PROBLEMA DEL TRANSPORTE O DISTRIBUCIÓN.docx

8/15/2019 PROBLEMA DEL TRANSPORTE O DISTRIBUCIÓN.docx

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PROBLEMA DELTRANSPORTE O

DISTRIBUCIÓN

El problema del transporte o distribución es un problema de redes especial

en programación lineal que se funda en la necesidad de llevar unidades de un

punto específico llamado Fuente u Origen hacia otro punto específico

llamado Destino. Los principales objetivos de un modelo de transporte son la

satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los destinos y claro

está la minimización de los costos relacionados con el plan determinado por las

rutas escogidas.

El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es amplio y puede

generar soluciones atinentes al área de operaciones inventario y asignación de

elementos.

El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se puede llevar a

cabo medianteprogramación lineal com!n sin embargo su estructura permite la

creación de m!ltiples alternativas de solución tales como la estructura de

asignación o los m"todos heurísticos más

populares como #ogel Esquina $oroeste o %ínimos &ostos.

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'ryan (ntonio )alazar LópezLos problemas de transporte o distribución son uno de los más aplicados en la

economía actual dejando como es de prever m!ltiples casos de "xito a escala

global que estimulan la aprehensión de los mismos.

*+,'LE%( -E +($)*,+E%E-/($E *+,0+(%(&/1$ L/$E(L

&omo se mencionó anteriormente la programación lineal puede ser utilizada

para la resolución de modelos de transporte aunque no sea sensato resolver

los modelos mediante el %"todo )implex si puede ser de gran utilidad la fase

de modelización la programación carece de la practicidad de los m"todos de

asignación pero puede ser de gran importancia dependiendo de la complejidad

de las restricciones adicionales que puede presentar un problema particular.

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EL *+,'LE%(

2na empresa energ"tica colombiana dispone de cuatro plantas de generación

para satisfacer la demanda diaria el"ctrica en cuatro ciudades &ali 'ogotá

%edellín y 'arranquilla. Las plantas 345 y 6 pueden satisfacer 78 58 98 y 6:

millones de ;< al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de

&ali 'ogotá %edellín y 'arranquilla son de =8 68 =8 y 5: millones de ;> al

día respectivamente.

Los costos asociados al envío de suministro energ"tico por cada millón de ;<

entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

>>>.ingenieriaindustrial

online.com

?ormule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las

necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos

asociados al transporte.

),L2&/1$ %E-/($E *L

El modelo básico de transporte es el modelo en el cual la cantidad ofertada es

igual a la cantidad demandada como es el caso de este ejercicio sin embargo

trasladar esta suposición a la realidad es casi imposible por lo cual hace falta

crear orígenes y@o destinos ficticios con el excedente de oferta y@o demanda.

&omo ya lo hemos planteado en módulos anteriores el primer paso

corresponde a la definición de las variables regularmente se le denomina a las

variables de manera algebraica Aij donde i simboliza a la fuente y j simboliza al

destino. En este caso i define el conjunto B*lanta 3 *lanta 4 *lanta 5 y *lanta

6C y j define el conjunto B&ali 'ogotá %edellín y 'arranquillaC. )in embargo es

práctico renombrar cada fuente y destino por un n!mero respectivo por ende la


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variable A34 corresponde a la cantidad de millones de ;< enviados

diariamente de la *lanta 3 a la ciudad de 'ogotá.

>>>.ingenieriaindustrialonline.com

El segundo paso corresponde a la formulación de las restricciones de oferta y

demanda cuya cantidad se encuentra determinada por el factor entre fuentes y

destinos en este caso 39 restricciones.

+estricciones de oferta o disponibilidad las cuales son de signo D

A33 F A34 F A35 F A36 D 78

A43 F A44 F A45 F A46 D 58

A53 F A54 F A55 F A56 D 98

A63 F A64 F A65 F A66 D 6:


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+estricciones de demanda las cuales son de signo G

A33 F A43 F A53 F A63 G =8

A34 F A44 F A54 F A64 G 68

A35 F A45 F A55 F A65 G =8

A36 F A46 F A56 F A66 G 5:

Luego se procede a formular la función objetivo en la cual se relaciona el costo

correspondiente a cada ruta.

H%/$ I :A33 F 4A34 F =A35 F 5A36 F 5A43 F 9A44 F 9A45 F 3A46 F 9A53 F 3A54 F

4A55 F 6A56 F 6A63 F 5A64 F 9A65 F 9A66

Luego se puede proceder al uso de la herramienta


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Este problema presenta una solución óptima alternativa aquí los resultados.


+ed )olución

%odelo de ransporte


Los análisis de dualidad y sensibilidad en los modelos de transporte resultan

ser bastante interesantes pues pueden llegar a determinar aumentos de


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capacidad en las fuentes si el precio sombra de las rutas en relación a ellas lo

justifica.

https://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-1-problema-de-transporte-2/

2.1 Problema de Transporte

2.1 Problema de Transporte

2.1.1 Método esquina noroeste 2.1.2 Procedimineto de optimizacion

Programación Lineal

Un modelo de Programación ineal !P" considera #ue las $ariables de decisión tienen un

comportamiento lineal% tanto en la &unción objeti$o como restricciones del problema. 'n este

sentido% la Programación ineal es una de las herramientas m(s utilizadas en la )n$estigación

*perati$a debido a #ue por su naturaleza se &acilitan los c(lculos + en general permite una

buena apro,imación de la realidad.

os odelos atem(ticos se di$iden b(sicamente en odelos etermistas !" o odelos

'stoc(sticos !'". 'n el primer caso !" se considera #ue los par(metros asociados al

modelo son conocidos con certeza absoluta% a di&erencia de los odelos 'stoc(sticos% donde

la totalidad o un subconjunto de los par(metros tienen una distribución de probabilidad

asociada. os cursos introductorios a la )n$estigación *perati$a generalmente se en&ocan

sólo en odelos etermistas.

https://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-1-problema-de-transporte-2/https://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-1-problema-de-transporte-2/http://wp.me/PS9lR-2Bhttp://wp.me/PS9lR-2Ihttp://wp.me/PS9lR-2Thttps://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-1-problema-de-transporte-2/https://jorgesosasanchez.wordpress.com/unidad-2/2-1-problema-de-transporte-2/http://wp.me/PS9lR-2Bhttp://wp.me/PS9lR-2Ihttp://wp.me/PS9lR-2T


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as aplicaciones de los modelos de Programación ineal abarcan di$ersas (reas de la

)ngeniera. 0 continuación un bre$e compendio de alguna de sus aplicaciones + re&erencias

de inters para el lector:

1. Problema de Transporte: (Referencia: Hitchcock, 191!"antoro#ich, 19$! "oopmans 19%&. 'l problema consiste en decidircu(ntas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen !platas%ciudades% etc" a ciertos puntos de destino !centros de distribución% ciudades%etc" de modo de minimizar los costos de transporte% dada la o&erta +demanda en dichos puntos. e suponen conocidos los costos unitarios detransporte% los re#uerimientos de demanda + la o&erta disponible.

Por ejemplo% suponga #ue una empresa posee dos plantas #ue elaboran un

determinado producto en cantidades de 234 + 544 unidades diarias%respecti$amente. ichas unidades deben ser trasladadas a tres centros dedistribución con demandas diarias de 244% 244 + 234 unidades%respecti$amente. os costos de transporte !en 6/unidad" son:

e re#uiere &ormular un modelo de Programación ineal #ue permitasatis&acer los re#uerimientos de demanda al mnimo costo.

'olción:

)ariables de *ecisión: +i : Unidades transportadas desde la planta i !i71%2" hasta el centro de distribución j !j71% 2% 8"

-nción beti#o: /inimi0ar el costo de transporte dado por la&unción: $1+11 $2+1$ 12+13 $4+$1 13+$$ 19+$3

Restricciones:

'atisfacer los re5erimientos de *emanda:


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911 921 7 244

912 922 7 244

918 928 7 234

'eto a la ferta de las plantas::

911 912 918 7 234

921 922 928 7 544

6o 6egati#idad: +i 78

'l siguiente diagrama permite una $isualización de la situación anterior:

Resolción tili0ando el complemento 'ol#er de /icrosoft ;cel:

1. lclo de ;cel.


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. 'eleccione @Resol#erA. btendr> la solción al problema B podr>re5erir los Cnformes de 'ol#er. -inalmente presione @


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/Ftodo de Transportefebrero $4, $13

;


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1: 'n la celda seleccionada como es#uina =oroeste se debe asignar la m(,ima

cantidad de unidades posibles% cantidad #ue se $e restringida +a sea por las

restricciones de o&erta o de demanda. 'n este mismo paso se procede a ajustar la

o&erta + demanda de la >la + columna a&ectada% restando la cantidad asignada a la

celda.

2:'n este paso se procede a eliminar la >la o destino cu+a o&erta o demanda sea 4

despus del ?Paso 1@% si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual

eliminar + la restante se deja con demanda u o&erta cero !4" segAn sea el caso.

3:Una $ez en este paso e,isten dos posibilidades% la primera #ue #uede un solo

renglón o columna% si este es el caso se ha llegado al >nal el mtodo% ?detenerse@.

La segnda es 5e 5ede m>s de n renglón o colmna, si este es el

caso iniciar ne#amente el @Paso 1A.

Por emplo:

'e tienen 3 departamentos cacia es el tiempo del $iaje

redondo + se desea contribuir las 82 cargas de los departamentos 0% ; + C a los

departamentos B% 9% < + D en &orma tal #ue el tiempo total in$ertido

sea mnimo dentro de las restricciones impuestas por las plata&ormas

disponibles o re#ueridas.


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e comenzar( por asignar las di$ersas cargas en &ormas

arbitrarias% ol$id(ndose de los tiempos. e parte de la parte superior iz#uierda

de la matriz !llamada es#uina del noroeste" + se ad$ierte #ue 0 tiene E cargas

disponibles + B necesita F cargas. e asigna F cargas de 0 a B !$ase la tabla

2" os nAmeros dentro de los siglos representan cargas asignadas. Por ejemploel F del cuadro 0B signi>ca F cargas asignadas de 0 a B. Toda$a no se han

agotado las e,istencias de 0% 1 carga a 9. Giendo la parte in&erior de la columna

de 9 % se mira #ue tiene el re#uerimiento de 14 % se pasa a la hilera ; + se

asigna el resto de los re#uerimientos de 9 H cargas a la e,istencia de ; #ue

tiene 18 cargas. uego se a$anza otra $ez hacia la derecha + se asigna el resto

de e,istencia de ; % 5 cargas a


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e puede responder e,aminando sucesi$amente los cuadros sin asignaciones

para $eri>car si es posible disminuir el tiempo total pasandoles algunas

asignaciones. cuando se ha+an hecho todos los cambios posibles de

asignaciones de esta clase se podr( estar seguro de tener una solución óptima.

)Fase como se pede segir este procedimiento:

Tómese el primer cuadro sin

asignación de la primera columna% el cuadro ;B. i se suma una carga a ;B +

otra a 09 + se resta una carga de 0B + otra de ;9% toda$a se cumplira con las

restricciones de la carga disponible + la carga re#uerida. a tabla 8 muestra

#ue tal cambio no bene>cia por#ue se estara pasando de rutas de cortas m(s

bajas a otras de mas alto.

e estara agregando una carga a la ruta ;B + otra a la ruta 09% a un costo de

13 22 7 8F minutos% + restando una carga a la ruta 0B + otra a la ruta ;9 con

un ahorro de 14 24 7 84 minutos% o sea un aumento neto de 8F I 84 7 F

minutos por carga.

Cada uno de los cuadros sin

asignación se puede e,aminar en la misma &orma buscando mejorarlo. 'l patrón

#ue se obtiene no es siempre rectangular. 'n la tabla 5 se $e el patrón #ue

re#uiere para la e$aluación del cuadro CB. o #ue se debe tener es una ruta


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cerrada #ue parta del cuadro #ue se desea e$aluar con giros en (ngulo recto

sólo en los cuadros #ue +a tengan asignaciones% procediendo en la dirección de

las manecillas del reloj o a la in$ersa. e pueden saltar cuadros para llegar a

las es#uinas% como se aprecia en la tabla 5. =o se permite un mo$imiento

diagonal. 'mpezando en el cuadro #ue se desea e$aluar% se asigna un signo dem(s% puesto #ue ha+ la intención de agregar un carga + se alternan los signos

de m(s + de menos al a$anzar por la ruta cerrada. Por lo regular sólo ha+ una

ruta cerrada para e$aluar un cuadro abierto dado% si la solución arbitraria inicial

se ha obtenido en &orma correcta. e acuerdo con la tabla 5 se ad$ierte #ue no

se gano nada con hacer alguna asignación al cuadro CB% as #ue se procede a

e$aluar sistem(ticamente los cuadros no asignados de la columna 9.

'l cuadro C9 es el Anico cuadro

abierto de la columna 9 #ue es posible e$aluar en este momento + en la tabla 3

se hace por el procedimiento anterior. 0#u se $e #ue con$iene hacer un

cambio por#ue por cada carga trans&erida a C9 + ;< desde ;9 + C< ha+

una disminución neta de J minutos en el tiempo del $iaje redondo. Puesto #ue

se ha encontrado un cambio $entajoso% se desea sacar el mejor pro$echo del

mismo aumentando al m(,imo la asignación a C9. Pero el cambio de

asignaciones est( limitado a dos cargas por#ue tal es la asignación e,istente en

C


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e prosigue sistem(ticamente a lo largo de la tabla% e$aluando cada uno de los

cuadros abiertos + haciendo cambios de asignaciones siempre #ue resulten

$entajosos. Por supuesto% se puede hallar #ue algunos cuadros #ue antes no

indicaban ninguna mejora posible se encuentren en ese caso posteriormente a

causa de cambios subsecuentes.

'ste proceso continua hasta #ueninguno de los cuadros abiertos indi#uen mejora posible alguna. en este punto

se habr( obtenido una solución óptima% la #ue aparece en la tabla J. el tiempo

total re#uerido por la solución óptima es de 884 minutos o sea cerca del 84K

menos #ue la solución original de la es#uina noroeste. 'sta reducción del

tiempo total se puede lograr mediante la e$aluación columna por columna de

18 cuadros abiertos% J de los cuales producen mejoras. a


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primera $ez #ue se recorre la tabla nose obtiene ninguna mejora en los cuadros ;B% CB% + C< mientras #ue los

cuadros C9% 0


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distribución cuando% al cambiar las asignaciones para pro$echar una mejora

potencial% dos de las asignaciones e,istentes se con$ierten en cero% en $ez de

#ue talcosa suceda sólo con una de ellas% como se $io en los ejemplos

anteriores.

0l e,aminar el problema de tabla F

!#ue solo di>eren ligeramente del ejemplo con #ue se ha $enido trabajando" se

ad$ierte #ue esto est( apunto de ocurrir. Tal problema se planteo en la &orma

usual% + se determino una solución inicial de la es#uina noroeste. e e$aluaron

los cuadros abiertos columna por columna + se hicieron cambios de

asignaciones cuando parecan indicar una mejora.

'n la tabla F se e$alAa el cuadro ;D

mediante el patrón de ruta cerrada #ue se indica. 0parece una mejora

potencial% +a #ue el cambio de una unidad ahorra 13 minutos. e desea

apro$echar esta $entaja al m(,imo cambiando el ma+or numero posible de

cargas. 'stamos limitados por los cuadros ;9 + CD% cada uno de los cuales

tiene una asignación de 3 cargas. Cuando se ejecuta el cambio de asignaciones%

tanto ;9 como CD se reducen a cero. 0s se muestran en la matriz de

distribución la resultante representada en la tabla E. Garios de los cuadros


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abiertos CB% 09% ;9% C


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'e #a a Reali0ar este eercicio con el mFtodo del costo mJnimo

=aracterJsticas

. 's m(s elaborado #ue el mtodo de la es#uina noroeste

. Tiene en cuenta los costos para hacer las asignaciones

. Meneralmente nos deja alejados del óptimo

la o columna satis&echa + actualice la disponibilidad

+ el re#uerimiento% ret(ndoles lo asignado.3. u$ase a la casilla con el costo mnimo de la tabla resultante !in tener en

cuenta la >la o columna satis&echa".

J. Negrese a los puntos 8%5%3 sucesi$amente% hasta #ue todas las casillas

#ueden asignadas.

'n el ejemplo% la tabla 12 #ueda de la siguiente manera:

Ojese #ue el menor costo de toda la tabla es cero !4"% pero ha+ 5 celdas con

costo cero

!4"% 'scogemos al azar la >la 5% columna 2 + se le asigna el 14 + rellenamos la

columna 1 con ceros !4" + la columna 8 con 1 para completar el 11. a columna

8 esta con J se le resta el 1 obteniendo 3 + se coloca en el costo 14 #ue es C<

#ue es el mnimo de esa columna. 0hora en la >la de disponibilidad 14 se resta

con 3 coloc(ndole en el costo 12 en CD. 0hora se resta H-3 7 5 poniendo la ci&ra

5 en ;D #ue es el mnimo de la columna D. e resta 3-5 7 1 coloc(ndole en ;B.


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e resta H-1 7 E + se adiciona en 0B. os resultados se muestran en la tabla 18:

'l resultado de los costos Totales en la distribución es:

/Ftodo de #ogel=aracterJsticas

. 's m(s elaborado #ue los anteriores% m(s tcnico + dispendioso.

. Tiene en cuenta los costos% las o&ertas + las demandas para hacer las

asignaciones.

. Meneralmente nos deja cerca al óptimo.

la + para cada columna.


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8. 'scoger entre las >las + columnas% la #ue tenga la ma+or di&erencia !en caso

de empate% decida arbitrariamente".

5. 0signe lo m(,imo posible en la casilla con menor costo en la >la o columna

escogida en el punto 8.

3. asigne cero !4" a las otras casillas de la >la o columna donde la disponibilidadó el re#uerimiento #uede satis&echo.

J. Nepita los pasos del 2 al 3% sin tener en cuenta la!s" >la!s" +/o columna!s"

satis&echas% hasta #ue todas las casillas #ueden asignadas.

Por ejemplo:

Ojese #ue la ma+or di&erencia la tiene la columna 5 con un $alor de 1H%

escogido entre 2%2%8%4%13%18%1H + 1J.'l menor costo de la columna 5 es cero !4"% se asigna lo m(,imo posible entre

34 + 54% #ue es 54% se satis&ace

la columna + se actualiza la o&erta + la demanda.

0hora se calcula las di&erencias% sin tener en cuenta la columna 5% #ue est(

satis&echa. Una $ez ejecutado todo el algoritmo hasta asignar todas las casillas%

se obtiene la siguiente asignación b(sica + &actible inicial.

Ojese #ue el nAmero de $ariables b(sicas es: mn-17E

olución b(sica &actible no degenerada:913754 921784 928724 923714 982754 988784 955754 953714


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D 7 1J!54" 13!84" 18!24" 1J!14" 13!54" 1E!84" 4!54" 4!14" 7

2.J34

/Ftodo /odiDcado de distribción (/odi&

Partiendo de la solución b(sica &actible encontrada por el mtodo de $ogel%

aplicamos el mtodo de modi% para a$eriguar cual es la $ariable no b(sica #ue

debe entrar + cual la $ariable b(sica #ue debe salir. para ello e&ectuamos los

siguientes pasos:

1. Construimos una tabla de costos para las $ariables b(sicas + en ella

calculamos los ui + los $j #ue cumplan Cij I ui I $j 7 4

2. Construimos una tabla de costos ó coe>cientes en la &unción objeti$a para las

$ariables no b(sicas cu+o $alor es Cij I ui I $j

D 7 2.J34

olución b(sica &actible no degenerada lograda mediante el mtodo de $ogel%

con mn-17E $ariables b(sicas. Tabla de costos para las $ariables

b(sicas Calculamos los ui Q $j de tal &orma #ue Cij I ui I $j 7 4.

e 0signa el primer $alor de ui ó de

$j arbitrariamente% pre&erentemente 4 !Puede ser cual#uier $alor" en la >la ócolumna% #ue tenga a mayor cantidad de asignaciones (Variables Básicas) para


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nuestro caso !la " # columna $. %on base en éste primer &alor calculamos

todos los ui y &' aplicando %i' ui &' * para ui %i'

G1 7 C21 I u2 7 13 I 4 7 13

G8 7 C28 I u2 7 18 I 4 7 18 G3 7 C23 I u2 7 1J I 4 7 1Ju1 7 C13 I $3 7 1J I 1J 7 4 U8 7 C88 I $8 7 1E -18 7 3

u3 7 C53 I $3 7 4 I 1J 7 -1J G2 7 C82 I u8 7 13 I 3 7 14

G3 7 C53 I u3 7 4 I !-1J" 7 1J

*bser$e #ue el c(lculo para cual#uier ui %es el costo menos el respecti$o $j

+ para cual#uier $j% es el costo menos el respecti$o ui

Tabla de costos para las $ariables no b(sicas Cij-ui -$j % as:

C11 I u1 I $1 7 24 I 4 I 13 7 3

C12 I u1 I $2 7 1H I 4 I 14 7 H

C18 I u1 I $8 7 15 I 4 I 18 7 1

C15 I u1 I $5 7 21 I 4 I 1J 7 3C 22 I u2 I$2 7 24 I 4 I 14 7 14

C25 I u2 I$5 7 1H I 4 I 1J 7 8

C81 I u8 I $1 7 1E I 3 I 13 7 -2

C85 I u8 I $5 7 24 I 3 I 1J 7 -1

C83 I u8 I $3 7 I 3 I1J 7 -21

C51 I u5 I $1 7 4 I !-1J" I 13 7 1 C52 I u5 I $2 7 4 I !-1J" I 14 7 J

C58 I u5 I $8 7 4 I !-1J" I 18 7 8

*bser$e #ue stos c(lculos se pueden hacer directamente sobre la tabla%aplicando para las casillas de las $ariables no b(sicas Cij I ui I $j

Ojese #ue en sta Altima tabla% est(n todos los coe>cientes de las $ariables no

b(sicas en la &unción objeti$a% despus de haber sumado mAltiplos de las

restricciones a la &unción objeti$o para eliminar las $ariables b(sicas. a nue$a

&unción objeti$o es:

D 7 3911 H912 918 3915 14922 8925 -2981-985 !-21"983

951 J952 8958 2.J34

a $ariable #ue al crecer hace #ue D disminu+a m(s es 981 % luego escogemossta $ariable para entrar a la base.


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*bser$e #ue en la tabla de costos para las $ariables no b(sicas se encuentran

los $alores en #ue aumenta ó disminu+e D por cada unidad de crecimiento de

las $ariables no b(sicas.

)denti>cada la $ariable para entrar !981"% debemos determinar la $ariable para

salir% #ue debe ser a#uella #ue primero se $uel$a cero !4" a medida #ue la$ariable #ue entra crezca. para ello% construimos un circuito cerrado de !" + !-"%

empezando% sumando en la casilla de la $ariable #ue entra 981. *bser$e #ue el

circuito de !" + !-" tiene como objeti$o preser$ar la suma de las >las + de las

columnas% esto es% seguir satis&aciendo la o&erta + la demanda% conser$ando la

&actibilidad del problema.

D72.J34 Gariable #ue entra 981. Ojese

#ue a medida #ue 981 crece% 921 + 988 decrecen en la misma cantidad. 0#u

921 + 988 llegan a cero al mismo tiempo. 'scogemos arbitrariamente a

988 como $ariable #ue sale + a 921 al restarle 84 #uedar( con un $alor de R S

4

D7!54"!13"!4"!13"!34"!18"!14"

!1J"!84"!1E" !54"!13"!54"!4"!14"!4" 7 2.3H4

. Ojese #ue mn-17E

. 921 es $ariable b(sica 7 4

. a o&erta es igual a la demanda.

. D disminu+e en J4 unidades 2!84"7J4 2.J34 – J4 7 2.3H4

a pregunta a#uí es: Ésta es la solución óptima% la respuesta la conoceremos

cuando calculemos la nue$a tabla de costos para las $ariables no bá

sicas. Tabla de costos para las #ariables b>sicas: =i ? i ? # 8


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Tabla de costos para las $ariables no b(sicas: Cij I uiI $j

Ojese #ue todos son V 4 'stamos en la solución óptima

olución óptima Gariables b(sicas: 913W 7 54

921W 7 R 7 4928W 7 34 923W 7 14

981W 7 84 982W 7 54

935W 7 54 933W 7 14

DW 7 54!1J"4!13"34!18"14!1J"84!1E"54!13" 54!4" 14!4" 7 2.3H4

Cnterpretación de la solción

a &orma óptima de hacer los en$os desde las &(bricas !1%2%8" a los

distribuidores !1%2%8%5%3" para #ue los costos totales del transporte seanmnimos es:

esde la &(brica 1 al distribuidor 3 en$iar 54 unidades% a un costo de: 6 J54


esde la &(brica 2 al distribuidor 3 en$iar 144 unidades% a un costo de: 6 1J4

esde la &(brica 8 al distribuidor 1 en$iar 84 unidades% a un costo de: 6 354


Total de unidades en$iadas 1F4% a un costo total de 62.3H4

*bser$e #ue el distribuidor 5 se #uedar( sin sus 54 unidades + #ue el

distribuidor 3 sin sus 14 unidades% en total #uedar( una demanda insatis&echade 34 unidades !)n&ormación #ue conocimos desde el principio"% lo rele$ante


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a#u% es #ue ahora sabemos a #uien no en$iarle las 34 unidades #ue no tienen

los distribuidores + #ue podemos tomar decisiones administrati$as re&erentes a

la demanda no cubierta% tales como:

1. Conseguir las 34 unidades a tra$s de la competencia agremiada% como

consecuencia de acuerdos pre$iamente establecidos.2. 0cordar con el distribuidor 5 + 3 cubrir dicha demanda en el periodo de

producción siguiente.

8. *tras decisiones podr(n ser tomadas en concordancia con la situación real

Problemas propuestos

Una cadena de cinco !3" 0lmacenes% ubicados en di&erentes partes del pas%

re#uieren cierta mercanc+a para cada uno de sus almacenes. ,as -mpresas

abastecedoras an in/ormado que disponen de la mercanc+a solicitada pero entres (") di/erentes /ábricas. ,a escasez del producto ace que la cadena de

almacenes deba transportar la mercanc+a. -n base a los costos del transporte

por unidad a los requerimientos de los almacenes y a la disponibilidad de las

/ábricas que se muestra en el siguiente cuadro0 ormule el problema de

programaci#n lineal que minimice los costos totales del transporte y resuel&a

Una CompaLa desea saber% #ue poltica de distribución minimizar( sus costos

totales% se cuenta con tres !8" &(bricas + cuatro !5" clientes% la producción de las

&(bricas es de:

334%844 + 2J4 unidades respecti$amente + las necesidades de los cuatro !5"

clientes son: 234%844%244% + 1J4 unidades respecti$amente.os costos de

en$iar una !1" unidad entre cada &(brica + los clientes se da a continuación:


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Considere en la tabla siguiente de costos

a" Use el mtodo de la es#uina noroeste para obtener una solución

b(sica /actible.

b) se el método del costo m+nimo para obtener una soluci#n básica /actible.

c) se el método de &ogel para obtener una soluci#n básica /actible.

d) 3btenga la soluci#n #ptima partiendo de la soluci#n básica obtenida por el

método de &ogel.

https://pro&mgodo+.wordpress.com/

MÉTODO SIMPLEX

El Método Si!"e# es un m"todo analítico de solución de problemas

de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los

resueltos mediante elm"todo gráfico sin restricción en el n!mero de variables.

El Método Si!"e# es un m"todo iterativo que permite ir

mejorando la solución en cada paso. La razón matemática de esta mejoraradica en que el m"todo consiste en caminar del v"rtice de un poliedro a un

v"rtice vecino de manera que aumente o disminuya Kseg!n el contexto de la

función objetivo sea maximizar o minimizar dado que el n!mero de v"rtices

que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución.

https://profmgodoy.wordpress.com/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-gr%C3%A1fico/https://profmgodoy.wordpress.com/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/programaci%C3%B3n-lineal/http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingeniero-industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-gr%C3%A1fico/


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Este famosísimo m"todo fue creado en el aMo de 3N6= por el estadounidense

0eorge 'ernard -antzig y el ruso Leonid #italievich ;antorovich con el ánimo

de crear un algoritmo capaz de solucionar problemas de m restricciones

y n variables.

OJ2E E) 2$( %(+/H /-E$/-(-P

2na matriz puede definirse como una ordenación rectangular de elementos Ko

listado finito de elementos los cuales pueden ser n!meros reales o complejos

dispuestos en forma de filas y de columnas.

La matriz id"ntica o identidad es una matriz cuadrada Kque posee el mismo

n!mero tanto de columnas como de filas de orden n que tiene todos los

elementos diagonales iguales a uno K3 y todos los demás componentes

iguales a cero K8 se denomina matriz id"ntica o identidad de orden n, y se

denota por

La importancia de la teoría de matrices en el %"todo )implex es fundamental

dado que el algoritmo se basa en dicha teoría para la resolución de sus

problemas.

,')E+#(&/,$E) /%*,+($E) (L2/L/H(+ %Q,-, )/%*LEA

#(+/('LE) -E R,L02+( S EA&E),

El %"todo )implex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones

iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son para ello hayque convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables


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denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace

referencia la restricción y que en el tabulado final representa el "Slack or

surplus" al que hacen referencia los famosos programas de resolución de

investigación de operaciones estas variables adquieren un gran valor en el

análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz

identidad base del )implex.

Estas variables suelen estar representadas por la letra "S" se suman si la

restricción es de signo TUI T y se restan si la restricción es de signo TVIT.

*or ejemplo


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#(+/('LE (+/?/&/(L @ %Q,-, -E L( T%T

2na variable artificial es un truco matemático para convertir inecuaciones TVIT

en ecuaciones o cuando aparecen igualdades en el problema original la

característica principal de estas variables es que no deben formar parte de la

solución dado que no representan recursos. El objetivo fundamental de estas

variables es la formación de la matriz identidad.

Estas variables se representa por la letra "A", siempre se suman a las

restricciones su coeficiente es % Kpor esto se le denomina %"todo de la %

grande donde % significa un n!mero demasiado grande muy poco atractivo

para la función objetivo y el signo en la función objetivo va en contra del

sentido de la misma es decir en problemas de %aximización su signo es

menos KW y en problemas de %inimización su signo es KF repetimos con elobjetivo de que su valor en la solución sea cero K8.


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modelos simplex y transportemi"rcoles 4: de mayo de 4833 Xerbis colmeranez

Metodo Si!"e# $ Tr%ns!orteDEFINICIÓN Y APLICACIÓN DEL MODELO DE TRANSPORTE

http@@modelosimplexytransporte.blogspot.com@

'l modelo de transporte busca determinar un plan de transporte deuna mercanca de $arias &uentes a $arios destinos. os datos del modeloson:

1. =i$el de o&erta en cada &uente + la cantidad de demanda en cada destino.

2. 'l costo de transporte unitario de la mercanca a cada destino

Como solo ha+ una mercanca un destino puede recibir su demandade una o m(s &uentes. 'l objeti$o del modelo es el de determinar la cantidad#ue se en$iar( de cada &uente a cada destino% tal #ue se minimice el costodel transporte total.

a suposición b(sica del modelo es #ue el costo del transporte enuna ruta es directamente proporcional al numero de unidadestransportadas. a de>nición de ?unidad de transporte@ $ariar( dependiendode la ?mercanca@ #ue se transporte.

.

'l es#uema siguiente representa el modelo de transporte como una redcon m&uentes + n destinos. Una &uente o un destino esta representado porun nodo% el arco #ue une &uente + un destino representa la ruta por la cualse transporta la mercanca. a cantidad de la o&erta en la &uente i es ai% + la

http://modelosimplexytransporte.blogspot.com/2011/05/metodo-simplex-y-transporte.htmlhttp://modelosimplexytransporte.blogspot.com/http://modelosimplexytransporte.blogspot.com/2011/05/metodo-simplex-y-transporte.htmlhttp://modelosimplexytransporte.blogspot.com/


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demanda en el destino 'es b j. 'l costo de transporte unitario entre la&uente i + el destino ' es Cij.

i 9i j representa la cantidad transportada desde la &uente i al destino j%entonces% el modelo general de P #ue representa el modelo de transporte

es:

inimiza D7 Σ i71 m Σ j71 n C i j 9 i j

ujeta a:

Σ j71 n 9 i j X7 ai % i71%2%Y% m

Σ i71 m 9 ) j V7 bj % j71%2%Y% n

9 i j V74 para todas las i +

'l primer conjunto de restricciones estipula #ue la suma de los en$osdesde una &uente no puede ser ma+or #ue su o&erta en &orma an(loga% elsegundo conjunto re#uiere #ue la suma de los en$ios a un destino satis&agasu demanda.

'l modelo #ue se acaba de escribir implica #ue la o&erta total Σi71 m ai

debe ser cuando menos igual a la demanda total Σ j71 n bj. Cuando la o&ertatotal es igual a la demanda total% la &ormulación resultante recibe el nombrede modelo de transporte e#uilibrado. 'ste di>ere del modelo solo en elhecho de #ue todas las restricciones son ecuaciones% es decir:

Σ9 i j 7 ai% i71%2%...% m

Σ9 i j 7 bj% j71%2%...% n

'n el mundo real% no necesariamente la o&erta debe ser igual a lademanda o ma+or #ue ella. in embargo% un modelo de transporte siemprepuede e#uilibrarse. 'l e#uilibrio% adem(s de su utilidad en la representacióna tra$s de modelos de ciertas situaciones pr(cticas% es importante para eldesarrollo del mtodo de solución #ue e,plote completamente la estructuraespecial del modelo de transporte. os dos ejemplos #ue siguen presentan

la idea del e#uilibrio + tambin sus implicaciones pr(cticas.

'jemplo 1 !odelo de transporte est(ndar"

M 0uto Compan+ tiene plantas en os Zngeles% etroit + =ue$a*rle(ns. us centros de distribución principales son en$er + iami. ascapacidades de las plantas durante el trimestre pró,imo son 1 444% 1 344% +1 244 automó$iles. as demandas trimestrales en los dos centros dedistribución son de 2 844 + 1 544 $ehculos. 'l costo del transporte de unautomó$il por tren es de E centa$os por milla. 'l diagrama de las distanciasrecorridas entre las plantas + los centros de distribución son:


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en$er iami

Los ngeles 1 444 1 JH4

etroit 1 234 1 834

6e#arleans

1 2F3 E34

'sto produce en costo por automó$il a razón de E centa$os pormilla recorrida. Produce los costos siguientes !redondeados a enteros"% #uerepresentan a C i j del modelo original:

ediante el usode códigos numricos #ue

representan las plantas +centros de distribución% hacemos #ue 9 i j represente el nAmero deautomó$iles transportados de la &uente i al destino '. Como la o&erta total! 7 1 444 1 344 1 244 7 8 F44" es igual a la demanda ! 7 2 844 1544 7 8 F44"% el modelo de transporte resultante esta equilibrado. Por lotanto% el siguiente modelo de P #ue representa el problema tiene todas lasrestricciones deigualdad.

inimizar D 7 E49 11 2139 12 1449 21 14E9 22 1429 81 JE982

ujeto a:

9 11 9 12 7 1 444

9 21 9 22 7 1 344

9 81 9 82 7 1 244

en$er iami

Los ngeles E4 213

etroit 144 14E

6e#a rleans 142 JE


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9 11 9 21 9 81 7 2 844

9 12 9 22 9 82 7 1 544

9 i j para todas las i + '

Un mtodo mas resumido para representar el modelo de transporteconsiste en utilizar lo #ue se llama tabla de transporte. 'sta es una &ormade matriz donde sus renglones representan las &uentes + sus columnas los

destinos. os elementos de costo C i j se resumen en la es#uina noroeste dela celda de la matriz !i% j". Por lo tanto% el modelo de M se puede resumir enla tabla siguiente:

'jemplo 2 !odelo de transporte con e#uilibrio"

'n el ejemplo anterior suponga #ue la capacidad de la planta deetroit es de 1 844 automó$iles !en $ez de 1 344". e dice #ue la situaciónesta dese#uilibrada debido a #ue la o&erta total !78 344" no es igual a la

demanda total !78 F44".=uestro objeti$o consiste en $ol$er a &ormular el


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modelo de transporte de manera #ue distribu+a la cantidad &altante!78 F44I 8 344 7 244" en &orma optima entre los centros de distribución.

Como la demanda es ma+or #ue la o&erta se puede agregaruna planta Dcticia con una capacidad de 244. e permite #ue dicha planta%

en condiciones normales% en$e su ?producción? a todos los centros dedistribución. Osicamente% la cantidad de unidades en$iadas a un destinodesde una planta >cticia representar( la cantidad &altante en ese destino.

a Anica in&ormación #ue &alta para completar el modelo son los?costos de transporte@ unitarios de la planta >cticia a los destinos. Como laplanta no e,iste% no habr( ningAn en$o &sico + el costo de transporteunitario es cero. in embargo% podemos en&ocar la situación desde otro(ngulo diciendo #ue se incurre en un costo de penalización por cada unidadde demanda insatis&echa en los centros de distribución. 'n este caso loscostos de transporte unitarios ser(n iguales a los costos de penalizaciónunitarios en los di$ersos destinos.

en$er iami

os Zngeles E4 213 1 444

etroit 144 14E 1 844

=ue$a *rle(ns 142 JE 1 244

Planta >cticia 4 4 244

e manera an(loga% si la o&erta en ma+or #ue la demanda podemosaLadir un destino Dcticio #ue absol$er( la di&erencia. Por ejemplo%suponga #ue la demanda en en$er disminu+e a 1 H44cual#uier automó$il

en$iado de una planta a un centro de distribución >cticio representa une,cedente en la planta.

en$er iami estino

Oicticio

os Zngeles E4 213 4 1 444

etroit 144 14E 4 1 344

=ue$a *rleans 142 JE 4 1 244


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a aplicación del modelo de transporte no se limita al problema de?transporte@

'l siguiente ejemplo ilustra el uso del modelo del transporte en otroscampos.

'jemplo 8 !odelo de in$entario de producción"

Una compaLa constru+e una planta maestra para la producción de unarticulo en un periodo de cuatro meses. as demandas en los cuatro mesesson: 144% 244% 1E4 + 844 unidades. Una demanda para el mes en cursopuede satis&acerse a tra$s de:

1. Producción e,cesi$a en un mes anterior almacenada para su consumoposterior.

2. Producción en el mes actual.

8. Producción e,cesi$a en un mes posterior para cubrir pedidos de mesesanteriores.

'l costo de producción $ariable por unidad en un mes cual#uiera esde 65.44. una unidad producida para consumo posterior incurrir( en uncosto de almacenamiento razón de 64.34 por unidad por mes. Por otraparte% los artculos ordenados en meses anteriores incurren en un costo depenalización de 62.44 por unidad por mes. a capacidad de producción para

elaborar el producto $ara cada mes. os c(lculos de los cuatro mesessiguientes son 34% 1E4% 2E4 + 2F4 unidades% respecti$amente.

'l objeti$o es el de &ormular el plan de in$entario de producción acosto mnimo. 'ste problema se puede &ormular como un modelo de?transporte@. a e#ui$alencia entre los elementos de los sistemas deproducción + transporte se establece de la manera siguiente.

'istema de Transporte istema de Producción

1. Ouente i 1. Periodo de producción i

2. estino ' 2. Periodo de demanda '

8. *&erta en la &uente i 8. Capacidad de producción del periodo i

5. emanda en el destino ' 5. emanda del periodo '

3. Costo de transporte de la&uentei al destino '

3. Costo de producto e in$entario delperiodo i al '

'n tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un

modelo de transporte:


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Periodo

1 2 8 5 Capacidad

emanda 1 5 5.3 3 3.3 34

2 J 5 5.3 3 1E4

8 E J 5 5.3 2E4

5 14 E J 5 2F4

emanda: 144 244 1E4 844

'l costo de ?transporte@ unitario del periodo i al ' es:

Costo de producciónen i% i7j

= i 8 =osto de prodcción en i S costo de almacenamientoen i a j i

=osto de prodcción en i S costo de penali0aciónen i a j i7

a de>nición de C i j indica #ue la producción en el periodo i parael mismo periodo !i 7 j" sólo iguala el costo unitario de producción. i elperiodo i se produce para periodos &uturos j !i X j"% se incurre en un costo dealmacenamiento adicional. e la misma manera% la producción en i paracubrir ' pedidos hechos con anterioridad !i V j" incurre en un costo depenalización adicional.

P43B,-M56 7- 5689:5%8;: (Método cientemente un problema deasignación m , m mediante el mtodo [Angaro:

• Paso 1.- 'mpiece por encontrar el elemento mas pe#ueLo en cada renglónde la matriz de costos. Constru+a una nue$a matriz% al restar de cada costo%

el costo mnimo de su renglón. 'ncuentre% para esta nue$a matriz el costo


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mnimo en cada columna. Constru+a una nue$a matriz ! la matriz de costosreducidos " al restar de cada costo el costo mnimo de su columna.

• Paso 2.- ibuje el mnimo numero de lneas !horizontales o $erticales " #uese necesitan para cubrir todos los ceros en la matriz de costos reducidos. ise re#uieren m lneas para cubrir todos los ceros% siga con el paso ".

• Paso ".- 'ncuentre el menor elemento no cero !llame su $alor \ en la matrizde costos reducidos% #ue no esta cubiertos por las lneas dibujadas enel paso 2. 0hora reste \ de cada elemento no cubierto de la matriz de costosreducidos + sume \ a cada elemento de la matriz de costosreducidos cubierto por dos lneas. Negrese al paso 2.

Un problema de asignación es un problema de transporte balanceadoen el #ue todas las o&ertas + demandas son iguales a 1 as se caracterizapor el conocimiento del costo de asignación de cada punto de o&erta a cadapunto de demanda. a matriz de costos del problema de asignación sellama: matriz de costos.

Como todas las o&ertas + demandas para el problema de asignación

son nAmeros enteros% todas las $ariables en la solución óptima debenser $alores enteros.

']'P* ' PN*;'0 ' 0)M=0C)*=

1. Una empresa ha contratado a 5 indi$iduos para 5 trabajos% los 5indi$iduos + 5 trabajos pueden mostrarse en una tabla #ue indi#ue las

clasi>caciones obtenidas% analizando al indi$iduo para cada trabajo. osrenglones se re>eren a los hombres% mientras #ue las columnas se re>erena los trabajos el problema consiste en ma,imizar las cali>caciones paraasignar los 5 trabajos.

e supone #ue las cali>caciones de un indi$iduo es directamenteproporcional a la ganancia #ue obtendra la compaLa si ese indi$iduo seencargara del trabajo.


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2. *tro problema #ue utiliza la misma estructura del modelo detransporte% es la asignación de camiones para reducir al mnimo los costosde un problema de asignación.

8. Una empresa cubre el territorio nacional con dos camionesespecialmente e#uipados para &uncionar en condiciones climatológicasespec>cas. a empresa ha di$idido en cinco regiones geogr(>cas. ecompra el camión 0 + se modi>ca para #ue &uncione e>cientemente en lasregiones uno + dos% + para #ue &uncione bastante bien en las regiones tres +cuatro. 'l mismo camión no &unciona bien en la región cinco. os gastos degasolina% mantenimiento + otros costos directos de operación% seranmnimos en las regiones uno + dos% promedio en las regiones tres + cuatro% +altos en la región cinco. e tiene esa misma in&ormación con respecto a losdem(s camiones de la compaLa% o sea% los tipos ;% C + .

SOLUCION DEL PROLEMA DE TRANSPORTE!

'n esta sección presentamos los detalles para resol$er el modelo detransporte.

T'C=)C0 ' TN0=P*NT'.

os pasos b(sicos de la tcnica de transporte son:

Paso 1: determnese una solución &actible.

Paso 2: determnese la $ariable #ue entra% #ue se elige entre las $ariables nob(sicas. i todas estas $ariables satis&acen la condición de optimidad !delmtodo simple,"% detngase de lo contrario% dirjase al paso 8.

Paso 8: determnese la $ariable #ue sale !mediante el uso de la condición de&actibilidad" de entre las $ariables de la solución b(sica actual despusobtngase la nue$a solución b(sica. Negrese al paso 2.

OTENCIÓN DE SOLUCIONES "SICAS FACTILES PARAPROLEMAS DE TRANSPORTES

Podemos obtener una solución b(sica &actible !sb&" para unproblema de transporte balanceado mediante el mtodo de la es#uina=oroeste% el mtodo de costo mnimo% o el mtodo de Gogel.

Para obtener una sb& mediante el mtodo de la es#uina noroeste%empiece en la es#uina superior iz#uierda del cuadro del transporte + hagaa 911 lo m(s grande posible.


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=aturalmente% 911 no puede ser ma+or #ue el menor $alor i +as 911 1 tache el primer renglón del cuadro de transporte 'sto indica#ue si habr( m(s $ariables b(sicas del renglón 1 del cuadro. Tambin d1-1

. i 9117d1% tache la primera la columna del cuadro de transporte + cambie1 I d1.

i 9117 1 7 d1% tache o el renglón 1% o la columna 1 !pero noambos"% del cuadro de transporte. i tacha el renglón 1% cambie d1 por cerosi tacha columna 1% cambie 1 por 4.

ContinAe aplicando este procedimiento a la celda mas noroeste del

cuadro #ue no cae en un renglón eliminado o en una columna eliminada.

Oinalmente% llegara un momento en el cual solo #ueda una celda a lacual se puede asignar un $alor.

0signe a esta celda un $alor igual a la o&erta de su renglón o a lademanda de su columna% + tache el renglón + la columna de la celda. eobtiene de esta manera una soluci#n básica /actible.

*;T'='N 0 *UC)^= ^PT)0 P0N0 U= PN*;'0 ' TN0=P*NT'

Paso 1= i el problema no est( balanceado% balancelo.

Paso 2= Utilice uno de los mtodos descritos anteriormente para obtener unasolución b(sica &actible.

Paso "= Utilice el hecho de #ue U174% + UiGj7Cij en todas las $ariablesb(sicas para encontrar !U1%U2...Um G1%G2...Gn" para la sb& actual.

Paso >= i Ui Gj I Cij es menor o igual a cero% para todas las $ariables nob(sicas% entonces la sb& actual es óptima. i no es as se introduce la$ariable con $alor m(s positi$o de Ui Gj ICij en la base. Para hacer esto%encuentre un circuito cerrado !se puede demostrar #ue solamente e,iste uncircuito cerrado" #ue contiene la $ariable #ue entra + algunas de las$ariables b(sicas. espus% tomando en cuenta solamente las celdas en elcircuito cerrado mar#ue las #ue se encuentren alejadas en nAmero par!4%2%5%J%..." de celdas de la $ariable #ue entra como celdas pares. Tambinmar#ue las celdas en el circuito cerrado% #ue se encuentra un nAmero imparde celdas de la $ariable #ue entra como celdas impares. 0hora encuentre la

celda impar cu+a $ariable toma el menor $alor. lame este $alor teta. a$ariable correspondiente a esta celda impar saldr( de la base. Para realizar


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el pi$oteo% disminu+e el $alor de cada celda impar en teta + aumenta el$alor de cada celda par en teta. os $alores de las $ariables #ue no seencuentran en el circuito cerrado permanecen sin cambio. 0hora secompletó el blo#ueo.

o teta es igual a cero% la $ariable #ue entra ser( igual a cero% + una $ariableimpar #ue tiene un $alor actual de cero% saldr( de la base. 'n este caso%e,ista un sb& degenerada antes del pi$oteo + resultar( despus del pi$oteo.

o i m(s de una celda impar en el circuito cerrado es igual a teta. Puedeescoger arbitrariamente una de estas celdas impares para #ue salga de labase se obtendr( una $ez m(s una sb& degenerada. 'l pi$oteo produce unanue$a sb&.

Paso $= Negrese a los pasos 8 + 5% utilizando la nue$a sb&. Para un problemade ma,imización% proceda como se especi>có% pero cambie el paso 5 por elpaso 5_.

Paso ?= i Ui Gj ICij es ma+or o igual a cero% para todas las $ariables nob(sicas% entonces% la sb& actual es óptima. e otra manera% colo#ue la$ariable con el $alor m(s negati$o de Ui Gj I Cij en la base mediante elprocedimiento de pi$oteo.

'L=C6 C6C=C


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4 13 4

2 12 F H 24 23

13 14

8 4 15 1J 1E 3

3

3 13 13 14

;. 'T** ' 0PN*9)0C)*= ' G*M' !G0"

'ste metodo es heuristico + suele producir una mejor solucion inicial #uelos dos metodos antes descritos. e hecho% G0 suele producir una solucioninicial optima% o pro,ima al ni$el optimo.

os pasos del procedimiento son los siguientes:

Paso1: '$aluese una penalizacion para cada renglon restando el menorelemento del costo del renglon del elemento de costo menor siguiente en elmismo renglon.

Paso2: )denti>#ueze el renglon o columna con la ma+or penalizacion%rompiendo empates en &orma arbitraria. 0signese el $alor ma+or posible a la$ariable con el costo mas bajo del renglon o columna seleccionado. 0justesela o&erta + la demanda + tachese el renglon o columna satis&echo. i unrenglon o columna se satis&acen al mismo tiempo% solo uno de ellos se tacha+ al renglon restante se le asigna una o&erta cero.Cual#uier renglon ocolumna con o&erta o demanda cero no debe utilizarce para calcularpenalizaciones &uturas.

Paso 8:

a.-si solo ha+ un renglon o columna sin tachar% detengase.

b.-si solo ha+ un renglon cono&erta positi$a sin tachar% determinense las$ariables basicas del renglon a tra$ez del metodo del costo minimo.

c.-si todos los renglones + columnas sin tachar tienen o&erta o demandacero asignadas% determinese las $ariables basicas cero a tra$ez del metododel costo minimo. etengase.

d.-de lo contrario% calculense las penalizaciones de las renglones +columnas no tachados + despues dirijase al paso 2.


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1 2 8 5 PN

1 14 4 24 11 13 14

2 12 F H 24 23 2

8 4 15 1J 1E 3 15

3

PC 3 13 13 14

14 F F F

PN 7 Penalización de Nenglón

PC 7 Penalización de Columna

1 2 8 5 PN

1 14 4 24 11 13 11

2 12 F H 24 23 14 2

13

8 4 3 4 -

3

PC 3 13 13 14

- F 11 H

%3:%,683:=


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e han presentado $arios mtodos para obtener una solución alproblema de transporte u otro semejante. Una consideración mu+importante #ue ha+ #ue tener en cuenta con cual#uier mtodo #ue seutilice% es #ue el problema de transporte no siempre puede aislarse +resol$erse dentro de sus propios lmites. 'l transporte es tan sólo una parte

de todo el sistema de distribución de la compaLa. 's mu+ di&cil resol$er elmejor programa de transporte en trminos de ser$icio + bajo costo. 'sa(rea de la empresa re#uiere de una constante atención para incorporar loscambios #ue constitu+an + una di&cil tarea para cual#uier grupo dein$estigaciones de negocios.

/Ftodo 'imple;

'l mtodo imple, es un procedimiento iterati$o #ue permite irmejorando la solución a cada paso. 'l proceso conclu+e cuando no esposible seguir mejorando m(s dicha solución.

Partiendo del $alor de la &unción objeti$o en un $rtice cual#uiera% elmtodo consiste en buscar sucesi$amente otro $rtice #ue mejore al

anterior. a bAs#ueda se hace siempre a tra$s de los lados del polgono !ode las aristas del poliedro% si el nAmero de $ariables es ma+or". Cómo elnAmero de $rtices !+ de aristas" es >nito% siempre se podr( encontrar lasolución.

'l mtodo imple, se basa en la siguiente propiedad: si la &unciónobjeti$o% &% no toma su $alor m(,imo en el $rtice 0% entonces ha+ unaarista #ue parte de 0% a lo largo de la cual & aumenta.

eber( tenerse en cuenta #ue este mtodo sólo trabaja pararestricciones #ue tengan un tipo de desigualdad `` + coe>cientes

independientes ma+ores o iguales a 4% + habr( #ue estandarizar las mismaspara el algoritmo. 'n caso de #ue despus de ste proceso% aparezcan !o no$aren" restricciones del tipo `` o `7` habr( #ue emplear otros mtodos%siendo el m(s comAn el mtodo de las os Oases.

V =onstrcción de la primera tabla:

'n la primera columna de la tabla aparecer( lo #ue llamaremos base%en la segunda el coe>ciente #ue tiene en la &unción objeti$o cada $ariable#ue aparece en la base !llamaremos a esta columna Cb"% en la tercera eltrmino independiente de cada restricción !P4"% + a partir de sta columnaaparecer(n cada una de las $ariables de la &unción objeti$o !Pi". Para teneruna $isión m(s clara de la tabla% incluiremos una >la en la #ue pondremos


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cada uno de los nombres de las columnas. obre sta tabla #ue tenemosincluiremos dos nue$as >las: una #ue ser( la #ue liderar( la tabla dondeaparecer(n las constantes de los coe>cientes de la &unción objeti$o% + otra#ue ser( la Altima >la% donde tomar( $alor la &unción objeti$o. =uestra tabla>nal tendr( tantas >las como restricciones.

Tabla

C1 C2 ... Cn

;ase Cb P4 P1 P2 ... Pn

Pi1 Ci1 bi1 a11 a12 ... a1n

Pi2 Ci2 bi2 a21 a22 ... a2n

... ... ... ... ... ... ...

Pim Cim bim am1 am2 ... amn

D D4 D1-C1 D2-C2 ... Dn-Cn

os $alores de la >la D se obtienen de la siguiente &orma: 'l $alor D4ser( el de sustituir Cim en la &unción objeti$o !+ cero si no aparece en la

base". 'l resto de columnas se obtiene restando a este $alor el delcoe>ciente #ue aparece en la primera >la de la tabla.

e obser$ar( al realizar el mtodo imple,% #ue en esta primeratabla% en la base estar(n las $ariables de holgura.

- Condición de parada: Comprobaremos si debemos de dar una nue$aiteración o no% #ue lo sabremos si en la >la D aparece algAn $alor negati$o.i no aparece ninguno% es #ue hemos llegado a la solución óptima delproblema.

- 'lección de la $ariable #ue entra: i no se ha dado la condición deparada% debemos seleccionar una $ariable para #ue entre en la base en lasiguiente tabla. Para ello nos >jamos en los $alores estrictamente negati$osde la >la D% + el menor de ellos ser( el #ue nos de la $ariable entrante.

- 'lección de la $ariable #ue sale: Una $ez obtenida la $ariableentrante% obtendremos la $ariable #ue sale% sin m(s #ue seleccionar a#uella>la cu+o cociente P4/Pj sea el menor de los estrictamente positi$os!teniendo en cuenta #ue sólo se har( cuando Pj sea ma+or de 4". aintersección entre la columna entrante + la >la saliente nos determinar( elelemento pi$ote.


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- 0ctualización de la tabla: as >las correspondientes a la &unciónobjeti$o + a los ttulos permanecer(n inalterados en la nue$a tabla. 'l restodeber( calcularse de dos &ormas di&erentes:

• i es la >la pi$ote cada nue$o elemento se calcular(:

:ue&o -lemento ila Pi&ote -lemento ila Pi&ote actual @ Pi&ote.

• Para el resto de elementos de >las se calcular(:

:ue&o -lemento ila -lemento ila Pi&ote actual A (-lemento %olumnaPi&ote en la !la actual :ue&o -lemento ila).

PN*;'0 ' 0)M=0C)^=

'l problema de asignación es una $ariación del problema original detransporte% $ariación en la cual las $ariables de decisión 9!i%j" solo puedentomar $alores binarios% es decir ser cero !4" o uno !1" en la solución óptima%lo #ue supone #ue la o&erta + la demanda est(n per&ectamente alineadas%de hecho ambas son iguales a uno !1".

Altiples son los casos en los #ue como ingenieros industriales podemoshacer uso del problema de asignación para resol$er di$ersas situaciones%entre los #ue cabe mencionar se encuentran la asignación de personal ama#uinas% herramientas a puestos de trabajos% horarios a maestros%candidatos a $acantes% huspedes a habitaciones% comensales a mesas%$endedores a zonas territoriales etc.

'n el modelo de asignación la idea &undamental de resolución es #u&uente satis&ace mejor el destino% + dado #ue hemos asociado el modelo auna gran di$ersidad de circunstancias esta pregunta puede plantearse enmAltiples conte,tos% como #u candidato es el idóneo para la $acante% o#u personal es el indicado para la lnea producti$a% o #u personal es elmejor para ejecutar determinada tarea. Una caracterstica particular delmodelo de asignación es #ue para su resolución no se hace necesario #ue el

nAmero de &uentes sea igual al nAmero de destinos% lo cual es mu+ comAnen la $ida real teniendo en cuenta su aplicación% pues generalmente la


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cantidad de aspirantes es e,ageradamente superior al nAmero de $acantes!lógicamente haciendo re&erencia a la aplicación del modelo al conte,to deo&erta + demanda laboral"

%Q,-, RY$0(+,

(partándonos un poco de la idea expresada en módulos anteriores respecto a

la facilidad de resolver problemas atinentes a la investigación operativa en

especial aquellos de transporte mediante el uso de herramientas tecnológicas

como lo son


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entre cada costo y el valor mínimo de la fila a la cual cada costo corresponde

Kvalor mínimo hallado en el primer paso.

(L0,+/%, RY$0(+, *(), 5

Este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de los dos pasos

anteriores referidos ahora a las columnas es decir se halla el valor mínimo de

cada columna con la diferencia que este se halla de la matriz resultante en el

segundo paso luego se construirá una nueva matriz en la cual se consignarán

los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la

columna a la cual cada costo corresponde matriz llamada T%atriz de &ostos

+educidosT.

(L0,+/%, RY$0(+, *(), 6

( continuación se deben de trazar líneas horizontales o verticales o ambas

K!nicamente de esos tipos con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz

de costos reducidos con el menor n!mero de líneas posibles si el n!mero de

lineas es igual al n!mero de filas o columnas se ha logrado obtener la solución

óptima Kla mejor asignación seg!n el contexto de optimización si el n!mero de

líneas es inferior al n!mero de filas o columnas se debe de proceder con el

paso :.

(L0,+/%, RY$0(+, *(), :

Este paso consiste en encontrar el menor elemento de aquellos valores que no

se encuentran cubiertos por las lineas del paso 6 ahora se restará del restante

de elementos que no se encuentran cubiertos por las líneas^ a continuación

este mismo valor se sumará a los valores que se encuentren en las

intersecciones de las lineas horizontales y verticales una vez finalizado estepaso se debe volver al paso 6.


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+E),L2&/1$ -E 2$ *+,'LE%( -E ()/0$(&/1$ %E-/($E EL %Q,-,

RY$0(+,

EL *+,'LE%(

La compaMía de manufactura T[im"nez y (sociadosT desea realizar una

jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales ( ' y &.

El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 3

día sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un díateniendo en cuenta que la compaMía cuenta con tres proveedores de servicios

de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada

máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo.

eniendo en cuenta que seg!n el grado de especialización de cada equipo

prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada

máquina en particular debe de asignarse el equipo correcto a la máquina

indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos

asociados se pueden observar en la siguiente tabla

>>>.ingenieriaindustrialonline

.com

*(), 3

Encontramos el menor elemento de cada fila


52/65

>>>.ingenieri

aindustrialonline.com

*(), 4

&onstruimos una nueva matriz con las diferencias entre los valores de la matriz

original y el elemento menor de la fila a la cual corresponde.

>>>.ingen

ieriaindustrialonline.com

*(), 5

En la matriz construida en el paso anterior se procede a efectuar el paso 3 esta

vez en relación a las columnas por ende escogemos el elemento menor de

cada columna. /gualmente construimos una nueva matriz con la diferencia

entre los valores de la matriz 4 y el elemento menor de la columna a la cual

corresponde cada valor.


53/65


.com

*(), 6

En este paso trazaremos la menor cantidad de combinaciones de líneashorizontales y verticales con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de

costos reducidos.


.com

&omo se puede observar el menor n!mero de líneas horizontales y@o verticales

necesarias para cubrir los ceros de la matriz de costos reducidos es igual a 4

por ende al ser menor que el n!mero de filas o columnas es necesario recurrir

al paso :.


54/65

*(), :

En este paso seleccionamos el menor elemento de los elementos no

subrayados.

Luego se procede a restarse de los elementos no subrayados y a adicionarse a

los elementos ubicados en las intersecciones de las líneas en este caso existe

una !nica intersección K5.


.com

(hora ya efectuado este paso pasamos al paso 6.


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.com

(hora observamos cómo se hace necesario trazar tres líneas Kla misma

cantidad de filas o columnas de la matriz por ende se ha llegado al tabulado

final en el que por simple observación se determina las asignaciones óptimas.


.com

*or ende la asignación que representa el menor costo para la jornada de

mantenimiento preventivo determina que el Equipo 3 realice el mantenimiento

de la %áquina 3 el Equipo 4 realice el mantenimiento de la %áquina 5 y el

Equipo 5 realice el mantenimiento de la %áquina 4 jornada que tendrá un

costo total de 3= unidades monetarias.

+E),L2&/1$ -E 2$ *+,'LE%( -E%(A/%/H(&/1$ %E-/($E EL %Q,-,RY$0(+,


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EL *+,'LE%(

2na organización de recolección de caf" cuenta con tres equipos de siembra y

cosecha del mismo Kequipos 3 4 5. Estos equipos de trabajo se encuentran

entrenados para trabajar en condiciones particulares del proceso condiciones

como lo son el tipo de suelo las condiciones del clima y el tipo de grano. La

organización cuenta con cuatro terrenos disponibles para efectuar el proceso

de siembra y cosecha Kterrenos ( ' & - estos terrenos tienen condiciones

particulares de suelo clima y tipo de grano. &ada equipo cuenta con la

capacidad de efectuar el proceso en solo uno de los terrenos disponibles salvo

el equipo 4 que cuenta con una serie de herramientas tecnológicas que le

permiten realizar la siembra y cosecha del grano en dos de los terrenos

disponibles. )e ha contratado a un /ngeniero /ndustrial con el objetivo derealizar las asignaciones precisas que maximicen la cantidad de sacos de caf"

cosechados en total. El siguiente tabulado muestra la capacidad Ken cientos de

sacos de cosecha de caf" de cada uno de los equipos dependiendo de cada

uno de los terrenos.

+E),L2&/1$

En este problema debemos recordar un concepto fundamental para la

aplicación del m"todo h!ngaro este concepto nos dice que el n!mero de filas

debe ser exactamente igual al n!mero de columnas. *or ende la acción arealizar debería ser crear un equipo ficticio el cual nos deje el tabulado

balanceado y a este asignarle un n!mero de sacos cosechados equivalente a

cero en cada uno de los terrenos. )in embargo el problema nos indica que uno

de los equipos se encuentra en capacidad de que se le asignen dos terrenos

en este caso crearemos un equipo 4 alternativo KEquipo 4' el cual nos

balanceará el tabulado y nos hará prescindir del equipo ficticio pensado

inicialmente. ( este equipo 4' que crearemos le corresponderá la misma

capacidad de cosecha del equipo 4 Ken adelante equipo 4( seg!n el terreno

lógicamente.


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2na vez balanceado el tabulado debemos de cuestionarnos acerca del criterio

de optimización pues recordemos que el m"todo h!ngaro se encuentra

diseMado para ejercicios de minimización. En este caso nuestro objetivo es

maximizar por lo que tendremos que aplicar un paso adicional.

Lo primero que debemos hacer es ubicar el mayor valor del tabulado inicial.

En este caso este valor es 3: por lo cual procederemos a realizar la siguiente

operación con cada uno de los valores

+estaremos a 3: el valor de cada una de las celdas y este valor quedará en

cada una de las celdas correspondientes.


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(hora nuestro tabulado inicial quedará de la siguiente manera

( partir de este tabulado ya podemos aplicar el algoritmo del m"todo h!ngaro

como se aplicaría en un caso e minimización Knormalmente.

(hora encontramos el menor elemento de cada fila.

y se lo restamos a todas las celdas de la fila.


59/65

(hora efectuamos este mismo paso pero esta vez con las columnas. Elegimos

el menor de los valores de cada columna y se lo restamos a cada una de las

celdas de la columna correspondiente.

(hora procedemos a cubrir la mayor cantidad de ceros con la menor cantidad

de líneas si el n!mero de líneas que empleemos es igual al grado de la matriz

Ken este caso matriz grado 6 6x6 habremos llegado al final del ejercicio.


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-ado que el n!mero de líneas es igual al grado de la matriz hemos concluido

el algoritmo. Lo !nico que quedará será asignar a cada equipo el terreno en el

que el intercepto es igual a 8 Kcero.

Las asignaciones como es lógico deberán iniciarse por el equipo al cual solocorresponda un terreno en este caso al Equipo 5 le corresponde el erreno (.

-e esta manera al Equipo 3 le corresponde el erreno -. %ientras tanto el

Equipo 4 se encargará de la cosecha en los terrenos ' y &. )eg!n el tabulado

del problema Krecordemos que es de maximización la cantidad de sacos

Kexpresada en cientos de sacos será así


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+E),L2&/1$ -E 2$ *+,'LE%( -E ()/0$(&/1$ %E-/($E

*+,0+(%(&/1$ L/$E(L

EL *+,'LE%(

La compaMía de manufactura T[im"nez y (sociadosT desea realizar una

jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales ( ' y &.

El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 3

día sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un díateniendo en cuenta que la compaMía cuenta con tres proveedores de servicios

de mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada

máquina para poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo.

eniendo en cuenta que seg!n el grado de especialización de cada equipo

prestador de servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada

máquina en particular debe de asignarse el equipo correcto a la máquina

indicada con el objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos

asociados se pueden observar en la siguiente tabla

#(+/('LE) -E -E&/)/1$Las variables de decisión de este tipo de problemas es igual a las variables de

cualquier modelo de transporte tradicional es decir variables A ij donde i

BEquipo de mantenimiento 345C y j B%áquina 345C y corresponden a

variables binarias en las cuales el valor 3 significa la asignación de un equipo

de mantenimiento a una máquina en particular.


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+E)+/&&/,$E)

-ado que un equipo de mantenimiento no puede ser asignado a más de una

maquinaria esta característica debe de restringirse mediante las siguientes

inecuaciones.

A33 F A34 F A35 I 3

A43 F A44 F A45 I 3

A53 F A54 F A55 I 3

(demás debe restringirse el hecho de que cada máquina solo requiere de un

equipo de mantenimiento por ende

A33 F A43 F A53 I 3

A34 F A44 F A54 I 3

A35 F A45 F A55 I 3

(demás se hace necesario que para efectos de resolución en cualquier

paquete de herramientas se especifique que estas variables corresponden al

conjunto de los enteros Kpor obvias razones y que deben ser mayores quecero Kdado que es un problema de minimización esta restricción se hace muy

necesario.

Aij G 8

Aij BHC


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?2$&/1$ ,'[E/#,

H%/$ I 38A33 F NA34 F :A35 F NA43 F 7A44 F 5A45 F 9A53 F 6A54 F =A55

/$0+E)($-, L,) -(,) (


64/65

+E),L2&/1$ -E 2$ *+,'LE%( -E ()/0$(&/1$ %E-/($E


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Ing+ Br$%n S%"%(%r L*!e(

&olombia 4834

http@@>>>.ingenieriaindustrialonline.com@herramientasWparaWelWingenieroWindustrial@investigaci_&5_'5nWdeWoperaciones@problemasW

deWasignaci_&5_'5n@
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PROBLEMA DEL TRANSPORTE O DISTRIBUCIÓN.docx