ESCUELA POLIECNICA DEL EJERCITO SEDE LATACUNGA

INGENIERIA ELECTRONICA

Nombre: Andrés Santiago Olmos Tigse

Nivel: Quinto “B”

CAPITULO 5

Problemas Suplementarios

VARIABLES ALEATORIAS Y VALOR ESPERADO

5.53.-Suponga que una variable aleatoria X toma los valores -4, 2, 3, 7 con las probabilidades respectivas.

k+210

,2k−310

,3k−410

,k+110

Encontrar la distribución y el valor respectivo de X.

k+210

+2k−310

+ 3k−410

+ k+110

=1

k+2+2k−3+3k+4+k+1=10

k=2

k+210

=0.4

2k−310

=0.1

3k−410

=0.2

k+110

=0.3

x 4 2 3 7P(X=x) 0.4 0.1 0.2 0.3

E ( x )=(−4 )∗(0.4 )+ (2 )∗(0.1 )+(3 )∗(0.2 )+(7 )∗(3)

E ( x )=1.3

5.54.- Se lanza un par de dados. Sea x el mínimo de los dos números que ocurren. Encuentre la distribución y el valor esperado de x.

x 1 2 3 4 5 6  11/36  9/36  7/36  5/36  3/36  1/36 

E ( x )=1(11 /36)+2(9/36)+3(7 /36)+4 (5/36)+5(3 /36)+6 (1/36)E ( x )=91 /36=2.53

5.55.- El peso de una moneda equilibrada 4 veces. Sea Y la secuencia más larga de caras que salga. Encuentre la distribución y el valor esperado de Y. (Compare con la variable aleatoria X en el problema 5.22)

x 0 1 2 3 4f(x)  1/16 7/16 5/16  2/16  1/16  

E ( x )=(0∗116 )+( 1∗716 )+( 2∗516 )+( 3∗216 )+( 4∗116 )=2716=1.685.56.- El peso de una moneda es alterado de manera que P(H )=¾ yP (T )=1/ 4, se lanza

3 veces. Sea x el número de caras que aparece.a) Encuentre la distribución de x.b) Encuentre E(x).

x 1 2 3  1/64  9/64  27/64 

¼∗1/4∗1/ 4∗¿1/643(1 /4∗1/4∗3 /4)=9/643(3 /4∗3 /4∗1/4)=27/64¾∗3/4∗3 /4=27 /64

a) E(x )=0 (1/64)+1(9 /64 )+2(27/64 )+3 (27/64)E(x )=144 /64E(x )=2.25

5.57.- EL peso de una moneda es alterado de manera que P (H )=13

y P (T )=23

. La

moneda se lanza hasta que aparezca una cara o 5 sellos. Encuentre el numero esperado E de lanzamientos de la moneda.

H ,TH ,TTH ,TTTH ,TTTTH ,TTTTT

X (H )=1 X (TH )=2X (TTH )=3 X (TTTH )=4 X (TTTTH )=5 X (TTTTT )=5

P (1 )=P(H )=13P (2 )=P (TH )=( 23 )( 13 )=29 P (3 )=P (TTH )=( 23 )( 23 )( 13 )= 4

27

P (4 )=P (TTTH )=( 23 )(23 )( 23 )( 13 )= 881

P (5 )=P ( {TTTTH ,TTTTT })=[(23 )( 23 )( 23 )( 23 )(13 )]+[( 23 )( 23 )( 23 )( 23 )( 23 )]P (5 )=P ( {TTTTH ,TTTTT })= 16

243+ 32243

= 48243

E=E ( x )=1( 13 )+2( 29 )+3( 427 )+4( 881 )+5 ( 48243 )E=E ( x )=1

3+ 49+ 1227

+ 3281

+ 240243

E ( x )=2.6.

5.58.- La probabilidad de que el equipo A gane cualquier juego es 1/2. Suponga que A juega contra B en un torneo. El primer equipo en ganar dos juegos seguidos o 3 juegos gana el torneo. Encuentre el numero esperado E de juegos en el torneo.

x 2 3 4 5 F(x) 2/4  2/8  2/16  4/32 

E(x )=2(2 /4)+3(2 /8)+4(2/16)+5 (4 /32)E(x )=23 /8E(x )=2.9

5.59.- Una caja contiene 10 transistores, de los cuales 2 están defectuosos. Se selecciona un transistor de la caja y se prueba hasta seleccionar uno no defectuoso. Encuentre el número esperado E de transistores que deben escogerse.

P (D )= 210

P (B )= 810

x 1 2 3f(x)  8/10 16/90  2/90 

E ( x )=1( 810 )+2( 1690 )+3( 290 )=119E ( x )=1.2

5.60.-Resuelva el problema anterior para el caso en el cual 3 de los 10 artículos son defectuosos.

P(D)=3 /10P(B)=7 /10

x 1 2 3 4   7/10 21/90  42/720  6/720 

E(x )=1¿E(x )=11 /8E(x )=1.4

5.61.- Cinco cartas están numeradas del 1 al 5. Se sacan dos cartas al azar (sin reposición). Sea X la suma de los números seleccionados.

a) Encuentre la distribución de Xb) Encuentre E(x)

a)

x 3 4 5 6 7 8 9F(x) 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1

Usando el diagrama de árbol se obtiene

F (3 )=

15∗1

4+

15∗1

4=110

F (4 )=

15∗1

4+

15∗1

4=110

F (5 )=

15∗1

4+

15∗1

4+

15∗1

4+

15∗1

4=15

F (6 )=

15∗1

4+

15∗1

4+

15∗1

4+

15∗1

4=15

F (7 )=

15∗1

4+

15∗1

4+

15∗1

4+

15∗1

4=15

F (8 )=

15∗1

4+

15∗1

4=110

F (9 )=

15∗1

4+

15∗1

4=110

b)

E ( x )=3 (0.1 )+4 (0.1 )+5 (0.2 )+6 (0.2 )+7 (0.2 )+8 (0.1 )+9(0.1)

E ( x )=6

5.62.-Una lotería con 500 boletos de un premio de $100, 3 premios de $50 cada uno, y 5 premios de $25 cada uno.

a) Encuentre las ganancias esperadas de una boleta.b) Si una boleta cuesta $1 ¿Cuál es el valor esperado del juego?

x 0 25 50 100   491/500 5/500  3/500  1/500 

E(x )=0¿E(x )=3 /4

E(x )=0.75

E(x )=0.75 – 1E(x )=−0.25

5.64.-Un jugador lanza dos monedas equilibradas. El jugador gana $3 si ocurren 2 caras y $1 si ocurre una cara. Para que el juego sea justo ¿Cuánto debe perder el jugador si no ocurre ninguna cara?

x 3 1  -af(x)  1/4 2/4   1/4

Para que el juego sea justo E=0

0=3(1/ 4)+1(2/4 )– a(1/ 4)a=5/ 4(4)a=5

MEDIA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR5.65.- Encuentre la media μ, la varianza σ x

2, y la desviación estándar σ x de cada distribución.

(a)

x 2 3 8f(x)  1/4 1/2  1/4 

E(X )=(2)(1/ 4)+(3)(1/2)+(8)(1 /4)

E(x )=1/2+3 /2+2

μ=E (x)=4

E(X2)=(22)(1/4)+(32)(1/2)+(82)(1/4)

E(X2)=1+9/2+16

E(X2)=21.5

Var (x )=E(X2)−E(〖 x)〗2

Var (X)=21.5−〖(4)〗2

σ 2=Var (X )=5 .5

σ=√(5 .5)=2 .34

(b)

x -2 -1 7f(x)  1/3 1/2  1/6 

E(X )=(−2)(1/3)+(−1)(1 /2)+(7)(1 /6)

E(x )=(−2/3)+(−1/2)+(7 /6)

μ=E (x)=0

E(X2)=(−22)(1/3)+(−12)(1/2)+(72)(1/6)

E(X2)=4 /3+1/2+49 /6

E (X 2)=10

Var (x )=E (X2 )−E ¿

Var (X)=10−(0)2

σ 2=Var (X )=10

σ=√5 .5=3 .2

5.66.-Encuentre la media de u, la varianza y la desviación estándar de cada distribución:

x -1 0 1 2 3  0.3 0.1 0.1 0.3 0.2

u=(−1)(0.3)+(0)(0.1)+(1)(0.1)+(2)(0.3)+(3)(0.2)u=1u(x 2)=(−1)2(0.3)+(0)2(0.1)+(1)2(0.1)+(2)2(0.3)+(3)2(0.2)u(x 2)=3.4

σ 2=3.4 –1

2=2.4

σ=√2.4=1.5

x 1 2 3 6 7  0.2 0.1 0.3 0.1 0.3

u=(1)(0.2)+(2)(0.1)+(3)(0.3)+(6)(0.1)+(7)(0.3)

u=4

u(x 2)=(1)2(0.2)+(2)2(0.1)+(3)2(0.3)+(6)2 (0.1)+(8)2 (0.3)

u(x 2)=21.6

σ 2=21.3– 16

σ 2=5.6

σ=√5.6=2.37

5.67.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución:

x 1 3 4 5F(x) 0.4 0.1 0.2 0.3

Encuentre la media u, la varianza σ 2, y la desviación estándar de X.

E ( x )=1 (0.4 )+3 (0.1 )+4 (0.2 )+5 (0.3 )

E ( x )=3

E(x2)=1 (0.4 )+9 (0.1 )+16 (0.2 )+25 (0.3 )

E(x2)=12

var (x )=E (x2 )−E ( x )2

var (x )=12−9

var (x )=3

σ=√var (x)

σ=√3=1 .7

5.68.-Sean x la variable aleatoria en el problema anterior. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria:

a) y = 3x+2

b) y = x2

c) y = 2x

x 1 3 4 5  0.4 0.1 0.2 0.3

y 5 11 14 17

  0.4 0.1 0.2 0.3

u ( y )=(5 ) (0.4 )+(11) (0.1 )+(14 ) (0.2 )+(17 )(0.3)

u ( y )=1

u ( y2 )=¿¿¿

u ( y2 )=148

σ 2 σ 2 = 27

σ=√27 = 5.2

b)

y 1 9 16 25  0.4 0.1 0.2 0.3

u( y)=(1)(0.4)+(9)(0.1)+(16)(0.2)+(25)(0.3)

u( y)=12

u( y2)=(1)2(0.4)+(9)2 (0.1)+(16)2 (0.2)+(25)2(0.3)

u( y2)=247.2

σ 2=247.2– (12)2

σ 2=103.2

σ=√103.2=10.2

y 2 8 16 32  0.4 0.1 0.2 0.3

u( y)=(2)(0.4)+(8)(0.1)+(16)(0.2)+(32)(0.3)

u( y)=14.4

u( y2)=(2)2(0.4)+(8)2(0.1)+(16)2(0.2)+(32)2(0.3)

u( y2)=366.4

σ 2=366.4 – (14.4)2

σ 2=159.04

σ=√159.04=12.6

5.69.- Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución:

x -1 1 2f(x) 0.2 0.5 0.3

Encuentre la media μ, la varianza σ 2 y la desviación estándar σ de X.

E ( x )=(−1 ) (0.2 )+(1 ) (0.5 )+(2 ) (0.3 )

E ( x )=0.9

E (x2 )=(−1 )2 (0.2 )+(1 )2 (0.5 )+(2 )2 (0.3 )

E (x2 )=0.2+ (0.5 )+(1.2 )=1.9

var (x )=E (x2 )−[E ( x )]2

var (x )=1.9−(0.9)2

var (x )=1.09

σ ( x )=√var (x )

σ ( x )=1.04

5.70.- Sea x la variable aleatoria en el problema 5.69. Encuentre la media la varianza y la desviación estándar de cada variable aleatoria y = ф(x) donde

a) ф (x )=x 4

b) ф (x )=3 x

c) ф (x )=2 x−1

x -1 1 2  0.2 0.5 0.3

y 1 1 16  0.2 0.5 0.3

u( y)=(1)(0.2)+(1)(0.5)+(16)(0.3)

u( y)=5.5

u( y2)=(1)2(0.2)+(1)2 (0.5)+(16)2(0.3)

u( y2)=77.5

σ 2=77.5– (5.5)2

σ 2=47.25

σ=√47.25=6.87

a)

y  1/3 3 9  0.2 0.5 0.3

u( y)=(1/3)(0.2)+(3)(0.5)+(9)(0.3)

u( y)=4.27

u( y2)=(1/3)2(0.2)+(3)2(0.5)+(9)2(0.3)

u( y2)=28.91

σ 2=28.82– (4.27)2

σ 2=10.59

σ=√ 10.59=3.25

b)

y 1 2 8  0.2 0.5 0.3

u( y)=(2)(0.2)+(3)(0.5)+(8)(0.3)

u( y)=3.6

u( y2)=(2)2(0.2)+(3)2(0.5)+(8)2(0.3)

u( y2)=21.4

σ 2=21.4 – (3.6)2

σ 2=8.44

σ=√8.44=2.91

5.71.- Encuentre la media μ, la varianza σ x2, y la desviación estándar σ x de la siguiente

distribución de dos puntos donde p+q=1.

x a bf(x) p q

E(X )=(a)(p)+(b)(q)

E(x )=(ap)+(bq)

μ=E (x)=(ap+bq)

E(X2)=(a2)( p)+(b2)(q)

E(X2)=(a2 p)+(b2q)

E (X 2)=(a2 p+b2q)

Var (x )=E (X2 )−E ¿

Var (X)=(a2 p+b2q )−(ap+bq)2

σ 2=Var (X )=pq (a−b )2

σ=√ pq (a−b )2=|a−b|√ pq

5.73 Se selecciona dos cartas de una caja que contiene 5 cartas numeradas 1, 1,2,2 y 3 Sea X la suma y Y el máximo de los dos números seleccionados. Encuentre la distribución, la media, la varianza y la desviación estándar de las variables aleatorias:

a) Xb) Yc) Z=x+ yd) W=XY

a)

x 2 3 4 5F(x) 0.1 0.4 0.3 0.2

E ( x )=2 (0.1 )+3 (0.4 )+4 (0.3 )+5 (0.2 )

E ( x )=3 .6

E(x2)=4 (0.4 )+9 (0.1 )+16 (0.2 )+25 (0.3 )

E(x2)=13.8

var (x )=E (x2 )−E ( x )2

var (x )=13.8−12.96

var (x )=0 .84

σ=√var (x)

σ=√0 .84=0 .91

b)

Y 1 2 3G(Y) 0.1 0.5 0.4

E ( y )= (0.1 )+2 (0.5 )+3 (0.4 )

E ( y )=2 .3

E( y2)=(0.1 )+4 (0.5 )+9 (0.4 )

E( y2)=5.7

var ( y )=E ( y2 )−E ( y )2

var ( y )=5.7−5.29

var ( y )=0 .41

σ=√var ( y)

σ=√0 .41=0 .64

c)

Tabla De Distribución Conjunta De X y Y

x\y 1 2 3 f(x)2 0.1 0 0 0.13 0 0.4 0 0.44 0 0.1 0.2 0.35 0 0 0.2 0.2

G(y) 0.1 0.5 0.4  

Z 3 5 6 7 8h(z) 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2

E ( z )=3 (0.1 )+5 (0.4 )+6 (0.1 )+7 (0.2 )+8(0.2)

E ( z )=5 .9

E(z2)=9 (0.1 )+25 (0.4 )+36 (0.1 )+49 (0.2 )+8(0.2)

E(z2)=37.1

var (z )=E ( z2)−E ( z )2

var (z )=37.1−34.81

var (z )=2.29

σ=√var (z)

σ=√2.29=1.51

d)

w 2 6 8 12 15h(w) 0.1 0.4 0.1 0.2 0.2

E (w )=2 (0.1 )+6 (0.4 )+8 (0.1 )+12 (0.2 )+15(0.2)

E ( z )=8 .8

E(w2)=4 (0.1 )+36 (0.4 )+64 (0.1 )+144 (0.2 )+225 (0.2)

E(w2)=95

var (w )=E (w2 )−E (w )2

var (w )=95−77.44

var (w )=17 .56

σ=√var (w)

σ=√2.29=4 .19

DISTRIBUCIONES CONJUNTAS, VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES

5.74.-Considere la distribución conjunta de X e Y en la fig 5.23 encuentre

a) E(x ) y E ( y)

b) Cov (x , y )c) σ x ,σ y y ρ(X ,Y )σ

x\y  -4 2 7  1 1/8   1/4 1/8   1/25  ¼  1/8  1/8 1/2    3/8 5/8   1/4  

a) E(x )=(1)(1 /2)+(5)(1 /2)

E(x )=3

E( y)=(−4)(3/8)+(2)(5 /8)+(7)(1/4 )

E( y)=1

b) E(x , y)=(−4)(1)(1/8)+(2)(1)(1/4)+(7)(1)(1/8)

+(−4 )(5)(1 /4)+(2)(5)(1/8)+(7)(5)(1/8)

E(x , y)=1.5

cov (x , y)=E(x , y) – E (x)E( y )

cov (x , y)=1.5– (3)(1)

cov (x , y)=1.5

c) E(x 2)=(1)2(1/2)+(5)2(1 /2)

E(x 2)=13

σ 2=13– 9

σ 2=4

σ=2

E( y2)=(−4 )2(3 /8)+(2)2(5 /8)+(7)2(1/4)

E( y2)=20.75

σ 2=20.75−1

σ 2=19.75

σ=4.4

ρ(x , y)=1.5/(2)(4.4)

ρ(x , y)=0.17

5.75.- Considere la distribución conjunta de X y Y en la figura 5.23(b). Encuentre:

(a) E (X ) yE ( y), (b) cov (X ,Y ) , (c)σ X ,σ Y  y ρ(X ,Y ).

x\y -2 -1 4 5 F(x)1 0.1 0.2 0 0.3 0.62 0.2 0.1 0.1 0 0.4

G(y) 0.3 0.3 0.1 0.3

a)

E ( x )=∑ x iF (x i)

E ( x )=1 (0.6 )+2 (0.4 )

E ( x )=0.6+0.8

E ( x )=1.4

E ( y )=∑ y iF ( y i)

E ( y )=−2 (0.3 )−1 (0.3 )+4 (0.1 )+5(0.3)

E ( y )=−0.6−0.3+0.4+1.5

E ( y )=1

b)

cov (X ,Y )=E ( X ,Y )−E (X ) E (Y )

E (X ,Y )=(1 ) (−2 ) (0.1 )+(1 ) (−1 ) (0.2 )+(1 ) (5 ) (0.3 )+(2 ) (−2 ) (0.2 )+(2 ) (−1 )(0.1)

+(2 ) (4 ) (0.1 )=−0.2−0.2+1.5−0.8−0.2+0.8=0.9

cov (X ,Y )=0.9−(1.4 ) (1 )=−0.5

(c)σ X ,σ Y

E (x2 )=∑ x i2 f (x i)

E (x2 )=(1 )2 (0.6 )+(2 )2(0.4)

E (x2 )=0.6+1.6

E (x2 )=2.2

var (x )=E (x2 )−(E (x))2

var (x )=2.2−(1.4)2=0.24

σ X=√var (x )=√0.24=0.489

E ( y2 )=∑ y i2 f ( y i)

E ( y2 )=(−2 )2 (0.3 )+ (−1 )2 (0.3 )+ (4 )2 (0.1 )+(5 )2(0.3)

E ( y2 )=1.2+0.3+1.6+7.5=10.1

var (x )=E ( y2 )−(E( y ))2

var ( y )=10.1−(1)2=9.1

σ Y=√var ( y )=√9.1=3.01

ρ (X ,Y )= cov ( x , y )σ X σY

= −0.53.01∗0.489

=−0.3

5.76.-Suponga que x e y son variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones respectivas:

x 1 2 y -2 5 8  0.7 0.3   0.3 0.5 0.2

encuentre la distribución h de x e y y verifique que la cov ( x , y )=0 :

x\y -2 5 81 0.21 0.35 0.14 0.72 0.09 0.15 0.06 0.3

0.3 0.5 0.2

E(x )=(1)(0.7)+(2)(0.3)

E(x )=1.3

E( y)=(−2)(0.3)+(5)(0.5)+(8)(0.2)

E( y)=3.5

E(x , y)=(1)(−2)(0.21)+(1)(5)(0.35)+(1)(8)(0.14)+¿

(2)(−2)(0.09)+(2)(5)(0.15)+(2)(8)(0.06)

E(x , y)=4.55

cov (x , y)=4.55 – (1.3)(3.5)

cov (x , y)=0

5.77.- Considere la distribución conjunta de X y Y en la figura 5/24(a). (a) Encuentre E(X) y E(Y)   (b) Determine si X y Y son  independientes (c) Encuentre la cov (X,Y).

x\y 2 3 4 f(x)1 0.06 0.15 0.09 0.32 0.14 0.35 0.21 0.7

G(y)  3/8 5/8  1/4   

Fig. 5/24 (a)

(a)

E(X )=(1)(0.30)+(2)(0.70)

E(X )=0.30+1.4

E(X )=1 .7

E(Y )=(2)(3/8)+(3)(5 /8)+(4)(1/4)

E(Y )=3/4+15/8+1

E(Y )=29/8=3 .1

(b)

Sisonindependientes

(c )

DebesercerosiXyYsonindependientes

E(X ,Y )=(1)(2)(0.06)+(1)(3)(0.15)+(1)(4 )(0.09)+(2)(2)(0.14)+(2)(3)(0.35)+(2)(4)(0.21)

E(X ,Y )=0.12+0.45+0.36+0.56+2.1+1.68

E(X ,Y )=5.27

Cov (X ,Y )=E(X ,Y )−E(X )E (Y )

Cov (X ,Y )=5.27−(1.7)(3.1)

Cov (X ,Y )=0

P≥1− 1

22

P≥0.75

5.78.-Considere la distribución conjunta de x e y en la figura encuentre:

a) E ( x ) yE ( y ) .

b) Determine x e y son independientes.

c) Encuentre la distribución la media y la desviación estándar de la variable.

x\y -2 -1 0 1 2 30 0.05 0.05 0.1 0 0.05 0.051 0.1 0.05 0.05 0.1 0 0.052 0.03 0.12 0.07 0.06 0.03 0.04

a) E(x )=(0)(0.30)+(1)(0.35)+(2)(0.35)

E(x )=1.05

E ( y )= (−2 ) (0.18 )+ (−1 ) (0.22 )+ (0 ) (0.22 )+ (1 ) (0.16 )

+(2)(0.08)+(3)(0.14)

E( y)=0.16

b) (0.3)(0.18) = 0.05

0.054 = 0.05 no son independientes

(0.30)(0.22) = 0.05

0.066 = 0.05

c)

z -2 -1 0 1 2 3 4 5  0.05 0.15 0.18 0.17 0.22 0.11 0.08 0.04

E ( z )=(−2 ) (0.05 )+(−1 ) (0.15 )+¿

(0)(0.18)+(1)(0.17)+(2)(0.22)+(3)(0.11)

+(4)(0.08)+(5)(0.04)

E(z )=1.2

E(z 2)=(−2)2(0.05)+(−1)2(0.15)+(0)2(0.18)+(1)2(0.17)

+(2)2(0.22)+(3)2(0.11)+(4)2(0.08)+(5)2(0.04 )

E(z 2)=4.67

Var (z )=4.37 – (1.21)2

Var (z )=3.21

σ=√3.21

σ=1.79

5.79.- Una moneda equilibrada se lanza 4 veces sea X el numero de caras que ocurren y sea Y la secuencia de caras mas larga que ocurre.

a) Determine la función conjunta de X y Yb) Encuentre cov(X,Y) y p(X,Y)

a)

x\y 0 1 2 3 4 f(x)0  1/16 0 0 0 0  1/61 0 4/16  0 0 0  4/162 0  3/16 3/16  0 0  6/163 0 0  2/16 2/16  0  4/164 0 0 0 0 1/16   1/16

G(y)  1/16 7/16  5/16  2/16  1/16   

b)

E ( x , x )=( 116 )+ 416+ 616 + 1216

+ 1216

+ 1816

+1=5.41

cov ( x , x )=E ( x , x )−E ( x )E( y)

cov ( x , x )=5.41−(2∗1.7 )=0.85

ρ(x , x)=cov (x , y)σ x σ y

ρ(x , x)= 0.85(0.64 )(1.7)

ρ ( x , x )=0 .89

5.80.-Se seleccionan dos caras al azar de una caja que contiene cinco caras numeradas 1, 1, 2, 2 y 3 sea x la suma y y al máximo de los 2 números sacados

a) Determinar la distribución conjunta de x e y

b) Encuentre la cov(x,y) y 𝝆(x,y)

a)

x\y 1 2 32 0.1 0 03 0 0.4 04 0 0.1 0.25 0 0 0.2

E(x )=(2)(0.1)+(3)(0.4)+(4)(0.3)+(5)(0.2)

E(x )=3.6

E( y)=(1)(0.1)+(2)(0.5)+(3)(0.4 )

E( y)=2.3

E(x , y)=(1)(2)(0.1)+(2)(3)(0.4)+(3)(4)(0.2)+(3)(5)(0.2)+(2)(4)(0.1)

E(x , y)=8.8

Cov (x , y )=E(x , y) – E (x)E( y )

Cov (x , y )=8.8 – (3.6)(2.3)

Cov (x , y )=0.52

E(x 2)=(2)2(0.1)+(3)2(0.4)+(4)2(0.3)+(5)2(0.2)

E(x 2)=13.8

σ 2=13.8– (3.6)2

σ 2=0.84

σ=√0.84=0.92

E( y2)=(1)2(0.1)+(2)2(0.5)+(3)2(0.4)

E( y2)=5.7

σ 2=5.7– (2.3)2

σ 2=0.41

σ=√0.41=0.64

ρ(x , y)=cov (x , y)/σ x σ y

ρ(x , y)=0.52/(0.92)(0.64 )

ρ(x , y)=0.9

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV

5.81.- Sea X una variable aleatoria con media μ y desviación estándar σ . Utilice la

desigualdad de Chebyshev para estimar P(μ−3σ ≤μ+3 σ).

Por el teorema:

P (μ−kσ ≤ X ≤ μ+kσ )≥1− 1

k2

P (μ−3σ ≤ X ≤μ+3σ )≥1− 1

32

P (μ−3σ ≤ X ≤μ+3σ )≥1−19

P (μ−3σ ≤ X ≤μ+3σ )≥0.888

5.82.-Sean z la variable aleatoria normal estándar con media u=0 y desviación estándar

σ=1. Utilice la desigualdad de chebyshev para encontrar un valor b para el cual

P(−b≤z≤b)≥0.9

1 –1/k 2=0.9

0.1=1/k 2

K=√10

b=k σ

b=√10(1)

b=√10

5.83.- Sea una variable aleatoria con media μ=0 y desviación estándar σ x=1.5. Utilice la

desigualdad de Chebyshev para estimar: P (-3 ≤ X ¿ 3).

P (μ−kσ≤ X ≤μ+kσ )≥1− 1

k2

P (0−1.5 k≤ X ≤0+1.5k )≥1− 1

k2

0−1.5k=−3

−1.5k=−3

k=2

P≥1− 1

k2

0+1.5k=3

1.5k=3

k=2

5.84.-Sea x una variable aleatoria con media u=70¿para que valor de σprodujerala desigualdad de chebyshevP(65≤X≤75)≥0.95?

1−1 /K=0.95

0.05=1/K

K=√20

u−k σ=65

70−√20 σ=65

σ= 5

√20=1.12

5.85.- Sea X una variable aleatoria con media u=100 y desviación estándar σ=10. Utilice la desigualdad de Chebyshev para estimar:

a) P (X ≥120 )b) P (X ≤75 )

Datos

u=100

σ=10

a)

P (u−kσ )≤X ≤ (u+kσ )≥1− 1

k2

u−kσ=120

100−k 10=120

k 10=100−120

k=100−12010

k=−2

1− 1

(−2)2=0.75

P (X ≥120 )=075

b)

P (u−kσ )≤X ≤ (u+kσ )≥1− 1

k2

u+kσ=75

100+k10=75

k 10=75−100

k=75−10010

k=−2.5

1− 1

(−2.5)2=0.84

P (X ≤75 )=0 .84

PROBLEMAS MISCELÁNEOS

5.86.-Sean x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución

1/8 si0≤x≤8

f (x) = 0enotras partes

Encuentre:

a) P(2≤x≤5)

b) P(3<=x<=7)

c) P(x>=6)

a) A=b∗h

A=(3)(1/8)

A=3/8

b) A=(4)(1/8)

A=½

c) A=(2)(1/8)

A=¼

5.87.- Determine y trace la grafica de la función de distribución acumulada F de la variable aleatoria X del problema 5.86.

f ( x )={ 18si0≤x ≤8

0enotraspartes

(a) P(2≤ X ≤5), (b)P(3≤ X ≤7), (c) P(X≥6).

{0 x<0116X

1x>8

0≤ x≤8

Por consiguiente obtenemos  una función de probabilidad acumulativa:

F ( x ) esiguala :0 six<0 , X8si0≤ x≤8 , y 1 six>8

5.88.-Sea x una variable aleatoria continua con la siguiente distribución

Kx si0≤x≤5

f(x) = 0enotr a parte

Evalué k y encuentre

a) P(1≤x≤3)

b) P(2≤x≤4 )

c) P(x≤3)

A=b∗h/2

1=(5k )(5)/2

K=2/25

a) f (1)=2/25

f (3)=6 /25

a=½(2/25+6/25)(2)

a=8 /25

b) f (2)=4 /25f (4 )=8/25

a=½(4 /25+8/25)(2)

a=12/25

c) f (3)=6 /25

f (0)=0

a=(6/25)(3)/2=9 /25

5.89.- Grafique la función de distribución acumulada F de la variable aleatoria discreta X con la siguiente distribución:

x -3 2 6f(x)  1/4 1/2 1/4 

F ( X )=14∗μ−1 (x+3 )+ 1

2∗μ−1 ( x−2 )+ 1

4μ−1 ( x−6 )

5.90.-Pruebe el teorema 5.11 sea x , y , z variables aleatorias de S con Z=ф (x , y )entonces

E(Z) = ∑i , j

❑

ф ( xi , yj )h (xi , yj) donde h es la distribución conjunta de x e y

X=Xi ,……. Xn

Y=Yi…… ..Ym

Z=ф (x , y )

g(Z)=∑i , j

❑

h(xi , yj)

E(Z )=∑i , j

❑

Zg (Zj )=∑❑

❑

Z∑❑

❑

h(Xi ,Yj )

E(Z )=∑i , j

❑

h (Xi ,Yj )∑❑

❑

Z=¿∑❑

❑

ф (x , y )h(Xi ,Yj )¿

5.91.- Sea X una variable aleatoria para el cual σ x≠0 demuestre que p(x,x)=1 y p(x,-x)=-1

x 1 2 3f(x) 0.1 0.5 0.4

E ( x )=2 .3

σ=√0 .41=0 .64

x\x 1 2 3 f(x)1 0.1 0 0 0.12 0 0.5 0 0.53 0 0 0.4 0.4

F(x) 0.1 0.5 0.4

E ( x , x )=(0.1 )+2+3.6=5.7

cov ( x , x )=E ( x , x )−E ( x )E(x )

cov ( x , x )=5.7−(2.3∗2.3 )=0.41

ρ(x , x)=cov (x , y)σ xσ x

ρ(x , x)= 0.41(0.64 )(0.64)

ρ(x , x)=1

x\x -1 -2 -3 f(x)1 0.1 0 0 0.12 0 0.5 0 0.53 0 0 0.4 0.4

F(x) 0.1 0.5 0.4

E ( x , x )=− (0.1 )−2−3.6=−5.7

cov ( x , x )=E ( x , x )−E ( x )E(x )

cov ( x , x )=−5.7+(2.3∗2.3 )=−0.41

ρ(x , x)=cov (x , y)σ xσ x

ρ(x , x)= −0.41(0.64 )(0.64)

ρ ( x , x )=−1