Probabilidad en Word

7/17/2019 Probabilidad en Word

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Definición de estadística

Es un conjunto de métodos que nos permiten describir de manera tabular, gráficay usando cantidades de resumen, un conjunto de información sobre variable de

estudioCIENCIA ! "EC#$EC%A" ! &"#CE'A" ! &"E'EN%A" ! ANA$I(A" !

A)*+A A $A %#A +E +ECI'I#NE'-

ESTADISTICA INFERENCIAL: es un conjunto de técnicas que basadas en lateor.a de probabilidad y la teor.a del muestreo, permite dar conclusiones sobre unacaracter.stica de la población basándose en una muestra, la cual facilita la tomade decisiones en situaciones donde está presente la incertidumbre-

Tipos de variable

de acuerdo al tipo de escala de una variable las misma pueden clasificarse en dostipos/

A0 variable cualitativa10 variable cuantitativa

variable cualitativa: esta se divide en

Discretas: son aquellas que podemos asociar con el conjunto de los n2merosentero, otra manera, es que entre dos valores sucesivos de la variable e3istenfinitos valores-

Continua: son aquellas que podemos asociar con el conjunto de los n2merosreales, otra manera, es que entre dos valores sucesivos de la variable e3isteninfinitos valores-

niverso: 'e denomina *niverso estad.stico a un conjunto, finito o infinito de seres vivos,elementos o cosas, sobre los cuales están definidas caracter.sticas que interesaanali4ar- 'e 5abla de universo de personas, fabricas, r.os, familias, automóviles,etc---

!oblación:'e llama población estad.stica a la colección de todas las posibles mediciones quepueden 5acerse de una caracter.stica en estudio- #bserve que una población va aestar constituidas por datos o valores-'e 5abla de la población de estaturas, ingresos, opiniones etc--- A población puedeser finita o infinita de acuerdo al n2mero de datos o valores que lo integran-

"uestra:



una muestra es una parte o porción de una población pueden seleccionarsediferentes muestras-

E#e$plo de Estadística clasificación: niverso% !oblación & $uestra/60 se desea reali4ar un estudio acerca de la estructura por ed ades de los

5abitantes de una ciudad-• caracter.stica principal en estudio/ la edad-

• *niverso/ %odos los 5abitantes de la ciudad-

• &oblación/ %odas las edades individuales de cada uno de los 5abitantes dela ciudad-

• muestra/ las edades correspondientes a los 5abitantes de un barrio osector de la ciudad-

70 se desea investigar sobre el tama8o promedio y el tama8o más com2n de lasfincas agropecuarias de un pa.s-

Caracter.stica principal en estudio/ e3tensión o tama8o de la finca-*niverso/ %odas las fincas agropecuarias que e3isten en el pa.s-&oblación/ los tama8os o superficies de cada una de las fincas que constituyen el*niverso-uestra/ los tama8os de las fincas que se encuentran en una regia determinadadel pa.s-

90 se requiere Evaluar las reservas madereras de una e3tensa región boscosa-

Caracter.stica en estudio/ Cantidad de manera de un árbol e3presada como unvolumen-*niverso/ %odos los árboles que constituyen el bosque-&oblación/ $os vol2menes de madera de cada uno de los árboles que integran elbosque- uestra/ los vol2menes de madera de los arboles contenidos en 6: metroscuadrados de esa región boscosa-

La estadística en el proceso de investi'ación

En general en cualquier investigación siempre se distinguen, de una u otramanera, las siguientes fases o etapas/

i0 &lanificación de la investigaciónii0 "ecolección de la información



iii0 &rocesamiento y presentación de la informacióniv0 Análisisv0 "esultados

Estas etapas, as. como las actividades comprendidas en cada una de ellas, no

representan un esquema r.gido que sea necesario cumplir siempre-(b#etivo de la estadística

*sualmente los análisis estad.sticos se reali4an en base a muestrasseleccionadas de poblaciones de interés, sin embargo, el interés del investigador esta n toda la población y no en la peque8a parte que selecciona de ella- Estocrea la necesidad de generali4ar a la población los resultados obtenidos en baseal análisis de la muestra, siendo este un proceso en el cual 5ay impl.cito unelemento de riesgo o error por cuanto se obtienen conclusiones sobre un todo enbase a una parte de él-

El objetivo fundamental de la estad.stica es generali4ar o inferir a una poblaciónlos resultados provenientes de una muestra esta in5erencia van acompa8adas deuna cuantificación del error o incertidumbre bajo la cual se reali4a-

!robabilidad

E)peri$ento aleatorio/ un e3perimento aleatorio es aquel e3perimento quesatisface los siguientes requerimientos/

6- puede repetirse un n2mero ilimitados de veces bajo las mismascondiciones-

7- es posible conocer por adelantado todos los posibles resultados a quepuede dar origen-

9- No puede predecirse con e3actitud el resultado en una reali4aciónparticular de ese e3perimento-

!robabilidad/ la probabilidad son n2meros que reflejan la posibilidad deocurrencia de 5ec5os o sucesos- Ejemplo a un suceso muy probable o altamenteprobable es aquel que se considera muy ocurrente o viable y le corresponder.auna probabilidad muy alta, mientras algo poco probable, es algo que no se esperaque ocurra y en consecuencia le corresponder.a una probabilidad muy baja-

En una definición más formal es medir el grado de certidumbre que e3iste sobre elresultado de un e3perimento, evaluado entre : y 6-$a probabilidad se mide entre : ;probabilidad del'uceso imposible0 y 6 o 6::< ;probabilidad del'uceso seguro0-



Espacio "uestra:

Es el conjunto de todos los posibles resultados de un e3perimento y se representacon la letra =

EjemploEl lan4amiento de un dado-= >6, 7, 9, ?, @,,B

$an4ar una moneda= >cara, selloB

El género de un ni8o recién nacido

= >, B

E)peri$entos deter$inístico/

En contraposición a los e3perimentos aleatorios, e3isten los e3perimentos ofenómenos determin.stico, los cuales se caracteri4an porque cada ve4 que sereali4an bajo condiciones similares, producen el mismo resultado, estos

fenómenos no son de interés para estudiarlo-

Teoría de con#unto

*n conjunto es cualquier colección de objetos, entes o cantidades- A cada objetoconstitutivo de un conjunto se le llama elemento de ese conjunto

Ejemplo/ al conjunto de n2meros naturales se e3presa como/

N >:, 6, 7, 9,?-----B

Al conjunto de n2meros enteros se e3presa como/( >---,D?,D9,D7,D6, :, 6, 7, 9,?----B

&"#1A1I$I+A+/



(peración sobre eventos:

nión/ se representa con el s.mbolo *

$a unión entre dos conjuntos A y 1, de define como los elementos que están en A,

o están en 1, se representa por ;A*10

Intersección: se representa con el s.mbolo

'e define como los elementos que están en A y en 1 ;A10

Co$ple$entoEl complemento de un evento A se define como todos los elementos de = que noestán en A- se representa como Ac , AD

Diferencia:

$a diferencia entre 7 conjuntos A y 1, define como los elementos de A que noestán en 1, se representa como AD1, AF1

Ejemplo= >6,7,9,?,@,,G,H,B

A>6,7,9,,HB 1>7,@,?,,GB

Jallar/ i0 A*1 ii0 A1

i0 A*1>6,7,9,?,@,,G,H,B =

ii0 A1 >7B

tipos de eventos :

Eventos $utua$ente e)clu&ente *"+E,/ los cuales A y 1 son -E sino tienenpuntos muéstrales en com2n-

Eventos independientes: los eventos A y 1 son independientes si la ocurrenciade a no afecta la ocurrencia de 1

E#e$plo de probabilidades+

& ;A*10 &;A0 K & ;10 D & ;A10



A/ aprobar matemática1/ aprobar estad.stica

&;A0:-9 & ;10 :-? & ;A10 :-67@

a0 Lcuál es la probabilidad de aprobar al menos una de las dos materias Mb0 LCuál es la probabilidad de aprobar e3actamente una materia Mc0 Lcuál es la probabilidad de reprobar las dos materiasM

"eps/

a0 & ;A*10 &;A0 K & ;10 D & ;A10 :-9 K :-? D:-67@ :-@G

"eps/ b0 & ;aprobar e3actamente una materia0

& ;A*10 D & ;A10 :-@G D :-67@:-??

"eps c0 & ;A*10 c 6 & ;A*10 6 :-@G :-?9

E#ercicios Resueltos de probabilidad (peración Sobre Eventos60 $a probabilidad de que un solo lan4amiento de un dado i0 el resultado sea impar ii0 el resultado sea un n2mero menor que @- A/ impar 1/ n2mero menor que @&;A0 9O

& ;10 & ;60K & ;70K & ;90K & ;?0 6 O K 6O K 6O K 6O ?O 7 O9

-, 'e lan4a un dado la probabilidad de que resulten 9 o M = >6, 7, 9, ?, @,B & ;si0 donde i6,-- es 6 entonces la probabilidad de que salga 9 o se escribe como 9 * por lo tanto5allar &;9*0se puede notar que los eventos A y 1 son Independiente entonces &;A10:



&;9*0&;90K&;0 6O K 6O 6O 9

INDE!ENDENCIA DE E.ENT(S

+ado 7 eventos A y 1, la ocurrencia o no ocurrencia del evento 1 no afecta paranada la probabilidad de ocurrencia del evento A, cuando esto sucede se dice queel evento A y 1 son Independientes-&robabilidad condicional

+ado dos ;70 eventos A y 1, la probabilidad condicional se denota como laprobabilidad de A dado 1, &;AO10, O1 significa que ya ocurrió 1 y es una medida dela probabilidad de ocurrencia de A dado que el evento 1 ocurrió previamente-

ormula &;AO10 & ;A10 O& ;10

re'la $ultiplicativa

& ;A10 &;A0- & ;1OA0

& ;A1C0&;COA10- & ;A10

EPE&$#/una caja con metras/

@ metras blancas-9 metras negras-7 metras rojas- 'e e3trae una a una 9 metras sin reempla4o

L5allar la probabilidad de obtener 7 metras rojaM "rojo

& ;6"0 7 O6:& ;7"O6"0 & ;6"7"0 O & ;6"0& ;6"7"0 & ;6"0- & ;7"O6"0 7 O6: 3 6 O 7O:

L&robabilidad de que la segunda metras sea rojaM & ;7"0M

&;7"0Q ;617"0*; 6N7" 0*;6"7"0 R

&;7"0 &;617"0K &;6N7"0K &;6"7"0



&;7"0 &;610- & ;7"O610 K & ;6N0- & ;7"O6N0K & ;6"0- & ;7"O6"0& ;7"0 ;@O6:- 7O6:0 K ;9O6:- 7O6:0 K ;7O6:- 6O0

& ;7"0 6:O: K O: K 7O:

&;7"0 6HO: O?@#-7

E#ercicios Resueltos !robabilidad Condicional

60 se presentan los trabajadores de una industria, clasificación seg2n el cargo y else3o-

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

Jombres ujeres %otales

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

#breros H: 669 69

Empleados 9: 6G ?G

+irectores ? 6:

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

%otales 66? 69 7@:

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD

El due8o de la empresa desea otorga un premio estimulo especial y para ellodecide seleccionar al al4ar uno de los trabajadores-

https://www.blogger.com/null

https://www.blogger.com/null



Consideremos los Eventos

A/ ser Empleado

1/ ser mujer

Asumiendo equiprobable en la sección de las personas, las probabilidades A y 1son/

& ;A0?G O7@: :-6HH & ;10 69 O7@: :-@??

&;A0 es la probabilidad de que sea empleado, & ;10 es la probabilidad de que seamujer, a5ora calcular la probabilidad de que la persona sea empleada sabiendoque es mujer,

&;AO10 & ;A10 O& ;10 entonces &;A10 6G O7@: a5ora&;AO106GO7@: O 69O7@: :-67@

70 %engo 7 urnas, una con 7 bolas blancas y una negra y la otra con 9 bolasnegras y 7 blancas-

i0 cual es la probabilidad de que salga una bola blanca si salió de la urna 6M

'olución/

E6/ urna 6

E7/ urna 7

A/ salga una bola blanca

1/ salga una bola negra



&;AOE60 & ;AE60 O & ;E60

A5ora despejamos, & ;A E60 & ;E60T& ;AOE60

& ;E60 9O H

&;AOE607O 9 entonces & ;A E60 9O H T 7O 9 :,7@

90 *na urna con 6: bolas de las cuales son negras y ? blancas, se e3traen 7bolas aleatoriamenteM

i0 Cual es la probabilidad de que las 7 sean blancasM

ii0 cual es la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda sea negroM

iii0 cual es la &robabilidad de que los 7 sean negrosM

el espacio muestral seria, '>;1,10,;1,N0,;N,10,;N,N0Bi0 & ;17O160 & ;16170 & 160 entices & ;16 170 & ;160T& ;17O160

& ;160 ? O6: ? casos posibles de que salga blanco entre 6: bolas-

& ;17O160 9 como ya salió un blanco quedan 9, entre a5ora bolas

& ;16 170 ? O6: T 9 O :,699

ii0 & ;1N0 & ;10T& ;NO10

& ;10 ?O 6:&;NO10 O

& ;1N0?O 6: TO ?O 6@ :,7

Jallar &robabilidad- étodos de conteo

No es necesario especificar los elementos que integran el espacio muestral finitosino que basta con conocer el n2mero de elementos que 5ay en ellos y en loseventos de interés, para calcular las correspondientes probabilidades-

Re'la de "ultiplicación

'i un E3perimento consta de m etapas o pasos para reali4arse y la primera etapapuede cumplirse de U6 maneras posibles, la segunda etapa puede cumplirse en U7maneras posibles,- - - y la 2ltima etapa puede cumplirse en Um maneras posibles



entonces el e3perimento puede reali4arse de U6 3 U7 3 U93--- Um manerasdiferentes, es decir, puede dar origen a U6 3 U7 3 U9 3--- Um posibles resultados

"egla de multiplicación/ Ejemplo 6

*na prueba consta de tres preguntas del tipo verdaderoOfalso- +e cuantasmaneras diferentes puede responderse esta preguntaM

*tili4ando la regla de multiplicaciónm9, U67, U77, U99 se obtiene que la prueba puede responderse de 7 3 7 3 7 H maneras diferentes- $as H posibilidades son VVV VV VV VV V VV

!er$utaciones+ada una colección de U elementos diferentes, una permutación de esos

elementos es cualquier arreglo diferente que se puede obtener de ellosintercambiando su orden+

El n2mero de permutaciones que se pueden reali4ar con n elementos, denotadapor &n ,n es igual a nW

El n2mero de permutaciones que se pueden reali4ar con r elementos es &n,rnWO ;nXr0W

!robabilidad con !er$utaciones+

E#e$plo /:

El n2mero de diptongos posibles con vocales diferentes que se pueden encontraren la literatura castellana es- n@, r7!n%r0-1

!robabilidad con !er$utaciones+ E#e$plo -:

En las carreras de caballo el juego de trifecta consiste en acertar los ejemplaresque llegan en los tres primeros lugares de una carrera- 'i en una carreraparticipan 6? caballos, el n2mero de combinaciones que pueden elaborarse es/

n0/2 r03!n4 r0 6?WO ;6?X90W 76H?



uestreo Aleatorio Estratificado

+e una población de N elementos 6,7,---, N se divide en $ subpoblaciones 6,7,--,$donde cada subpoblación es un estrato- Cada estrato son los más 5omogéneosposible y los estratos son disjuntas la suma de cada estrato es igual al total de la

población-

Cada estrato tiene un tama8o de la población N6 es decir el total de la poblaciónseria la suma de la población de cada estrato N total elementos de la poblaciónes la suma de N6,N7,---,N$

Veamos un ejemplo/ la ciudad de érida ;población de estudio0 se quiereestratificar por clase social/ clase alta, media y baja- a5ora serian 9 estratos $9,el estrato 6 clase alta seria 6,7,9,,,,,N6 elementos pertenecientes a la clase alta,estrato 7 seria 6,7,9,----,N7 elementos de la población pertenecientes a la clasemedia y estrato 9 seria 6,7,9,---,N9 elementos de la población pertenecientes a laclase baja es decir de la población de medida ;N0 se divide en N6, N7 y N9elementos de la población donde la suma de los N6,--,N$ donde $9 es el total dela población-

$uego de tener la lista de pobladores de los 5abitantes de la ciudad en este caso odel objeto de estudio ;+ise8o uestral0 y definir la estratificación se producir.a a5allar los estimadores, calcular la muestra y la afijación de la muestra-

Vamos 5acer solo el caso del Estimador de la media Y Z

Afi#ación de la $uestra

Consiste en asignar el tama8o de la muestra ;n0 entre los diferentes estratos estoser.a n6,n7,---,n$ donde la suma es el tama8o de la muestra;n0 es decir al calcular el tama8o de la muestra ;n0 de la población este es repartido entre los diferentesestratos de manera uniforme, proporcional , m.nima varian4a o óptima-

Afi#ación nifor$e:Consiste en asignar a los estratos un mismo tama8o de muestra

$a Afijación uniforme es posible si el tama8o de los estratos es relativamente delmismo tama8o- Ejemplo si 5ay 9 estratos y el tama8o de la muestra de lapoblación dio n: a cada estrato le corresponder.a n69:, n79: y n99: secalcula como n5n O$ donde 56,7, --,$



Afi#ación !roporcionalConsiste en asignar a cada estrato un n2mero de unidades muéstralesproporcional a su tama8oa5ora, el n5N5TU donde Un ON-para encontrar un intervalo de confian4a a Y Z se necesita conocer la varian4a del

estimador Var; Y Z 0 ;6XU0O n [ $ i6 \5∗' ]7 donde Un ON y \5N5O N y56,7,-----,$ estratos

Afi#ación de $íni$a varian5a%ambién llamado Afijación de neyman consiste en 5allar el valor de n5 para un

tama8o de muestra fijo ;n0 la varian4a de los estimadores sea m.nima- n5 nTN5∗'5 O[ $ i6 N5∗'5

la varian4a del estimador de Y Z es

Var; Y Z0 [ $ i6 \5 7∗' 7 O NAfi#acion 6pti$a

'e determinar el valor n5 con varian4a minima y un costo fijo- Esta afijación es 2tilcuando se tiene limitaciones económicas en la recolección de la muestra-

n5 nTN5∗'5OC5 O ̂ [ $ i6 N5∗'5OC5 ^ C5

Ta$a7o de la $uestra Ta$a7o de la $uestra de un $uestreo estratificado: para un error demuestreo dado-

n [ $ i6 \5∗'5 7 O e 7 K6ON∗[ $ i6 \5∗'5 7

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