PROBABILIDAD

LIC. EMMA YENDIS

EXPERIMENTO ALEATORIO, ESPACIO MUESTRAL Y SUCESO

Experimento aleatorio: Es una acción o proceso que puede tener

distintos resultados posibles, y cuyo resultado no se conoce hasta que no se lleva a cabo.

Ejemplos:

tirar una moneda

tirar un dado

medir la cantidad de milímetros de lluvia caídos

elegir un número al azar

Espacio muestral: El conjunto de todos los posibles resultados de un

experimento aleatorio se llama espacio de la muestra del experimento. La muestra es el espacio denominado S.

Ejemplos:

Si el experimento consiste en arrojar un dado y observar el número que sale, el espacio muestral es: S = {1,2,3,4,5,6}

Si el experimento consiste en tomar un libro al azar de la biblioteca y ver con qué letra empieza el título, el espacio muestral es: S = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z}

Si el experimento consiste en tirar una moneda y ver qué sale, el

espacio muestral es: S = {cara, sello}

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Suceso o Evento: Es un subconjunto del espacio muestral.

Ejemplos: En el experimento de arrojar un dado y ver qué sale, el espacio

muestral es: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Cualquier subconjunto de S es un suceso, por lo tanto ejemplos de sucesos de este experimento pueden ser:

{1}

{6}

{3, 4}

{4, 5, 6}

{1, 3, 5}

{2, 4, 6}

Un evento que no

puede ocurrir se

conoce como "suceso

nulo", "suceso falso" o

"suceso

imposible". Además

de la notación {} se

puede usar la

alternativa .

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TEORÍA DE CONJUNTOS (Operaciones entre eventos: Unión, intersección, complemento, eventos mutuamente excluyentes, diferencia, diferencia simétrica.)

1) Intersección de sucesos: Dados A y B dos sucesos, A B es el suceso que ocurre cuando ocurren simultáneamente A y B. Se puede llamar "A intersección B" o bien "A y B". S

Con lo cual queda:

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4, 5, 6}

A B = {3}

2) Sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes: Son los sucesos cuya

intersección es nula. Dados los sucesos A y B, son disjuntos <=> A B = . S Con lo cual queda:

A = {1, 2} B = {5, 6}

A B =

Como A y B tienen intersección nula, no pueden suceder simultáneamente.

Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los sucesos: A: que salga menos de 4 B: que salga más de 2

Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los sucesos: A: que salga 1 ó 2 B: que salga más de 4

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3) Unión de sucesos: Dados A y B dos sucesos, A B es el suceso que ocurre cuando ocurre A, B, o los dos simultáneamente. Se puede llamar "A unión B" o bien "A ó B".

S

Con lo cual queda: A = {1, 2, 3}

B = {2, 6}

A B = {1, 2, 3, 6}

4) Complemento de los sucesos: Dado un suceso A, su "complemento" es el suceso que ocurre si y sólo si NO ocurre A (y A ocurre si y sólo si no ocurre

el complemento de A). El complemento de A se escribe AC o bien A y se

llama "complemento de A" S

S = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}

A = {sale 4}

AC = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 5, sale 6}

Ejemplo: Se tira un dado, y se definen los sucesos: A: que salga menos de 4 B: que salga 2 ó 6

Ejemplo:

Se arroja un dado, y el suceso A es que salga

un 4, entonces el suceso AC es que no salga

un 4 o bien que salga 1, 2, 3, 5 ó 6.

Expresados como conjuntos quedan:

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Problema típico Se lanza un dado y se espera obtener un 3. ¿Cuál es el experimento? ¿Cuál es el espacio muestral? ¿Cuál es el suceso? Resolución:

Lanzar el dado es el experimento El espacio muestral es S= {1,2,3,4,5,6} El suceso es que se pueda obtener un 3, es decir A={3}

A AC = S, es decir, la unión de A y AC

forma S. Esto es lógico: O llueve o no

llueve. No hay ninguna otra posibilidad.

A AC

= . Un suceso y su

complemento son disjuntos, porque no

pueden ocurrir al mismo tiempo. No

puede "llover" y "no llover" al mismo

tiempo.

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Otro Problema Clásico Se lanzan una moneda 3 veces y se espera que salga cara en dos de los intentos ¿Cuál es el experimento? ¿Cuál es el Espacio Muestral? ¿Cuál es el suceso? Resolución:

El experimento es lanzar la moneda 3 veces. El espacio muestral puede visualizarse mejor con un diagrama de árbol

como el que sigue: S

Finalmente los sucesos (que salga 2 veces caras) son:

A={ CCC,CCS,CSC,SCC}

S

CC

S

SC

S

C

CC

S

SC

S Es decir,

S={CCC,CCS,CSC,CSS,SCC,SCS,SSC,SSS}

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Introducción

¿Qué es la probabilidad?

La probabilidad expresa el grado de certeza de que ocurrirá un

determinado suceso al hacer un determinado experimento

aleatorio.

Cuanto más alta es la probabilidad de un suceso, mayor es el

grado de certeza de que ocurrirá al hacer el experimento

aleatorio.

Dado un suceso A, escribimos su probabilidad como P(A).

Definición axiomática de probabilidad.

La definición axiomática consta de los siguientes tres axiomas:

Axioma 1: P(A) 0

"La probabilidad no puede ser negativa"

Axioma 2: P(S) = 1

"La probabilidad del espacio muestral es uno"

Axioma 3: A B = <=> P(A B) = P(A) + P(B)

"Dos sucesos son disjuntos si y sólo si la probabilidad de su unión es

la suma de sus probabilidades".

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De los tres axiomas, se deducen casi inmediatamente cuatro

consecuencias:

Consecuencia 1: P(A) 1

"La probabilidad tampoco puede ser mayor que uno"

Consecuencia 2: P(A) + P(AC) = 1

"Las probabilidades de dos sucesos complementarios suman uno"

Consecuencia 3: P( ) = 0

"La probabilidad de un suceso imposible es cero"

Consecuencia 4: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus

probabilidades menos la probabilidad de la intersección.