Probabilidades

ProbabilidadesLic. Gerald Cuzcano OrtizConocimientos previosExperimento AleatorioEs todo proceso que consiste en la ejecucin de un acto una o mas veces, cuyo resultado en cada prueba depende del azar y en consecuencia no se puede predecir con certeza.

Ejemplos:Lanzar un dado y observar el resultado.

Lanzar una moneda y observar el resultado.

Extraer un objeto de una caja donde hay varios de ellos para averiguar si es defectuoso o no.

Conocimientos previosEspacio MuestralEs el conjunto que contiene todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, se denota por .Cada elemento del espacio muestral se denomina punto muestral. Experimento AleatorioEspacio muestralLanzar un dado y observar el resultado = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Lanzar una moneda y anotar un resultado = {cara, cruz}Sacar un objeto de una caja para averiguar si esta defectuoso. = {defectuoso, no defectuoso}Conocimientos previosEjemplos: Determinar en cada caso el espacio muestral.

Al tirar dos dados y anotar la suma de puntos obtenidos.Lanzar un dado y una moneda a la vez, y observar ambos resultados.Extraer una bola tantas veces como sea necesario hasta que aparezca una roja de una urna que contienen 3 bolas roja, azul y blanca. En cada ensayo estn las tres bolas. Medir el tiempo de vida til de un foco.De acuerdo con el nmero de elementos los espacios se clasifican en :Discretos finitosDiscretos infinitoscontinuosConocimientos previosEventosEs cualquier subconjuntos del espacio muestral.Ejemplo:Consideremos el caso de una ruleta con 4 zonas.

El espacio muestral ser: ={1, 2, 3, 4}Los eventos correspondientes sern:. Evento imposible o vaco{1}, {2}, {3},{4} .. Evento elemental o unitario{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4} ......... Evento Compuesto{1,2,3,4}. Evento universal

Conocimientos previosPodemos combinar eventos para formar nuevos eventos, utilizando diferentes operaciones entre conjuntos.

A U B el evento ocurre si y solo si ocurre A o B o ambos a la vez.A B el evento ocurre si y solo si A y B ocurren simultneamente.AC (Complemento de A o contrario de A) es el evento que ocurre si y solo si no ocurre A. Ejemplo:Lncese un dado y obsrvese el numero que aparece en la cara superior. Determine:El espacio muestral.El evento A de obtener un numero par.El evento B de obtener un numero impar.El evento C de obtener un numero primo.A U CB CCcConocimientos previosEventos incompatibles Se denomina as a dos eventos que no pueden ocurrir simultneamente , para ello deben carecer de elementos comunes.

Consideremos el caso de una ruleta, son incompatibles

Los sucesos elementalesSea A={1,3}; Ac={2,4} son sucesos contrarios Adems, para que dos eventos sean incompatibles la unin de ellos debe dar el espacio muestral.

Conocimientos previosAplicacin Frecuencial

Situacin:

En un cubo se han pintado tres caras de color rojo, dos de color azul, y se ha dejado una de color blanco. Lanzamos el cubo y observamos el color que queda en la parte superior del cubo. Cuntas veces saldr cada color? Cul ser su frecuencia relativa? Conocimientos previosAplicacin Frecuencial

Solucin

Si los lanzamientos se repiten muchas veces se obtendr que la car roja saldr la mitad de veces que se lanzo el cubo, la cara azul la tercera parte y la car blanca la sexta parte del nmero de veces que se lanzo el cubo.Rojo .. 1/2Azul .. 1/3Blanco .. 1/6Conocimientos previosAplicacin Frecuencial

Situacin:En una urna hay 2 bolas rojas, 2 azul y 1 blanca. Suponiendo que cada extraccin estn siempre todas las bolas. Cuntas veces saldr cada color? Cual ser la frecuencia relativa? Rojo .. 2/5Azul .. 2/5Blanco .. 1/5ProbabilidadEjemplos

Si E es un evento en un espacio muestral finito, no vaco, de resultados igualmente probables, entonces la probabilidad del evento E es:

ProbabilidadEjemplos:

Al lanzar un dado, determine la probabilidad de obtener: (a) un numero par, (b) un numero impar y (c) un numero primo.Al lanzar dos dados, determine la probabilidad de que la puntuacin obtenida sea: (a) cuatro, (b) seis y (c) un mltiplo de 3. Al lanzar dos dados, determine la probabilidad de obtener: (a) cuatro, (b) seis y (c) un mltiplo de 3.

ProbabilidadAxiomas de probabilidad:0P(A)1, para cualquier evento A.P()=1Si A y B son dos eventos incompatibles: P(AUB)=P(A)+P(B)Teorema 1: Dado un evento que no ocurre entonces P()=0.Teorema 2: Dado un evento A, entonces: P(AC)=1-P(A).Teorema 3: Dados dos eventos A y B, entonces P(A-B)=P(A)-P(AB).Teorema 4: Dados dos eventos A y B, entonces: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)ProbabilidadSituacin:Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es 2/5 y la probabilidad de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los dos premios es , calcule la probabilidad. de ganar solo uno de los dos premios.de no de ganar los 2 premios. ProbabilidadSolucin:P(A)=2/5, P(B)=3/8 y P(AUB)=3/4

La probabilidad de ganar solo uno de los premios es el numero.

La probabilidad de no ganar los 2 premios es

ProbabilidadProbabilidad UniformeSon aquellas experiencias aleatorias, donde todos los resultados tiene la misma frecuencia relativa esperada, por ejemplo los eventos elementales son equiprobables.En general: si el espacio muestral tiene n elementos, la probabilidad uniforme de cualquier evento elemental ser 1/n y la probabilidad de un evento que conste de m resultados , ser m/n

Ejemplo: Si tiramos un dado, cada resultado posible tiene el mismo peso, 1/6.ProbabilidadEn el ejemplo del lanzamiento del cubo, el conjunto de resultados posibles es ={rojo, azul, blanco}. Numero de resultados en es 6 (nmero de caras del cubo) y numero de resultados del evento que salga rojo (3 caras), azul (2 caras), y blanco (1 cara)

ProbabilidadEjemplo1. De acuerdo a la ruleta del grafico Cul es la probabilidad de cada evento elemental?Cul es la probabilidad de obtener en dicha ruleta un numero par?Cul es la probabilidad de obtener un mltiplo d tres?

2. Calcula la probabilidad de sacar un As de una baraja en una sola extraccin.

ProbabilidadProbabilidad de experiencias compuestas

Son aquellas experiencias aleatorias, donde interviene dos o mas eventos los cuales pueden o no ser independientes entre si. En nuestro caso nos limitaremos a eventos independientes entre si. ProbabilidadSituacin

Efectuamos la siguiente experiencia compuesta: Lanzar una moneda y hacer girar una ruleta. Cules son los resultados posibles en la experiencia compuesta?

Solucin: representacin de eventos

ProbabilidadSolucin: construyendo diagrama del rbol

={(cara, a); (cara, b); (cara, c); (cruz, a); (cruz, b); (cruz, c)}