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Apunte de Progresiones: Progresión aritmética y geométrica. Leyes de formación. Ejercicios.

Autor: HUGO DAVID GIMENEZ AYALAPROGRESIONES

1- Progresión Aritmética: es una sucesión en la cual cada término después del 1ro se obtiene sumándole al término anterior una cantidad constante llamada razón o diferencia común.

Se la representa con el signo (:).

: a1, a2, a3, a4,..............., an-1, an.

Donde: a1 = 1er término.

an = último término o término general.

n = número de términos.

r = razón aritmética.

Sn = suma de los "n" términos.

m = nro de términos de los medios aritméticos.

Ley de formación.

a1.    

a2 = a1 + r.   r = a2 - a1  

a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2 r.        

a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3 r.  Sn =

(a1 + an) * n  

        2  

             

an = a1 + (n - 1) * r   r =an - a1

n - 1

Interpolación de Medios Aritméticos entre 2 números dados: es formar una progresión aritmética cuyos extremos sean los 2 números dados.

a1, a2,.............., an-1, an.

m términos

Datos: a1; an; n = m + 2.

Se llaman medios aritméticos a los términos de una progresión aritmética que se hallan entre el primero y el último término de la progresión.

TEOREMA: En toda progresión aritmética la suma de los 2 términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los 2 términos extremos.

Ejemplo: a1, a2, a3, a4,.............., an-2, an-1, an.

Luego; a3 + an-2 = a1 + an.

TEOREMA: Si la progresión aritmética tiene un número impar de términos, el término medio equidista de los extremos y por tanto el doble del término medio es igual a la suma de los extremos.

Ejemplo: a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9.

Luego; 2 * a5 = a1 + a9.

2- Progresión Geométrica: es una sucesión en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante que es la razón o cociente común.

Se la representa con el signo (::).

:: a1, a2, a3, a4,..............., an-1, an.

Donde: a1 = 1er término.

an = último término o término general.

n = número de términos.

q = razón geométrica.

Sn = suma de los "n" términos.

m = nro de términos de los medios geométricos.

Ley de formación.

a1.    

a2 = a1*q.   q = a2/a1  

a3 = a2*q = (a1*q)*q = a1*q².        

a4 = a3*q = (a1*q²)*q = a1*q³.   Sn = a1*(qn - 1)  

          q - 1  

                 

an = a1*q(n - 1)   n =

log an - log a1

+ 1  log q

 

Interpolación de Medios Geométricos entre 2 números dados: es formar una progresión geométrica cuyos extremos sean los 2 números dados.

:: a1, a2, .............., an-1, an.

m términos

Datos: a1; an; n = m + 2.

Se llaman medios geométricos a los términos de una progresión geométrica que se hallan entre el primero y el último término de la progresión.

TEOREMA: En toda progresión geométrica el producto de los 2 términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los 2 términos extremos.

Ejemplo: :: a1, a2, a3, a4,.............., an-2, an-1, an.

Luego; a3 * an-2 = a1 * an.

TEOREMA: Si la progresión geométrica tiene un número impar de términos, el cuadrado del término medio equivale al producto de los extremos.

Ejemplo: a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9.

Luego; (a5) ² = a1 * a9.

3- Resolver los siguientes ejercicios:

1) Hallar el 9no término de una progresión aritmética: (7, 10, 13,..............).

2) Calcular el 21° término de una P.A. (-3/5, -14/15,...............).

3) Determinar el término general de la progresión aritmética: (6, 9,..........).

4) Hallar el 39° término de una P.A. (-3, -5/4,..............).

5) Encontrar el término general de la P.A. (x - 1, x,...........).

6) Hallar el 19° término de una P.A. (5/6, -1/3,..........).

7) Hallar el 9no término de la P.A. (1, 6, 11,...............).

8) El 15° término de una P.A. es 20 y la razón es 2/7. Hallar el 1er término.

9) Calcular la razón de una P.A. (3,........., 8,.....); donde 8 es el 6to término.

10) Cuántos términos tiene la P.A. (4, 6,............., 30).

11) Determinar el 1er término de la P.A. en que el 15° término es 44 y la razón es 3.

12) En una P.A. el 1er término es 5 y la razón es 9. Determinar el orden del término igual a 239.

13) El 5to término de una P.A. es 7 y el 7mo término es 25/3. Hallar la razón.

14) Una P.A. comienza por 2, termina con 3 y su razón es 1/10. Cuántos términos hay en la progresión.

15) El 1er término de una progresión aritmética es 23 y el último es 35. Determinar la progresión sabiendo que el número de términos es igual a la razón.

16) Sí el 31° término de una P.A. es 156 y el 1er término es 6; determínese la razón de la misma.

17) Hallar la suma de la progresión aritmética: (0,2; 0,7; 1,2;..................); siendo n = 12.

18) La suma de 3 números que están en P.A. es 21 y el producto de los mismos es 231. Calcular esos números.

19) Hallar 3 números en P.A. cuya suma es 54 y cuyo producto es 5.670.

20) La suma de 3 números que están en progresión aritmética es 9 y la suma de sus cuadrados es 35. Hallar los 3 números.

21) Cuántos múltiplos de 5 existen entre el 18 y el 193.

22) Cuántos múltiplos de 11 existen entre 100 y 1.000.

23) Hallar la suma de los 8 primeros términos de una P.A. (15, 19, 23,................).

24) Hallar la suma de los 72 primeros múltiplos de 11 que siguen a 76.

25) Hallar la suma de los 43 primeros números terminados en 9.

26) Hallar la suma de los 20 primeros múltiplos de 7.

27) Hallar la suma de los 80 primeros múltiplos de 5.

28) Hallar la suma de los impares del 51 al 813.

29) Hallar la suma de los 100 primeros números pares.

30) Hallar la suma de los 100 primeros números impares mayores que 7.

31) Interpolar 3 medios aritméticos entre -1 y 7.

32) Interpolar 3 medios aritméticos entre 3 y 11.

33) Interpolar 4 medios aritméticos entre 8 y 23.

34) Interpolar 4 medios aritméticos entre -42 y 53.

35) Interpolar 4 medios aritméticos entre 1 y 3.

36) Interpolar 5 medios aritméticos entre -6 y 18.

37) Interpolar 6 medios aritméticos entre 1 y 1/2.

38) Interpolar 9 medios aritméticos entre 18 y -12.

39) Hallar el 5to término de una P.G. (5/6, 1/2,................).

40) Encontrar el 9no término de la progresión geométrica :: (2, 8,..............).

41) Calcular 9no término de la P.G. (1/32, 1/16, 1/8,...................).

42) Hallar el 10mo término de una P.G. (-3/4, -1/4, -1/12,...........).

43) Hallar el 11° término de una P.G. (-8, -4, -2,..............).

44) Determinar el 15° término de la progresión geométrica :: (2, 6,..............).

45) Determinar el término general (an) de la progresión geométrica :: (5, 25, 125,.............).

46) Hallar el número de términos de una P.G. (4, 8,................., 512).

47) Hallar el 1er término de una P.G. de razón 2; siendo el 10mo término igual a 1.536.

48) El 9no término de una P.G. es 64/2.187 y su razón es 2/3. Hallar el 1er término.

49) El 4to término de una P.G. es 1/4 y el 7mo término es 1/32. Hallar el 6to término.

50) El 3er término de una P.G. es 28 y el 5to término es 112. Formar la progresión.

51) La razón de una progresión geométrica es 1/2 y el 7mo término es 1/64. Hallar el 1er término.

52) En una P.G., el 2do término es igual a 6 y el 5to término es 2/9. Formar la progresión.

53) En una P.G., el 1er término es 3 y la razón es 4. Determinar el orden del término igual a 768.

54) La razón de una progresión geométrica de 5 términos es 4 y el último término es 1.280. ¿Cuál es el 1er término de dicha progresión?

55) En una P.G. de 4 términos, el 1er término es 12 y el último término es 96. Calcular la razón y formar la progresión.

56) En una P.G. de razón - 5 el 1er término es 25 y el último es -3.125. Determinar el número de términos de está progresión.

57) En una progresión geométrica de 5 términos el cuadrado del 3er término es 4/81. Sí el último término es 8/81. Cuál es el primero.

58) Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica :: (3, 6,............,2.187).

59) Hallar la suma de los 5 primeros términos de una P.G. (6, 3, 3/2,...............).

60) Hallar la suma de los 7 primeros términos de una P.G. (-1/10, 1/5, -2/5,..............).

61) Calcular la suma de los primeros 8 términos de la P.G. (1, 1/2, 1/4,...............).

62) Calcular la suma de los 9 primeros términos de la P.G. (2, 6, 18,...................).

63) En una progresión geométrica la suma de los términos es 510. Sabiendo que el último término es 256 y la razón es 2. Calcular el 1er término.

64) El 1er término de una P.G. es 375 y el 4to término es 192. Calcular la razón y la suma de los cuatro primeros términos.

65) Interpolar 3 medios geométricos entre 1 y 81.

66) Interpolar 4 medios geométricos entre -7 y -224.

67) Interpolar 4 medios geométricos entre 2 y 486.

68) Interpolar 4 medios geométricos entre 4/9 y 27/256.

69) Interpolar 5 medios geométricos entre 32/81 y 9/2.

70) Interpolar 6 medios geométricos entre 512 y -4.

4- Resolver los siguientes problemas:

1) Las sumas del 1er y 3er término de una progresión aritmética es 12; y las sumas del 2do y 5to término es 21. Hallar los términos y la razón.

2) El 3er y 5to término de una P.A. suman 46; y el 4to y 6to término suman 58. Hallar la razón y el valor de dichos términos.

3) El 2do y 4to término de una P.A. suman 22; y el 3er y 6to término suman 34. Hallar el valor de las incógnitas.

4) El 4to y 3er término de una P.A. suman 2; y el 3er con el 5to término suman 4. Hallar las incógnitas.

5) La suma del 2do y 3er término de una progresión aritmética es -5 y la suma del 5to y 6to término es 13. Hallar la razón y el valor de dichos términos.

6) Las ganancias de 3 años de una empresa están en progresión aritmética. El 1er año ganó 10.000 $ y el 3er año 24.000 $. Cuál fue la ganancia del 2do año.

7) En el 1er mes de negocios una persona ganó 500 $ y en el último ganó 1.900 $. Sí en cada mes ganó 200 $ más que el mes anterior. ¿Cuántos meses tuvo el negocio?.

8) Se compra 1 artículo a pagar en 15 meses de este modo: 1 $ el 1er mes; 3 $ el 2do mes; 9 $ el 3er mes y así sucesivamente. Cuál es el importe del artículo.

9) Un hombre avanza en el 1er segundo de su carrera 6 mts. y en cada segundo posterior avanza 25 cm. más que el anterior. Cuánto avanzó en el 8vo segundo y qué distancia habrá recorrido en ese tiempo.

10) Hallar las longitudes de los lados de un triángulo, sabiendo que están en progresión aritmética de razón igual a 6 cm. y que su perímetro es igual a 54 cm.

11) Una deuda debe ser pagada en 32 semanas; pagando 5 $ la 1ra semana, 8 $ la 2da semana, 11 $ la 3ra semana y así sucesivamente. Hallar el importe de la suma.

12) Los ahorros de los 3 primeros meses de una familia están en P.A. Sí en los 3 meses ha ahorrado 2.400 $ y el 1er mes ahorró la mitad de lo que ahorró el 2do mes. Cuánto ahorró cada mes.

13) El perímetro de un triángulo rectángulo es 60 cm. Calcular las longitudes de los lados, sabiendo que están en progresión aritmética.

14) Una piedra dejada caer libremente desde la azotea de un edificio recorre 16,1 pies en el 1er segundo y en cada segundo posterior recorre 32,2 pies más que el 2do anterior. Sí la piedra tarda 5 segundos en llegar al suelo. Cuál es la altura del edificio.

15) Calcular las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus medidas expresadas en cm. son números que están en P.A. cuya razón es igual a 7.

16) Las ganancias mensuales de un comerciante durante 11 meses están en progresión aritmética. El 1er mes ganó 1.180 $ y el último 6.180 $. Cuánto más ganó en cada mes a contar del 2do mes, que en el anterior.

17) Determinar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que están en P.A. de razón igual a 5.

18) Determinar el valor de "x" para que formen progresión aritmética de x ², (x + 2) ², (x + 3) ².

19) Determinar el valor de "x" para que formen P.A. de (3x - 1), (x + 3), (x + 9).

20) En una progresión geométrica de razón positiva, la suma del 3er término con el 4to es 240 y la suma del 5to con el 6to es 3.840. Calcular la razón y formar la progresión.

21) Calcular la razón de una P.G. de 5 términos; sabiendo que la suma de los dos primeros términos es 120 y la suma de los dos últimos es 960.

22) Una P.G. de razón positiva consta de 4 términos. Sabiendo que la suma de los dos primeros es 6 y que la correspondiente de los dos últimos es 24, determinar la razón y formar la progresión.

23) El valor del 3er término de una progresión geométrica es 32 y la diferencia entre el 4to y el 2do término es 120. Calcular la razón y la suma de los 4 primeros términos.

24) ¿Cuántos términos debemos considerar en la P.G. (3, 6,...........) para obtener una suma de 1.533 ?

25) La suma de 3 números consecutivos que están en progresión geométrica es 28 y el producto entre ellos es 512. Calcular los 3 números.

26) La suma de los tres primeros términos de una P.G. es 77 y su producto es 10.648. Calcular los tres números.

27) La suma de 3 números positivos en una progresión geométrica es 210, el tercero excede al primero en 90. Hallar los 3 números positivos.

28) Hallar 3 números que están en P.G., sabiendo que su suma es 65 y su producto es 3.375.

29) Hallar el valor de "x" para que la sucesión (2x - 5), (x - 4), (10 - 3x) sea una P.G.

30) Hallar el valor de "x" para que la sucesión x, (x + 9), (x + 45) sea una P.G.

31) Hallar el valor de "x", de modo que los números (x - 5), x, (x + 10); en ese orden, estén en P.G. Construir dicha progresión.

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