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COLEGIO EMILIO SOTOMAYORPROYECTO DE GEOMETRÍA

GUÍA DE TRABAJO No 1

Docente: Jorge L. Nájera H.dez

Asignatura: Geometría

Estudiante:__________________________________ Curso:___________

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA

PUNTO: El término punto se le ha dado diferentes usos. Así, denominamos a la marca dejada por un lápiz,

lugar de reunión de un grupo de estudio, a cualquier ciudad o población localizada en un mapa, en fison muchas las situaciones donde empleamos la palabra punto. Entonces podemos definir punto de siguiente manera:Es la idea que nos da la ubicación de algo; un punto no tiene longitud, ni anchura, ni altura.En geometría se acostumbra nombrar el punto con letras mayúsculas, como en la siguiente figura:

LÍNEA RECTA:La línea recta puede ser representada por las siguientes situaciones: Toma un hilo y tensiónalo por ambos extremos. Observa el borde de tu libro de matemáticas. Observa el borde que indica el ancho o el largo del tablero.

De acuerdo, con lo anterior podemos línea recta de la siguiente manera: La recta hace referencia a un ente geométrico de longitud ilimitada y sin grosor.

La línea recta tiene dos características:1. Todos sus puntos están en la misma dirección.2. Va en ambos sentidos y no tiene fin. Esto se indica marcando cabezas de flechas en ambo

extremos, como esta:

Las rectas pueden nombrarse de dos maneras:1. Usando letras minúsculas y colocándole una flecha encima, así: r

, l

, m

.

LECCIÓN 1: CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

¿Para qué sirve? Para ubicarteen el es acio.

¿Qué es un ente? Lo que existe o puede existirsolo en el entendimiento.



m Recta m

2. Marcando dos puntos, nombrándolos y colocándoles la flecha encima de las dos letras.

Recta PQ

SEMIRRECTA O RAYO:Una semirrecta o rayo es una parte de una recta que tiene un origen y se extiendindefinidamente en un solo sentido. Si el punto O es el origen y b es la dirección que sigue

semirrecta, entonces se escribe Ob , o la semirrecta b

.

SEGMENTO DE RECTA:Un segmento de recta es una parte de la recta que tiene dos extremos definidos. Si lextremos son los puntos A y B, entonces se escribe AB y se lee así: el segmento de recta AB.

PLANO:En el colegio, por ejemplo, el tablero del salón de clases, las paredes, el piso, la mesa, etc. Dan idea de plano.La noción que tenemos de un plano, entonces, es la de un ente geométrico ilimitado, continuo e

todas las direcciones, llano y sin grosor.SEMIPLANO:Para entender lo que es un semiplano, basta con tomar una hoja de papel. Entonces, podemos decque un semiplano es: una porción de un plano limitado por rectas.

1. Escribe dos situaciones que representen la noción de punto.

2. Escribe dos situaciones que representen la noción de recta.3. Escribe dos situaciones que representen la noción de plano y semiplano.4. Escribe verdadero (V) o F (falso) en cada afirmación.

A. Un punto tiene dimensiones infinitas. (___).B. Al marcar un punto en una recta, esta queda dividida en dos segmentos. (___).C. El plano tiene dos dimensiones largo y ancho. (___).D. Para nombrar un punto utilizamos letras mayúsculas.

5. Marca un punto sobre una hoja y traza varias rectas que pasen por él. ¿Qué puedes concluir?

ACTIVIDAD



6. Marca dos puntos sobre una hoja y traza las rectas que pueden pasar por ellos al mismo tiemp¿Qué concluyes?

7. Encuentra en el dibujo puntos, rectas, semirrectas y segmentos.b

8. Resuelve el siguiente crucigrama.

2

41

4 1

23

3

HORIZONTAL:1. Es la idea que nos da la ubicaci

de algo.2. Ente geométrico de longitu

ilimitada y sin grosor.3. Es una parte de una recta qu

tiene dos extremos definidos.4. Porción de un plano.

VERTICAL:1. Ente geométrico llano y s

grosor.2. Parte de una recta que tiene

origen y se extiendindefinidamente en un sosentido.

3. Lo que existe o puede existir el entendimiento.

4. En una recta todos los puntestán en la misma __________.

9. Encuentra 10 palabras que se encuentran en la siguiente sopa de letras y que guardan relaciócon el tema visto.

P D A G E O M E T R I AL A S E G M E N T O W YA N R E A S D B E T N EN O D R M F S K L J O SO L S F O I L J N M T PL O X G M N R R U K Q A

P Y M B H G O R U H P CR A R T Y U I O E M U IE R E C T A A Q T C N OD P X V B N M O P L T OC L Z Y I L H J R E O AS E M I P L A N O U I L








RECTAS INTERSECANTES:La Situación que se muestra en la figura la vemos a diario cuando salimode nuestra casa: se trata del cruce entre calles y carreteras.Si consideramos que las dos vías son rectas, podemos hacer u

representación grafica de ellas:

A este par de rectas las llamamos intersecantes.Dos rectas son intersecantes cuando tiene un punto en común.Por ejemplo:

Las rectas m, l y p se cruzan en el punto O, de modo que las rectas m, l yson rectas intersecantes, por que todas se intersecan en el punto O.

RECTAS PERPENDICULARES:A diario nos encontramos consituaciones como las que semuestran en las siguientesfiguras.

Las anteriores ilustraciones que acabas de apreciar se pueden representar mediante un dibugeométrico.

1. Utiliza el transportador y mide en cadadibujo los ángulos que se forman entre laslíneas p y q.

2. ¿Qué puedes concluir?

p

q

LECCIÓN 2: POSICIONES RELATIVAS DE DOS OMÁS RECTAS

¿Para quénos sirve?

Para construir modeloseométricos.



Dos rectas son perpendiculares si al intersecarse forman 4 ángulos iguales.Para denotar que dos rectas p y q son perpendiculares, se utiliza el signo que significa “e

perpendicular a” (p q).Ejemplo:Trazar una perpendicular a una recta que pase por un punto dado de la recta.

Resolvamos el ejemplo aquí:

RECTAS PARALELAS:

1. Que observas en lassiguientes figuras.

2. Qué puedes decir delas rectas l y m.

Su representación geométrica es siguiente.

l m

Dos rectas en un mismo plano son paralelas cuando al prolongarse no tienen un punto en comúes decir, no se intersecan.Para indicar que dos rectas l y m son paralelas, lo hacemos así: l m, y se lee: la recta l es paralelala recta m.Ejemplo:De acuerdo con la siguiente figura escribirás

o según corresponda.A. l __ p.B. p __ t.C. r __ s.D. l __ t.E. q __ r.F. t __ s.G. u __ p.H. q __ s.I. l __ u.J. s __ u.

lq

m r

p

u

ts

Recuerda traertransportador ycompás.



1. Explica:a. ¿Qué entiendes por un punto, una línea recta, una semirrecta y un segmento de recta?b. ¿Cuál es la condición para que dos o más rectas sean intersecantes?c. Cuál es la condición necesaria para que dos rectas sean perpendiculares?d. ¿Cuándo dos rectas son paralelas?

2. Analiza y responde:a. ¿Pueden ser paralelas tres o más rectas al mismo tiempo? Justifica tu respuesta con

grafico.b. ¿Pueden dos o más rectas ser perpendiculares entre sí al mismo tiempo? Justifica

respuesta.c. Si dos rectas se intersecan, ¿se cumple que sean perpendiculares?d. Si una recta m es paralela a una recta l, y la recta l es paralela a la recta p, podemos conclu

que m es paralela a p. Justifica tu respuesta.e. Si una recta m es perpendicular a una recta l, y la recta l es perpendicular a la recta

podemos concluir que m es perpendicular a p. Justifica tu respuesta.3. Observa los trazos que aparecen a continuación:

Responde teniendo en cuenta el grafico.a. ¿Con cuáles rectas es posible

formar rectas paralelas?b. ¿Con cuáles rectas es posible

formar rectas perpendiculares?

pm

q

l

n

4. Utilizando regla, compás y trasportador dibuja 4 rectas paralelas y 4 rectas perpendiculares.5. Encuentra en la siguiente sopa de letras 6 palabras que se mencionan en esta guía.

P E R P E N D I C U L A RE G S A Y S G I O H Y E LR H X R U E H M M R G E UP J Z A J D U N P L R W T

E I B L I A I H A T Y D FN O U E K I O E S Y J X GD L I L L O P G M U J Z KL A O I N T E R S E C A RA S P S O V J L L P U T JR E A M A B N H O L K U BO V E O S H H M J L L P NT R A S P O R T A D O R M

ACTIVIDAD



Pero para ellodebo saberutilizar eltrasportadorY el compás.






Se conoce con el nombre de ángulo a la abertura que se forma entre dos semirrectas que sintersecan en su punto de origen.Al punto común se le denomina vértice.

Para denotar el anterior ángulo haremos de siguiente manera:

CABDebes tener en cuenta que el vértice es A y ptanto debe estar en medio de las tres letras.

Ejemplo:

Halla la medida de los siguientes ángulos:a. PQR b. MNO c. ABC

d. HJK e. RST

CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS:Con ayuda del trasportador dibujemos los siguientes ángulos.

a. 90o b. 55o c. 45o d. 120o e. 180o c. 200o f. 150o g. 270o

LECCIÓN 3: ÁNGULOS

¿Para quésirve?

Para realizar construccionesgeométricas y artísticas.

¿Cómo sedenotan losángulos?



CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS:Los ángulos se pueden clasificar de acuerdo con su abertura, su posición y su suma.1. Según su Abertura:

Recto: Si la abertura es igual a 90o. (Figura 1) Agudo: Si la abertura mide menos de 90o. (Figura 2) Obtuso: Si la abertura es mayor que 90o y menor que 180o. (Figura 3) Llano o Plano: Cuando la abertura es igual a 180o. (Figura 4) De un Giro o de una Vuelta: Cuando la abertura mide 360o. (Figura 5)

Figura 1Ángulo Recto

Figura 2ÁnguloAgudo

Figura 3ÁnguloObtuso

Figura 3Ángulo Llano

Figura 5Ángulo de un Giro

o de una Vuelta

2. Según su Posición: Consecutivos: Ángulos que poseen un lado común y el vértice común. (Figura 1) Adyacentes: Ángulos que tienen un lado común y además los lados no comunes so

semirrectas con sentidos opuestos. (Figura 2) Opuestos por el Vértice: Cuando los dos lados de un ángulo se obtienen por la prolongació

de los lados del otro. (Figura 3)Figura 1

Ángulos Consecutivos

Figura 2

Ángulos Adyacentes

Figura 3

Ángulos Opuestos por el Vértic

3. Según su Suma: Complementarios: Son parejas de ángulos cuya suma es igual a 90o. (Figura 1) Suplementarios: Son aquellas parejas de ángulos cuya suma es igual a 180o. (Figura 2)

El ADB mide 25o y el BDC mide 65o sisumamos sus medidas 25o+65o 90o Por tal razón el ADB y el

BDC son complementarios.

El MON mide 55o y el NOP mide 125o

sumamos sus medidas 55o+125o 180o Por tal razón el MON y el

NOP son suplementarios



1. Teniendo en cuenta el siguiente grafico, nombra el ángulo o cualidad que hace cierta cadafirmación.

a. AFB es suplementario con ____________.b. CFD es complementario con ____________.c. DFE es un ángulo ____________.d. BFD es consecutivo con ___________.e. CFE es un ángulo ___________.f. DFE es suplementario con ___________.g. BFE es un ángulo ___________.h. AFE es un ángulo ____________.i. DFE es complementario con ____________. j. AFC es un ángulo ______________.k. AFB es adyacente con _______________.

2. Analiza la grafica siguiente:Identifica en la grafica:

a. 3 ángulos agudos.b. 3 ángulos obtusos.c. 3 ángulos rectos.d. 3 ángulos llanos.e. 3 ángulos giro o vuelta.f. Nombra 2 parejas de ángulos que sean opuestos por

vértice.g. Nombra 2 parejas de ángulos que sean consecutivos.h. Nombra 2 parejas de ángulos que sean adyacentes.i. Nombra 2 ángulos complementarios. j. Nombra 2 ángulos suplementarios.

3. Argumenta y explica:a. La diferencia que hay entre ángulos consecutivos y ángulos adyacentes.b. Si el ABC 30o y el DEF 60o. ¿el ABC es complemento del DEF? ¿Por qué?c. Si el ABC 50o y el DEF 130o. ¿el ABC es suplemento del DEF? ¿Por qué?

d. Si la suma de 3 ángulos es igual a 180o

. ¿Puede decirse que son suplementarios? ¿Por qué?

4. Halla el complemento de:a. 40o b. 70o c. 90o d. 23o e. 67o

5. Halla el suplemento de:a. 35o b. 98o c. 180o d. 129o f. 87o

6. Halla el ángulo complementario a un ángulo de 45.7o.

ACTIVIDAD








Las celdas de un panal de abejas, la malla que rodea un campo de fútbol, algunas señales de tránsitlas baldosas del piso de la casa, etc., son ejemplos de figuras geométricas que identificamofácilmente en cualquier parte.

Describe otras situaciones donde se identifiquen figuras geométricas y dibújalas.

Un polígono es la unión de segmentos de rectas que se juntan solo en sus extremos, de tmanera que: Dos segmentos se encuentran únicamente en un punto llamado vértice. Cada segmento toca exactamente a otros dos.

POLÍGONOS REGULARES:Son aquellos polígonos que tienen sus lados y ángulos interiores iguales.

Los polígonos reciben nombres especiales de acuerdo con el número de lados que poseen.NÚMERO DE LADOS NOMBRE FIGURA

3 Triángulo

4 Cuadrado

5 Pentágono

6 Hexágono

LECCIÓN 4: POLÍGONOS

¿Para quésirve?

Para reconocer los distintospolígonos en patrones de lanaturaleza.



7 Heptágono

8 Octágono

¿Qué nombre tienen los polígonos de 9, 10, 11 y 12 lados?DIAGONALES DE UN POLÍGONO:La diagonal es un segmento de recta que une dos vértices no consecutivos del mismo.Ejemplo:

BD es una diagonal del polígono.

CUADRILÁTEROS:Es una figura cerrada, compuesta por 4 segmentos que se intersecan sólo en sus extremos.Los cuadriláteros se pueden clasificar de acuerdo con su forma así:

Nombre Definición Figura

TrapecioEs un cuadrilátero que tiene exactamente dos ladosparalelos.

ParalelogramoEs un cuadrilátero que tiene sus lados opuestosparalelos

RectánguloEs un paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos

rectos.

RomboEs un paralelogramo que tiene sus cuatro lados de iguallongitud

CuadradoEs un rectángulo que tiene sus cuatro lados de iguallongitud.

TRIÁNGULOS:Es una figura cerrada de tres segmentos que se intersecan solo en sus extremos.

Clasificación de los Triángulos:Los triángulos se pueden clasificar según:

Realicemos la siguiente actividad:Con ayuda de una regla, dibuja un triángulo, un cuadrado, un paralelogramo, unrectángulo, un pentágono y un hexágono. Luego trazas sus diagonales (si esposible) y menciona cuantas diagonales tiene cada uno.

Con ayuda de tu profesor de informática dibuja en el computador todas lospolígonos que aparecen en esta guía.



La longitud de sus lados. La medida de sus ángulos internos.

1. Triángulos según la longitud de sus lados.a. Equilátero: Son los triángulos cuyos lados tiene igual longitud. En el triángulo equilátero sus tres ángulos interiores tienen iguales medidas. b. Isósceles: Son los triángulos que tienen dos lados de igual longitud. Si un triángulo es isósceles, entonces los dos ángulos interiores que se oponen a los lados igualetienen igual medida.c. Escaleno: Son los triángulos donde las longitudes de sus tres lados son diferentes. En un triángulo escaleno la medida de sus ángulos interiores son diferentes.

______________________ _____________________ ___________________

_____________________ _____________________ __________________

2. Triángulos según la medida de sus ángulos interiores.a. Acutángulos: Son los triángulos que tienen sus tres ángulos interiores agudos. b. Obtusángulos: Son los triángulos que tienen un ángulo interior obtuso. c. Rectángulo: Son los triángulos que tienen un ángulo interior recto.

______________________ _____________________ ___________________

Con ayuda de una regla y un trasportador mide los lados y los ángulos de lossi uientes trián ulos determina si son e uiláteros, isósceles o escaleno.

Con ayuda de un trasportador mide los ángulos de los siguientes triángulos ydetermina si son acután ulo, obtusán ulo o rectán ulo.



_____________________ _____________________ __________________

PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO:Dada una figura geométrica, el perímetro de esa figura es igual a la suma de las medidas dsus lados.Ejemplo.Supongamos que las siguientes figuras tienen las medidas dadas.

a.

p=_____+_____+______ p=_____

b.

p=_____+_____+______+_____ p=_____

c.p=_____+_____+______+_____+

_____ p=_____

d.

p=_____+_____+______+_____ p=_____

e.

p=

¿Cómo se denotan lostrián ulos en eometría?

Para denotar los triángulos, primerodebemos nombrar los vértices conletras mayúsculas. Por ejemplo:

Luego lonombramos así:∆ABC y se lee:El triángulo ABC.

Cuando se trata de un polígonoregular como en el ejercicio a y b,en el polígono solo se escribe lamedida de un lado por que se sabeue los otros lados miden lo mismo.



1. Dibuja un rectángulo. Une con un segmento de recta dos vértices opuestos.A. ¿En cuántas figuras queda dividido el rectángulo?B. ¿Qué formas tienen esas figuras?C. ¿Cómo se pueden clasificar?

2. Construye un triángulo cuyos lados midan 8cm, 8cm y 6cm.A. Asígnale un nombre a cada vértice.B. Mide cada uno de los ángulos internos del triángulo y escribe estos valores en tu cuadernoC. De acuerdo con el valor de los ángulos, clasifica el triángulo.D. Calcula el perímetro.

3. Observa la figura e identifica los triángulos acutángulos, rectángulos, obtusángulos, equiláteroisósceles o escálenos, y llena la siguiente tabla:

Supongamos que las medidas de los lados solos siguientes: AB =3cm BD=6cm AC =7,65cmCD =3,7cmCE =5,23cm ED=3,7cm AD =6,7cm AE =3cm BE =3cm

Características

Triángulo Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Equilátero Isósceles Escaleno

ΔABE ΔABD ΔACD ΔECD ΔBED ΔACE

4. Analiza la siguiente gráfica y responde:a. ¿A qué clase de triángulos pertenecen OPQ y ORS?b. ¿Cuál es el perímetro del triángulo OPQ?c. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ORS?

ACTIVIDAD








Área o superficie, es la parte del plano cuya extensión es limitada y se expresa en ddimensiones: largo y ancho.ÁREA DE ALGUNAS FIGURAS BÁSICAS:

NOMBRE FIGURA ÁREA LONGITUDES

Triángulo2

.hb b=base

h=altura

Cuadrado l2 l=lado

Rectángulo b.h b=baseh=altura

Paralelogramo b.hb=base

h=altura

Trapecio hb B

.2

B=base mayorb=base menor

h=altura

Rombo2

*d D D=diagonal mayor

d=diagonal menor

Polígono Regular2

*a p p=perímetro=n.l

a=apotema

LECCIÓN 5: ÁREA DE FIGURAS PLANAS

¿Para quésirve?

Para distinguir y comparar elárea de distintassuperficies.



Círculo r2 r=radio

Ejemplo:Determina el valor del área de las siguientes figuras:

a.

h=6

b=5

2

.hb A

2

__.__ A

b. b=5

h=8

B=14

hb B

A .2

___.2

______ A

c.

a=5

l=7

El polígono regular tiene6 lados por tanto el

perímetro es:P=(___).(___)

2

.a p A

2

__.__ A

d.

A=(___).(___)=

b=9h=6

1. Determina el valor del área de las siguientes figuras:

a. b=6

h=12

B=10

a.

h=8

b=13

c. l=9

d. D=15d=8

e.b=13h=10

f. a=7 l=5

2. Determina el área y dibuja las figuras teniendo en cuanta los siguientes datos:a. Un trapecio cuya base mayor mide 17, la base menor mide 13 y la altura mide 8.b. Un pentágono cuyo apotema mide 10 y uno de sus lados mide 9.c. Un paralelogramo cuya base mide 16 y la altura es de 12.d. Un triángulo de base igual a 18 y cuya altura es de 13.e. Un cuadrado de lado igual a 12.f. Un rombo de diagonal mayor igual a 10 y cuya diagonal mide 8.g. Un heptágono de lado igual a 8 y apotema igual 7.

ACTIVIDAD

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