x+h )2−1+√x2−1)
remplazamos h→0
B'(x )=( 1
(x+√ x2−1 ) )+ límh→ 0
(2x+0 )
(x+√ x2−1 ) (√ ( x+0 )2−1+√x2−1)
B'(x )=( 1
(x+√ x2−1 ) )+ 2x
(x+√ x2−1 ) (√ x2−1+√x2−1 )
B'(x )=( 1
(x+√ x2−1 ) )+ 2 x
(x+√ x2−1 )2√x2−1B'
(x )=1
( x+√x2−1 )+ x
(x+√ x2−1)√x2−1
factorizamos
B'(x )=
1
( x+√x2−1 ) (1+x
√ x2−1 )B'
(x )=1
( x+√x2−1 ) ( x+√x2−1√ x2−1 )
B'(x )=
1
√x2−1∴ arccosh ( x )= 1
√ x2−1
U) .......................... (Joseph Michael Cayllahua Ch)
y=arctanh ( x )
x=tanh ( y )
x= e y−e− y
e y+e− y
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICAdespejando y :
y=12ln( x+11−x )
y '=limh→0
[ 12 ln( x+h+11−( x+h ) )−12 ln( x+11−x )]
h
y'=limh→0
1
2hln(
x+h+11−( x+h )x+11−x
)y '=
limh→0
1
2hln( ( x+h+1 ) (1−x )
(1−( x+h ) ) ( x+1 ) )
y '=limh→0
1
2hln(−x2+h−hx+1
−x2−h−hx+1 )
y '=limh→0
1
2hln(1+ 2h
−x2−h−hx+1 )
α= 2h
−x2−h−hx+1
y '=limh→0
1
2hln (1+α )α 1
α
y '=limh→0
α
2hlimh→0
ln (1+α )1α
27
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Por limites notables :
y '=limh→ 0
2h
2h (−x2−h−hx+1 )
y '=limh→0
1
−x2−h−hx+1
C ' ( x )= 1
1−x2
II. DIFERENCIALES:
1. Haciendo uso de la diferencial hallar lo siguiente:
a) 3√25…………………………………(Joe Johan Zúñiga Curipaco)
f ( x )= 3√x
Sea:x0=27
f (x0+h )=f (x0 )+ f ' (x0 )h
f (27−2 )=f (27 )+ f ' (27 ) (−2 )
3√25= 3√27− 2
33√(27 )2
3√25≅ 3− 227
3√25≅ 2.9259
b) 3√67 …………………………………(Joe Johan Zúñiga Curipaco)
f ( x )= 3√x
Sea:x0=64
f (x0+h )=f (x0 )+ f ' (x0 )h
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f (64+3 )=f (64 )+ f ' (64 ) (3 )
3√67=3√64+ 13√(64 )2
3√67≅ 4+ 116
3√67≅ 4.0625
c) 3√83d) 4√17
e) 4√15 …………………………………(Eliseo Silvestre de la Cruz ) f ( x+∆x )=f (16−1)
f ( x )= 4√x=4√16
( x )= 1
44√x3
= 14√(16)3
= 132
h=−1
f ( x+∆x )=f ( x )+ f ' ( x )∗h
f (16+1 )= f (16 )+ f ' (16 )∗(−1)
4√15=4√16+ 14√163
∗(−1)
3√15≅ 2− 132
3√15≅ 6332
≅ 1.969
f) sen(28 °)…………………………………(Eliseo Silvestre de la Cruz )
Solución:
29
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICAf ( x )=sen ( x ) , x0=30° ;h=−2°
f '( x)=cos ( x )
f (x0+h )≅ f (x0 )+hf ' (x)
f (30 °−2° )≅ sen (30 ° )+cos (30 ° ) (−2 ° )
sen (28 ° )≅ 12−( 2π180 )(√32 )
sen(28 °)≅ 0.47
g) cos (27 ° )h) tan (32 ° )i) cot (29 ° )j) sec (62 ° )k) ln (0.00000005 )
l) e0.9
f ( x+h )−f ( x )=h . f ´ ( x )
En donde
f ( x )=ex
Y se halla
f ´ ( x )=ex
e (1−0.1 )=e+ (−0.1 ) e1
e0.9=2.718281-0.271828
e0.9=2.446453828
30
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m) arctan (0.97 )
Solución:
f ( x )=arctan ( x ) , x0=1 ;h=−0.03
f '( x)= 1
x2+1
f (x0+h )≅ f (x0 )+hf ' (x)
f (1−0.03 )≅ arctan (1 )−0.03( 1
x2+1 )
arctan (0.97 )≅ 45−0.032
arctan (0.97 )≅ 44.985
2. Hallar la derivada implícita de las funciones :
a) f ( x , y )=3√ x y2+cos3 ( xy )+ex sen (xy ) …………………………………(Joe Johan Zúñiga
Curipaco)
En función de “x”
∂ f∂ x
= ∂∂ x
( 3√ x y2 )+ ∂∂ x
(cos3 ( xy ) )+ ∂∂x
(ex sen ( xy) )
∂ f∂ x
= ∂∂ x
(x y2 ) 1
33√(x y2 )2
+3cos2 ( xy ) ∂∂x
(cos ( xy ) )+ ∂∂ x
(x sen ( xy ) ) (ex sen ( xy ))
∂ f∂ x
= y2
33√( x y2 )2
−3cos2 ( xy ) sen ( xy ) y+( sen ( xy )+xcos (xy ) y ) (e x sen( xy ) )
∂ f∂ x
= y2
33√( x y2 )2
−3 y cos2 ( xy ) sen ( xy )+( sen ( xy )+xcos (xy ) y ) (e x sen( xy ) )
31
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICAEn función de “y”
∂ f∂ y
= ∂∂ y
( 3√x y2 )+ ∂∂ y
(cos3 (xy ))+ ∂∂ y
(ex sen ( xy ) )
∂ f∂ y
= ∂∂ y
(x y2 ) 1
33√ (x y2 )2
+3cos2 ( xy ) ∂∂ y
(cos ( xy ) )+ ∂∂ y
(x sen ( xy ) ) (ex sen ( xy ))
∂ f∂ y
= 2 xy
33√ (x y2 )2
−3cos2 ( xy ) sen (xy ) x+(x cos ( xy ) x ) (e x sen( xy ) )
∂ f∂ y
= 2 xy
33√ (x y2 )2
−3 x cos2 ( xy ) sen ( xy )+(x2 cos ( xy ) ) (ex sen ( xy ))
f ' ( x , y )=
−∂ f ( x , y )∂ x
∂ f (x , y )∂ y
¿
− y2
33√ (x y2 )2
+3 ycos2 (xy ) sen ( xy )−( sen ( xy )+x cos ( xy ) y ) (ex sen ( xy ) )
2xy
33√(x y2 )2
−3 x cos2 ( xy ) sen ( xy )+(x2 cos ( xy ) ) (e x sen( xy ) )
b) g ( x , y )=xy−2+3√cot4 (x2 y )−x+ex
3 tan ( xy )
c) h ( x , y )=ln (3 xe xy )+ 3√sech2 (x2 y−1 )+3 x
d) i (x , y )=( 4√ y2 x−3 )3+3√arccos3( x y 13 )−x2 y .................... (Joseph M. Cayllahua)
Mediante:
f ' ( x , y )=
−∂∂ x
f ( x , y )
∂∂ y
f ( x , y )
32
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICARESOLUCIÓN
En:
∂∂ x
[ ( 4√ y2 x−3 )3+3√arccos3(x y 13)−x2 y ]
∂∂ x
( 4√ y2 x−3 )3+ ∂∂ x
3√arccos3( x y 13 )−x2 y
3
4 ( 4√ y2 x−3 )∂∂ x
( y2 x−3 )+ 1
3 [ 3√(arccos3(x y 13)−x2 y)2]
∂∂ x
[arccos3( x y 13 )−x2 y ]
−94
4√ y6
x13−
3√arccos3(x y 13)−x2 y
3[arccos3(x y 13 )−x2 y ] [ 3 ( 3√ y )arccos2(x y13)√1−(x y
13)2
1−(x y 13)2 +2 xy ]
En:
∂∂ y
[ ( 4√ y2 x−3 )3+3√arccos3( x y 13 )−x2 y ]
∂∂ y
( 4√ y2 x−3 )3+ ∂∂ y
3√arccos3 (x y 13)−x2 y
3
4 ( 4√ y2 x−3 )∂∂ y
( y2 x−3 )+ 1
3[ 3√(arccos3( x y 13 )−x2 y)2]
∂∂ y
[arccos3(x y 13)−x2 y ]
324√ y2
x9−
3√arccos3( x y 13 )−x2 y
3[arccos3( x y 13 )−x2 y ] {x ( 3√ y )arccos2(x y13)√1−( x y
13 )2
y [1−( x y13 )2]
+x2}∴
33
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i' ( x , y )=
−{−94 4√ y6
x13−
3√arccos3( x y 13 )−x2 y
3[arccos3( x y 13 )−x2 y ] [ 3 ( 3√ y )arccos2(x y13)√1−( x y
13 )2
1−(x y13)2
+2 xy ]}324√ y2
x9−
3√arccos3( x y 13 )−x2 y
3 [arccos3( x y 13 )−x2 y ] {x ( 3√ y )arccos2( x y
13 )√1−( x y
13 )2
y [1−(x y13)2]
+ x2}RPTA:
i' ( x , y )=
944√ y6
x13+
3√arccos3( x y 13 )−x2 y
3 [arccos3 (x y13 )−x2 y ] [ 3 ( 3√ y )arccos2( x y13 )√1−( x y
13 )2
1−( x y 13 )2 +2xy ]
324√ y2
x9−
3√arccos3(x y 13)−x2 y
3 [arccos3(x y 13)−x2 y ] {x ( 3√ y )arccos2 (x y13 )√1−(x y
13)2
y [1−( x y13 )2]
+x2}e) f ( x , y )=senh2 (xy )+arcsec ( 3√sech2 ( x√ y3 ))
f) k ( x , y )=arccos (x y3 )+arccosh (tan (x y3) ) (henry)
SOLUCION:
d (k ( x ; y ) )=−( ∂ (arccos (x y3 )+arccosh ( tan(x y3) ))
∂ x )( ∂ (arccos (x y3 )+arccosh ( tan(x y3) ) )
∂ y )
d (k ( x ; y ) )=−( ∂ (arccos (x y3 ))
∂ x+∂ (arccosh ( tan(x y3) ) )
∂ x )( ∂ (arccos (x y3 ))
∂ y+∂ (arccosh ( tan(x y3) ) )
∂ y )
34
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d (k ( x ; y ) )=
−( − y3
√1−( x y3)2+
± ( y3 sec2(x y3))
√( 3√sech2(x√ y3))2+1 )( −3 xy2
√1−( x y3)2+
± (3xy2 sec 2(x y3))
√( 3√sech2(x√ y3))2+1 )(+si arccosh (x y3 )>0 ; tan (x y3 )>1−si arccosh ( x y3 )<0 ; tan (x y3 )>1)
d (k ( x ; y ) )=
−(− y3√( 3√sech2(x√ y3))2+1+√1−(x y3)2 (± ( y3 sec 2(x y3)) )
√( 3√ sech2(x √ y3))2
+1 (√1−(x y3)2 ) )(−3 xy2√ ( 3√sech2(x√ y3))2+1+√1−(x y3)2 (± (3 xy2 sec2(x y3)))
(√ ( 3√sech2(x √ y3))2
+1)√1−(x y3)2 )
d (k ( x ; y ) )=(− y3√( 3√sech2( x√ y3))2+1+√1−(x y3)2 (± ( y3 sec2(x y3)) ))
(3 xy2√ ( 3√sech2(x √ y3))2+1−√1−(x y3)2 (± (3 xy2 sec2(x y3))) )
III. MÁXIMOS Y MÍNIMOS
En las funciones siguientes hallar:
a) Intervalos de concavidadb) Máximos y mínimos relativosc) Máximos y mínimos absolutosd) Puntos de intersección con el eje Xe) Puntos de inflexión
2¿ . g ( x )=(x2−9)(x2−81)
SOLUCION:
PrimeraDerivada :
g ' ( x )=2 x (x2−81 )+2x (x2−9)
35
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA g ' ( x )=2 x3−162x+2 x3−18 x
g ' ( x )=4 x3−180x=0
x (4 x2−180)=0
x1=0 ; x2=3√5 ; x3=−3 √5
Segunda Derivada :
g ' ( x )=4 x3−180x
g ' ' ( x )=12 x2−180
⇝ g' ' (0 )=12 (02 )−180
g' ' (0)=−180;−180<0maximorelativo
g (0 )=(02−9)(02−81)
g (0 )=729
∴(0 ;729)
⇝ g' '¿¿
g' '¿ ¿
g (3√5 )=[ (3√5 )2−9 ] [ (3√5 )2−81 ]
g (3√5 )=(36)(−36)
g (3√5 )=−1296
∴(3√5 ;−1296)
⇝ g' '¿¿
g' '¿ ¿
g (−3√5 )=[ (−3√5 )2−9 ] [ (−3√5 )2−81 ]
g (−3√5 )=(36)(−36)
36
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA g (−3√5 )=−1296
∴(−3√5;−1296)
Punitos de Inflexion :
g ' '(x)=12 x2−180=0
12 x2−180=0
x2=15
x=±√15
x4=√15∧ x5=−√15
⇝ g ( x )≅ (x2−9)(x2−81)
g (√15 )≅ (√152−9)(√152−81)
g (√15 )≅−396
g (−√15 )≅ [ (−√15 )2−9 ] [ (−√15 )2−81 ]
g (−√15 )≅−396
∴los puntos de inflexion son :
(√15 ;−396)∧(−√15;−396)
Concavidad :
( f ¿¿ ' ' ( x )>0 ; f ' ' ( x )<0)¿
12 x2−180>0
(x+√15 ) (x−√15 )>0
(x>√15)∧¿
37
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ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA+ - +
−√15 √15
f esconcava haciaarriba :
←∞ ;−√15>u<√15 ;∞>¿
f esconcava haciaarriba :
←√15; √15>¿
→x4−90 x2+729=0
x2=m
m2−90m+729=0
m=90±√902−4(729)
2
m=90±722
m1=81∧m2=9
x2=m
x=±9∧ x=±3
Grafica :
38
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IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.IV.
METODOS DE INTEGRACION INDEFINIDA 1. METÓDO DE DESCOMPOSICION
a¿∫ dx
2x2+5 x+2…………………………………(Joe Johan Zúñiga Curipaco)
(0,729)
-9 -3 3 9
(−√15 ;−396) (√15 ;−396)
(−3√5 ;−1296) (3√5 ;−1296)
39
UNIVERSIDAD NAIONAL DE HUANCAVELICAFACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL - HUANCAVELICA13∫
[ (2x+4 )− (2 x+1 ) ] dx(2x+1 ) ( x+2 )
13∫
[ (2 x+4 ) ]dx(2x+1 ) ( x+2 )
−13∫
[ (2x+1 ) ]dx(2 x+1 ) ( x+2 )
13∫
2 ( x+2 )dx(2x+1 ) ( x+2 )
−13∫
dx( x+2 )
13∫
2dx(2x+1 )
−13∫
dx(x+2 )
13ln|2 x+1|+C1−
13
( ln|x+2|+C2 )
13ln|2 x+1x+2 |+K
b¿∫ dx( x+3 ) (4+3 x ) …………………………………(Joe Johan Zúñiga Curipaco)
15∫
[ (3x+9 )−(4+3 x ) ]dx( x+3 ) (4+3 x )
15∫
[ (3 x+9 ) ] dx(x+3 ) (4+3 x )
−15∫
[ (4+3 x ) ] dx( x+3 ) (4+3 x )
15∫
3 ( x+3 )dx(x+3 ) (4+3 x )
−15∫
dx( x+3 )
15∫
3dx(4+3x )
−15∫
dx( x+3 )
15ln|4+3 x|+C1−
15
¿
40
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15ln|4+3 xx+3 |+K
d ¿∫ x3dx2 x2−3 x+5
…………………………………(Eliseo Silvestre de la Cruz)
∫( 12 x+ 34− x
4 (2x2−3 x+5 )−
15
4 (2x2−3 x+5 ) )dx12∫ xdx+¿ 3
4∫ dx−¿ 14∫
x
(2 x2−3 x+5 )dx−15
4 ∫ dx
(2 x2−3 x+5 )¿¿
14x2+ 3
4x− 14∫
x
(2 x2−3x+5 )dx−15
4 ∫ dx
(2 x2−3x+5 )
¿14x2+
34x−
12 i√31 {∫ x
x−( 3+i√314 )dx−∫ x
x−( 3−i √314 )
dx }− 152i √31 {∫ 1
x−( 3+i √314 )dx−∫ 1
x−( 3−i √314 )
dx}¿ 14x2+ 3
4x− 1
2 i√31¿
41
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¿ 14x2+ 34x−( 3+i√318 i√31 ) ln|x−( 3+ i√314 )|−( 3−i √31
8 i√31 ) ln|x−( 3−i√314 )|−3+i√318 i√31
ln|x−(3+ i√314 )|−3−i√318 i√31
ln|x−( 3−i√314 )|…Rpta
e ¿ .∫ x2dx(x+3)(x−4)(x+5)
…………………………………(Eliseo Silvestre de la Cruz)
SOLUCIÓN:
∫ (x2−x−12 )dx(x2−x−12)(x+5)
+¿∫ ( x+12 )dx(x2−x−12)(x+5)
¿
∫ dx(x+5)
+¿∫ ( x+5+7 )dx( x2−x−12)(x+5)
¿
∫ dx(x+5)
+¿∫ ( x+5 )dx( x2−x−12)(x+5)
+7∫ dx
( x2−x−12)(x+5)¿
42
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∫ dx(x+5)
+¿∫ dx
( x2−x−12)+79∫
( x+5−x+4 )dx(x2−x−12)(x+5)
¿
∫ dx(x+5)
+¿∫ dx
( x2−x−12)+79∫
( x+5 )dx(x2−x−12)(x+5)
−79∫
( x−4 )dx(x2−x−12)(x+5)
¿
∫ dx(x+5)
+¿∫ dx
( x2−x−12)+79∫
dx
(x2−x−12)−79∫
dx(x+3)(x+5)
¿
∫ d (x+5)(x+5)
+¿∫ dx
(x−12 )2
−14−12
+79∫ dx
(x−12 )2
−14−12
−79∫ dx
( x+4 )2−16+15¿
∫ d (x+5)(x+5)
+¿∫ dx
(x−12 )2
−( 72 )2+79∫ dx
(x−12 )2
−( 72 )2−79∫ dx
( x+4 )2−1¿
ln (x+5)+c1+17ln|x−12−72x−
12+72
|+c2+ 17 . 79 ln|x−12−72x−12+72
|+c3−12 . 79 ln|x+4−1x+4+1|+c4
c1+c2+c3+c4=K
ln (x+5)+ 17ln|x−4x+3 |+ 19 ln|x−4x+3 |− 7
18ln|x+3x+5|+K
f) ...........
g) ∫ dx
[ sen2 (x )−1 ] [ cosec2 ( x )−1 ] .......................... (Joseph M. Cayllahua Ch.)
RESOLUCIÓNDATOS:
1+cot2 ( x )=cosec 2 ( x )
43
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sen2 ( x ) +cos2 ( x )=1
∫ dx
[ sen2 (x )−1 ] [ cosec2 ( x )−1 ]=∫ −dx
[1−sen2 ( x ) ] [ cot2 ( x ) ]
−∫ tan2 ( x )dxcos2 ( x )
=−∫ tan2 ( x ) sec2 ( x )dx
−∫ tan2 ( x )d [ tan ( x ) ]=−¿tan3 ( x )3
+k ¿
∴
RPTA: −tan3 ( x )3
+k
2. METÓDO DE INTEGRACION POR PARTES
c ¿ .∫ x5 ex3
dx
Solución:
∫ x3 x2 ex3
dx
Integramos por partes :
u=x3 dv=x2 ex3
dx
du=3 x2dx ∫ dv=∫ x2e x3dx
v=( x3 )e x3
3 (x3 )
v= ex3
3
∫udv=u . v−∫ vdu
∫ x5 ex3
dx= x3 ex3
3−∫ e x33 x2dx
3
∫ x5 ex3
dx= x3 ex3
3−∫ ex
3
x2dx
∫ x5 ex3
dx= x3 ex3
3− ex
3
3+c
44
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g¿∫ ln( ln( 2x3 ))d (x)
u=ln( ln 2 x3 ) dv=x
du=dx3x ¿¿ v=dx
x ln( ln 2 x3 )-3∫ x2 ln( 2 x3 )dx u=ln( 2 x3 ) dv=x2dx
u=dx3 x
v= x3
3
x ln( ln 2 x3 )-3( x33
ln( 2 x3 ))-13∫ xx
3
dx
x ln( ln 2 x3 )-(x3 ln( 2 x3 ))-13∫ x2dx
x ln( ln 2 x3 )-(x3 ln( 2 x3 ))-13 x33
+k
h) ∫ ln (sen( √ x2
))dx (henry)
Solución:
∫ ln (sen( √ x2 ))dx=∫ ln (sen( x12
2))dx
∫2uln (sen( u2))du ;dondeu=x
12
2∫ 4 vln (sen (v))dv ;donde v=u2
8∫vln (sen (v ))dv=8(lnsen (v ) 12v2−∫ 12 v
2 ddvln ( sen ( v ) )dv)
8( 12 v2lnsen (v )−12∫ v2
ddvln (sen (v ) )dv )=4 v2 lnsen ( v )−4∫ v2
ddvln (sen (v ) )dv
4 v2 lnsen ( v )−4∫ v2 cotvdv=4 v2lnsen (v )−4 (v2 ln|senv|−∫ ln|senv| ddv v2dv)
45
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4 (v¿¿2lnsen (v )+∫ ln|senv| ddv v2dv−v2 lnsen ( v ))¿=
4 v2 lnsen ( v )+4∫ ln|senv| ddv v2dv−4 v2lnsen (v ) ¿
4 v2 lnsen ( v )+4∫ ln|senv|2vdv−4 v2lnsen (v )¿=4 v2lnsen (v )+8∫ vln|senv|dv−4 v2lnsen (v ) ¿
4 v2 lnsen ( v )+8( ln|senv|12v2−∫ 12 v
2 ddvln (sen (v ) )dv ¿−4v2 lnsen ( v )¿)
4 ¿¿
4 v2 lnsen ( v )−4∫ v2cosvsenv
dv=4 v2lnsen (v )−4∫ v2 cosvsenv
dv
i). ∫ x3dx
(x2−2)3 (henry)
Solución:
∫ x3dx(x2−2)3
=∫ u+22u3
du ;donde u=¿ x2−2¿
12∫
u+2u3
du=¿ 12∫( u
u3+ 2u3
)du=¿ 12∫
1
u2du+∫ 1
u3du¿¿
12 (−1u )− 1
2u2+c1=−1
2u− 1
2u2+c 1
Remplazando u=x2−2−1
2 (x2−2 )− 1
2 (x2−2 )2+c1= −1
2 ( x−√2 )(x+√2)− 1
2 (x2−2 )2+c1
−12 (x−√2 ) (x+√2 )
− 1
2 ((x−√2 ) (x+√2 ) )2+c1
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2 ( x−√2 )2 (x+√2 )2+c1
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2(x2−2√2 x+2) (x+√2 )2+c1
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2(x+−2√22
+ √02
)(x+−2√22
−√02
)(x+√2 )2+c1
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2 ( x+√2 )2(x+−2√22 )
2+c1
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 12¿¿¿
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2 (x−√2 ) (x+√2)− 1
2 ( x+√2 )2(x¿¿2+2√2 x+2)+c 1¿
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2(x+−2√22
+ √02
)(x+−2√22
−√02
)(x¿¿2+2√2 x+2)+c 1¿
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2(x+−2√22
)(x+−2√22
)(x¿¿2+2√2 x+2)+c1¿
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2( x+−2√22 )
2
(x¿¿2+2√2 x+2)+c 1¿
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2( x−2√22 )2
(x¿¿2+2√2 x+2)+c1¿
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2( x−2√22 )2
(x+√2 )2+c1
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2( x−2√22 )2
(x¿¿2+2√2 x+2)+c1¿
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2 ( x−√2 )2(x¿¿2+2√2 x+2)+c1¿−1
2 (x−√2 ) (x+√2)− 12(x¿¿2−2√2 x+2)(x¿¿2+2√2x+2)+c1¿¿
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2(x+−2√22
+ √02
)(x+−2√22
−√02
)(x¿¿2+2√2 x+2)+c 1¿
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2(x+−2√22
)(x+−2√22
)(x¿¿2+2√2 x+2)+c1¿
−12 (x−√2 ) (x+√2)
− 1
2( x+−2√22 )
2
(x¿¿2+2√2 x+2)+c 1¿
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2 (x−√2 ) (x+√2)− 1
2( x+−2√22 )
2
(x+√2 )2+c1
O.-∫ ln( x)x3
dx..................... (Joseph M. Cayllahua Ch.)
RESOLUCIÓNsea :
u=ln ( x ) dv=1
x3dx
du=1xdx v=∫ 1
x3dx
v=−12x2
∴−ln ( x )2 x2
−∫(−12x2 )( 1x )dx−ln ( x )2 x2
+∫ 1
2x3dx
−ln ( x )2 x2
− 1
4 x2+k
RPTA: −[2 ln (x )+1 ]
4 x2+k
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3. METÓDO DE INTEGRACIÓN TRIGONOMETRICA
a) ∫cos3(2 x)sen (3 x)dx
Solución:
∫(cos2 x−sen2 x)3 sen (3 x)dx ; Donde: cos2 x=cos2 x−sen2 x
∫ (cos2 x−sen2 x )3 (3 senx−4 sen3 x )dx ;
Donde: sen3 x=3 senx−4 sen3 x
∫¿¿
−∫(4u2−1)(2u2−1)3du
−∫ (4u2−1 ) (2u2 )3−3 (2u2 )2+6u2−1¿¿du
−∫ (4u2−1 )(8u6−12u4+6u2−1)du
−∫(32u8−56u6+36u4−10u2+1)du
−32∫ u8du+56∫u6du−36∫ u4du+10∫u2du−1∫du
−32 u9
9+56 u
7
7−36 u
5
5+10 u
3
3−u+c1
−329
u9+ 567u7−36
5u5+ 10
3u3−u+c1 ;reelplazandou=cosx
−329cos9 x+8cos7 x−36
5cos5 x+10
3cos3 x−cosx+c1
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b) ∫cos4 (2x ) tan2(x)dx
∫cos4 (2x )¿¿
∫ sen2(x )cos2(x )dx
∫ sen2(x )cos (2 x )+1
2dx Aplicando que: cos2(x)=
cos (2 x )+12
∫ 1−cos (2x )2
cos (2 x )+12
dx Aplicando que: sen2(x )= 1−cos (2 x )
2
∫¿¿¿ Dónde: u=2x
18∫(1−cos (u))(1+cos (u))dx
18∫(1−cos (u))(cos (u )+1)dx
18∫(1−cos2(u))dx
18(∫ 1du−∫cos2 (u )du)
18∫1du−
18∫ cos
2 (u )du
18u−18∫
cos (2u )+12
du
18u− 116∫cos (2u )du− 1
16∫ 1du
116
u+−132
sen (2u )+c1 De donde reemplazando u=2x tenemos:
18x− 132
sen (4 x )+c1
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c) ∫cot3(2 x)cos2(2 x)dx
Solución:
∫ cos2(u)cot3(u)2
du ;dondeu=2x
12∫ cos
2(u)cot3(u)du
12∫ cos2(u) cos
3usen3u
dusabiendoque : cot3 (u )= cos3u
sen3u
12∫ cos5u
sen3udu
12∫ ¿¿
−12∫ v5u
(1−v¿¿2)2dv¿
−12∫( −w5
2(w+1)2 )dw ;dondew=−v2
12∫ w5
2 (w+1)2dw
14∫ (s−1)2
s2ds ;donde s=w+1
14∫ s2−2 s+1
s2ds
14∫( s
2
s2−2 ss2
+ 1s2
)ds
14∫ 1ds−
12∫
1sds+ 1
4∫1
s2ds
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14s−14ln ( s )− 1
4 s+c1
Reemplazando: s=w+1
14(w+1)−1
4ln (w+1 )− 1
4 (w+1)+c1
14w−1
2ln (w+1 )+ 1
4− 14 (w+1)
+c 1
14w−1
2ln (w+1 )− 1
4 (w+1 )+c2
Reemplazando: w=−v2
14(−v2)−1
2ln (−v2+1 )− 1
4 (−v2+1 )+c2
−14v2−1
2ln (1−v2 )− 1
4 (1−v2)+c 2
−14v2−1
2ln (1−v2 )− 1
4 (1−v )(1+v )+c 2
Reemplazando: v=cosu−14cos2u−1
2ln (1−cos2u )− 1
4 (1−cosu )(1+cosu )+c 2
−14cos2u−1
2ln (sen2u )− 1
4 (1−cosu )(1+cosu)+c2
−14cos2u−1
22 ln ( senu )− 1
4 (1−cosu)(1+cosu)+c2
−14cos2u−ln (senu )− 1
4 (1−cosu )(cosu+1)+c 2
Reemplazando: u=2x−14cos22 x−ln ( sen2x )− 1
4 (1−cos 2x )(cos 2x+1)+k
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d) ∫ cosec3(2x ) tan3(2 x)dx (henry)
Solución:
∫ tan3(u)cosec 3(u)2
du ;dondeu=2x
12∫ tan
3(u)cosec3(u)du
12∫ ¿¿
12∫
sen3(u) 1
sen3(u)cos3(u)
du
12∫
1
cos3(u)du
12∫ ses3(u)du
12¿
14sec (u ) tan (u )+ 1
4∫ sec(u)du
14sec (u ) tan (u )+ 1
4ln (sec (u )+ tan (u ) )+c 1
Reemplazando: u=2x
14sec (2 x ) tan (2x )+ 1
4ln ( sec (2 x )+ tan (2 x ) )+c1
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