Probabilidades I

Matem

ática

GUICEN017MT22-A11V1 1

Probabilidades IGUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

Nº

Desafío

Se lanza una moneda seis veces. Con respecto a todas las posibles combinaciones de resultados, es correcto afirmar que I) en la mitad de ellas, el resultado del primer lanzamiento es igual al resultado del último lan-

zamiento.II) en 20 de ellas, se obtiene igual cantidad de caras que de sellos.III) en 6 de ellas, se obtienen a lo menos cinco sellos.

Es(son) verdadera(s)

A) solo I.B) solo III.C) solo I y II.D) solo II y III.E) I, II y III.

Mis observacionesResolución

2

Combinatoria

Sin repetición

Por ejemplo, ordenar las letras

de la palabra MURCIELAGO.

Con repetición

Pn = n!

Se ordenan un total de n elementos distintos.

Se ordenan un total de n elementos, habiendo a de un tipo, b de otro, c de otro, etc.

Permutación

PRna,b,c... =

n!a! ⋅ b! ⋅ c! ⋅...

Por ejemplo, ordenar las letras

de la palabra MATEMATICA.

Sin repetición

Por ejemplo, escoger 3

personas de un total de 7.

Con repetición

De n tipos de elementos se escogen p elementos que pueden repetirse, sin importar el orden.

De un total de n elementos distintos se escogen p elementos, sin importar el orden.

Combinación

Por ejemplo, escoger 3 bolitas de una bolsa con

bolitas de 2 colores.

Cn,p = n!

(n – p)! ⋅ p! CRn,p = (n + p – 1)!p! ⋅ (n – 1)!

Por ejemplo, determinar el 1er, 2° y 3er lugar en

un concurso de7 personas.

Vn,p = n!

(n – p)!

De un total de n elementos distintos se escogen p elementos, importando el orden.

Se ordenan un total de n elementos, habiendo a de un tipo, b de otro, c de otro, etc.

Variación o arreglo

VRn,p = np

Por ejemplo, formar un número

de 3 cifras.

Por ejemplo, si se lanza una moneda 5 veces.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

5 ca

ras

/ 0 s

ello

4

cara

s / 1

sel

lo

3 ca

ras

/ 2 s

ello

s 2

cara

s / 3

sel

los

1 ca

ras

/ 4 s

ello

s 0

cara

s / 5

sel

los

Triángulo de Pascal: se utiliza en experimentos dicotómicos reiterados. Indica la cantidad de combinaciones con un cierto resultado.

Con repeticiónSin repetición

3

GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

MAT

EMÁ

TIC

A

Probabilidad clásica

Espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

La cantidad de elementos del espacio muestral se conoce como “casos totales” o “casos posibles” del experimento.

La cantidad de elementos del evento o suceso se conoce como “casos favorables” del evento.

La “Ley de los grandes números” indica que si se realiza una gran cantidad de veces un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de cada evento tiende al valor de su probabilidad teórica.

Evento o suceso (A) es un subconjunto del espacio muestral, definido por alguna condición.

Probabilidad de que no ocurra A:

P(A) = 1 – P(A)

Experimento aleatorio es aquel en que el resultado no se puede predecir.

Regla de Laplace

P(A) = casos favorablescasos posibles

La probabilidad de que ocurra A es el cuociente entre los casos favorables de A y los casos posibles del experimento.

0 ≤ P ≤ 1

P = 0 ⇒ evento imposible.P = 1 ⇒ evento seguro.

4

Tipos de probabilidades

Excluyentes: no es posible que ocurran simultáneamente.

Tipos de eventos

Dependientes: la probabilidad de uno está influida por la ocurrencia del otro.

Independientes: la probabilidad de uno NO está influida por la ocurrencia del otro.

No excluyentes: es posible que ocurran simultáneamente.

Tipos de probabilidades

Probabilidad de la intersección: probabilidad

de que ocurra A y B.

Sucesos independientes:P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B)

Sucesos dependientes:P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B/A)

Teorema de BayesP(A/B) = P(B/A) ⋅ P(A)

P(B)

Probabilidad condicionada: probabilidad de que ocurra

B, dado que ocurrió A

Sucesos independientes:P(B/A) = P(B)

Sucesos dependientes:

P(B/A) = P(A∩B)

P(A)

Probabilidad de la unión: probabilidad de que ocurra

A o B

Sucesos excluyentes:P(A∪B) = P(A) + P(B)

Sucesos no excluyentes:P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

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MAT

EMÁ

TIC

A

Función de probabilidad y distribución

f(xi)Probabilidad que la variable

aleatoria tome el valor xi

F(xi) = f(x ≤ xi) Probabilidad que la variable aleatoria

tome un valor menor o igual que xi

Variable aleatoria x: asocia un evento con un valor.

Variable aleatoria discreta: toma solo valores enteros.

Si son N datos en total ⇒ F(xN) = 1

Función de probabilidad f: asocia el valor de la variable aleatoria con el valor de la probabilidad de esta.

Función de distribución acumulada F: indica la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que un cierto valor.

f(xi) = F(xi) – F(xi – 1) F(xi) = f(x1) + f(x2) + f(x3) + … + f(xi)

Variable aleatoria continua: toma cualquier valor real.

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Ejercicios PSU

1. ¿Cuántos números distintos de tres cifras se pueden escribir con los dígitos 4, 5 y 6, sabiendo que se pueden utilizar una sola vez?

A) 6 D) 27 B) 9 E) 120 C) 15

2. En una carrera de velocidad participan 9 competidores. ¿De cuántas formas distintas se pueden definir los tres primeros lugares, sabiendo que no hay empates?

A) 56 D) 504 B) 84 E) 729 C) 168

3. La clave de una caja fuerte corresponde a un número de tres dígitos, todos ellos mayores que 1. ¿Cuántos números distintos podrían ser la clave de la caja fuerte?

A) 90 D) 720 B) 336 E) 1.000 C) 512

4. En una urna se tienen n tarjetas numeradas de 1 a n, todas de igual peso y tamaño, con n un número natural distinto de 1. Al extraer una tarjeta al azar, la probabilidad de extraer el número (n – 1) es

A) 1n D) 1

B) 1n – 1 E) n

n – 1

C) n – 1n

7


MAT

EMÁ

TIC

A5. Si se escoge un número al azar entre los primeros 30 números naturales, ¿cuál es la probabilidad de que este sea un número primo?

A) 130

D) 1130

B) 110

E) 23

C) 13

6. Una bandeja contiene 25 canapés de palmito, 45 canapés de camarones y 30 canapés de jamón serrano, todos de igual peso y tamaño. Si se extrae un canapé al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ese canapé NO sea de jamón serrano?

A) 7

10 D) 1

30

B) 37

E) 170

C) 310

7. Al lanzar un dado común, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener un divisor de 6 es 13

.

II) La probabilidad de obtener un múltiplo de 6 es 16 .

III) La probabilidad de obtener un número primo es igual a la probabilidad de obtener un número impar.

A) Solo I D) Solo II y III B) Solo II E) I, II y III C) Solo III

8

8. Un experimento consiste en lanzar una moneda, un dado azul y un dado rojo. Si en la moneda sale cara, el resultado del experimento es igual al resultado del dado azul. En cambio si sale sello, el resultado del experimento es igual al doble del resultado del dado rojo. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral de este experimento?

A) 2 D) 12 B) 6 E) 18 C) 9

9. Se lanzan simultáneamente una moneda de $ 50 y una moneda de $ 100, cuatro millones de veces. Entonces, se puede afirmar que

I) exactamente dos millones de veces saldrá cara en la moneda de $ 50 y sello en la moneda de $ 100.

II) teóricamente, un millón de veces saldrá cara en ambas monedas. III) teóricamente, tres millones de veces NO saldrá cara en ninguna de las monedas.


A) solo I. D) solo II y III. B) solo II. E) I, II y III. C) solo I y III.

10. La tabla adjunta muestra la venta de dos tipos de hortalizas en una feria el día domingo, separados por color. Si se elige una hortaliza al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea o bien un pimentón de cualquier color o bien cualquier hortaliza de color verde?

Verde RojoAjí 48 34

Pimentón 55 36

A) 139173

D) 55173

B) 5591

E) Ninguna de las probabilidades anteriores.

C) 55103

9


MAT

EMÁ

TIC

A11. Si se lanzan 2 monedas, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos sellos?

A) 1 D) 13

B) 23 E) 1

4 C) 1

2

12. Al lanzar cuatro monedas, ¿cuál es la probabilidad que se obtengan a lo más tres sellos? A) 1

8 D) 78

B) 14 E) Ninguna de las probabilidades anteriores.

C) 34

13. Si un matrimonio tiene tres hijos, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean hombres y uno sea mujer?

A) 1

8 D) 23

B) 14 E) 3

8

C) 13

14. De la última fila del triángulo de Pascal mostrado en la figura, se puede concluir que al lanzar una moneda cinco veces, teóricamente

I) solo se pueden obtener dieciséis posibles resultados distintos. II) en uno de los resultados posibles se obtiene solo sellos. III) en seis de los resultados posibles se obtiene a lo menos, cuatro caras.


1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

A) solo I. B) solo II. C) solo I y II. D) solo I y III. E) solo II y III.

Entren

amient

oProg

rama

10

15. La tabla adjunta muestra la experiencia laboral que tienen los postulantes a una empresa de seguros. Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Experiencia Laboral

Sexo Con experiencia Sin experienciaMasculino 150 30Femenino 50 20

I) La probabilidad de que sea varón es de 180250

.

II) La probabilidad de que sea mujer es de 70180

.

III) La probabilidad de que tenga experiencia laboral es de 200250.

A) Solo I D) Solo I y III B) Solo II E) Solo II y III C) Solo III

16. Se tiene una bolsa con bolitas numeradas del 1 al 20, todas de igual peso y tamaño. Si se extrae una bolita al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar o un número múltiplo de 8?

A) 35

D) 110

B) 1120


C) 12

17. Se tiene un naipe inglés (52 cartas). Si se extrae una carta al azar, ¿cuál es la probabilidad de sacar un seis o un as?

A) 1

52 · 1

52 D) 1

13 + 1

13

B) 113

· 113


C) 152

+ 152

11


MAT

EMÁ

TIC

A18. Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor o igual que 3 o un número impar?

A) 12 D) 1

B) 2

3 E) 43

C) 56

19. Se tiene un naipe inglés (52 cartas). Si se extraen dos cartas al azar y al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad que las dos sean de la misma pinta?

A) 1352 · 13

52

B) 4(1352 · 12

51) C) (13

52)2 + (13

52)2 + (13

52)2 + (13

52)2

D) 1352 + 13

52

E) 1352 + 13

52 + 1352 + 13

52

20. Al lanzar tres dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de obtener tres dos?

A) 1216 D) 1

6

B) 172 E) Ninguna de las probabilidades anteriores.

C) 118

12

21. Se tienen 3 estuches P, Q y R. El estuche P contiene 3 lápices de pasta azul y 4 lápices de mina, el estuche Q contiene 5 lápices de pasta azul y 7 lápices de mina y el estuche R contiene 8 lápices de pasta azul y 2 lápices de mina, todos de igual peso y tamaño. Si se extrae al azar un lápiz de cada estuche, ¿cuál es la probabilidad de que los tres lápices sean de pasta azul?

A) 1840 D) 16

29

B) 329 · 5

29 · 829 E) Ninguna de las probabilidades anteriores.

C) 17

22. Se tiene un naipe inglés (52 cartas). Si se extraen dos cartas al azar, con reposición, ¿cuál es la probabilidad de sacar un nueve y un káiser?

A) ( 1

52 )2 D) 8

52

B) ( 452 )2


C) 252

23. En una tómbola hay 80 bolitas de igual peso y tamaño, de las cuales 26 son azules, 24 son blancas y el resto son rojas. Si se extraen 4 bolitas al azar, ¿cuál es la probabilidad de extraer una bolita azul, una blanca, una roja y nuevamente una azul, en ese orden y sin reposición?

A) 26

80 + 2479 + 30

78 + 2577 D) 26

80 · 2479 · 30

78 · 2577

B) 2680 +

2480 + 30

80 + 2580 E) 26

80 · 2480 · 30

80 · 2680

C) 2680 · 24

79 · 3078 · 26

77

13


MAT

EMÁ

TIC

A24. Al lanzar dos dados, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de obtener dos números pares es 536 .

II) La probabilidad de obtener dos números primos es 12 .

III) La probabilidad de obtener dos números iguales es 16 .

A) Solo I D) Solo II y III B) Solo III E) I, II y III C) Solo I y III

25. La siguiente función f se define para una variable aleatoria discreta x.

k2x , si x = 0 ó 1

x6 ( k

3 + 12 ) , si x = 2, 3 ó 4

532 , si x = 5 ó 6

0 , en otro caso

f(xi) = P(x = xi) =

¿Cuál(es) es(son) el(los) posible(s) valor(es) de k para que f sea una función de probabilidad?

A) 14

y – 14

D) 14

B) 116

y – 116

E) – 14

C) 12

14

26. La siguiente función de distribución acumulada F se define para una variable aleatoria discreta x con función de probabilidad f.

0 , si x < 1

114 , si 1 ≤ x < 2

27 , si 2 ≤ x < 3

37 , si 3 ≤ x < 4

1114 , si 4 ≤ x < 5

f(xi ≤ x) = F(x) =

¿Cuál es el valor de f(2) + f(4)?

A) 314

B) 37

C) 12

D) 47

E) 1514

27. Si se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad que el resultado sea un número impar mayor que 5?

A) 0 D) 12

B) 112

E) 23

C) 16

15


MAT

EMÁ

TIC

A28. En un curso hay 15 hombres y 20 mujeres. Se sabe que 12 de esos hombres y 14 de esas mujeres prefieren pastel de selva negra y el resto prefiere pastel de piña. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esa persona sea hombre y prefiera pastel de piña?

A) 135

D) 14

B) 335


C) 15

29. En una caja hay 300 bolitas, todas de igual peso y tamaño. Si las bolitas solo pueden ser amarillas o verdes, se puede determinar cuántas bolitas verdes hay en la caja si:

(1) Hay tantas bolitas amarillas como verdes. (2) Si se extrae una bolita al azar, la probabilidad de sacar una bolita amarilla es del 50%.

A) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional. C) Ambas juntas, (1) y (2).

30. Se tiene una lista con diez números naturales, ninguno de ellos repetido. Al extraer de la lista dos números al azar, uno tras otro y sin reposición, se puede determinar la probabilidad de que ambos sean pares si:

(1) El menor de los números es 5. (2) Los números son consecutivos.

A) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional. C) Ambas juntas, (1) y (2).

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