Curs 2013-14 URV 1

Probabilitat

Bioestadística - Medicina

2

Probabilitat condicionada

)(

)()(

Bp

BApBAp

S’anomena probabilitat de A condicionada a B,al valor de la probabilitat de A sabent que l’esdeveniment B ja ha succeït :

)()()()()( ABpApBApBpBAp

Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV

3

Probabilitat condicionada

Dos esdeveniments A i B son independents si el fet de que es presenti un d’ells, no afecta a la probabilitat de que es presenti l’altre: P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Dos esdeveniments A i B son equiprobables si: P(A) = P(B)

Dos esdeveniments A I B son incompatibles si: P(A ∩ B) = 0

Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV

4

)()()()()()()( 2211 kk ABpApABpApABpApBp )()()( 21 BABABAB k

Ω

A1B AkA2

Teorema de la probabilitat total

Sigui A1, A2, A3, …, Ak, una partició del espai mostral Ω

Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV

5

Teorema de Bayes

iii

iii ABpAp

BAp

Bp

BApBAp

)()(

)(

)(

)()(

Ω

A1B AkA2

El Teorema de Bayes ens permet calcular la probabilitat de que es doni un esdeveniment, sabent que com a resultat final del experiment s’ha produït altre determinat esdeveniment

Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV

6

P(D)=0’7 P(F|D)=0’1 P(F|H)=0’2

Quin percentatge de fumadors hi ha en total?

P(F) = P(D) P(F|D) + P(H) P(F|H)

= 0’1 x 0’7 + 0’2 x 0’3 = 0’13 = 13%

Si escollim un individu a l’atzar i resulta que és fumador. Quina és la probabilitat de que sigui un home?

P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0’2 x 0’3 / 0’13 = 0’46 = 46%

Exemple: Si en aquesta aula el 70% dels alumnes són dones, entre les dones el 10% són fumadores i entre els homes són fumadors el 20%.

Teorema de Bayes

Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV

7

Expressió del problema en forma d‘arbre

Estudiant

Dona

No fuma

Home

Fuma

No fuma

Fuma

0’7

0’1

0’20’3

0’8

0’9 P(F) = 0’7 x 0’1 + 0’3 x 0’2 = 0’13

P(H|F) = 0’3 x 0’2 / P(F) = 0’06 / 0’13

Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV

Combinatoria

8Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV

9

Combinatoria

Permutacions

Sense repetició

Amb repetició

Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV

10

Combinatoria

Variacions

Sense repetició

Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV

11

Combinatoria

Combinacions

Sense repetició

Bioestadística - Medicina Curs 2013-14 URV