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cristopheresquivelsaavedra
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PRIMERA SESIÓN DE CLASE DE MATEMÁTICA PARA INGENIEROSECUACIONES DIFERENCIALESUna ecuación diferencial es aquella que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene solo derivadas respecto a una sola variable independiente, entonces, ésta se llama Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO); y si contiene derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes, entonces, ésta se llama Ecuación Diferencial en derivadas parciales (EDP)Ejemplos:1.
dydx
−4 y=2
2. ( x+2 y )dx−3 ydy=0
3. d2 yd x2
−4( dydx )3
+3 y=0
4. x∂u∂ x
+ y ∂u∂ y
=u
5. ∂3u∂ x3
=∂2u∂ t 2
−4 ∂u∂t
ORDEN DE UNA EDO.- Está dado por el orden de la derivada más alta que aparece en la EDO.
GRADO DE UNA EDO.- Está dado por el exponente de la derivada de mayor ordenEjemplo1:
dydx
−4 y=2
Primer orden y primer gradoEjemplo 2:
d2 yd x2
−4( dydx )3
+3 y=0
Segundo orden y primer grado
Ejemplo 3:d3 y
d x3= 5√1+ d2 yd x2⇔( d
3 y
d x3 )5
=1+ d2 y
d x2
Tercer orden y quinto gradoEjemplo 4:
d2 y
d x2= 5√1+ d4 yd x4
⇔( d2 y
d x2 )5
=1+ d4 y
d x4
Cuarto orden y primer grado
ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE ORDEN nUna EDO de orden n, implícitamente está dado por:
F (x , y , y ' , y' ' ,…, y(n))=0(1)
Donde F :Ω⊂Rn+2→R con Ω un subconjunto (generalmente abierto) de Rn+2
Si en (1) es posible despejar y(n ), entonces, la EDO en forma explícita está dado por:
y(n )=f (x , y , y ' , y ' ' ,…, y(n−1))
EDO LINEALES DE PRIMER ORDENSon ED de la forma:
F (x , y , y ' )=0 (1)Si en (1) se puede despejar y ' entonces:
y '=f (x , y )⇔ dydx
=f ( x , y ) (2)Si (2) se puede expresar en la forma:
M (x )dx+N ( y )dy=0 (3)Entonces, a (3) se le llama EDO de variable separable y su solución se llama por integración directa.Ejemplo 1. Resolver:
dydx
+ ysenx=0
Ejemplo 2. Integrar:dydx
+( x+1 ) yx2−3 x+2
=0
ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A VARIABLE SEPARABLE
Las EDO de la forma:dydx
=f (ax+by+c )
se pueden transformar en ED de variable separable, haciendo:
z=ax+by+c
Ejemplo 3. Integrar:
dydx
=sen (x+ y )
Ejemplo 4. Resolver:y '−e xe y=−1
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEASSon EDO de la forma: M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0 donde M ,N son funciones homogéneas del mismo grado en x é y.Se resuelven haciendo el cambio siguiente:
y=μx (ó x=μy)
Nota: Una definición equivalente es: M (x , y )dx+N ( x , y )dy=0 es homogénea si se puede expresar en la forma:
dydx
=f ( yx) (ó dx
dy=f ( x
y) )
Ejemplo: x y2 y '=x3+ y3 ⇔ y '= x3
x y2+ y3
x y2=( xy)2
+ xy=f ( x
y)
RESOLVER LAS EDO QUE SE PLANTEAN:1. (6 x2−7 y2 )dx−14 xydy=0
2. dydx=yx+√( y
x)2
−1
3. (x3+ y2√x2+ y2 )dx−xy √ x2+ y2dy=0ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A
HOMOGÉNEASLas EDO no homogéneas de la forma:
dydx
=f (a1 x+b1 y+c1a2 x+b2 y+c2
)
Se pueden transformar en homogéneas mediante el cambio:
{ x=h+zy=k+w donde {L1:a1 x+b1 y+c1=0L2:a2 x+b2 y+c2=0 y (h , k )=L1∩L2.
RESOLVER LAS EDO QUE SE PLANTEAN:
1. dydx=x+ y−1x− y+1
2. (2 x−3 y+4 )dx+3 ( x−1 )dy=0 , y (3 )=2
3. (2 y2−3 x )dx+2xydy=0
4. dydx=√x+ y+√ x− y√x+ y−√x− y