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Ejercicios de conteo
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Multiplicacin, combinaciones, permutaciones
Si la cantidad de posibles resultados de un experimento es pequea, resulta relativamente fcil contarlas. Por ejemplo, existen seis posibles resultados del lanzamiento de un dado a saber.
Sin embargo, si hay nmero muy grande de
resultados, tal como nmero de caras y cruces en
un experimento con 10 lanzamientos de una
moneda, sera tediosos contar todas las
posibilidades: todos van a ser caras, una cruz y
nueve caras, dos caras y ocho cruces, y as
sucesivamente.
Para facilitar la cuenta, se analizarn tres frmulas para contar:
Frmula de Multiplicacin
Frmula de permutaciones
Frmula de combinaciones
Frmula de multiplicacin:
La frmula de multiplicacin indica que si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra cosa, hay m x n formas de hacer tanto.
Total de numero de disposiciones: = (m)(n)
Ejemplo: Juan tiene 10 camisas y corbatas de 8.
Cuntos trajes de camisa y corbata tiene?
Total de nmero de disposiciones= (m)(n) =(10)(8) = 80
Un concesionario de automvil quiere anunciar que para un
precio de $229,999 se puede comprar un convertible, un sedn
de dos puertas o un modelo de cuatro puertas con su eleccin
de rines de aluminio, o de rines negros.
Cuntos diferentes arreglos de modelos y cubiertas de rin
puede ofrecer el distribuidor?
Mediante la frmula de la multiplicacin se verifica el resultado, en cuyo caso m es el nmero de modelos y n el tipo de rin.
De acuerdo con la frmula se tiene
Nmero Total de disposiciones = (m)(n) = (3)(2)= 6
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En un saln de eventos sociales de se ofrece la posibilidad de elegir como plato
de entrada ensalada, espagueti o crema de championes; como plato principal
carne, pechugas rellenas , pipian de autor y de postre Flan o helado artesanal.
De cuntas maneras distintas se puede elegir una comida para un evento?
Nmero total de posibles disposiciones= (m)(n)(o)
Primero hay que identificar nuestras variables:
m= plato de entrada: ensalada, espagueti o crema de championes;
entonces m=3
n= plato principal: carne, pechugas rellenas, pipian de autor; n= 3
o= postre Flan o helado: o=2
Nmero total de posibles disposiciones= (3)(3)(2) = 18
Frmula de permutaciones.
Una permutacin es cualquier acuerdo de r objetos de n objetos posibles.
El orden de acuerdo es importante para permutaciones.
Donde: n representa el total de objetos r representa el total de objetos seleccionados
Antes de resolver los dos problemas planteados, note que en las permutaciones y
las combinaciones (que se plantean en breve) se emplea la notacin denominada
n factorial.
sta se representa como n! y significa el producto de: n(n 1)(n 2)(n 3) (1).
Por ejemplo:
1! = 1
2! = 1x2= 2
3! = 1x2x3= 6,
5! = 5 4 3 2 1 = 120.
Por definicin, cero factorial, que se escribe 0!, es 1. Es decir que 0! = 1.
Un ejemplo de operaciones con el factorial:
La notacin factorial se puede eliminar cuando los mismos nmeros
aparecen tanto en el numerador como en el denominador, como se
muestra a continuacin:
6! 3!
4!=
(6 5 4 3 2 1)(3 2 1)
(4 3 2 1)
6! 3!
4!= 6 5 3 2 1 = 180
Muchas de las calculadoras tienen una tecla
con x! que ejecuta el clculo. Ahorrar mucho tiempo.
Por ejemplo, la calculadora Casio tiene la siguiente tecla:
Es la segunda funcin, as que revise el manual del usuario o internet para leer las instrucciones.
Generalmente se utiliza la tecla: SHIFT
Tecleamos el nmero que deseamos calcular su factorial y activamos la tecla factorial: ejemplo
3!
El resultado ser: 6
Frmula de las combinaciones.
Una combinacin es el nmero de formas de elegir objetos r de un grupo de n objetos sin respecto a la orden.
Donde: n representa el total de objetos r representa el total de objetos seleccionados
Ejemplo:
Hay 12 jugadores en el equipo de baloncesto de Carolina bosque High School. El entrenador Thompson debe elegir cinco jugadores entre los doce en el equipo a formar parte del quinteto.
Cuntos grupos diferentes son posibles?
Cuntos grupos diferentes son posibles?
792)!512(!5
!12512
C
Muchas de las calculadoras tienen una tecla especial para la combinacin que ejecuta el clculo.
Ahorrar mucho tiempo.
Por ejemplo, la calculadora Casio tiene la siguiente tecla:
Es la segunda funcin, as que revise el manual del usuario o internet para leer las instrucciones.
Tecleamos el nmero que deseamos calcular la combinacin : ejemplo para el nmero
12C5
El resultado ser: 792
Supongamos adems de seleccionar el grupo, tambin deber estar cada uno de los jugadores en ese quinteto de acuerdo a su capacidad.
18
040,95)!512(
!12512
P
En este caso tambin podemos realizar la permutacin con auxilio de la calculadora.
Ahorrar mucho tiempo.
Por ejemplo, la calculadora Casio tiene la siguiente tecla:
Es la segunda funcin, as que revise el manual del usuario o internet para leer las instrucciones.
Tecleamos el nmero que deseamos calcular la permutacin y activamos la tecla shift y activamos la tecla deseada:
ejemplo para LA PERMUTACIN:
12P5
El resultado ser: 95040
Cuando el nmero de permutaciones o combinaciones es grande, los clculos son laboriosos.
El software de las calculadoras de mano tienen funciones para calcular estos nmeros, y tambin en Excel se puede realizar mediante las siguientes funciones:
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En el siguiente recuadro en Excel aparece la forma en la que se pueden resolver las permutaciones.
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En el siguiente recuadro en Excel aparece la forma en la que se pueden resolver las combinaciones
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Lind, A.D., Marchal, W. G., y Wathen , A, S. (2008) Estadstica aplicada a negocios y la Economa . Edit Mc Graw Hill Interamericana. 13 Edicin.
http://www.ugr.es/~jsalinas/bayes.htm
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/08Teorema%20de%20bayes.htm