Embed Size (px)
Citation preview
Probabilidad y estadística
COLECCIÓN DGETI
93 sei|3 zantuew |aSuy |3nS¡w
pe'puiqeqojd
Primera edición, 2007
Márquez Elias, Miguel A.
Probabilidad y estadística / Miguel A. Márquez
Elias.-México : FCE, DGETI,2007
400 p.:ilus. ; 28x21 cm
Texto de educación media superior
ISBN 978-970-9730-25-8
1. Probabilidad - Estudio y enseñanza 2. Estadística
Estudio y enseñanza I.Ser.ll.t.
LC OA276 Dewey 372.7 M 3 34p
© D. R. Dirección General de Educación Tecnológica
Industrial, S E P .
Centeno 670, 4o piso, Col. Granjas México
CP. 08400, México, D.F.
Edición Departamento de Libros deTexto, F C E .
José Luis Acosta
Revisión técnica y corrección de estilo José Luis Acosta
Rodrigo Cambray Núñez
Diseño
José Luis Acosta
Formación
Eliud Monroy Gutiérrez
Sergio Bourguet Caldarella
Ilustración Abelardo Culebro Bahena
Guillermo Huerta González
ISBN 978-970-9730-25-8 Diseño de portada
Josefina Aguirre
Impreso en México
Presentación
Introducción
7
15
Estadística descriptiva 19
Propósito
Mapa de contenido
20
21
V A R I A B L E S Y R E P R E S E N T A C I O N E S 22
1.1.1 Variables 22
Tipos de variables, 23
1.1.2 Medición 25
Tipos de medición, 26
Errores en la medición, 28
Cifras significativas, 30
Error relativo, 32
Notación sistematizada, 33
Operaciones con medidas aproximadas, 34
1.1.3 Escalas de medición 36
Escalas de medición de cualidades, 37
Escalas de medición por magnitud, 38
1.1.4 Estadística 40
1.1.5 Población y muestra 44
Población, 45
Muestra, 50
1.1.6 Dato e información 56
Redondeo de cifras, 58
Error de redondeo, 61
1.1.7 Parámetro y estadístico
1.1.8 La variación y los problemas de la estadística descriptiva
inferencial
1.1.9 Posibilidad y evento
Actividades generales 1.1
D I S T R I B U C I O N E S D E F R E C U E N C I A S
1.2.1 Toma de datos
1.2.2 Datos agrupados
1.2.3 Tablas de frecuencias: clasificación de datos
1.2.4 Intervalo de clase
Límites reales de clase, 98
Tamaño del intervalo de clase, 99
Marca de clase, 100
1.2.5 Construcción de una distribución de frecuencias
1.2.6 Distribución de frecuencia relativa acumulada
1.2.7 Gráficos y contexto
Histograma de frecuencias y gráfico de espigas, 107
Polígono de frecuencias, 113
Ojiva menor que, 114
Sesgo y simetría, 119
1.2.8 Regularidad estadística
Actividades generales 1.2
M E D I D A S D E T E N D E N C I A C E N T R A L
1.3.1 Promedios
Media aritmética, 139
Media aritmética de datos agrupados, 144
La mediana, 146
La moda, 150
1.3.2 Propiedades de la media, la mediana y la moda
Presentación
La Dirección General de Educación Tecnológica Industrial, dependiente de la Sub
secretaría de Educación Media Superior, tiene como objetivo principal formar pro
fesionales que se integren en los mandos medios del mercado laboral, razón por la
cual se brinda una formación integral, dinámica y participativa que permita a nues
tros egresados contar con los conocimientos, habilidades, destrezas y valores acor
des a las necesidades del sector productivo del país.
Para lograr lo anterior, se deben tomar en cuenta los requerimientos académicos
que sustentan los planes y programas de estudio vigentes en la institución. Así,
surge la propuesta de la nueva generación de libros de texto, en la que se conjunta
la experiencia docente de los profesores de la D G E T I y una metodología autoins-
truccional, lo que da por resultado un material de apoyo para profesores y alum
nos, con el cual se pretende formar estudiantes autogestores de su propio proceso
de aprendizaje.
Por lo tanto, se invita a la comunidad educativa de la D G E T I a utilizar el libro de
texto con la convicción de que es el resultado del enorme esfuerzo, trabajo y dedi
cación de los autores, cuya finalidad es favorecer el proceso de aprendizaje en los
estudiantes al mismo tiempo que fortalecer la práctica educativa de los profesores,
y con ello contribuir al logro de los objetivos institucionales a favor de la población
que la conforma.
L i c . L U I S F . M E J Í A P I N A
Director General
1.3.3 Regresión lineal como promedio i 57
Aplicaciones de la regresión lineal, 159
Recta de regresión ajustada, 159
Actividades generales 1.3 161
1.4 M E D I D A S DE D I S P E R S I Ó N 175
1.4.1 Rango 177
1.4.2 Percentiles 179
Cuartiles, 180
Rango entre percentiles, 187
1.4.3 Desviación media 192
1.4.4 Varianza y desviación estándar 193
1.4.5 Precisiónyexactitud 197
1.4.6 Relación entre s y la simetría de una distribución
de frecuencias 199
1.4.7 Medida de asimetría 200
1.4.8 El análisis estadístico 202
Actividades generales 1.4 204
Actividades experimentales 1.4 220
Recapitulación Unidad 1 229
Actividades de confirmación de conocimientos 232
Autoevaluación 243
2 Probabilidad 251
Propósito 252
Mapa de contenido 253
2.1 C O N C E P T O S B Á S I C O S 254
2.1.1 Antecedentes históricos • 254
2.1.2 Fenómeno aleatorio 255
2.1.3 Espacio muestral 257
2.1.4 Eventos 259
Espacio de eventos, 262
2.1.5 Probabilidad de un evento 264
Definición clásica de la probabilidad de un evento, 265
Probabilidad frecuencial, 268
Probabilidad geométrica, 270
2.1.6 Teoría de conjuntos 273
2.1.7 Eventos excluyentes 275
2.1.8 Espacios muéstrales no equiprobables 278
2.1.9 Significado de la probabilidad de un evento extraída
de un modelo matemático 279
Actividades generales 2.1 281
Actividades experimentales 2.1 286
2.2 T É C N I C A S DE C O N T E O 294
2.2.1 El principio de multiplicación 294
Muestreo sin reemplazo, 295
Muestreo con reemplazo, 298
El principio de multiplicación, 300
2.2.2 Permutaciones 302
2. 2.3 Combinaciones 308
2.2.4 Teorema del binomio 311
Actividades generales 2.2 314
Actividades experimentales 2.2 319
2.3 P R O B A B I L I D A D A X I O M Á T I C A 323
2.3.1 Axiomas de la teoría de la probabilidad 323
Axiomas, 323
2.3.2 Probabilidad del evento complemento 324
2.3.3 Probabilidad del evento unión 326
Actividades generales 2.3 329
2.4 P R O B A B I L I D A D PARA E V E N T O S S U C E S I V O S 333
2.4.1 Probabilidad condicional 333
2.4.2 Teorema de Bayes 338
2.4.3 Eventos independientes 340
Actividades generales 2.4 345
Recapitulación Unidad 2 354
Actividades de confirmación de conocimientos 357
Autoevaluación 362
Actividades finales 369
Actividades de confirmación de conocimientos 369
Autoevaluación 379
Actividades de generalización 384
Glosario 389
Bibliografía 395
Introducción
En el siglo x x , la probabilidad y la estadística fueron dos de las
ramas de las matemáticas con mayor desarrollo y aplicaciones.
Sus métodos se utilizan en la actualidad prácticamente en todas
las ciencias y los negocios para interpretar datos numéricos que se
relacionan con fenómenos que presentan una gran variación, con
el fin de transmitir información y tomar decisiones.
La estadística provee herramientas para recolectar, organizar,
presentar, analizar, interpretar y obtener conclusiones de datos.
Existen tres ideas asociadas a la palabra "estadística". Una tiene
que ver con las cantidades numéricas que dan noticia de un even
to, como los porcentajes de personas con S I D A en el mundo; la se
gunda idea se relaciona con la descripción y el descubrimiento de
peculiaridades a partir de datos, y se asocia a la estadística des
criptiva; la tercera idea tiene que ver con la ciencia, cuyo objetivo
es extraer conclusiones probabilísticas de datos. En conjuntó, las
cuestiones relacionadas con las dos últimas abarcan desde el dise
ño de gráficos sencillos hasta modelos matemáticos que permiten
la descripción, la explicación, la predicción y el control de situacio
nes en que los datos varían ampliamente.
Este es un libro de texto y a la vez un cuaderno de trabajo para
estudiantes del nivel de bachillerato. Esto es, se ofrecen al estu
diante diferentes ayudas didácticas para trabajar directamente en
las páginas del libro. Ha sido escrito de manera formal y con un
estilo tutorial: las ideas vertidas se explican y se argumentan; cuan
do es necesario, algunas se demuestran. A lo largo del libro se in
cluyen ejercicios y actividades de aprendizaje para que el alumno
las resuelva trabajando con sus compañeros y adquiera así expe
riencia y conocimiento mediante diferentes ideas y situaciones
estadísticas y aleatorias que induzcan su pensamiento al descu
brimiento y uso de los conceptos elementales de la estadística
descriptiva y la probabilidad elemental. Conforme se avanza, las
actividades van incrementando su complejidad. Los datos general
mente son ficticios.
En la primera unidad del libro se desarrollan y aplican algunos
procedimientos numéricos tabulares y gráficos de la estadística
descriptiva, útiles para transformar y representar datos, así como
para descubrir características relevantes que no son evidentes en
ellos. Al resolver las actividades propuestas, el estudiante estará en
posición de precisar lo esencial de los conceptos estudiados más
allá de lo que es meramente evidente. Estas actividades se plantean
en forma de problemas con guía para su resolución. Es decir, el
planteamiento de un problema está seguido de preguntas estruc
turadas para facilitarle a los alumnos su avance hacia una solución
a la vez que realizan algunos descubrimientos elementales. Esto
permite culminar con problemas cuya resolución requiere la inte
gración de diversos conceptos.
La probabilidad constituye el tema de la segunda unidad. Esta
rama de las matemáticas construye modelos para explicar el com
portamiento de fenómenos aleatorios, que son utilizados como
descripciones matemáticas provisionales de tales fenómenos y se
construyen con suposiciones acerca de ellos para realizar anticipa
ciones. El tratamiento de las actividades es equivalente al de la pri
mera parte del texto: se usa la forma de resolución de problemas
con guía. En esta unidad el alumno explorará usando ideas y reglas
básicas de la probabilidad, incluyendo las de independencia y pro
babilidad condicional.
A lo largo de este libro de texto y cuaderno de trabajo se presen
tan alrededor de 90 ejercicios relacionados inmediata y directa
mente con el desarrollo de los temas tratados. Se incluyen además
175 actividades de aprendizaje útiles para consolidar la aprehen
sión de los conceptos. Generalmente, las actividades de fin de uni
dad y las que aparecen al final del texto son integradoras: requieren
del uso de varios conceptos para resolverlas; algunas de ellas se
presentan con sugerencias de resolución para que el alumno pueda
autoevaluarse. Se recomienda ante una duda al aplicar determina
do concepto, recurrir a estas actividades y estudiar su aplicación y
sus resultados. Una buena cantidad de situaciones experimentales
acompañan a las actividades. Estas situaciones ayudarán al alum
no a comprender cómo se aplican los conceptos que estudia y le
proveerán de información para contestar preguntas relevantes re
lacionadas con el fenómeno bajo estudio. Es imprescindible que
los alumnos las realicen para que profundicen en los significados
de las ideas.
Los ejemplos en la obra son elementos importantes que se han
incluido cuando son más relevantes. El alumno debe leerlos y estu
diarlos, al igual que los pasajes escritos en todo el libro. Las mate
máticas que no se leen no se llegan a comprender.
En la parte donde se estudia la estadística descriptiva se define
una cantidad significativa de situaciones con datos estadísticos
que no se aprovechan completamente en su momento, a causa de
que se plantean cuando el alumno todavía no posee un conoci
miento amplio de conceptos y procedimientos. El maestro puede
usar los datos de esas situaciones al tratar temas más avanzados.
I N T R O D U C C I Ó N
En el texto se destacan en letra itálica los conceptos más impor
tantes, que se definen casi inmediatamente y también al final en
un glosario. Pueden consultarse en cualquier momento para resol
ver dudas específicas sobre algún término.
La enseñanza de la estadística debe atender principalmente al
análisis y la interpretación de datos. El maestro debe procurar que
los alumnos entiendan los conceptos y les den sentido en la resolu
ción de una actividad de aprendizaje. Dejar la enseñanza de esta
materia en el mero cálculo la hace trivial. La creación de gráficos
permite la visualización y la posibilidad de describir y entender los
fenómenos que se plantean; su utilización se convierte en un me
dio heurístico que debe propiciarse. En consecuencia, en el texto,
sobre todo cuando es posible generalizar, se ha tratado de ejempli
ficar al respecto.
Deseo agradecer el apoyo recibido por la Dirección General de
Educación Tecnológica Industrial para la elaboración de este texto.
Mi más sincero agradecimiento a Ana Gema Moreno Rivera por el
aliciente de sus comentarios y a Eduardo Mayorga Rodríguez por
la revisión acuciosa del manuscrito original y las atinadas sugeren
cias que realizó para mejorar el texto. Cualquier consulta o comen
tario acerca de la obra se agradecerá; pueden enviarse al siguiente
domicilio electrónico: [email protected].
M I G U E L ÁNGEL M Á R Q U E Z E L Í A S
d
Variables y representaciones
Distribuciones de frecuencias
Medidas de tendencia central-
Medidas de dispersión'
Propósito
¿Qué aprenderás? a A identificar a la estadística como una ciencia aplicada. D A desarrollar procesos de investigación donde se generan datos estadísticos.
° A organizar datos numéricos por medio de la distribución de frecuencias y a re
presentarlos numérica y gráficamente.
° A analizar y entender la variación de los datos estadísticos y su interpretación
para obtener conclusiones.
¿Cómo lo lograrás? ° Desarrollando experimentos, actividades de investigación y ejercicios relaciona
dos con datos estadísticos. a Construyendo tablas de frecuencias y gráficos de datos numéricos.
° Redactando informes.
¿Para qué te va a servir? ° Para comprender y resolver problemas de diferentes ámbitos de la actividad hu
mana, donde los datos estadísticos numéricos requieren ser transformados en
información o conocimiento, como en la administración, la química, la física, la
ingeniería, la medicina y otras áreas de desarrollo humano.
Mapa de contenido
" " ^ « « r "
V A R I A B L E S Y
R E P R E S E N T A C I O N E S
/
V A R I A B L E S
/
M E D I C I Ó N
/
E S C A L A S D E M E D I C I Ó N
/
E S T A D Í S T I C A
/
P O B L A C I Ó N Y M U E S T R A
/
DATO E I N F O R M A C I Ó N
\
P A R Á M E T R O
Y E S T A D Í S T I C O
LA VARIACIÓN Y LOS
PROBLEMAS ESTADÍSTICOS
P O S I B I L I D A D Y E V E N T O
¡flpg
D I S T R I B U C I O N E S
D E F R E C U E N C I A S
/
T O M A D E DATOS
D A T O S A G R U P A D O S
T A B L A D E F R E C U E N C I A S :
C L A S I F I C A C I Ó N D E DATOS
C O N S T R U C C I Ó N D E U N A
T A B L A D E D I S T R I B U C I Ó N
D E F R E C U E N C I A S
/
G R Á F I C O S Y C O N T E X T O
\
HlSTOGRAMA DE
FRECUENCIAS
Y GRÁFICO DE ESPIGAS
P O L Í G O N O
D E F R E C U E N C I A S
O J I V A M E N O R Q U E
S E S G O Y S I M E T R Í A
M E D I D A S D E
T E N D E N C I A C E N T R A L
/
P R O M E D I O S
/
M E D I A A R I T M É T I C A
/
L A M E D I A N A
/
L A M O D A
/
P R O P I E D A D E S
DE LA M E D I A ,
LA M E D I A N A Y LA M O D A
R E G R E S I Ó N L I N E A L C O M O
P R O M E D I O
M E D I D A S
D E D I S P E R S I Ó N
R A N G O
P E R C E N T I L E S
/
C U A R T I L E S
/
R A N G O
E N T R E P E R C E N T I L E S
R A N G O
S E M I I N T E R C U A R T Í L I C O
D E S V I A C I Ó N M E D I A
VARIANZA Y DESVIACIÓN
ESTÁNDAR
R E L A C I Ó N E N T R E 'S'
Y LA S I M E T R Í A
D E U N A D I S T R I B U C I Ó N
D E F R E C U E N C I A S
/
M E D I D A D E A S I M E T R Í A
/
A N Á L I S I S E S T A D Í S T I C O
Variables y representaciones
1.1.1 | Variables
Lee y analiza los siguientes dos textos.
LTJ En la física, el tiempo que tarda un objeto para recorrer la distancia al ser arro
jado en caída libre con velocidad inicial v0 está dado por
donde y es la altura desde la cual se lanza, y g es la constante de la gravedad en
la Tierra. En un experimento, se lanzan por separado 10 piedras de 1 kg de peso
desde una altura de 100 m y se mide el tiempo que tarda en caer cada una.
[2] Una empresa de seguros quiere saber tanto la proporción de personas que vi
ven en 4 diferentes regiones del país, las cuales padecen una enfermedad de los
pulmones y fuman, como la medida en que lo hacen. Para ello, en varios hospi
tales de la república toman una muestra aleatoria de 950 individuos que pade
cen enfermedad de los pulmones. Los datos para la investigación los recaban
respondiendo lo siguiente acerca del paciente:
[a] Edad: I 1 años.
[Fj ¿Padece una enfermedad pulmonar?: [sT] [Ño]
[U ¿Fuma?: Rl W-
[ d ] Si fuma y padece de los pulmones, en promedio, ¿cuántos cigarrillos consumía al día?: | MÁS DE g~| | E N T R E 9 Y 4 I I MENOS DE 4 I
En los dos textos existe algo que se desea conocer, y que se refiere a características
de interés correspondientes a un fenómeno en estudio. Esas características pueden
medirse y, al hacerlo, toman diferentes valores. En el primer caso se observa y se
mide el tiempo que tarda en caer cada piedra. En el segundo, las características que
se estudian son varias: edad del paciente, si padece enfermedad de los pulmones, si
fuma y cuánto fuma. A estas características se les llama variables.
Variable: Es una característica que pertenece a un ser u objeto y asume diferen
tes valores al ser medida o controlada en una investigación o experimento.
La estadística es la ciencia
que nos permite aprender
a partir de datos.
J O N K E T T E N R I N G , American Statistical Association.
Ahora bien, las variables son de varios tipos. Observa las siguientes variables del
segundo texto:
B Edad: 56 años.
• ¿Padece una enfermedad pulmonar?: [ X ] [Ño]
• ¿Fuma?: | X ] [ÑO]
• Si fuma y padece de los pulmones, en promedio, ¿cuántos cigarrillos consumía al
t J í a ? ; | MÁS DE 9 | | KXTKK 9 Y .; | | MENOS DE 4 |
¿Qué hace diferente a estas variables?
T I P O S D E V A R I A B L E S
La ciencia y la investigación generalmente centran su interés en algunas variables,
de las cuales existen varios tipos. Así, tenemos que pueden ser según se define en la
figura 1.1.
C U A L I T A T I V A S
o C A T E G Ó R I C A S : Se refieren
a cualidades de los
elementos de muestreo que
pueden clasificarse en
categorías específicas, como
sexo, estado civil, color de
ojos y saber leer, entre otras.
según su
T I P O
C U A N T I T A T I V A S : Son
aquellas que adquieren
valores numéricos de un
elemento de muestreo.
según su
D E N S I D A D
D I S C R E T A S : Son las que sólo
toman una cantidad finita o
infinita pero contable de
valores, como el número de
clientes que cobran cheques
en un banco en un día o el
número de estrellas en una
galaxia, entreoirás.
C O N T I N U A S : Son lasque
pueden tomar cualquier
valor de un intervalo de
números reales, como el
tiempo que tarda en caer
una piedra en caída libre o la
temperatura de un paciente
con gripe, entre otras. Figura 1.1
Tipos de variables
Revisa los siguientes ejemplos.
° Ejemplo 1.1
Cada año en la Feria Nacional de San Marcos en Aguascalientes, las autoridades
municipales cuentan el número de espacios comerciales rentados a comerciantes.
Esta variable es cuantitativa y discreta. •
° Ejemplo 1.2
Para la ciudad de Mérida el turismo es muy importante. La nacionalidad de los tu
ristas se observa constantemente. Esta variable es de tipo cualitativo, con catego
rías: alemán, francés, italiano, estadounidense, canadiense, etcétera.
n Ejemplo 1.3
Las toneladas producidas por la cosecha anual de tomate en Sinaloa es una varia
ble cuantitativa según su tipo, y según su densidad es continua, porque la cantidad
de toneladas puede tomar cualquier valor de un intervalo.
I Actividades de aprendizaje
Analiza los planteamientos en los siguientes dos casos y después contesta lo que
se te pide. Compara y comenta las respuestas con tus compañeros de grupo. En
caso de tener alguna duda, consulta a tu profesor(a).
D E N C U E S T A EN J A L A P A
Se realiza una encuesta en las afueras de la presidencia municipal de Jalapa,
Veracruz, para conocer la opinión de los ciudadanos acerca de la calidad del
servicio municipal. El cuestionario indaga sobre lo siguiente.
• Sexo de quien contesta: 0 |T]
• Edad: I I años. • Casa: | P R O P I A ] | PAGÁNDOLA | [ RENTADA I
• Tiempo de residencia en jalapa: I I años.
• Calidad del servicio recibido en las oficinas del municipio: | E X C E L E N T E | | MUY BUENO | | BUENO [ | REGULAR~j | MALO |
[a] Tres de las variables anteriores son cualitativas. ¿Cuáles son?
[FJ ¿Qué categorías corresponden a la variable sexo?
[f] ¿Cuáles son las variables cuantitativas?
|F] ¿Qué valores puede tomar la variable tiempo de residencia en Jalapa?
Q M O N I T O R E O D E L M O N O X I D O DE C A R B O N O
Diariamente se mide la concentración de monóxido de carbono en el aire de
la ciudad de México. Los registros se realizan en mg/m 3 . La máxima con
centración permitida del gas en el aire es de 10 mg/m 3 . Los últimos 17 regis
tros del mes de agosto de 2005 fueron los siguientes.
8.5 7.3 9.4 6.2 10.1 3.8 4.2 10.3 7.8
9.3 i
8.1
9.8
4.1 3.5 9.7 8.4 7.6
[a] ¿Cuál es la pregunta del observador?
[U ¿Cuál es la variable que se observa?
0 ¿En qué unidad se mide la variable?
[JJ ¿De qué tipo y densidad es la variable? ¿Por qué?
0 ¿Qué valores tomó la variable los días sábado y domingo?
1.1.2 | Medición
Se desea conocer la temperatura en grados centígrados a la cual hierve el agua en la
ciudad de México, que se ubica a una gran altitud y donde la presión atmosférica es
de unos 450 mg Hg. Para ello, se coloca agua en un recipiente y se somete a calenta
miento hasta que hierve. El experimento se repite 50 veces, lo que arroja los datos
que se han ordenado de menor a mayor y por columnas en la siguiente tabla.
Tabla 1.1 Registros de temperatura a la que hierve el agua en la ciudad de México (en °C)
87.41 87.75 87.81 i 1
87.86 i 1
87.90 | 88.01 88.08 88.12 1 1
88.28 ¡ 88.31
87.60 87.76 87.82 87.86 87.93 ! 88.02 88.09 88.15 88.29 ¡ 88.31
87.69 87.77 87.84 87.87 87.96 88.04 88.09 88.17 88.30 ¡ 88.34
87.71 87.77 87.85 87.89 88.00 ¡ 88.05 88.11 88.19 88.30 ¡ 88.35
87.73 87.79 87.86 87.89 88.01 88.08 88.12 88.21 88.30 ¡ 88.45
De este ejemplo, se intuye que las conclusiones de las ciencias y la toma de deci
siones se basan en observaciones experimentales y mediciones cuantitativas y cua
litativas de variables. Las mediciones se usan para establecer hipótesis o hacer cál
culos que permitan predecir cantidades, resolver problemas o tomar decisiones
económicas.
Las cantidades físicas que se usan en la ciencia y el trabajo tecnológico o admi
nistrativo se describen en términos de una comparación o medición con un patrón
ya definido, como el metro, el kilogramo, el litro, el segundo, el amperio, la mol, et
cétera.
Medición: Es el proceso por el cual se obtiene una medida para una propiedad
de un elemento de muestreo, o un conjunto de ellos con el objeto de compararlos.
Medida: Es el número de unidades que posee una característica en estudio.
T I P O S D E M E D I C I Ó N
Figura 1.2
Tipos de medición
Para medir se utilizan instrumentos de medición, los cuales, según su capacidad,
determinan una medida quizás con varios decimales. Las medidas comparadas
con patrones estándares son aproximaciones, ya que diversos factores pueden pro
ducir un error, como el instrumento con que se mide, las condiciones ambientales
al medir, el número de mediciones hechas, la experiencia de quien mide y la unifor
midad de lo que se mide, entre otros. Estos valores obtenidos mediante medición
se conocen solamente dentro de unos límites de incertidumbre, por una aproxima
ción, con más o menos precisión.
Las medidas se obtienen por medición directa o indirecta, redondeando núme
ros a una determinada cantidad de cifras significativas. En la figura 1.2 se descri
ben estos tipos de medición.
D I R E C T A : Es un proceso visual que
implica la comparación directa de
un objeto con determinada unidad
de medida para obtener su valor. Por
ejemplo, la determinación de la
longitud de una mesa con una regla.
I N D I R E C T A : Consiste en calcular el
valor numérico de una magnitud
mediante ecuaciones. Por ejemplo,
cuando se calcula el área de un
cuadrado midiendo un solo ladoy
aplicando la fórmula de su área
(¿ = / 2 ) .
Cabe aclarar que las únicas medidas exactas podrían obtenerse por conteo en
un sistema que no cambie. Por consiguiente, una medición se considera como un
acercamiento a la medida exacta. Para que sea útil una medida aproximada, debe
informarse a quien la usa lo cerca que está de ser exacta.
Analiza los siguientes dos casos de medición y después contesta lo que se te pide.
Compara y comenta las respuestas con tus compañeros de grupo. En caso de te
ner alguna duda, consulta a tu profesor(a).
• EL D I Á M E T R O DE UNA C I R C U N F E R E N C I A
0 En seguida se muestra una circunferencia. Por medición directa, obten
la magnitud aproximada de su diámetro en centímetros.
Para calcular el perímetro de la circunferencia, debes sustituir la me
dida hallada del diámetro d en la ecuación
El perímetro así encontrado se obtiene por medición indirecta.
[ b ] El radio promedio del Sol es de 6.96 X 1 0 8 m. ¿Puede obtenerse esta mag
nitud por medición directa? ¿Por qué?
[el El número de estrellas en una galaxia, ¿sólo puede calcularse por obser
vación indirecta? ¿Por qué?
Actividades de aprendizaje
P=TTd.
" ¿ C U Á N T O S S O N ? "
El conteo es una forma de medición. En tu grupo cuenta el número total de
alumnos según su sexo, incluyéndote. Utiliza la tabla siguiente para dar la
respuesta.
S E X O C A N T I D A D
Masculino
Femenino
H ¿El conteo fue directo o indirecto?
[ b ] El resultado del conteo, ¿es exacto? ¿Por qué? Explica.
X ¿Es posible contar el número de alumnos por sexo de forma indirecta?
¿Cómo?
E R R O R E S E N L A M E D I C I Ó N
El error es un concepto fundamental en la ciencia, y se asocia a los factores que in
ciden en una medición, los cuales provocan pérdida de exactitud en las conclusio
nes. Desde el punto de vista de la medición:
Error: Es la diferencia entre una medida aproximada y la exacta.
Figura 1.3 Tipos de errores en la medición
Puede haber dos tipos de errores en la medición, los cuales se describen en la fi
gura 1.3.
S I S T E M Á T I C O : Se caracteriza
por ser determinado en función
de causas controlables o previsibles.
A L E A T O R I O : Es aquel que se
produce por factores que no son
previsibles ni controlables.
En seguida se ejemplifican estas definiciones:
° Ejemplo 1.4
Al aterrizar un avión sobre la pista de un aeropuerto, es deseable que el cuerpo del
avión descienda alineado sobre la línea central que divide la pista; sin embargo,
esto es casi imposible. El error es aleatorio, pues ocurre por causas que no puede
controlar el piloto, quien por ejemplo no puede ver la línea o controlar la velocidad
del viento en el exterior.
° Ejemplo 1.5
Se trazan cuadrados de 10 centímetros de lado sobre un cartón y se cortan con tije
ras con poco filo. Se mide el área de los cuadrados. El error puede considerarse sis
temático, porque depende del filo de las tijeras.
I Actividades de aprendizaje
Lee y analiza los siguientes ejemplos y determina el tipo de error al que hacen re
ferencia; argumenta tu respuesta. Comenta con tus compañeros de grupo. Si tie
nen dudas, pide asesoría a tu profesor (a).
Q Se lee en la escala de un instrumento de medición y se toma siempre una
medida por exceso o por defecto. ¿Qué tipo de error se representa en este
ejemplo?
O En un juego se lanzan dos dados al aire y se suman los puntos de las caras
que caen hacia arriba. Gana quien obtiene 7 puntos.
[a] ¿Se pueden controlar los factores que influyen en el resultado? ,
[ b ] ¿Es posible que la suma siempre sea 7?
QD ¿Qué tipo de error se da cuando la suma no es 7?
Q Se siembran semillas de plantas genéticamente iguales en cuatro macetas
que tienen tierras diferentes: una más nutritiva que otra. Se mide el creci
miento de las plantas. ¿Qué tipo de error se presenta?
O Se calientan tortillas sobre un comal calentado por carbón ardiente. Se mide
con un cronómetro el tiempo que tarda una tortilla en calentarse a 50 gra
dos. No siempre se obtiene el mismo tiempo. ¿Qué tipo de error ocurre?
El Se observan las calificaciones finales de los estudiantes de un grupo escolar
de educación secundaria. Lo deseable es que todo alumno obtenga 10. ¿Qué
tipo de error ilustra este ejemplo?
Q Se cuenta el número de fallas en un lienzo de tela blanca que se inspecciona
para determinar su calidad. Ese lienzo pasa sobre una pantalla de luz a una
velocidad que conviene al supervisor. A veces no se cuentan todas las fallas.
¿Qué tipo de error se comete?
H Se levantará una encuesta en una zona rural del estado de Guerrero. Los en-
cuestadores realizarán algunas preguntas a los encuestados, pero no fueron
preparados para ello. ¿Qué tipo de error pueden tener los resultados de las
encuestas?
En el proceso de medición importa calcular la medida con su error. La medida
del error se llama incertidumbre experimental.
Analiza la siguiente situación.
° Ejemplo 7.6
Si se mide el tiempo que tarda la masa de maíz én convertirse en tortilla al expo
nerla al calor en una máquina, se notará que ese tiempo varía; se puede obtener el
tiempo promedio con una incertidumbre o precisión que depende de la calidad del
instrumento de medición. Por ejemplo, (1.20 ± 0.05) min.
Entonces, la incertidumbre es de 0.05 min, lo cual significa que la masa de maíz
en esa máquina con "gran probabilidad" se convierte en tortilla entre 1.15 min y
1.25 min. El resultado del experimento se registra con un número, indicando adi-
cionalmente la incertidumbre. Si la incertidumbre es pequeña, quiere decir que se
han obtenido resultados altamente significativos, precisos. Sin embargo, aun en re
sultados que presentan algún grado de incertidumbre, varias de as cifras pueden
considerarse exactas.
C I F R A S S I G N I F I C A T I V A S
El concepto de exactitud está relacionado con la medición.e implica un uso técni
co. Las medidas expresadas con cifras decimales son muy comunes en la ciencia,
ya que permiten aproximarse a la medida exacta que se desea conocer. Por ejemplo,
al medir el largo de una mesa con una regla, se registra una magnitud de 93.76 cm
(véase la figura 1.4); este número se aproxima a la medida real.
Las cifras 9, 3 y 7 son exactas porque no hay incertidumbre al respecto. Se mani
fiestan por la medición directa. La otra cifra podría ser 5 o 7, o el mismo 6, pues
este dígito sólo representa una aproximación a la medida real. Sin embargo, todas
estas cifras se consideran significativas. Estudia los siguientes ejemplos.
Cifras exactas y aproximadas
° E J e m P l 0 ' - 7 al medir el largo de una mesa
directamente
En un laboratorio de química se mide el contenido de hidróxido de sodio, NaOH,
en una solución acuosa. Una vez realizada la medición, se escribe el resultado:
209.3485 g. En este caso las cifras 2 ,0 , 9, 3 ,4 y 8 son exactas. El 5 es incierto, al igual
que en el caso anterior es una aproximación a la medida real. Nuevamente, el ins
trumento de medición permite establecer esta medida no a causa de que sea in
exacto, sino a que posee gran precisión, hasta 0.0001 g.
a Ejemplo 1.8
Se registraron cuatro tiempos que tardó un velocista en recorrer 100 metros; una
de las lecturas que se obtuvieron fue 10.0 segundos, donde el 0 de los 10 segundos
es exacto. En cambio, si se tuviera 9.807 segundos, el 7 no necesariamente es exac
to, pero sí es significativo. Por tanto, es aproximado.
a Ejemplo 1.9
Este caso permitirá mostrar la importancia de los ceros para entender lo referente
a las cifras significativas. En un laboratorio se mide el peso de una disolución de
adrenalina con un carbonato y se obtiene 0.0003400 g. En este caso las cifras signi
ficativas son el 3, el 4 y los dos ceros a la derecha del 4. Los ceros a la izquierda del 3
no son significativos porque no añaden cantidad alguna a la medición.
Observa que la cantidad 10 mililitros de agua pesada puede expresarse como
0.010 litros. Es obvio que el cero entre el punto decimal y el 1 no representa canti
dad alguna. Los ceros como últimas cifras de una lectura física son importantes en
la significación de la medida.
Cifras significativas de una medición: Son todas las cifras exactas y la última
a la derecha de una cantidad que se considera aproximada.
No obstante, las lecturas o registros aproximados que se hacen en las medicio
nes tienen una variación de error relativo, que se puede calcular y determinar.
E R R O R R E L A T I V O
Un trozo de papel se pesa en una balanza cuya precisión es de 0.01 g —esto es, una
centésima de gramo, no más—, por lo que el peso del papel es de 8.54 g ± 0.01 g,
donde 0.01 g indica con cuánta precisión se realiza la medida, lo cual, relacionado
con el último dígito del peso anunciado, o sea el 4, indica que se tiene una incerti
dumbre de al menos una unidad. Así, el 8 y el 5 son cifras exactas y significativas,
en tanto que el 4, aunque incierto, es significativo. De esta forma la notación ante
rior indica que existe un error relativo en la medición, el cual se calcula en porcen
taje como sigue, usando la fórmula
i 4.- Error absoluto „ 1 n n
Error relativo = — X 100. Medida
Así pues, tomando los datos del ejemplo:
• Error absoluto: 0.01 g
• Medida: 8.54 g
• Error relativo: x
Se tiene que el error relativo de la medida anterior es
Error relativo = X 100 = 11.70%. 8.54
I Actividades de aprendizaje
En equipos de cuatro integrantes, lean el enunciado del siguiente ejercicio y re
suelvan los cuestionamientos que se les plantean. Posteriormente intercambien y
revisen sus respuestas con los demás compañeros de grupo.
D E S T A T U R A S DE A L U M N A S Y C I F R A S S I G N I F I C A T I V A S
Se tiene interés en conocer las estaturas de las 48 alumnas de los grupos de
I o A y I o B de la carrera de técnico laboratorista clínico en el CBTis 168. Para
ello, se utiliza un instrmento que permite medir con exactitud hasta milíme
tros. Las mujeres no usan zapatos cuando se les mide. Se obtienen los resulta
dos anotados en la siguiente tabla. Las estaturas se obtienen en centímetros.
Tabla 1.2 Estaturas en centímetros de las alumnas de los grupos
1o Ay Io B. Datos ordenados del menor al mayor por columnas
1
150.91 i 1
154.32 156.59 157.97 159.19 159.71 160.38 161.69
152.60 154.44 156.75 158.14 159.32 159.76 160.72 162.24
153.50 155.44 156.75 158.53 159.43 159.82 161.28 162.81
153.66 155.45 157.62 158.90 159.45 159.84 161.44 162.83
154.06 155.67 157.67 158.95 159.66 159.91 161.51 162.92
154.30 156.55 157.73 159.09 159.67 160.21 161.52 167.62
0 ¿Cuál es la variable que se observa?
0 ¿Cuántas cifras significativas tiene cada medida? ¿Por qué? Explica.
0 Si se suman todas las medidas, ¿cuántas cifras significativas tendrá el
resultado? ¿Por qué?
N O T A C I Ó N S I S T E M A T I Z A D A
Al trabajar con mediciones, debe saberse que existen reglas de escritura para los
números que representan medidas de magnitudes. Dichas magnitudes tienen tan
to una representación simbólica convencional y sistematizada así como implica
ciones en el cálculo o medición indirecta.
El adjetivo convencional quiere decir que la representación es aceptada general
mente por quienes usan esos números. Por lo que la escritura aceptada de las me
didas se puede resumir en varias reglas.
Reglas para determinar y escribir las cifras significativas de una medición
1) Todas las cifras diferentes de cero son significativas: 93.78, 544.125.
2) Los ceros entre cifras diferentes de cero son significativos: 205.3485,
0.10005.
3) Un número entero que termina en ceros implica que no se sabe si el cero o
los ceros son significativos (10, 13 700), a menos que se especifique (10.0,
54.20).
4) Los ceros en una cantidad menor que 1, entre un punto decimal y una cifra
diferente de cero, no son significativos: 0.0003400,0.098.
5) Los ceros a la derecha de una cifra diferente de cero que esté después del
punto decimal son significativos: 0.0003400.
La notación exponencial permite evitar ambigüedades respecto a los ceros en
que termina una medida. Considera los siguientes ejemplos.
° Ejemplo 1.10
La masa del Sol se estima en 2.0 X 1 0 3 0 kg. Sólo hay dos cifras significativas: 2 y 0.
° Ejemplo 1.11
La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es 12.0763 X 1 0 5 Ion. Existen seis cifras
significativas en esta cantidad: 1, 2, 0, 7, 6 y 3.
° Ejemplo 1.12
La velocidad en carrera de un acaro del trébol es de 8.5 X 1 0 _ 1 cm/s. Las cifras sig
nificativas son el 8 y el 5.
O P E R A C I O N E S C O N M E D I D A S A P R O X I M A D A S
Dado que se obtienen medidas no sólo para compararlas directamente (ordenar
las) sino para efectuar operaciones con ellas al hacer mediciones indirectas, es ne
cesario seguir normas.
Adición y sustracción de medidas aproximadas
El resultado de una adición o de una sustracción de medidas aproximadas tendrá
tantas cifras decimales como la medida que menos tenga, por lo que frecuentemen
te habrá que redondear. Veamos los siguientes ejemplos.
° Ejemplo 1.13
12 + 6.4 = 18 (el signo = se lee "aproximadamente igual a").
D Ejemplo 1.14
12 + 6.7 = 19.
En los dos casos anteriores se anotan los resultados sin decimales porque 12 no
tiene decimales.
° Ejemplo 1.15
18.095 + 12.3 = 30.395, pero se redondea a 30.4 porque 12.3 sólo tiene una cifra de
cimal.
° Ejemplo 1.16
100.003 - 0.050 = 99.953, aunque 100.003 tenga seis cifras significativas y 0.050 dos.
° Ejemplo 1.17
30.145 - 12.16 = 17.985, que se redondea a 17.99.
Multiplicación y división
Al multiplicar o dividir dos medidas aproximadas, el resultado tendrá tantas cifras
significativas como haya en aquella medida que tenga menos. Analiza los siguien
tes ejemplos y responde las preguntas que se te plantean.
n Ejemplo 1.18
5.4 X 6.5 = 35. ¿Por qué?
° Ejemplo 1.19
12.16 m X 4.1 m X 0.50 m = 24.928 m 3 , pero se redondea a 25 m 3 . ¿Por qué?
n Ejemplo 1.20
14 3 — : — = 1191.66666... Pero se escribe 1.1 X 10 3 . Porque 0.012 tiene sólo dos cifras 0.012 ^
significativas.
° Ejemplo 1.21
^ ^ - = 0.0409. ¿Porqué? 12.40 6 H
I Actividades de aprendizaje
En pareja con un compañero de tu grupo, realiza las siguientes operaciones y ex
presa las respuestas con el número correcto de cifras significativas. De ser necesa
rio, usa potencias de 10para obtener la respuesta.
D 0.240 + 0.086 B 100 + 0.5
B 20 .004-12 .06 • 0 . 1 0 0 4 - 0 . 0 3 0 5 4
• 2.09 X 1.5
• 20.01 X 5.03
D 0 .00004X0.0005
• (2.05 X 10 4)(1.5 X 10 4 )
• °=°± 1.2
_ 150.550
30.456
1.1.3 I Escalas de medición
La sismología es una ciencia reciente. En el siglo x ix el inglés John Milne (1859-1913)
fue a Japón a estudiar terremotos, lo que le permitió predecir que éstos podrían
detectarse en cualquier lugar de la Tierra con un péndulo sensible a las vibraciones
de la corteza terrestre. Así, construyó los primeros sismógrafos.
Luego, para medir la intensidad de un sismo se crearon escalas. En 1935 surgió
la llamada escala de Richter, que se unlversalizó pronto. Consta del siguiente for
mato numérico y matemático:
• 0.0: Ausencia de ondas sísmicas provocadas por un terremoto.
• 2.5: Sismo apenas perceptible, pero registrado por sismógrafos.
• 3.5: Sismo percibido por mucha gente.
• 4.5: Sismo que puede provocar daños menores.
• 6.0: Sismo destructivo.
• 8.0 o mayor: Terremoto devastador.
En teoría, puede haber sismos con magnitud 5.670318.... Esto sólo depende de la
exactitud con que pueda medir el instrumento.
El terremoto que asoló a la ciudad de México en 1985 tuvo una magnitud de 8.1
en la escala de Richter.
Escala: Es una organización de cualidades o de cantidades determinadas por
unidades predefinidas que denotan o no una intensidad.
Cabe mencionar que las diferentes variables (cualitativas o cuantitativas) que
pueden ser parte de una investigación o de un experimento son tratadas con esca
las o medidas para estudiarlas estadísticamente. Por lo mismo, las escalas se utili
zan para expresar variables por su magnitud o por su cualidad.
E S C A L A S D E M E D I C I Ó N D E C U A L I D A D E S
Las escalas de medición de cualidades se aplican mucho en las ciencias sociales,
por ejemplo en la sociología, la psicología, la educación y la administración. Se tie
nen dos tipos de escalas de medición de cualidades: nominal y ordinal.
Escalas nominales
Una escala nominal se construye con categorías que constan de nombres o letras,
las cuales se excluyen unas a otras, son exhaustivas y no determinan intensidad. En
una investigación, una observación deberá corresponder a una categoría. Se pue
den contar y construir frecuencias relativas o porcentajes con los elementos de
muestreo pertenecientes a cada categoría para determinar su magnitud. En la ta
bla 1.3 se ilustra la construcción de categorías nominales para diversas variables.
Tabla 1.3 Escalas de medición categóricas nominales
V A R I A B L E ¡ C A T E G O R Í A S
Sexo ¡Femenino, Masculino
Estado civil Soltero, Casado, Viudo,
| Divorciado, Unión libre
Color de la piel ¡ Negra, Blanca, Morena, Amarilla
Calidad de un objeto \ Pasa, No pasa
Escalas ordinales
Una escala ordinal consta de categorías ordenadas que señalan la intensidad de la
variable. Se asignan los elementos de muestreo a ellas, según su cualidad. Por con
teo, se precisa la magnitud o presencia de cada categoría. Igual que en la nominal,
los conteos pueden transformarse en frecuencias relativas o porcentajes. En la ta
bla 1.4 se ilustra la construcción de categorías ordinales para diversas variables.
Tabla 1.4 Escalas de medición categóricas ordinales
V A R I A B L E ¡ C A T E G O R Í A S
Tamaño de la frente ¡ Grande, Mediana, Pequeña
Calidad del servicio ¡ Excelente, Bueno, Regular, Malo
, Nivel de las prestaciones ¡ Elevado, Satisfactorio, Suficiente, Bajo
Intensidad de un sismo
(Escala de Mercalli) ¡ Grado 1, Grado I I , G r a d o XII
E S C A L A S D E M E D I C I Ó N P O R M A G N I T U D
Las escalas de medición por magnitud generalmente se utilizan en las ciencias na
turales y aplicadas como la física, la química, la ingeniería y la biología. Se tienen
dos tipos de escalas de medición por magnitud: de intervalo y de relación.
Escalas de intervalo
En las escalas de intervalo se utilizan números para determinar la intensidad de
una variable y reflejar desigualdad entre características. Se construyen partiendo de
un origen arbitrario, con una unidad de medida convencional. La variable puede
asumir valores a la derecha y a la izquierda del origen, aun si es un 0. Se puede ope
rar aritméticamente con los valores admitidos para efectuar cálculos. En la tabla 1.5
se presentan algunas variables que se miden usando rangos de magnitud.
Tabla 1.5 Escalas de medición por intervalo
V A R I A B L E R A N G O
Calificaciones finales de los estudiantes
de un grupo de bachillerato
Cociente intelectual (Cl)
Temperatura (7") sobre la Tierra
0 < x < 10,y 6 es aprobatoria
0<Cl<200,y 100es normal
-90°C < T< 50°C,y 0 es la temperatura
a la cual se congela el agua
Escalas de relación
Las escalas de relación utilizan números para señalar la intensidad de una variable.
Existe un cero absoluto determinado por la naturaleza de las variables; esto es, las
medidas sólo pueden ser mayores que 0. Con los resultados se pueden efectuar
operaciones aritméticas. En la tabla 1.6 se presentan algunas variables que se mi
den en un rango de relación.
Tabla 1.6 Escalas de medición por relación
V A R I A B L E ] R A N G O
Peso de un elefante (E) ¡ 0 kg < E < 7000 kg •
Velocidad a la que corre un caballo (C) ¡ 0 km/h<C<90 km/h
Ingresos familiares mensuales (/) ¡ /> 0 pesos
Ventas en unidades de un periódico
de circulación diaria (D) ! 0>D>100000
[a] En general, el servicio administrativo es | E X C E L E N T E | | M U Y B U E N O | | B U E N O | | R E G U L A R | | M A L O |
LFJ El estado del campus es | E X C E L E N T E | | M U Y B U E N O | | B U E N O | | R E G U L A R | | M A L O |
0 La preparación de los maestros es | E X C E L E N T E j | M U Y B U E N O j | B U E N O | | R E G U L A R | | M A L O |
H El servicio de las bibliotecas es | E X C E L E N T E | | M U Y B U E N O | | B U E N O | | R E G U L A R | | M A L O |
i r i M U Y I n P R E G U N T A E X C E L E N T E B U E N O
¡ \ B U E N O ¡ ¡ R E G U L A R ¡ M A L O TOTAL
LTJ • ! : ! ! ! -• !
LE ! ! ! ¡ ¡
E i i
a ! ! !
> ¿Cuál es la pregunta que se plantea indirectamente?
> ¿Cuáles variables se utilizan para medir a la variable más general: "ca
lidad del servicio"?
> ¿En qué escala se miden las variables?
> ¿De qué tipo son las variables?
> Según su densidad, ¿cómo se definen las variables?
> De acuerdo con los resultados, ¿cuál parece ser el nivel de la calidad
del servicio para los integrantes de tu grupo, según cada categoría es
tudiada?
I Actividades de aprendizaje
Trabaja con uno de tus compañeros de grupo; lean y analicen el siguiente plan
teamiento. Después, contesten las preguntas que se les presentan. Para cualquier
duda o aclaración consulta con tu profesor (a).
D Realizarán el siguiente experimento en clase. Los alumnos del grupo contes
tarán el siguiente cuestionario de manera individual, subrayando la opción
que coincida con su opinión. Deberán contestar con honestidad. Se levanta
la encuesta con el objetivo de conocer su percepción acerca de la calidad de
determinado servicio que se les ofrece en su escuela. Los datos se contarán y
se recopilarán en la tabla que se da enseguida. Después, contesten las pre
guntas presentadas a continuación de la tabla.
1.1.4 I Estadística
En una escuela secundaria, después de que se aplicaron los primeros exámenes del
año escolar, la directora desea saber el grado de conocimiento académico de los jó
venes estudiantes de nuevo ingreso, según su sexo y turno. Para ello, de los 800
alumnos inscritos en el primer grado toma una muestra al azar de 160 y calcula el
promedio de sus calificaciones, obteniendo los resultados que se observan en la ta
bla 1.7.
Tabla 1.7 Promedio de calificaciones
1
S E X O
i
T U R N O
1
S E X O
M A T U T I N O l 8 0 ) • ] V E S P E R T I N O ( 8 0 )
Masculino (80) 8.1 ! 7.7
Femenino (80) 8.4 ¡ 8.2
H ¿Qué poblaciones se estudian?
QT) ¿Qué variable se mide? ¿De qué tipo y densidad es?
0 ¿En qué escala se mide la variable?
[U ¿Por qué se tomó una muestra al azar?
[JJ ¿Por qué se organizaron los datos?
|T| ¿Qué significado pueden tener los resultados obtenidos?
El inquirir —es decir, el preguntarse acerca del estado de una situación o cosa—,
la medición de variables, la clasificación de datos numéricos y la comparación de
ellos son imprescindibles en la búsqueda de información con la cual se obtenga
una conclusión y se tome alguna decisión. Los datos numéricos asociados a varia
bles de interés en una investigación requieren ser tratados científicamente para
originar resultados útiles.
La estadística es una rama de las matemáticas que contribuye a otras ciencias
con métodos que hacen posibles conclusiones correctas con una precisión deseada
a partir de datos numéricos que presentan variación y que se asocian a una o varias
variables. Por tanto, la naturaleza y calidad de los datos hacen factible incrementar
la certidumbre en las conclusiones estadísticas.
En la actualidad es imposible pensar que en la actividad intelectual humana re
lacionada con la investigación y la toma de decisiones no se utilicen datos estadís
ticos que deban obtenerse y analizarse correctamente.
La estadística permite obtener información a partir de datos.
Estadística: Es la ciencia de 1) la recopilación, 2) la organizado}!, 3) el análisis
y 4) la extracción de conclusiones a partir de datos.
La palabra estadística tiene dos significados que relacionan conjuntos de con
ceptos y métodos para tratar datos. Esos significados se ilustran en la figura 1.5.
D E S C R I P T I V A : Provee de procedimientos
(tabulares, gráficos, esquemáticos, numéricos)
para organizar datos numéricos y describir sus
características relevantes.
I N F E R E N C I A L : Rama de las matemáticas
que descansa en la teoría de probabilidad,
y que utiliza datos numéricos provenientes
de una muestra para realizar una inferencia u
obtener una conclusión acerca del universo o
población de datos de donde proviene
la muestra. Figura 1.5 Significados actuales de la palabra estadística
Los datos numéricos que estudia la estadística corresponden a un fenómeno o
ámbito de interés y se caracterizan porque varían, esto es, al obtenerlos cuando se
observa un fenómeno natural o artificial adquieren valores diferentes. Como con
secuencia de esto, deben organizarse para comprender su comportamiento.
Los datos organizados hacen posible una descripción adecuada del fenómeno y
la respectiva interpretación y comprensión que incluye conjeturas o conclusiones
definitivas acerca de él y que representan la información deseada. Esta representa
un estado de comprensión acerca el fenómeno (véase la figura 1.6).
F E N Ó M E N O
Comprensión
I N F O R M A C I Ó N
D A T O S C O N
V A R I A C I Ó N
I N T E R P R E T A C I Ó N
( C O N J E T U R A S ,
C O N C L U S I O N E S )
O R G A N I Z A C I Ó N
D E S C R I P C I Ó N Figura 1.6 Diagrama de la obtención de información
En un proceso de investigación estadística se suele utilizar las herramientas de
la estadística descriptiva y de la inferencial. Dicho proceso está formado por los si
guientes componentes característicos de los que depende en gran medida la cali
dad de las conclusiones.
1) Una o más preguntas acerca de un fenómeno natural o un proceso artificial.
2) La definición de las variables de interés.
3) La definición del universo o población que comprende a las mediciones o con
teos de interés relacionados con las variables.
4) La determinación de un plan para obtener los datos numéricos (mediciones).
5) La toma de una muestra o censo.
6) El análisis de los datos: indagación de la forma de la distribución de frecuencias
de los datos o variables mediante tabulación, graficación o cálculos.
7) La conclusión acerca del probable comportamiento de las variables en el univer
so o población.
8) La aplicación de los resultados: decisión.
Estos componentes constituyen una situación estadística (véase la figura 1.7) de la que se desea obtener información acerca del comportamiento de un fenómeno
Figura 1.7 caracterizado por una población o universo de mediciones, mediante una muestra
Esquema de una situación o censo,
estadística
O B S E R V A C I Ó N D E
U N F E N Ó M E N O
P R E G U N T A S A C E R C A
D E L F E N Ó M E N O
V A R I A B L E S
O U E S E D E B E N
E S T U D I A R
P O B L A C I Ó N
D E I N T E R É S
^ P L A N D E T R A B A J O
A P L I C A C I Ó N C O N C L U S I Ó N A N Á L I S I S M U E S T R A
D E D A T O S
I Actividades de aprendizaje
Lee y analiza lo siguiente. Luego contesta lo que se te pide. Puedes trabajar con un
compañero. Si tienes alguna duda, consulta a tu maestro (a).
D E S T A D Í S T I C A S D E L A D I S T A N C I A D E L A T I E R R A A L S O L
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) descubrió que los planetas del
sistema solar se mueven en órbitas elíptica alrededor del Sol, pero las cuales
son casi circunferencias. En un observatorio astronómico se ha decidido
medir la distancia en kilómetros de la Tierra al Sol; se obtienen diez datos al
azar en un periodo de cinco meses. Enseguida se muestran los datos en el
orden en que fueron tomados: 149900000; 149800000; 149600000;
149400000; 148900000; 148600000; 148500000; 148400000; 148200000;
148050000.
Trayectoria elíptica de la Tierra alrededor del Sol
0 ¿Cuál es el fenómeno que se estudia en el observatorio?
0 ¿Qué preguntas se plantearía Kepler en su investigación? Externa dos
posibles.
0 ¿Cuál es la variable que se estudia en el observatorio?
i d ] ¿Qué unidad tiene esa variable?
0 ¿De qué tipo y densidad es la variable?
0 ¿En qué escala se mide esa variable?
0 ¿El universo o población de las mediciones de la distancia de la Tierra al
Sol comprende sólo estos 10 datos? ¿Cuántos datos pueden obtenerse de
esa distancia?
[F] ¿En qué hecho percibes que existe variabilidad en los datos?
[Tj ¿Crees que las distancias obteniáas son medidas exactas o aproxima
das? ¿Por qué?
[E Al observar los datos, ¿qué puede inferirse acerca del desplazamiento de
la Tierra alrededor del Sol?
[FJ ¿Cuál fue la conclusión de Kepler?
¡T] ¿Kepler realizaría un procedimiento como el descrito en una situación
estadística? ¿Por qué? Explica.
1.1.5 | Población y muestra
Población y muestra son conceptos que tienen que ver directamente con la materia
prima de la estadística: las variables y las mediciones o datos numéricos. Para expli
car sus diferencias y definirlos, tomaremos como referencia la siguiente situación.
En la Sierra Madre Occidental, en los estados de Colima, Jalisco, Nayarit y Zaca
tecas, viven los indígenas de la etnia Huichol. Una socióloga desea averiguar el peso
y la altura de las niñas entre 1 y 8 años inclusive; define tres poblaciones o univer
sos diferentes tomando en cuenta distintos factores:
A: El peso y la altura de las niñas huicholas con edades desde un año hasta inclusi
ve ocho años cumplidos.
B: El peso en kilogramos y la altura en metros de las niñas huicholas con edades
desde un año hasta inclusive ocho años cumplidos pero no más de nueve, que
viven en la Sierra Madre Occidental.
C: El peso en kilogramos y la altura en metros de las niñas huicholas con edades
desde un año cumplido hasta menos de nueve años cumplidos, que no padecen
alguna enfermedad; hijas de padres huicholes que en el año 2007 formen parte
de comunidades indígenas enclavadas en la Sierra Madre Occidental en los esta
dos de Zacatecas y Nayarit. .
Consideraciones:
J) Observemos que en la tercera definición de población se incluyen más factores,
lo cual la hace muy específica.
2) En la población A, ¿podría incluirse a las niñas que viven en las ciudades? ¿Por
qué?
3) E n l a población B, ¿podrían incluirse niñas huicholas de cualquier estado de la
República mexicana? ¿Por qué?
