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Principio de Inducción, Ejercicios Resueltos Principio de Inducción, Demostración de las Propiedades de las Potencias mediante Principio de Inducción,
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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
TRABAJO DE MATEMATICAS
TEMA: Principio de Inducción
NOMBRE: Miguel Rivera
PARALELO: Séptimo
FECHA: 13/09/2012
1.- Utilice el principio de inducción para demostrar que l siguientes relaciones se satisfacen para todo entero positivo n.
a¿12+22+…n2=n(n+1)(2n+1)
6
n=1
1=1(1+1)(2+1)
6
1=1
n=k
12+22+…k2=k (k+1)(2k+1)
6
n=k+1
12+22+…(k+1)2=(k+1)(k+2)(2k+3)
6
12+22+…k2+(k+1 )2= k (k+1 ) (2k+1 )6
+(k+1)2
12+22+…k2+(k+1 )2= k(k+1 ) (2k+1 )+6(k+1)2
6
12+22+…k2+(k+1 )2= ( k+1 )[k (2k+1 )+6 (k+1 )]6
12+22+…k2+(k+1 )2=( k+1 )[2k2+k+6k+6]
6
12+22+…k2+(k+1 )2=( k+1 )[2k2+7k+6]
6
12+22+…k2+(k+1 )2=( k+1 )(k+2)(2k+3)
6
b¿1+3+5+…+(2n−1)=n2
n=1
1=12
1=1
n=k
1+3+5+…+(2k−1)=k2
n=k+1
1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2
1+3+5+…+(2k−1 )+(2k+1)=(k+1)2
1+3+5+…+(2k−1 )+(2k+1 )=k2+2k+1
1+3+5+…+(2k−1 )+(2k+1 )=(k+1 )2
c ¿13+23+…n3=n2 (n+1 )2
4
n=1
1=12 (2 )2
4
1=1
n=k
13+23+…k3=k2 ( k+1 )2
4
n=k+1
13+23+…(k+1)3=(k+1)2 (k+2 )2
4
13+23+…k3+( k+1 )3= k2 (k+1 )2
4+ (k+1 )3
13+23+…k3+( k+1 )3= k2 (k+1 )2+4 (k+1 )3
4
13+23+…k3+( k+1 )3= (k+1 )2[k2+4k+4]4
13+23+…(k+1)3=(k+1)2 (k+2 )2
4
d ¿13+23+…+(n−1 )3≤ n4
4si n≥2
n=2
2≤4
n=k
13+23+…+( k−1 )3≤ k4
4
n=k+1
13+23+…+( k )3≤ ¿¿
13+23+…+( k−1 )3+(k )3≤ k4
4+k3
13+23+…+( k−1 )3+(k )3< k4
4+k3+ 6
4k2+k+ 1
4=¿¿
13+23+…+( k )3≤ ¿¿
2.- Use el símbolo Σ para expresar los miembros de la izquierda de las relaciones b), c) y d) del ejercicio 1
b¿∑k=1
n
(2k−1)
c ¿∑k=1
n
k3
d ¿∑k=2
n
(k−1 )3
3.- Exprese las siguientes sumas usando el símbolo Σ
a¿1+ 12!
+ 13 !
+…+ 1k !
∑k=1
n1k !
b¿2+4+6+8+10+12.
∑k=1
6
2k
c)2+5+10+17.
∑k=1
6
(k+1 )2
d ¿31+32+33+…+3n .
∑k=1
n
3k
4.- Demuestre que para todo n≥1.
∑k=0
n
ark=a (r n+1−1 )r−1
Si r≠1
a+ar+ar2+…+arn=a (r n+1−1 )r−1
n=0
a=a
n=k
a+ar+ar2+…+ark=a ( rk+1−1 )r−1
n=k+1
a+ar+ar2+…+ark +1=a (rk+2−1 )r−1
a+ar+ar2+…+ark+ar k+1=a (r k+1−1 )r−1
+ar k+1
a+ar+ar2+…+ark+ar k+1=ark +1+a+ar k+2−ark+1
r−1
a+ar+ar2+…+ark +1=a (rk+2−1 )r−1
5.- Demuestre que
a¿n4+2n3+n2 es divisible por 4 si n≥1
n=1
4 si es divisible para 4
n=k
k 4+2k3+k2 es divisible por 4
n=k+1
¿
b¿ 4n−1es divisible por 3 si n≥1
n=1
3 es divisible para 3
n=k
4k−1es divisible por 3
n=k+1
4k +1−1esdivisible por 3
4k +1−1=44k−1
4k−1es divisible por 3=¿ 4k−1=3∗p , p∈Z≥1
4k=3 p+1
4k +1−1=12 p+3
4k +1−1=4 (3 p+1 ) => 4k +1−1esdivisible para 4
c ¿n (n+1 ) (n+2 ) esdivisible por 3 sin≥0
n=1
1 (1+1 ) (1+2 )
6 es divisible para 3
n (n+1 ) (n+2 )es divisible por 3
n3+3n2+2nes divisible por 3
n=k
k (k+1 ) ( k+2 ) esdivisible por 3 si n≥0
k 3+3 k2+2k esdivisible por 3
n=k+1
(k+1) (k+2 ) (k+3 )es divisible por 3 si n≥0
(k+1 ) (k+2 ) ( k+3 )=[k¿¿2+3k+2] (k+3 )¿
(k+1 ) (k+2 ) ( k+3 )=k3+3k2+2k+3k2+9k+6
k 3+3 k2+2k esdivisible por 3=¿k3+3k2+2k=3 p , p∈Z ≥0
(k+1 ) (k+2 ) ( k+3 )=3 p+3k 2+3k 2+9k+6
(k+1 ) (k+2 ) ( k+3 )=3 [ p+k2+k2+3k+2 ]
¿> (k+1 ) (k+2 ) (k+3 ) es divisible para3
6.- Note
910
=1− 110
910
+ 9100
=1− 1100
910
+ 9100
+ 91000
=1− 11000
∑n=1
k910n
=10n−110n
910
+ 9100
+ 91000
+…+ 910n
=10n−110n
n=1
910
= 910
n=k
910
+ 9100
+ 91000
+…+ 910k
=10k−110k
n=k+1
910
+ 9100
+ 91000
+…+ 910k +1
=10k+1−110k +1
910
+ 9100
+ 91000
+…+ 910k
+ 910k+1
=10k−110k
+ 910k+1
910
+ 9100
+ 91000
+…+ 910k
+ 910k+1
=10(10¿¿k−1)+9
10k+1¿
910
+ 9100
+ 91000
+…+ 910k +1
=10k+1−110k +1
7.- (Algoritmo de división). Sea m un entero positivo, demuestre que para todo n≥1 existe enteros no negativos q y r tales que
n = qm + r, 0≤r<m
q se denomina cociente y r el residuo de la división de n por m respectivamente.
Caso base (podemos dividir n = 0 entre m):Es muy fácil dividir 0 entre m: simplemente tomas q = 0 y r = 0. Este resultado es correcto por que0 = 0 b + 0
Caso inductivo (si podemos dividir n entre m entonces podemos dividir n + 1 entre m):supongamos que n dividiendo para m da como resultado el cociente q y el residuo rn = qm + r con 0 ≤ r < m
Queremos calcular q' y r' tales que (n + 1) = q'm + r' con 0 ≤ r' < m. Si queremos obtener la expresión para n + 1 solo basta con sumar 1 de ambos lados, y entonces tienes(n + 1) = b q + (r + 1)
Dado que r < m, hay dos casos:
Si r + 1 < m entonces q' = q y r' = r + 1 satisfacen el teorema.Si r + 1 = m entonces (n + 1) = qm + m = (m + 1) q + 0, por lo tanto q' = q + 1 y r' = 0.
8.- (Binomio de Newton). Sean a y b numero reales, demuestre por inducción que
(a+b )n=∑k=0
n
(nk)akbn−k
9.- Use el ejercicio 8 para demostrar que
2n=∑k=0
n
(nk)n=1
2=2
n=p
2p=∑k=0
p
( pk )n=p+1
2p+1=∑k=0
p+1
( p+1k )2p2=2∑
k=0
p
(pk )2p+1=∑
k=0
p+1
( p+1k )
Propiedades
1.- (ab )n=anbn
n=1
ab=ab
n=k
(ab )k=ak bk
n=k+1
(ab )k+1=ak +1bk+1
(ab )k+1= (ab )k (ab)
(ab )k+1=ak bk ab
(ab )k+1=ak +1bk+1
2.−aman=am+n
m=1 n=1
a^2=a^2
m=k y n=p
ak ap=ak+p
m=k+1 y n=p+1
ak+1ap+1=ak+p+2
ak+1ap+1=aka apa
ak+1ap+1=ak+paa
ak+1ap+1=ak+p+1a
ak+1ap+1=ak+p+2
3.−(an )m=anm
n=1 y m=1
a=a
n=k y m=p
(ak )p=akp
n=k+1 y m=p+1
(ak+1 )p+1=akp+ k+p+1
(ak a )p+1=akp+ k+ p+ 1
(ak a )p+1=akp+ k+p+1
(ak a )p(ak a)=akp+ k+p+1
akpap(ak a)=akp+ k+ p+1
akp+ k+p+1=akp+ k+p+1
4.−( ab )n
=an
bn
n=1
a/b = a/b
n=k
( ab )k
=ak
bk
n=k+1
( ab )k+1
=ak+1
bk+1
( ab )k
( ab )=ak+1
bk+1
ak
bk ( ab )=ak+1
bk+1
ak +1
bk +1=a
k+1
bk+1
5.− an
am=an−m
n=1 y m=1
1=1
n=k y m=p
ak
ap=ak−p
n=k+1 y m=p+1
ak+1
ap+1=ak−p
ak aapa
=ak−p
ak
apaa=ak−p
ak−p=ak−p